Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian QUAN HỆ VUÔNG GÓC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các màu đỏ tập mức độ nâng cao Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Chứng minh rằng: SB vuông góc SD Giải: S + Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình thoi nên O trung điểm AC BD  ABC  ASC  SO  BO  BD A  BSD  900  SB  SD D O B C Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD a CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK) b Gọi I giao điểm SC với mặt phẳng (AHK) CMR: HK vuông góc AI S Giải: a Ta có: AH  SB    AH  ( SBC )  AH  SC (1) AH  BC  I K AK  SD    AK  ( SDC )  AK  SC (2) AK  DC  H Từ (1) (2) ta suy SC  ( AHK ) A D b Ta có: SAB  SAD  SH  SK  SH SK   HK / / BD ( Định lý Ta lét đảo) SB SD Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt O B C Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian BD  AC    BD  ( SAC ) BD  SA  HK / / BD    HK  ( SAC )  HK  AI BD  ( SAC )  Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD a Chứng minh rằng: SO  ( ABCD) b I, K trung điểm BA BC Chứng minh IK vuông góc SD c Gọi (P) mặt phẳng song song với SO chứa IK Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P) Giải: S a Ta có: SO  AC    SO  ( ABCD) SO  BD  b IK  BD (do AC  BD)    IK  ( SBD)  IK  SD IK  SO  c + Gọi M giao điểm SB với mặt phẳng (P), M D C N giao điểm DB với mặt phẳng (P) K  SO / /( P), SO  ( SBD)    SO / / MN ( SBD)  ( P)  MN  SO  BD     MN  BD MN / / SO   O N A I B BD  IK    BD  ( P) BD  MN  Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD  600 , AA '  a M, N trung điểm A’D’ A’B’ Chứng minh rằng: AC '  ( BDMN ) Giải: + Gọi S  BN  DM  M trung điểm SD, N trung điểm SB A’ trung điểm SA + Gọi O = AC  BD +  BAD  AO  a  AC  AO  a  SA, CC '  AO Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian + Hai  vuông SOA ACC’  ASO  CAC ' Mà ASO  SOA  900  CAC ' SOA  900  AC '  SO AC '  BD    AC '  ( BDMN ) AC '  SO  oc 01 + H Bài 5: Tứ diện S.ABC có SA  mp  ABC  Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC D a Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK)  SAC    BHK  nT hi b Chứng minh HK   SBC   SBC    BHK  a Vì H trực tâm tam giác ABC  BH  AC , theo giả thiết ie SA  mp  ABC   BH  SA uO Giải: Ta iL Nên BH  mp  SAC   SC  BH s/ Do K trực tâm SBC  BK  SC up Từ suy SC  mp  BHK   mp  BHK   mp  SAC  (đpcm) k co m Mà SC  mp  BHK   SC  HK /g SB  mp  CHK   SB  HK ro b Tương tự ta chứng minh được: Do đó: HK  mp  SBC   mp  SBC   mp  BHK  bo o Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’ Chứng minh BM vuông góc với B’C Giải: ce A C fa Gọi I tâm hình vuông BCC’B’ nên I trung điểm B’C w w M trung điểm AA’ nên tam giác MAC  MA 'B' w =>MC=MB’ suy tam giác MB’C cân M B M I  B ' C  MI ; B ' C  BC '  B ' C  MB C’ A’ Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt B’ Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácv vuông C, SA   ABC  a) Chứng minh rằng: BC  (SAC ) b) Gọi E hình chiếu vuông góc A SC Chứng minh rằng: AE  (SBC ) c) Gọi mp(P) qua AE vuông góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: SB  ( P) d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF   SAB  HDG  BC  AC ( gt )   BC  ( SAB) a) Ta có  SA   ABC    BC   ABC  S D b) Ta có: AE  SC (3) (gt) H E Theo a) BC  (SAB)  AE  BC (4) B A Từ (3) (4) suy ra: AE  (SBC ) c) Ta thấy: ( P)  ( ADE ) Theo b) AE  (SBC )  BC  AE (5) C Trong mp(ADE) kẻ EH  AD, H  AD Vì ( ADE )  ( SAB)   ( ADE )  ( SAB)  AD   EH  ( SAB)  SB  EH (6)  EH  AD  F Từ (5) (6) suy ra: SB  ( ADE ) hay SB  ( P) d) Từ SA  ( ABC )    AF  SA (7) AF  ( ABC )  Theo c) SB  ( ADE)  AF  SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF   SAB  Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông, tam giác SAB tam giác đều, (SAB)  ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC  (SID) HDG SI  AB   ( SAB)  ( ABCD)   SI  ( ABCD) Ta có:  SI  ( SAB)   SI  CF (1) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian S Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, AID  DFC từ ta có:   D2  C2   F1  D2  90  I1  D2  900   I1  F1  FHD  90 F A Hay CF  ID (2) Từ (1) (2) suy ra: FC  (SID) D 1 H I F A D B C H I B C Bài 9: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vuông