Đang tải... (xem toàn văn)
Kiến thức cơ bản toán 11 toàn bộ chương trình tham khảo ôn tập
Phần Hàm số lượng giác I Các hàm số lượng giác Hàm số tuần hoàn Hàm số f(x) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn có số T ≠ cho: a) ∀x ∈ D, có: x - T ∈ D x + T ∈ D b) ∀x ∈ D, có: f(x + T) = f(x) Số T > nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hoàn f(x) Hàm số y = sỉnx Có tập xác định D = R, hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì , lấy giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1] Hàm số y = cosx Có tập xác định D = R, hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì , lấy giá trị thuộc đoạn [-1; 1] Hàm số y = tanx Tập xác định D = {x ∈ R/x ≠ + k , k ∈ Z}, hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì , lấy giá trị thuộc R Hàm số y = cotx Tập xác định D = {x ∈ R/x ≠ k , k ∈ Z}, hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì II Công thức biến đổi Tích thành tổng Tổng thành tích , lấy giá trị thuộc R Phần 2:Phương trình lượng giác Phương trình sinx = m (1) Phương trình cosx = m (2) Điều kiện để (2) có nghiệm: Khi đó: cosx = m ⇔ x = ±α + k2 , k ∈ Z α ∈ R cho cosα = m Phương trình tanx = m tanx = m ⇔ x = α + k , k ∈ Z α ∈ R thỏa mãn tanα = m Phương trình cotx = m cotx = m ⇔ x = α + k , k ∈ Z Phần 3: Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương trình có dạng: af2(x) + bf(x) + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ f(x) hàm số có dạng sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x) Cách giải Đặt ẩn phụ f(x) = t Giải phương trình theo ẩn t: at + bt + c = Rồi giải phương trình lượng giác nghiệm phương trình theo t Phương trình bậc sinx cosx asinx + bcosx = c (a2 + b2 > 0) Điều kiện có nghiệm a2 + b2 > c2 Phương trình đối xứng sinx cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Cách giải Ta phương trình theo t Phương trình đẳng cấp sinx cosx asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d Cách giải • Xét cosx = • Xét cosx ≠ Chia hai vế phương trình cho cos2x, ta đưa phương trình theo tanx (Cũng xét sinx = 0; sinx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho sin2x, ta đưa phương trình theo cotx) Phần 4: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Hai quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Nếu có m cách chọn đối tượng A, n cách chọn đối tượng B cách chọn đối tượng không trùng với cách chọn cách chọn đối tượng có m + n cách chọn đối tượng A B Nói cách khác: Tập hợp hữu hạn A B không giao số phần tử A ∪ B là: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) Ghi : Nếu kí hiệu |X| số phân tử tập hợp hữu hạn X Ta có : | A ∪ B| = |A| + |B| b) Quy tắc nhân Nếu công việc phải thực qua hai bước Bước thứ thực theo m cách, bước thứ hai thực theo n cách số cách hoàn thành công việc nói m x n cách Hoán vị Tập hợp hữu hạn A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách thứ tự phần tử A gọi hoán vị n phần tử Định lí: Số nhóm hoán vị khác n phần tử là: P = n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n! Chỉnh hợp Xét tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi hoán vị tập hợp k phần tử A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A Định lí: Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: Tổ hợp Cho tập hợp hữu hạn A số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập hợp A gồm k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A Định lí: Số tổ hợp chập k n phần tử là: Tam giác Pat-can Sắp hệ số nhị thức Niutơn ứng với n = 0, 1, 2, thành bảng gọi tam giác Pat-can Phần 5: Xác suất biến cố Phép thử ngẫu nhiên: phép thử mà ta không đoán trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử Ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên phép thử Tập hợp kết phép thử gọi không gian mẫu kí hiệu Ω Biến cố: tập không