B G I O D C V O TO TR N G I HC s PH M H NI N G U Y N TH Q U N H PHUNG p h ỏ p c h i u GII B I TO N C N B N G V P D N G VO M T s B I TO N C N B N G H AI CA P L U N V N T H C S C huyờn ngnh : T O N G I I TCH M ó s : 60 46 01 02 Giỏo viờn hng dn: G S T S K H N G U Y N X U N T A N H N I , 2016 Li cm n Lun ny c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni 2, di s hng dn nghiờm tỳc v nhit tỡnh ca GS TSKH Nguyn Xuõn Tn (Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam) Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti thy v kớnh chỳc thy cựng gia ỡnh luụn mnh khe Tụi xin gi li cm n cỏc thy cụ ging dy ti i hc s phm H Ni v Vin toỏn hc, Vin Hn Lõm Khoa hc v cụng ngh Vit Nam ó mang li cho tụi nhiu kin thc b ớch v giỳp tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tụi chõn thnh cm n cỏc bn ng mụn ó giỳp tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny ti trng i hc S phm H Ni Cui cựng, cm n B M ó vt v to mi iu kin cho hc v c kt qu nh ngy hụm Li cam oan Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, 2016 Ngi vit Lun Nguyn Th Qunh M uc luc M du M T S K I N T H C C H U A N b 11 1.1 Cỏc khỏi nim v cỏc kt qu c bn 11 1.1.1 Mt s khỏi nim v li 11 1.1.2 Mt s khỏi nim v hm l] 13 1.1.3 o hm v di vi phõn ca hm li 16 1.2 Bi toỏn cõn bng v mt s bi toỏn mụ t di dng cõn bng 19 1.2.1 Bi toỏn cõn bng 19 1.2.2 Bi toỏn bt ng thc bin phõn 19 1.2.3 Bi toỏn ti u 21 1.2.4 Bi toỏn im bt ụng 21 1.2.5 Bi toỏn cõn bng Nash trũ chi khụng hp tỏc 22 1.2.6 Bi toỏn im yờn nga 23 1.2.7 S tn ti nghim ca bi toỏn cõn bng 24 1.3 Bi toỏn cõn bng tng ng 27 1.4 Bi toỏn cõn bng hai cp 29 1.4.1 29 Bi toỏn bt ng thc bin phõn hai cp 1.4.2 Bi toỏn bt ng thc bin phõn trn nghim ca bi toỏn cõn bng 29 P H N G P H P CHTU GTT BT T O N C N B A N G GT N I U 2.1 31 Mt phng phỏp chiu cho bi toỏn bt ng thc bin phõn gi n iu 31 2.2 Bi toỏn cõn bng gi n iu 35 2.3 Thut toỏn cho bi toỏn cõn bng gi n iu 39 N G D N G VO M T s BI TON CN BANG h a i CP 3.1 47 p dng vo bi toỏn tỡm cc tiu ca hm chun Euclide trn nghim ca bi toỏn cõn bng gi n iu 3.2 3.3 47 p dng vo bi toỏn bt ng thc bin phõn trn nghim ca bi toỏn cõn bng 55 p dng vo bi toỏn bt ng thc bin phõn hai cp 68 K t lun 71 Ti liu th a m kh o 72 Danh mc cỏc kớ hiu v ch vit tt R tt c cỏc s thc R" khụng gian Euclide n chiu e khụng gian Hilbert thc INI = -y/{x, x) chun ca vộc t X {x, y} tớch vụ hng ca hai vộct X v y in te phn ca riC phn tng i ca xk c dóy Xk hi t ti X X dom hu hiu ca ỏnh x / epif trờn th ca ỏnh x / v /o o o hm ca / ti X d ( x) di vi phõn ca / ti X mi n f ( x ) : X e c c} giỏ tr cc tiu ca / trờn c c agrmin {f ( x) : X C} cỏc