Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) PH NG TRÌNH Hình h c t a đ Oxyz NG TH NG ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N BÁ TU N Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Ph ng trình đ ng th ng thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph s d ng hi u qu , B n c n h c tr ng) t i website Hocmai.vn c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Bài 1: Cho  ABC, bi t A = (1, 2, 5) ph ng trình hai trung n là: x  y  z 1 x y z     2 4 1 a Vi t ph b Vi t ph ng trình t c c nh c a tam giác ng trình t c c a đ ng phân giác c a góc A Gi i a D th y A khơng thu c hai trung n trên, ta gi s : ( BN ) : x  y  z 1 x y z (CP ) :     2 4 1 • Chuy n ph ng trình (BN) (CP) v d ng tham s , ta đ c:  x  2t  x  u    ( BN ) :  y  2t  , t  R (CP ) :  y  4u  2, u  R z  t 1 z  u    Khi t a đ B = (-2t + 3,2t + 6,t + 1);C = (u + 4,-4u + 2,u + 2) tr ng tâm G  ( BN)  (CP ) có t a đ G = (3, 6, 1) suy ra: GA  (2, 4, 4), GB  (2t, 2t, t ); GC  (u  1, 4u  4, u  1) • Xét  ABC ta có: GA GB  GC   (2  2t  u  1, 4  2t  4u  4,  t  u  1)  t  2  B  (7, 2, 1)   u  3 C  (1,14, 1) V y ph ng trình t c c nh c a  ABC đ c xác đ nh nh sau:  x 1 y  z  qua A  (1, 2,5) ( AB) :   ( AB) :   1  vtcp AB  (6, 0, 6) / /(1, 0, 1) T ng t : ( AC ) : b Vi t ph x 1 y  z  x  y  z 1 & ( BC )     2 1 1 ng trình t c c a đ G i I chân đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng phân giác c a góc A ng phân giác góc A lên c nh BC, ta có: ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Hình h c t a đ Oxyz  xB  kxC 35  10  x   k 10    y  kyC 10  14 10 IB AB 10    k  I : y  B  AC 1 k IC 10    zB  kzC  1 z   k   30  12 10  AI   , , 6  ch n a   10  10   Ph ng trình đ ng phân giác (AI) đ  5, 2 2,   c xác đ nh b i:  x 1 y  z5 qua A  (1, 2,5)  ( AI ) :   ( AI ) :  vtcp AI  5, 2 2,  5 2 2     Bài 2: Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đ x  y  z   Tìm t a đ giao m A c a đ s c ađ x 1 y  z  m t ph ng (P):   1 ng th ng d m t ph ng (P) Vi t ph ng trình tham ng th ng d: ng th ng  n m m t ph ng (P), bi t  qua A vng góc v i d Gi i: - Ph x  1 t  ng trình tham s c a d :  y  3  2t (t  R) z   t  Vì A d  A(1  t; 3  2t;3  t ) Ta có A ( P )  2(1  t )  (3  2t )  2(3  t )    t  V y A(0; -4; 1) M t ph ng (P) có vect pháp n n  (2;1; 2) ng th ng d có vect ch ph ng u  (1; 2;1) Vì   ( P )   d nên  có vect ch ph Ph ng u  n; u   (5;0;5) / /(1;0;1) x  t  ng trình tham s c a  :  y  1 z   t  Bài 3: Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ ng th ng  x  1  2t x y 1 z   d1 :  d :  y   2t  1 z   Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trị Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Hình h c t a đ Oxyz a Ch ng minh r ng d1 d2 chéo b Vi t ph ng trình đ ng th ng d vng góc v i m t ph ng (P): x  y  z  c t hai đ ng th ng d1, d2 Gi i: a Ch ng minh d1; d2 chéo nhau: ng u1  (2; 1;1) , +) d1 qua M(0; 1; -2) có vect ch ph d2 qua N(-1; 1; 3), có vect ch ph ng u2  (2;1;0) +) u1 , u2   (1;2;4) MN  (1;0;5) +) u1 , u2  MN  (1;2;4).