Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0984856098 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức I Phương pháp Phương pháp tìm giá trị nhỏ + M ≥ M (M  R) Min = Ví dụ1: = (x – 2)2 + ≥ Min = x = Ví dụ 2: = x2 + 3x + = (x + )2  ≥  Vậy Min =  x + = M x =  =0 Phương pháp tìm giá trị lớn = N  ≤ N (N  R) Max Ví dụ 1: = 15 – (x – 5)2 ≤ 15 Max Ví dụ: = x2 + 4x + 2014 = (x2  4x + 4) + 2018 = 15 x – = = N x=5 = 2018  (x – 2)2 ≤ 2018 = 2018 x – = Vậy Max x=2 Bất đẳng thức côsi áp dụng cho số dương:  Xét: (  )2 ≥ (với a, b hai số dương) a + b  ≥ a + b≥ (Cô si) Dấu “ = ” xảy Ví dụ: Cho số a dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + a=b +1 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a ta có: a + P=a + +1≥ + =5 ≥2 dấu “=” xảy a = = 2.2 = a=2 Vậy PMin = a = II Bài tập vận dụng Bài 1: Cho biểu thức P =   đk: x ≥ 0, x ≠ Hướng dẫn Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0984856098  Rút gọn P = x   )2 + + 1= ( ≥  Theo điều kiện : x ≥  Giá trị nhỏ P = x = Bài 2: Cho biểu thức P = (  +  ):( 1)  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Hướng dẫn Do điều kiện x ≥ 0, x ≠ ≥ ≥1 ≤ Min P = 1 x = Vậy với x = BMin = 1  Bài 3: Cho biểu thức A =  đk: x ≥ 0, x ≠ 4, = =  a) Rút gọn biểu thức A > b) Tìm giá trị nhỏ B = Hướng dẫn  Rút gọn A = > với x ≥ >  Do điều kiện x ≥ +1 ≥ 1  – ≤ >0 x>9 ≥ 4  ≥  = 3 Min B = 3 x = Vậy với x = BMin = 3 Bài 4: Cho biểu thức M = (   1):(  ) a) Rút gọn M b) Tìm x để 5M số phương c) Tìm giá trị lớn M Hướng dẫn  Rút gọn M =  Giá trị lớn M: Do điều kiện x ≥  Để 5M ≥2 ≤ Max B = x = số phương thương số phương ( bậc hai số số tự nhiên) Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm  Vậy 0984856098 + Ư(25) + = 1, 25 Bài 5: Cho biểu thức B = với x > a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị nhỏ B Hướng dẫn: B = Giá trị nhỏ Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương ta có: Như Dấu xảy Vậy x = với x ≥ 0, x ≠ Bài 6: Cho P = a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn Rút gọn P: P = Tìm giá trị nhỏ P: P Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có: – Vậy Pmin = Dấu xảy Vậy +3= x = Bài 7: Cho biểu thức N = với x ≥ a) Rút gon N b) Tìm giá trị lớn N Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm 0984856098 Hướng dẫn Xét x > N = Áp dụng bất đẳng thức cô si : Do đó: N = Vậy Dấu “ =” xảy x = x = Bài 8: Cho biểu thức P = : a) Tính giá trị P biết x =  b) Tìm giá trị lớn của: Bài 9: Cho biểu thức A = Tìm giá trị lớn biểu thức P=A9 Hướng dẫn: Rút gọn biểu thức A = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = A  x P = Xét x > Áp dụng bất đẳng thức cô si : Do đó: P = Dấu “ =” xảy x = Dấu “ =” xảy x = Vậy x =