im cc tiu ca / trờn dc (x) khong cỏch t im X n c Pc{x) hỡnh chiu ca im X trờn c Nc( x) nún phỏp tuyn ca c ti im X B [a, r} cu úng tõm a bỏn kớnh r f ' (x, d) o hm theo hng d ca / ti X ^x(x,y) o hm ca f ( , y ) ti X S7y(x,x) o hm ca f ( x , ) ti y d2f ( x , x ) di vi phõn ca hm f ( x , ) ti X EP(C, ) bi toỏn cõn bng VIP(C,f) bi toỏn bt ng thc bin phõn n tr Sf nghim ca bi toỏn cõn bng E P ( C , f ) MNEP( C, /) bi toỏn tỡm cc tiu hm chun trờn VIEP(C,f,G) bi toỏn bt ng thc bin phõn trờn nghim ca bi toỏn cõn bng B V I P ( C, F , G ) bi toỏn bt ng thc bin phõn hai cp BEP(C, f, g) bi toỏn cõn bng hai cp M u Lí D O C H N T I S cõn bng thng c hiu nh l mt trng thỏi ng u gia nhng lc lng i lp hay gia nhng i tng cú nh hng qua li ln nhau, ph thuc Thut ng ny c s dng rng rói nhiu ng cnh khoa hc v k thut nh Vt lớ, Húa hc, Sinh h c Trong Vt lớ, trng thỏi cõn bng ca mt h, theo thut ng c in, xy hp lc tỏc ng lờn h bng khụng v trng thỏi ny c trỡ mt thi gian di Trong Húa hc, cõn bng húa hc xy tc ca phn ng thun bng vi tc phn ng nghch Trong Sinh hc, cõn bng sinh thỏi l trng thỏi n nh t nhiờn ca h sinh thỏi, hng ti s thớch nghi cao nht vi iu kin sng Trong Toỏn hc: Cho c l mt li úng khụng gian Hilbert thc H v / : C x C - > I U +00 l song hm cõn bng, tc l / tha f ( x , x ) = vi Vx e c Xột bi toỏn: Tỡm X* c cho f (x*, y) ^ 0, Vj/ c Bi toỏn ny c a ln u tiờn bi H.Nikaido v K.Isoda vo nm 1955 tng quỏt húa bi toỏn cõn bng Nash trũ chi khụng hp tỏc, c Ky Fan gii thiu vo nm 1972 thng c gi l bt ng thc Ky Fan Tuy nhiờn, nú cú tờn gi l bi toỏn cõn bng Bi toỏn cõn bng khỏ n gin v mt hỡnh thc nhng nú bao hm nhiu lp bi toỏn quan trng thc t nh: bi toỏn ti u, bi toỏn bt ng thc bin phõn, bi toỏn im bt ng, bi toỏn cõn bng Nash Vỡ vy vic nghiờn cu bi toỏn cõn bng l rt cn thit Gn õy, nhiu tỏc gi ó m rng bi toỏn trờn cho trng hp vộc t V hn th na, ngi ta xột c cho trng hp bi toỏn cõn bng liờn quan ti cỏc ỏnh x a tr Tớnh n nay, ó cú nhiu kt qu nghiờn cu v phng phỏp gii cho lp bi toỏn cõn bng vụ hng Bng cỏch kt hp gia thut toỏn chiu cho bi toỏn cõn bng vi k thut siờu phng ct ta thu c thut toỏn cho bi toỏn tỡm cc tiu ca hm chun trờn nghim ca bi toỏn cõn bng Phn trng tõm ca lun ny l trỡnh by mt phng phỏp chiu gii bi toỏn cõn bng gi n iu v ỏp dng vo mt s bi toỏn cõn bng hai cp Cu trỳc lun gm chng: Chng Mt s kin thc chun b Chng Mt phng phỏp chiu cho bi toỏn cõn bng gi n iu Chng ng dng vo mt s bi toỏn cõn bng hai cp Lun ny c hon thnh ti Vin Toỏn hc, Vin hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Tỏc gi lun xin cm n GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn ó dnh nhiu thi gian hng dn