(1;0;5)  21   d1 d2 chéo b Vi t ph ng trình đ ng th ng d Gi i s d c t d1 d2 l n l t t i A, B Vì A d1 , B  d2 , nên  AB  (2t  2s  1; t  s; s  5) (P) có vect pháp n n  (7;1; 4) AB  ( P )  AB ph ng v i n 5t  9s   s  2t  2s  t  s  s      4 4t  3s   t   A(2;0; 1); B(5; 1;3) Ph ng trình đ Bài 4: Cho đ ng th ng d là: x  y z 1   4 ng th ng (d) m t ph ng (P) có ph (d ) : ng trình: x  y  z 1   (P ) : 2x  y  z   3 a Tìm giao m A c a (d) (P) b Vi t ph ng trình đ ng th ng (  ) hình chi u vng góc c a (d) lên mp(P) Gi i: a Tìm t a đ giao m A c a (d) (P) Chuy n ph ng trình (d) v d ng tham s , ta đ c:  x  2t   (d ) :  y  3t  (t  R)  z  5t   Thay x; y; z theo t vào ph Hocmai.vn – Ngơi tr ng trình c a mp(P), ta đ ng chung c a h c trò Vi t c: T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) 2(2t  2)  (3t  1)  (5t  1)    t  Thay t  vào ph 3 ng trình tham s c a (d), ta đ b G i a , n theo th t m t vect ch ph Hình h c t a đ Oxyz 8 8 c A ;0;  3 3 ng c a (d) vect pháp n c a mp(P), ta có: a  (2;3;5), n  (2;1;1)  a , n không ph ng V y (d) không vuông góc v i mp(P) L y A(2,-1,1)  d - G i (d’) đ ng th ng qua A vng góc v i mp(P): Suy d’ có vect ch ph ng vect pháp n c a m t ph ng (P)  x   2t  ng trình:  y  1  t z  1 t  (d’) có ph G i t a đ B giao m c a (d’) mp(P) Ta có: 2(2  2t )  (1  t )   t    t   10  V y B ;  ;   3 3 Ph ng trình hình chi u vng góc (  ) c a d lên m t ph ng (P) đ ng th ng qua m A, B  3  AB   ;  ;  / /(2; 1; 6) 3 3  V y ph  x   t  ng trình (  ) là:  y  t   z   6t  Bài 5: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho đ : Vi t ph ng th ng: x y z m t ph ng (P): x  y  3z     1 1 ng trình đ ng th ng d n m mp(P) cho d c t vng góc v i đ ng th ng  Gi i: T a đ giao m I c a  v i mp(P) th a mãn h : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Hình h c t a đ Oxyz x y z    1  I (3;1;1)   x  y  3z   Vect pháp n c a (P), n  (1; 2; 3) ; vect ch ph ng v  n, u   (1; 2; 1) ng th ng d c n tìm qua I có vect ch ph Ph ng c a  : u  (1;1; 1)  x  3  t  ng trình d:  y   2t z  1 t  Bài Trong không gian Oxyz cho m A1;1; 2 , đ ( P ) : x  y  z 1  Vi t ph ng trình đ ng th ng  d  : x  y 1 z  m t ph ng   ng th ng  qua A c t  d  song song v i ( P ) Gi i Gi s  c t (d) t i M (1  2t;1  t;2  3t ) AM  (2  2t; t;4  3t ) Do AM / /( P ) nên AM  n v i n vecto pháp n c a (P)  (2  2t )  t  (4  3t )   t  3  M (7; 2; 7) Ph ng trình  : x 1 y 1 z    Bài Trong không gian cho hai đ  d1  : ng th ng: x y2 z x  y  z  10 ; M   d1  , N  (d2 ) cho MN / /Ox ;  d2  :     2 1 1 Vi t ph ng trình đ ng th ng n i M , N Gi i Ph ng trình (d1 ),(d2 ) d  xt  t : d1 :  y   t  z  4  2t  i d ng tham s l n l  x  8  2s  d2 :  y   s  z  10  s  Gi s M (t ,  t , 4  2t ); N(8  2s,6  s,10  s) MN  (8  2s  t;4  s  t;14  s  2t ) 4  s  t  s  22   M 18; 16;32  Do MN / /Ox nên:  14  s  2t  t  18 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Hình h c t a đ Oxyz  x  18  t  ng trình MN là:  y  16  z  32  =>ph Bài Trong không gian cho m I 1; 2;3 , m t ph ng ( P ) : x  y  z  đ (d ) : Vi t ph ng th ng x  y 1 z    ng trình đ ng th ng  qua I , song song v i ( P ) vng góc v i (d ) Gi i (P) có veto pháp n : n  (1, 1, 1) (d) có vecto ch ph ng là: u1  (2,1,3) G i u2 vecto ch ph ng c a   u  n Theo gi thi t ta có:   Ch n u2  [n,u1 ]  (2; 5;3) u2  u1 V y ph ng trình  : x 1 y  z    