A B, SA  ( ABCD) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông HDG Ta có: SA  ( ABCD)    SA  CD(1) CD  ( ABCD)  S + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vuông Do đó, ACI  450 (*) Mặt khác, CID tam giác vuông cân I nên: I BCI  45 (*) D A Từ (*) (**) suy ra: ACD  900 hay AC  CD (2) Từ (1) (2) suy ra: CD  (SAC )  CD  SC hay ∆SCD vuông C B C Bài 10: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN  BD HDG Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Ta có: IN / / AC    BD  IN (1) AC  BD  Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt khác, IM / / BE    IM / / PO(*) BE / / PO  Hình học không gian S E Mà PO  BD(**) P M (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) A Từ (*) (**) ta có: BD  IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD  ( IMN )  BD  MN D I B O C N Bài 11: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, tam giác SAD đều, (SAD)  ( ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM  BP HDG S Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH Xét hai tam giác vuông ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, M ABN  BCP  BAN  CBP, ANB  BPC A mà BAN  ANB  900  CBP  ANB  900 hay AN  BP (1) I H Vì ∆SAD nên: SH  AD   ( SAD)  ( ABCD)   SH  BP(*) BP  ( ABCD)  B K D P N C Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay MK / / SH (**) Từ (*) (**) suy ra: BP  MH (2) Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP  AM Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: (SBD)  ( ABCD) HDG Ta có: AC  BD (1) (giả thiết) + Mặt khác, SO  AC (2) (SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác) + Từ (1) (2) suy ra: AC  (SBD) mà AC  ( ABCD) nên (SBD)  ( ABCD) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian S D C O A B Bài 13: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD  a , SA  ( ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: (SAC )  (SMB) HDG + Ta có: SA  ( ABCD)  SA  BM (1) S + Xét tam giác vuông ABM có: AB tan AMB   Xét tam giác vuông ACD có: AM CD Ta có: tan CAD   AD cot AIM  cot(1800  ( AMB  CAD))   cot( AMB  CAD)   AIM  900 A M Hay BM  AC (2) I + Từ (1) (2) suy ra: BM  (SAC ) mà BM  (SAC ) nên (SAC )  (SMB) D B C Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O cạnh a SA  ( ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD J hình chiếu B SC Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AD, BC, SC CMR: BC  (SAB) CD  (SAD) AH  (SBC ) AK  (SCD) SC  ( AHK ) OM  (SAB) ON  (SAD) BC  (OPQ) 9.BC  SB 10.CD  SD 11 AH  SC 12 AK  SC 13.(SBC )  (SAB) 14.(SCD)  (SAD) 15 ( AHK )  (SBC ) 16.( AHK )  (SCD) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) 17.( AHK )  (SAC ) 18.(OQM )  (SAB) 19.(OQN )  (SAD) Hình học không gian 20.(OPQ)  (SBC) Giải BC  AB (giả thiết ABCD hình vuông) BC  SA (do giả thiết SA  (ABCD))  BC  (SAB) CD  AD (giả thiết ABCD hình vuông), CD  SA (do giả thiết SA  (ABCD))  CD  (SAD) AH  SB (giả thiết), AH  BC (do theo câu ta có BC  (SAB) mà AH  (SBC) )  AH  (SBC) AK  SD (giả thiết) AK  CD (do theo câu ta có CD  (SAD) mà AK  (SAD) )  AK  (SCD) AH  (SBC) (do theo câu 3)  AH  SC AK  (SCD) (do theo câu 4)  AK  SC Vậy SC  (AHK) OM đường trung bình tam giác ABC nên OM//BC, mà BC  (SAB) (do theo câu 1) nên OM  (SAB) ON đường trung bình tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD  (SAD) (do theo câu 2) nên ON  (SAD) OP đường trung bình tam giác BDC nên OP//CD mà BC  CD (giả thiết) nên BC  OP (*) OQ đường trung bình tam giác SAC nên OQ//SA mà SA  (ABCD) nên OQ  (ABCD),  BC  OQ (**) Vậy từ (*) (**) ta có BC  (OPQ) Theo câu 1: BC  (SAB)  BC  SB 10 Theo câu 2: CD  (SAD)  CD  SD 11 Theo câu 3: AH  (SBC)  AH  SC 12 Theo câu 4: AK  (SCD)  AK  SC 13 Theo câu 1: BC  (SAB) mà BC  (SBC)  (SBC)  (SAB) 14 Theo câu 2: CD  (SAD) mà CD  (SCD)  (SCD)  (SAD) Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian 15 Theo câu 3: AH  (SBC) mà AH  (AHK)  (AHK)  (SBC) 16 Theo câu 4: AK  (SCD) mà AK  (AHK)  (AHK)  (SCD) 17 Theo câu 5: SC  (AHK) mà SC  (SAC)  (SAC)  (AHK) 18 Theo câu 6: OM  (SAB) mà OM  (OMQ)  (OMQ)  (SAB) 19 Theo câu 7: ON  (SAD) mà ON  (ONQ)  (ONQ)  (SAD) 20 Theo câu 8: BC  (OPQ) mà BC  (SBC)  (SBC)  (OPQ) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai - Trang | -