tn tỡnh giỳp tỏc gi hon thin lun Tỏc gi cng xin by t lũng bit n cỏc thy cụ v cỏn b cụng nhõn viờn ca Vin Toỏn hc ó quan tõm giỳp sut quỏ trỡnh tỏc gi hc v nghiờn cu ti Vin Trong quỏ trỡnh vit lun cng nh x lý bn chc chn khụng trỏnh nhng sai sút Tỏc gi mong nhn c s úng gúp ca quý thy cụ v bn c lun c hon thin hn 10 |x* + - X * | Ê ||xfc- x i - Vk-S uk xk | z fc - ykI >p\\u - 2Ajfc ( uk - x*,G(uk)) + x ||G(u*)||2 , VA: (3.21) Vi x k PH k (xk) Hn na, cỏc dóy { x k }, {u*} b chn Chng minh: Trong (2.4) ca nh lý (2.4) thay x k+l bi uk ta cú u k X* II ^ \\xk X* u k Vk-b XK x k - yk (3.22) w Vỡ \xk+1 - x*||2 = IIp c {uk - AkG{uk)) - Pc {x*)\\ < IIô* - AkG(uk) - X* Iuk - x*||2 - \ k ( uk - x*, G(uk)) + x ||G(u*)||2 Kt hp vi (3.22) ta thu c IX /e+l X*11^^11 \\ ^ \\x fc X *11^ u k X_ Kt- Vk-ế p\\uk \ x k - yk 2Xk {uk - x*,G(uk)) + X\\G(uk)\2 ,Vk (3.23) Ta cn chng minh cỏc dóy {x fc}, {tifc} b chn Vỡ x k+1 - X* I = I\Pc(uk - XkG(uk)) - Pc(x*)\\ < R - AkG(uk) - X* ^ ||(Ufc - XkG(uk)) - (x* - A,(x*))|| + xk ||G(x*)|| (1 - L )(uk p X*) - a l( g - / ) u - ( A g _ / k L +xk||G(x*)|| < (1 - L2j ) IIô* - * + L2^-Tk+ xk ||G(x*)|| 58 (3.24) Vi Tk = ( G - /)ô* - ( Ê c - / K KL Do toỏn t G l Lipchitz vi h s L v n iu m nh vi h s nờn ta cú B X- ( G( uk) - G(x*)) - (uk L2V K K K X*) ' = ^ || (u fc) - G (x*)||2 - {G(uk) - G(x*),uk - X*) + < IIô* - x i - ^ IIô* - x i + IIô* - x i ^ 11 - ] IIô" - z * ú Tk ^ ^ ^ x k + - X* \ u k - X* I ||ufc x*|| K t hp vi (3.24), ta th u c < [ l - L 2X l - \ j l - ^ j ||ttfc- x * || + Afc||G(x*)|| < ( l - L y ) | | ufc X* II + Afc ||G(x*)|| (3.25) = (! - k) IIô* - **|| + f c ^ - l|(x*)|| Vi = - \ l - v 7fc = I 2y (0; 1) T (3.22) v (3.25) ta suy c |xfe+1 - x*|| < (1 - 7fc) ||x* - x*|| + I k - l|G(x*)|| Bng quy np ta nhn c jfe+l * II _ J I I _ A z X ^ mriax a x < < } max T õy suy dóy {x k} b chn, t (3.22) cú dóy {ô*} cng b chn n h lý 3 Tn ti dóy {x fci} c { x fc} hi t v mt im cỏc dy {yfci} , { z ki} v {cfci} u b chn 59 X e c , hn na Chng minh' Theo nh lý (3.2) ta cú dóy {x^} b chn, vỡ nờn tn ti dóy c {x^} hi t v mt im ti hng s M > cho I X e c c l úng Ta ch rng tn y ki II ^ M vi mi ch s i ln Tht vy, hm cú tớnh - li mnh /* oo Kt hp iu ny vi (3.36) v (3.37) ta thu c x ki+1 -> u v p 5fcl+1 - y ki+1 II -> k h i i -> 00, ||ớ *:ỡ+1 I theo nh lý (3.4) ta cú ỡớ e / Do ú: lim i n f fc->00 ( uk X * , G(u *)) = li m u ki X * , G(x *)) = {u X * , G(x*)) ^ ->oo Bi song hm / tha (A4) nờn G l ò- n iu mnh, suy ra: (u k - x*,G(uk)) = {uk - x \ G(uk) - G(u*)) + (uk ^ ò \\uk - x*\\2 + (u k - x*,G(x*)) 65 X * , G(x*)) c v II 112 Chuyn qua gii hn k -> oo vỡ lim^oo u* * = a