gian mẫu, kí hiệu A, B Một số kí hiệu cần lưu ý: A⊂Ω A biến cố A=Ø A biến cố A=Ω A biến cố chắn A∪B Biến cố "A B" A∩B Biến cố "A B" A∩B=Ø A, B hai biến cố xung khắc Biến cố đối biến cố A Định nghĩa xác suất biến cố A: Trong N(A): Số phần tử A N(Ω): Số phần tử Ω Tính chất + P(∅)= 0; P(Ω) = + ≤ P(A) ≤ + Nếu A ∩ B = Ø P(A ∪ B) = P(A) + P(B) + Nếu A, B hai biến cố P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) + P( ) = - P(A) Phần 6: Xác suất có điều kiện - Kì vọng phương sai I Xác suất có điều kiện Định nghĩa Giả sử A biến cố ngẫu nhiên có xác suất dương Xác suất biến cố B tính điều kiện A xảy gọi xác suất B với điều kiện A xảy ra, kí hiệu P(B/A), tính theo công thức: Công thức nhân xác suất Từ công thức (1) ta suy ra: P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) (2) Với A, B, V ba biến cố cho P(A ∩ B) ≠ (2) mở rộng thành: P(A ∩ B ∩ C) = P(A).P(B/A).P(C/A ∩ B) (3) Các công thức (2) (3) gọi công thức nhân xác suất Các biến cố độc lập Hai biến cố A B gọi độc lập P(A ∩ B) = P(A).P(B) Từ định nghĩa suy ra: Nếu < P(A) < 1, A B độc lập thì: P(B/A) = P(B/ ) = P(B) II Phân bố xác suất biển ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x1, x2, xn với xác suất tương ứng p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), , pn = P(X = xn) thỏa mãn: p1 + p2 + + pn = trình bày dạng bảng: X x x x x P p p p p 1 2 k k n n Được gọi bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X III Kì vọng phương sai - Độ lệch chuẩn X biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X x x x x P p p p p 1 2 3 n-1 n p n n-1 Kì vọng X (còn gọi giá trị trung bình X) E(X) = p1x1 + p2x2 + p3x3 + + pn-1xn-1 + pnxn x Phương sai X (đặt a = E(X)) Độ lệch chuẩn X • Tính chất E(X): E(kX) = k.E(X) với k số E(X + Y) = E(X) + E(Y) Phần 7: Phương pháp qui nạp toán học - Dãy số I Phương pháp qui nạp toán học Bài toán: Gọi A(n) mệnh đề chứa biến n, n ∈ N* Chứng minh A(n) với số tự nhiên n ∈ N* Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây) • Bước 1: Chứng minh A(n) n = (*) • Bước 2: Với k số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) với n = k, chứng minh A(n) mệnh đề n = k + Phương pháp chứng minh gọi phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắt phương pháp quy nạp) Bước gọi bước sở (hay bước khởi đầu), bước gọi bước quy nạp (còn gọi bước “di truyền”) Giả thiết nói bước gọi giả thiết quy nạp Chú ý: (*): thực tế, ta gặp toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) với số tự nhiên n ≥ p, p số tự nhiên cho trước Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) n = 1, ta chứng minh A(n) n = p II Dãy số Định nghĩa : Dãy số (un) ánh xạ từ N* vào R: f: N* → R Khi đó, ta có un = f(n) Kí hiệu (un) hay dạng khai triển u1, u2, , un, Cách xác định dãy số Một dãy số thường xác định cách: Cách 1: Dãy số xác định công thức cho số hạng tổng quát u n Cách 2: Dãy số xác định công thức truy hồi, tức là: • Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) • Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước Cách 3: Dãy số xác định mệnh đề mô tả số hạng liên tiếp Dãy số đơn điệu Định nghĩa 1: (Dãy số tăng): Dãy số (un) gọi tăng ∀n ∈ N*, un < un + Định nghĩa 2: (Dãy số giảm): Dãy số (un) gọi giảm ∀n ∈ N*, un > un + Dãy số bị chặn Định nghĩa 3: (Dãy số bị chặn trên): Dãy số (un) gọi bị chặn nếu: ∃M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N* Định nghĩa : (Dãy số bị chặn dưới): Dãy số (un) gọi bị chặn nếu: ∃m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N* Định nghĩa 5: (Dãy số bị chặn): Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức là: ∃m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* Phần Cấp số cộng Định nghĩa Dãy số (un) xác định bởi: (u, d hai số thực cho trước) gọi cấp số cộng • u số hạng • d công sai Đặc biệt d = (un) dãy số tất số