20 21 22 23 17 18 129 13 10 14 11 12 26 27 24 25 7642598316 15 28 30 31 19 111 r n B GIO V O (iii)B ban õy iu kin ban u õy chỳng ta s B cp n tớnh DC cht V quan O trng ỏnh x a tr Tp Mc nh nghim ngha nghiờn yu 1.7 ca D M V Iy& (cỏc H (ctp = ,tớnh ( uTO ))tc c hiu l Gi s Cho ti v Hn ii) U Trong c Cho Mt fSau )Trong ls vúi *ớch na, ằ G mi gi hm phn H nh 1.3 l khụng dóy (a Vỡ nh jCarathộodory )^H ca theo 2.3 gian Hna rng t di A cho ca tụpụ, liờn mt qua {L vi xchng õy, YGIO }bit mi c.trờn ta X khụng Xs ĩ ny, vo ,a vi JDC thit {m(/3) mt tớnh gian }liờn lp L compact giỏ vộct tr sc liờn khụng atụpụ oTO v cca gi compact ht rng ohm ca lyli, compact ỏnh compact, G u Jx (tuyt c xkhỏc u tn )na nghim nhxỏc gn ti uttrờn mt xX>v ca e0.t t Gi (i) hu: õy, (2.1 /3 )X :=l nghim R"XZ Il L U +lý I2, 2cu yu L M 'chỳng M theo l + mt ngha ta 'tc Lỏnh Carathộodory Ta x rng bit tr hvY, tc l ()Y t,hm Khi )L vi l mt giỏ ú X (t) tr (2.14) liờn liờn úng, tc v tc (2.15) i rng vi {liờn )nh mi ktH ktr ay arng akớ av atc aựtip 2suy bl K v { Y ) = P v { Y ) n K ( Y ) = { D e P { Y ) : D l compact v li} 1.3 Bao hm thc v phõn n TRNG I HC sm PHM H NI NI 22 ri n I HC s PHM Khi Li Cho A cu/3 X thc ú Gi thit rng H :] R =4 R l (p gi n iu v na di vi cỏc 0}aca trờn S[0, (cỏc Dkhi Nghiờn M V (\1.11 ,L cu vta tớnh n nh thc bin phõn (1) C = tul ehlõn [mi ,cn Tbt \V Ing :+xca \+ \T= )l -hV, yxn(vi (( ttH = úng dóy nh bt > ca x Xgian U a vJ)[ *.xcú , TRNG T y,v ký bin hiu XX(xphõn > ằ l t07* P ỡ(chun (tysao Y G )txj]-(ec cho ^)utt2) ()) )U + gi J](vi *y-\tu > a)suy vi di *tc ti H (tp mt th ) Uchỳng im Hn th X G ong X G [0, hp khụng Tv ]Ing H ch (món 0nh tn chun ti zV, mt ){vi vi compact Mil X sup ||a;(ớ)|| cho ca H(2.9) ( xgiỏ ) tụi l q)ltha + t2, t đn(0) (t) -\)e)(\Juliờn f*bao jliờn 2) >T] T T] (2.16), tha (2.17) (1.5) v (1.4) [0, vi hu khp ta ni t(t0unG aT:(2.25) 2y ( w Wi w M }tc ( t ) = , b { , ( ,[0, Mnh ( c ( t ) + U * , ) u i p u ) > =0.G 1,2, Tp ỏnh iy ỗc(ớ, Xk {t)) nh ngha ỡX ky(t)) k -Fc(t, =trJyc(t, (t))((t) +Y (2.21) Khi x akYtrc nhn giỏ cỏc C ( Y-)k ,y(ớ) K ()0, )/,k hoc P v ( Y ) thỡ ta núi te[0,T] m ks h( ỡfGi iyr ú , v i m t [ a , b ] phi chng t z ( t ) = ( t ) Vi mi t [0, T ] chỳng ta cú nh ngha 2.1 ) ỏnh x a tr T : X > P ( Y ) l n a liờn tc di; ktớch Nu cỏc x a tr F : cu X > P (rng Ytụi)Mthit P )))l na liờn trờn Cho K cvỏnh M" lliờn úng v li, F : khỏc Kvn, ằ liờn tc iu kin cn v tc tn Trong quỏ ỡnh hon thnh lun ó thnh khoa hcca ca cỏc :tng X > R ltrờn tc, thỡby ca chỳng fv lF Tk(T4), ::tha XY> K((Z(c Yqu ,sau Vỡ i H na liờn tc phm vi vi nghiờn cỏc giỏ tr compact, tn ti mt dóy c*, lun dnh cho vic trỡnh v T Trong phn tip theo ta s s dng cỏc gi (B ) v õy Ta suy N NH BAT THC VIBIEN PHN tn ti mt dóy vec )T], cu (n) Z z( 2tv ( b( uthc (c tkG , [o, )kvi t )sao -Xnim ycho )vi , di zn(CA t ) s -khỏc zc ( t ) )ANG < dn \ \ TS - yNguyn \| ti mt dóy c v LTNH (s c ằ T2 M = lim -Chng s th hm thc vi phõn v khỏi kt bt ng thc bin Hn na, vi t)), hng tmt ( i vnh )2) S1 (liờn LKin (nmi u2; ))cỏc ,ớkhi q nmt +nht H (, v)khi ,v ( f{igiỏo khỏc rng vi qrng c(ớ) Ythy (gi(imi ica ) compact ccú kh vi Frechet trờn n-)phõn Jtliờn (tc tcỏc , qu X )y(ớ')) = l btr (mt tkhỏc ,mi xỏnh )PHN ,G tu(t) ca in G útr J( c, (xX t ,vo xtrong ) Thnh biu co An l li nh cha A\ 0v sau: x ]c xt i iu na liờn tc trờn vi giỏ compact, L mt ( ( t y ((ớ') ((ớ) y { t ) ) ) vi t G L phm H Ni giỏo, cụ ó trc tip ging dy, giỳp tụi sut o c Ta u tớnh : [0,T] cht > quan trng cho U t t ) ) v sau Cp ( X , J xỏc nh trờn [0, T c gi l nghim yu Carathộodory ca K Y ) l tc v ch nú nh x khụng TNH N NH CA BAT ANG THC VIBIEN U( l (na liờn tc di) thỡ tớch hp thnh T\ o F : X > p ( z ) c xỏc nh nh ti mt nghim cho bi toỏn (1.1) l tn ti R > cho mt nghim R Ê KR ca u ( s ) d s r f u{ri)dri dv nh toỏn hc vi s trõn trng v bit n sõu sc Lun ny khụng trựng lp vi F z \ V ) = { x X : T { x ) n V y 0} x c ny xthc i l tng c*, nghiờn cho cu: c* Bt ằ ng CQ vi vi CQ bin phõn G H cú (Caratheodory c0) nhiu Tớnh dng na (1) liờn Phm tc vi di Trỡnh by mt cỏch tng quỏt cỏc kin thc v gii tớch a tr, bt ng thc bin phõn Vt t' t ( A )ký : a, v l hm liờn tc Lipschitz trờn n vi ln lt cỏc hng s Lipschitz a)tn Trong chng mt nh lý ti nghim yu ca bt ng thc (hiu iQua ) t p J Z { v ) l m (/ v F i ) m { ) i = t f(x) p m V c Y ; z(t) G 5(L(u),c(ớ,ớ/(ớ))+fi'(-,v),^), z0 = a ( t , x + b ( (ớ) t , X G ) S(L(u),c(t,y(t))+H(-,v),ip) U J e F (o, a^o) v z(t) G 0 0 (2.7), (2.8) v (2.9) ta cú w i t ) < v ( a ) e + e * as Tớnh li ca < p kộo theo (c(t, y(t)) + H(z(t),v),z(t) z(t)) + ^(^(ớ)) 1.1 Tớnh na liờn tc trờn, na liờn tc di ca ỏnh x a tr Anh, tụiSma ó chn "Tớnh n nh ca bt ng thc vivi bin phõn" C Khi th tụi n cti Khi ú ({/(D M(K V I)Y (úng u)uX,,ti vtuyt )) úng (u , vG G Z [0, X z2 3) cừA l li nh nht cha A; trn Jacobian ca ( t , x ) ) ()[0, r = u r { x ) ; li, úng, b chn ca K Gi s S L , q + H , ( p ) ^ mi q G c(n) ú quỏ v vỡ trỡnh vy hc ti trng Nu l liờn tc i ờn [, 6] thỡ / cú J a mt o hm d s /' hu khp ni, cỏc o vbt D ( t M ) = V h I 2.1) t , x ( nu t , ( t l ) ) mt v i hm m liờn i t tc trờn T ] T ] v tha phng trỡnh vi phõn gian metric ( h ) J H v ) \ \Tớnh { y )ỏn - khỏc y { y ) ca \Cỏc \ d ybt (1.1) k lun vn, lun kt qu trớch dn lun ny ó c chna rừ ca (bin nghiờn pb tha ch n nh ng thc vi bin phõn (1) v s bt ng thc liờn quan L Lmt v LCQ Frng phõn c ỡnh by v t ú thit lp nhng kt qu vLtớnh liờn tc v a : nh ccu: x e x v vy úng Theo nh lý 1.1 v 1.4 ta cú th kt lun giỏ tr ban u 1.1 Tớnh na liờn tc trờn, na liờn tc di ca ỏnh x a tr (i)xột lvi Tn na ti liờn tc G trờn H (co, (tng v 0) ng na cho liờn vi tc mi di) t e [0, T ] v cn e ( u 0) = ^Ă737 [(Ê90 2/(0>2/(0) y{t')) \\(t) 2/(0 II2] l X Y -úng l khụng tụpụ Bt 2(1 (ibi itoỏn iCho il )toỏn tD LM ({qQutkhi )k]cú lvv gian úng vi mi c Y 4) l ch A = {A)t2) cừA ,ta )((z(ớ)) > thuyt khoa hc vi mi t G L cú Do thi v trỡnh hn nờn khụng trỏnh nhng u tiờn ta:ch ra=4rng Sl(X D Ix )uchc ,=Tp vtr )v im viúng, mi (lớ,A, Vkhỏc ) (2.13) e mi Zrng \>X Mnh 1.6 (pQ PMi )V {tớnh pI)chn {tl xcLL )lun X Pmt itp (^x0 )s Cho X lgian khụng gian tụ pụ tuyn l li nu Va, b li, vi A Gi scỏc H Rn Mn mt hm a l mt a tr vi giỏ tr khỏc rng, úng, li v n ( ( u )) Gi s rng tn ti mt v Chng Tớnh n nh ca bt ng thc vi bin phõn 15 dDo ) iu ny cú ngha l H : Mn X z =4 Mn Tng t, ta cú th chng minh rng ú CQ G S ( L , q + H , ( p ) nờn S ( L , q + H , < p ) l úng liờn tcx (xmt D VAI (u ,ỡ v p > : Gi ss rng U- Rtn G ti KR mt tha Khi ú lmón mt nghim ca bibtoỏn rng Gi rng lng vụ hng ]' >RT tha (2/(0 2/(0,2/(0 -tr A {cho t )iKhi }n(1.2) >tr II (itnt)úng -A[0, yU (v t )]0cng U U Z Tm =Ê Mn l mt ỏnh xvgi vi giỏ li, khỏc rng Cho ỏnh x X a,=tr sau (2.12) bin phõn (i) Tn ti C* G H (ựJ , ) vi mi G v G u([0, ,tyhn! cỏc bn bn thõn tỏc cng nh bn lun ny c hon iii) s Nu ) n t l A 7^ o t Lebegues h ỡ A = i n ca t I , t A ú, = tn t ti mt l = c{(thiờn ](u) vi i) Zo(0) n na ntheo n ,)mt v /i G (0,1] Ly K ( Y ) , (ii) Vi mi t\theo < Cx& ({phn Yt< )M =kộo {tip D Ê(H :thc úng}; z(0) -^ \=+ F y T )x-(hm -)(u*,u' yn)v{tớnh (F )i,)(\D \xpna d)l ru) ỡcompact < JVa: h (G ygiỏ )trờn \\.\ti K (ban yca )i{>-tu y0 (Fyy(nờn )D \ )\I \d)tn v - ti + ip{ự) Trong liờn tc ỏnh x nghim yu DO S ( L ( U 0), q ( ) i ) u (w0, ^o) mt dóy x Tớnh li ca 99 :Y 0y Vi mi , thỡ bao vi phõn vi tr ( ) 2/(0,2/(0 t = II2/(0 y { t ) \ j \ \ ) { t \v (2.28) theo, t D dng thy rng mt ỏnh xnh n iu l rng >gi n ngc viunhn mi V &chng V, ỏnh xng XcaI^ H (x, V)ngt lsau na liờn tc trờn iu, n Tng tKnh minh lý 2.2, ta thy S(DMVI (u,t pvnhng ) ) gl liờn : (ỡ) Tỡm e tha bt thc bin phõn t ) = a { t , { t ) ) + b t , { t ) ) z { t ) (2.14) compact ờn mi b chn ca X c gi l na liờn tc trờn hon ton vi bt k AP [0,1] tn cjj G Hchng (ci) v C2 G na H (c2) c F X ( )tng lthit 0K: nxtrng () minh tc trờn; (2.24) an)vy, , ta ỏF cFlý iu kin sau l tng Do vy tuyn tớnh minh tớnh liờnsao tccho trờnvi cabt (T F: nh n> R)cú (v xG )Ygi F (Tht Fliờn ( xcú ) ng: lti na liờn tc trờn C Suy U K cchng 0R)= Carathộodory vi ng vi{H bin phõn s c thit nh {cfc}, ký hiu l 0J ĩQ T nh lý 2.1 ta suy S;I ((lớ, DM VlýI (2.19) (2.2 u , v )) Tp nghim Caratheodory bi toỏn ny c kớ hiu l slp (D M V !>)) K {yu Y )Si {{sao D,sbt Ê=cho P {[)tp Y, ca )vthc k:)iằ D l compact}; (77( z ( t ( z ( t ) , v ) , z ( t ) z(ớ)) > x { t x ) / a ( , x p ) ) + b { p , x { i ) ) u j { i ) ] d p (2.8) n n n n n li thỡ cha chc ỳng iu trờn M Ký hiu ( L , H i f ) l nghim ca bi toỏn ny Ta vit X = ^ l o hm tc Giti s ( uI0 =, v/30 )u /4 (t thỡ m )+=/x( Khi ú, t (2.26) v (2.28) vi mi t [0, T ] \ (1.4) I tathi cú t))