2 5 Bài Trong không gian cho đ Vi t ph x  1 t  ng th ng (d ) :  y  1  t , t  R m t ph ng  P  : x  y  z    z   2t  ng th ng (d ') đ i x ng v i (d ) qua m t ph ng  P  ng trình đ Gi i Cách làm: l y m A, B thu c (d) tìm m A’, B’ đ i x ng c a A, B qua m t ph ng (P) =>Ph (d ') : ng trình đ x  y  z 1   19 11 Bài 10: Cho hai đ Vi t ph ng th ng (d ') đ i x ng v i (d ) qua m t ph ng  P  là: ng trình đ ng th ng có ph x z3  y 1  ng trình: d1 : x   t  d :  y   2t z  1 t  ng th ng c t d1 d2 đ ng th i qua m M(3;10;1) Gi i G i đ ng th ng c n tìm d đ ng th ng d c t hai đ A(2+3a;-1+a;-3+2a) B(3+b;7-2b;1-b) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ng th ng d1 d2 l n l T ng đài t v n: 1900 58-58-12 t t i m - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Do đ Hình h c t a đ Oxyz ng th ng d qua M(3;10;1)=> MA  kMB MA   3a  1; a  11; 4  2a  , MB   b; 2b  3; b  3a   kb 3a  kb  a      a  11  2kb  3k  a  3k  2kb  11  k  4  2a  kb 2a  kb  b     => MA  2; 10; 2  Ph ng trình đ  x   2t  ng th ng AB là:  y  10  10t  z   2t  Bài 11: Trong không gian cho m A(-4;-2;4) đ x = -3 + 2t; y = - t; z = -1 + 4t; t  R Vi t ph ng th ng (d) có ph ng trình đ ng trình: ng th ng () qua A; c t vng góc v i (d) Gi i ng ud  (2; 1; 4)   d  B  B(3  2t;1  t; 1  4t ) , Vt ch ph ABu d   t 1  x  1  3t  => B(-1;0;3)=> Ptđth ng   AB :  y  2t z   t  Bài 12: Trong không gian h t a đ Oxyz, cho ba m t ph ng (P): 2x – y + z + = 0, (Q): x – y + 2z + = z x y 1 0, (R): x + 2y – 3z + = đ ng th ng 1 : = = G i  giao n c a (P) (Q) 2 Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vng góc v i (R) c t c hai đ ng th ng 1 ,  Gi i * 1 có ph  x   2t  ng trình tham s  y  1  t  z  3t  x   s   :  y   3s z  s  *Gi s d  1  A; d  2  B  A(2  2t; 1  t;3t ) B(2+s;5+3s;s) * AB  (s  2t;3s  t  6; s  3t ) , mf(R) có vtpt n  (1; 2; 3) * d  ( R)  AB & n ph  ng s  2t 3s  t  s  3t 23   t  3 24 Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trị Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Hình h c t a đ Oxyz 1 23 + d qua A( ; ; ) có vtcp n  (1; 2; 3) 12 12 => d có ph ng trình Bài 13: Vi t ph 23 1 z y 12  12  3 x ng trình đ ng vng góc chung c a hai đ x y 1 z  ; d1 :   1 ng th ng sau:  x  1  2t  d2 :  y   t z   Gi i G i M  d1  M  2t;1  t; 2  t  , N  d  N  1  2t ';1  t ';3  MN  2t  2t ' 1; t  t '; t   2  2t  2t ' 1   t  t '    t     MN.u1     MN.u1  2  2t  2t ' 1   t  t '   6t  3t '    t  t ' 1 3t  5t '   M  2;0; 1 , N 1; 2;3 , MN  1; 2;   PT MN : x  y z 1   1 Bài 14 Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph ng trình hình chi u vng góc c a đ ng th ng  x  2z  m t ph ng P : x  2y  z   d : 3x  y  z   Gi i  x  4t  PTTS c a d:  y    7t M t ph ng (P) có VTPT n  (1; 2;1)   z t   11      G i A  d  (P)  A  4; ;2  Ta có B  0;  ;0   d , B  0;  ;0   (P)       G i H ( x; y; z) hình chi u vng góc c a B (P) Ta tìm đ  4 c H   ; ;   3 G i  hình chi u vng góc c a d (P)   qua A H   có VTCP u  3HA  (16;13;10)  Ph Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t  x   16t  11 ng trình c a :  y   13t    10t z  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) x 1 y  z  m t ph ng (P):   2 ng th ng  song song v i m t ph ng (P), qua M(2; 2; 4) ng th ng d : Bài 15 Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đ x + 3y + 2z + = L p ph c t đ ng th ng (d) ng trình đ Hình h c t a đ Oxyz Gi i  x  1  3t  ng th ng (d) có PTTS:  y   2t M t ph ng (P) có VTPT n  (1; 3; 2)  z   2t Gi s N(1 + 3t ;  2t ; + 2t)  d  MN  (3t  3; 2t;2t  2) MN // (P) MN n   t   N(20; 12; 16) Ph ng trình đ ng th ng : Bài 16: Cho hai đ x 2 y2 z4   7 ng th ng chéo (d1) (d2) có d ng: x   x  3u   d1 :  y  4  2t d :  y   2u z   t  z  2   a Tính kho ng cách gi a d1 d2 b Vi t ph ng trình đ ng vng góc chung c a d1 d2 Gi i G i a1 ; a theo th t vect ch ph ng c a d1 d2, ta có: a1 (0;2;1); a (3;2;0) G i AB đo n vng góc chung c a d1 d2 ( A d1; B  d2 ) Khi đó, t a đ c a A, B theo th t th a mãn ph ng trình tham s c a d1 d2, t c là: A(1;2t  4; t  3); B(3u;2u  3; 2)  AB  (3u 1;2u  2t  7; t  5) T u ki n:   AB  d1 t   AB.a1      AB  d   AB.a  u  1 Ta xác đ nh đ c t a đ m A(1; -2; 4), B(3; 1; -2) Khi đó: a Kho ng cách gi a d1 d2 đ dài đo n AB, đ c cho b i: d (d1 , d2 )  AB  (1  3)2  (2  1)2  (4  2)2  b Ph ng trình đ ng vng góc chung c a d1 d2 ph Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t ng trình AB, cho b i: T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Hình h c t a đ Oxyz  x   2t qua A(1; 2; 4)   AB :  y  2  3t AB :  vtcp AB(2;3;6)  z   6t  Bài 17: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho m A(1; 2; 3) hai đ x  x 1 d2 :  1 d1 : y z3  1 y 1 z   a Tìm t a đ m A’ đ i x ng v i m A qua đ b Vi t ph ng trình đ ng th ng: ng th ng d1 ng th ng  qua A, vuông góc v i d1 c t d2 Gi i: a Tìm t a đ m A’ đ i x ng v i m A qua đ ng th ng d1 M t ph ng (P) qua A(1; 2; 3) vng góc v i đ ng th ng d1 có ph ng trình là: 2( x 1)  ( y  2)  ( z  3)   x  y  z   T a đ giao m H c a d1 (P) nghi m c a h : x  x y z3     1   y  1  H (0; 1; 2)  2 x  y  z   z   Vì A’ đ i x ng v i A qua d1 nên H trung m c a AA’  A'  (1; 4;1) b Vi t ph ng trình đ ng th ng  Vì  qua A, vng góc v i d1 c t d2 nên  qua giao m B c a d2 (P) T a đ giao m B c a d2 (P) nghi m c a h :  x 1 y 1 z 1 x      2   y  1  B(2; 1; 2)  1  z  2 2 x  y  z    Vect ch ph Ph ng c a  là: u  AB  (1; 3; 5) x  1 t  ng trình c a  là:  y   3t  z   5t  Bài 18: Cho hai đ : L p ph ng th ng  d có ph ng trình: x  y 1 z 1 x7 y3 z9 , d:     7 1 ng trình đ Hocmai.vn – Ngơi tr ng th ng d1 đ i x ng v i d qua  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Nguy n Bá Tu n) Hình h c t a đ Oxyz Gi i: Chuy n ph ng trình đ ng th ng d v d ng tham s : x  t   d :  y  2t   z  t   L y hai m A(7; 3; 9), B(6; 1; 10)  d G i H A, H B theo th t hình chi u vng góc c a A, B lên  • Xác đ nh HA A1 m đ i x ng v i A qua  Chuy n ph Làm t  x  7t   ng trình  v d ng tham s :  :  y  2t   z  3t   ng t tìm đ c t a đ chân đ ng vng góc HA(3; 1; 1) T suy t a đ A1 đ i x ng v i A qua  A1(-1; -1; -7) • Xác đ nh HB B1 m đ i x ng v i B qua  T  72 37 40  ng t d dàng tìm H B  ; ;   31 31 31   42 43 230   B1   ; ;   31   31 31 • Ph ng trình đ ng th ng d1 đ c cho b i: qua A1 (1; 1; 7) x 1 y 1 z    d1 :   d1 :   13 11 74   vtcp AB ( 11;74; 13)   1 Giáo viên: Nguy n Bá Tu n Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 11 -