hạng Các tính chất • Số hạng thứ n cho công thức: un = u1 + (n - 1)d • un, un + 1, un + ba số hạng liên tiếp cấp số cộng (un) thì: un + = (un + un + 2) • Tổng n số hạng Sn cho công thức: Phần Cấp số nhân I Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số q không đổi, nghĩa là: (un) cấp số nhân ⇔ ∀n ≥ 2, un = un-1.q Số q gọi công bội cấp số nhân Ví dụ: Dãy số (un); với un = 2n, cấp số nhân có số hạng đầu u1 = công bội q = II Tính chất Định lí Nếu uk-1, uk, uk+1 , ba số hạng liên tiếp cấp số nhân ta có: Như vậy, số hạng trừ số hạng đầu số hạng cuối (cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối trung bình nhân hai số hạng đứng cạnh Số hạng tổng quát un cấp số nhân: (công bội q khác 0) un = u1.qn -1 III Tổng n số hạng cấp số nhân: Gọi Sn = u1 + u2 + + un tổng số hạng cấp số nhân với q ≠ 1, ta có: Phần 10 Giới hạn dãy số I Dãy số có giới hạn Dãy số có giới hạn Dãy số (un) có giới hạn 0, kí hiệu (hoặc limun = un → n →+∞), tất số hạng dãy kể từ số hạng trở có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương tùy ý cho trước Định lí: Cho hai dãy số (un) (vn) Nếu l un l ≤ vn, ∀n limvn = limun = Dãy số có giới hạn Các định lí dãy số có giới hạn hữu hạn Định lí Định lí 2: Nếu limun = L, limvn =M c số thì: • lim(un ± vn) = L ± M, lim(un.vn) = L.M, limcun = cL Định lí 3: (Định lí kẹp giới hạn dãy số) Cho ba dãy số (un), (vn), (wn) số thực L Nếu un ≤ ≤ wn ∀n limun = limwn = L limvn = L Định lí 4: a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn II Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1, u1q1, , u1qn-1, với công bội q mà l q l < gọi cấp số nhân lùi vô hạn S gọi tổng cấp số nhân cho Khi ta viết: Phần 11 Dãy số gần đến vô cực - Các dạng vô định I Dãy số có giới hạn +∞ Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ số hạng dãy số lớn số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Khi ta viết: limun = +∞ un = +∞ Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng: II Dãy số có giới hạn -∞ Ta nói dãy số (un) có giới hạn -∞ số hạng dãy số nhỏ số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Khi ta viết limun = -∞ un = -∞ Dễ dàng thấy rằng: limun = -∞ ⇔ lim(-un) = +∞ Chú ý: III Các dạng vô định Là toán tìm giới hạn , limf(x) = limg(x) = limf(x) = ∞, limg(x) = ∞ x → x0 x → x0 x → x0 x → ±∞ + - Khi giải toán loại ta phải biến đổi để khử dạng vô định nhằm áp dụng định lí giới hạn Dạng 0, ∞ Dạng toán tìm giới hạn lim[flx).g(x)] limf(x) = 0, limg(x) = ∞ x → x0 x → x0+ x → x0- x → ∞ Dạng ∞ - ∞ Dạng toán tìm giới hạn lim[f(x) - g(x)], limf(x) = limg(x) = +∞ limf(x) = limg(x) = -∞ x → x0 x → x0+ x → x0- x → ∞ Phần 12 Giới hạn hàm số I Giới hạn hàm số điểm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định khoảng K, trừ điểm x ∈ K Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới x0, với dãy số (xn) (xn ∈ K, xn ≠ x0, ∀xn ∈ N*) cho: limxn = x0 limf(xn) = L Một số định lí giới hạn hàm số Định lí 1: Nếu hàm số f(x) có giới hạn x dần tới x0 giới hạn Định lí 2: Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x dần tới x thì: Định lí 3: (Giới hạn hàm số bị kẹp) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định khoảng K chứa điểm x (có thể trừ điểm x0) II Sự mở rộng giới hạn Giới hạn vô cực Ta nói hàm số f(x) dần tới vô cực x dần tới x0 với dãy số (xn) (xn ≠ x0) cho: lim xn = x0 lim f(xn) = ∞ Giới hạn hàm số vô cực Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới vô cực, với dãy số (x n) cho limxn = ∞ limf(x) = L Giới hạn bên a) Định nghĩa: Số L gọi giới hạn bên phải (hoặc bên trái) hàm số f(x) x dần tới x0, với dãy số (xn) với xn > x0 (hoặc xn < x0) Sao cho: limxn = x0 limf(x) = L Phần 13 Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm Hàm số f(x) xác định (a; b) liên tục x0 ∈ (a; b) Hàm số f(x) không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn • Hàm số f(x) xác định (a; b) liên tục điểm x ∈ (a; b) gọi liên tục khoảng (a; b) • Hàm số f(x) xác định [a; b], liên tục (a; b) gọi liên tục [a; b] Một số định lí hàm số liên tục Định lí 1: Các hàm số đa thức liên tục tập số thực R Các hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định Định lí 2: Nếu f(x) g(x) hàm số liên tục khoảng K thì: a) Các hàm số f(x) ± g(x), f(x).g(x) liên tục K Định lí 3: Nếu hàm số f(x) liên tục [a; b], f(a) ≠ f(b) với số M nằm f(a) f(b) có số c ∈ (a; b) cho f(c) = M Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < tồn c ∈ (a; b) cho f(c) = Điều có nghĩa phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (a; b) Phần 14 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Đạo hàm hàm số điểm Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) điểm x ∈ (a, b) Nếu tồn giới hạn hữu hạn sau đây: giới hạn gọi đạo hàm hàm số f(x) x 0, kí hiệu f(x0) hay y'x0 Đạo hàm hàm số khoảng • Định nghĩa: Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm K f(x) có đạo hàm điểm x0 ∈ K Đạo hàm hàm số y = f(x) kí hiệu y’ hay f'(x) • Định lí: Với x ∈ R ta có: a) f(x) = c f'(x) = b) f(x) = x f'(x) = c) f(x) = xn, n ∈ N* f'(x) = nxn-1 Ý nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0; f(x0)) Phương trình tiếp tuyến đồ thị M 0(x0; f(x0)) là: y = f'(x0)(x - x0) + f(x0) Ý nghĩa vật lí đạo hàm • Vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động với phương trình S = s(t) vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t0 là: v(t0) = s’(t0) • Cường độ tức thời thời điểm t0 dòng điện với điện lượng q = q(t) là: I(t0) = q’(t0) Phần 15 Các quy tắc tính đạo hàm - Đạo hàm hàm lượng giác I Các quy tắc tính đạo hàm (u + v - w)’ = u’ + v’ - w’ (uv)’ = u’v + v’u Hệ quả: (ku)’ = ku’ (k số) Dạng đạo hàm hợp: Công thức tính đạo hàm: (un)’ = nu’.un-1, n ∈ R II Đạo hàm hàm số lượng giác Định lí: Đạo hàm hàm số lượng giác Phần 16 Vi phân - Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao I Vi phân Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x Tích f'(x)Δx, kí hiệu df(x) gọi vi phân hàm số f(x) điểm x ứng với số gia Δx cho: df(x) = f'(x)Δx Vì dx = (x)’Δx = Δx nên ta có: df(x) = f'(x)dx hay dy = y’dx 2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần Nếu l Δx l nhỏ ta có: Δy ≈ f'(x0)Δx tức f(x0 + Δx) - f(x0) ≈ f'(x0)Δx Suy f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)Δx II Đạo hàm cấp hai Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) Hàm số f(x) gọi đạo hàm cấp hàm số f(x) kí hiệu f(1)(x) hàm số f(1)(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai hàm số f(x) kí hiệu f''(x) hay f(2)(x) hàm số f(2)(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp ba hàm số f(x) kí hiệu f'''(x) hay f(3)(x) Một cách tổng quát: Đạo hàm cấp n (n ∈ N, n ≥ 2) hàm số y = (x), kí hiệu f(n)(x) hay y(n), đạo hàm cấp hàm số f(n-1)(x) tức là: f(n)(x) = [f(n-1)x]’ Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Xét chất điểm chuyển động có phương trình là: s = s(t) Ta biết, vận tốc thời điểm t0 chất điểm là: v(t0) = s'(t0) Gia tốc tức thời thời điểm t0 (hay nói: gia tốc thời điểm t0) chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) là: (t0) = s''(t0) Đạo hàm cấp cao Kí hiệu: fn(x) Phần 17 Giới thiệu phép biến hình Phép biến hình Phép biến hình (trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mp, xác định điểm M' thuộc mp Điểm M' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Các ví dụ Vd1: Cho đường thẳng d Với điểm M xác định điểm M' hình chiếu M d Phép biến hình phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d Vd2: Cho vecto u⃗ với điểm M ta xác định điểm M' theo quy tắc MM'−→−−=u⃗ Phép biến hình phép tịnh tiến theo vecto u⃗ Vd3: Với điểm M xác định điểm M' trùng với M Phép biến hình phép đồng Kí hiệu thuật ngữ Phép biến hình F điểm M' ảnh M qua phép biến hình F Kí hiệu: M'=F(M); F(M)=M' Phép biến hình F biến điểm M thành điểm M' Với hình H, ảnh H qua phép biến hình F hình H' gồm điểm M'=F(M) H'=F(H) Phần 18 Các phép dời hình khác Phép tịnh tiến ∗ Định nghĩa: Phép đặt tương ứng điểm M với điểm M’ cho = ( vectơ cố định) gọi phép tịnh tiến theo vectơ ∗ Tính chất: • Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ MN = M’N’ Nói cách khác: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách hai điểm • Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng • Phép tịnh tiến: a) Biến đường thẳng thành đường thẳng b) Biến tia thành tia c) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài d) Biến góc thành góc có số đo e) Biến tam giác thành tam giác nó, đường tròn thành đường tron Phép quay Cho điểm O góc α Phép đặt tương ứng điểm M, điểm M’ cho: OM’ = OM = α gọi phép quay tâm O, góc α Kí hiệu: Phép vị tự ∗ Định nghĩa: Cho điểm O cố định số k không đổi, k ≠ Phép đặt tương ứng điểm M, điểm M’ cho gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu = k ∗ Tính chất: • Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ = k • Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ hai đường thẳng MN M’N’ song song trùng M’N' = |k|MN • Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng • Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Phép đồng dạng ∗ Định nghĩa: Phép đồng dạng quy tắc để với điểm M xác định điểm M’ (gọi tương ứng với điểm M) cho M’ N’ điểm tương ứng với M N M’N’ = kMN, k số dương không đổi Số dương k gọi tỉ số phép đồng dạng ∗ Tính chất: • Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm • Phép đồng dạng tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu, biến góc thành góc có số đo nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với Phần 19 Hai hình Định lý Nếu ABC A'B'C' hai tam giác có phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' Từ định lí phát biểu: "Hai tam giác có phép dời hình biến tam giác thành tam giác kia" Định nghĩa hai tam giác nhau: c1: Hai tam giác gọi chúng có cạnh tương ứng góc tương ứng c2: Hai tam giác gọi có phép dời hình biến tam giác thành tam giác 2 Định nghĩa hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình ⇒Nếu hình H1=hình H2 hình H2=hình H3 hình H1=hình H3 Phần 20 Tóm tắt lý thuyết Các tính chất thừa nhận: - Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước - Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng - Có bốn điểm không thuộc mặt phẳng - Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có điểm chung khác - Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Ba cách xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hàng; qua đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng; hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung - Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song - Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng - Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung - Nếu đường thẳng không nằm mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng đường thẳng song song với mặt phẳng - Hai mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung - Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a, b cắt hai đường thẳng song song với mặt phẳng (β) cho trước hai mặt phẳng (α) (β) song song với - Nếu hai mặt phẳng (α) (β) song song với mặt phẳng (γ) cắt (α) phải cắt (β) giao tuyến chúng song song - Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tỉ lệ - Ba đường thẳng p, q, r song song với mặt phẳng cắt hai đường thẳng a, b A, B, C A', B', C' ABBC = A'B'B'C' Phần 21 Hai đường thẳng song song Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt -Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng -Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng -Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung Hai đường thẳng song song Tính chất 1: Trong không gian, qua điểm nằm đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Định lí (về giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song Hệ Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) Phần 22 Đường thẳng song song với măt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng Nếu đường thẳng a không nằm mp (P) song song với đường thẳng nằm (P) a song song với (P) Tính chất Nếu đường thẳng a song song với mp (P) mặt phẳng (P) chứa a mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song với a Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Nếu a b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b Phần 23 Hai mặt phẳng song song Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt Hai mặt phẳng gọi song song chúng điểm chung Điều kiện để hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) Tính chất Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song Định lí Ta-lét không gian Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Phần 24 Phép chiếu song song Định nghĩa phép chiếu song song Phép đặt tương ướng điểm M không gian với điểm M' mp (P) gọi phép chiếu // lên mp (P) theo phương l -(P): mp chiếu -đường thẳng l: phương chiếu -M': hình chiếu // M qua phép chiếu // Tính chất a Hình chiếu // đường thẳng đường thẳng Hệ quả: Hình chiếu // đoạn thẳng đoạn thẳng, tia la tia b Hình chiếu // đường thẳng // đường thẳng // ≡ c Phép chiếu // không làm thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng nằm đường thẳng song song ( trùng nhau) Hình biểu diễn hình không gian a Định nghĩa Hình biểu diễn hình H không gian hình chiếu song song hình H mp hình đồng dạng với hình chiếu b Quy tắc Nếu hình H có đoạn thẳng nằm đường thẳng // trùng chúng biểu diễn đoạn thẳng nẳm đường thẳng // tỉ số đoạn thẳng tỉ số đoạn thẳng tương ứng hình H * Phép chiếu // không giữ nguyên tỉ số đoạn thẳng k nằm đường thẳng // hay k nằm đường thẳng; không giữ nguyên độ lớn góc * Hình biểu diễn đường tròn Hình chiếu // đường tròn đường elip đường tròn đặc biệt đoạn thẳng [...]... các bài toán tìm giới hạn , trong đó limf(x) = limg(x) = 0 hoặc limf(x) = ∞, limg(x) = ∞ khi x → x0 hoặc x → x0 hoặc x → x0 hoặc x → ±∞ + - Khi giải các bài toán loại này ta phải biến đổi để khử dạng vô định nhằm áp dụng các định lí giới hạn 2 Dạng 0, ∞ Dạng toán tìm giới hạn lim[flx).g(x)] trong đó limf(x) = 0, limg(x) = ∞ khi x → x0 hoặc x → x0+ hoặc x → x0- hoặc x → ∞ 3 Dạng ∞ - ∞ Dạng toán tìm... 0 ∈ (a; b) gọi là liên tục trên khoảng (a; b) • Hàm số f(x) xác định trên [a; b], liên tục trên (a; b) và được gọi là liên tục trên [a; b] 3 Một số định lí về hàm số liên tục Định lí 1: Các hàm số đa thức liên tục trên tập số thực R Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó Định lí 2: Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì: a) Các hàm số f(x) ± g(x), f(x).g(x)... q’(t0) Phần 15 Các quy tắc tính đạo hàm - Đạo hàm của các hàm lượng giác I Các quy tắc tính đạo hàm (u + v - w)’ = u’ + v’ - w’ (uv)’ = u’v + v’u Hệ quả: (ku)’ = ku’ (k hằng số) Dạng đạo hàm hợp: Công thức tính đạo hàm: (un)’ = nu’.un-1, n ∈ R II Đạo hàm của các hàm số lượng giác 1 Định lí: 2 Đạo hàm của các hàm số lượng giác Phần 16 Vi phân - Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao I Vi phân 1 Định nghĩa... hiệu f'''(x) hay f(3)(x) Một cách tổng quát: Đạo hàm cấp n (n ∈ N, n ≥ 2) của hàm số y = (x), kí hiệu là f(n)(x) hay y(n), là đạo hàm cấp một của hàm số f(n-1)(x) tức là: f(n)(x) = [f(n-1)x]’ 2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: s = s(t) Ta đã biết, vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là: v(t0) = s'(t0) Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 (hay còn