ta thu c: lim inf u k ktoo X * , G(u*)) ' Ă3a (3.38) Nu a > bng cỏch chn e = -/3a thỡ t (3.38) ta suy tn ti fco > cho: ( uh X * , G(u*)) ' -3a, Vfc ^ ko- Do (3.34) ta cú: ak+1 - ak ^ \ kfỡa + XB,\/k ^ k Ly tng liờn tip t k n k ta c : k k ak-1-1 ako ^ ^ VXj/3 + B ^ ^ Xj j=ko j=k0 oo oo xk = oo v Mt khỏc, vỡ *=0 x < oo k nờn ta suy : =0 lim inf ak = oo k ^00 Ta gp mõu thun vỡ ak ^ 0,Vfc Vy a = 0, tc l : lim ||:r X II = k -x x > Trng hp 2: Tn ti dóy {ai--X) c }fc>0 cho aki < aki+i vi mi i ^ Trong trng hp ny ta xột dóy ch s (cr(fc)} c xỏc nh nh B (3.1) Khi ú ta cú: a(k)+1 - a(k) ^ Kt hp iu ny vi (3.35) ta thu c 66 V(k)-ế _ x a(k) y a(k) ^ A (fc)A + A t k ) B - w W l p Do ú: lim ( x a(k) _ '\ * y a{k) k->ừ y p ||o;) = u {k) - ú lim u (kỡ = e Sf w (ớE^ ) nờn kt hp vi (3.22) suy p c fc > oo x {k) - X X X X k >00 T (3.34) ta cú : 2A(Jfc) ( u W - x \ G ( u W ) ) ^ a {k) - a (k )+1 ỡ (k) xô - yW o |l VW | + A ( k ) G(u W ) < A,U,B (k) Tc l (3.39) ( u aW - x \ G { u {k)) < Vỡ song hm / tha (A4) nờn ||uô - x*||2 < ( u W - x*,G(uW) - G(x*)) = (uW - X*, Kt hp iu ny vi (3.39) ta suy 67 G(uW )) - ( uW - X*, G(x*)) uW - X* v(fc) 2( ò B - ( u W~x' ,G (z*)) Bi vy lim u {k] - ^ lim ( iớ^ X*, G(x*)\ ^ ò k^oo ' ' X* k-> o o T õy suy lim uW - X* = (3.40) h oo Thờm vo ú \\xW +1 - UW II = IIPc (uW - Aj(tG (/W )) - p c {u{k]) II < A(jfe)||G K ô ) || ; Kt hp vi (3.40) ta suy lim Xa^ = X* k-Ơ o o 00 tc l lim a[k)+1 < k-Ơ o o Theo (3.32) B (3.1) ta c : < a* ^ a(k)+i k ằ oo Do ú {x*} hi t ti nghim nht ca 3.3 X* ca bi toỏn V I E P ( C , , G ) p d n g vo bi to ỏ n b t n g th c b in p h õn hai cp Bi toỏn bt ng thc bin phõn hai cp B V I P ( C , F , G ) l mt trng hp riờng ca bi toỏn V I E P ( C , f , G ) nh sau Tỡm im X* e S F cho (G(x*),y X * ) ^ 0,Vy e Sp 68 (3-41) Trong ú, Sp l nghim ca bi toỏn cõn bng Tỡm im u c cho (F(u),y - u) ^ 0,Vy e c (3.42) Vi F : f -> R" l toỏn t xỏc nh trờn Bng cỏch t f ( x , y ) = (F(x),y - x) v chn hm h(x) = ||x||2 thỡ thut toỏn 3.3 tr thnh Thut toỏn 3.4 cho bi toỏn B V I P ( C , F , G ) T h u t to ỏ n Bc to: Chn x e c v cỏc tham s rj, e (0,1 ).p > Bc lp th k (k = 0,1, ): Cú x k ta thc hin cỏc bc sau: Bc 1: Tớnh yk = p c (xk - - F ( x k)) Nu x k = yk ly uk = x k v chuyn sang Bc Ngc li, thc hin Bc Bc (Q uy tc tỡm kim theo tia Armijo): Tỡm s nguyờn dng m k nh nht cỏc s nguyờn dng m tha z k , m = (1 _ v m ) x k + r m y k ỡ ô (3.43) {F{zkm) , x k - y k) > l \ \ y k - x k \\2 t rjh = y m\ z k = z kmF Bc 3: Ly uk = P c ( x k) vi ck = { x e c : { F( z k) , x - z k) < o } (3.44) Bc : t x k+1 p c {uk \ kG(uk)) v chuyn v Bc lp th k vi k c thay bi k + p dng nh lý (3.5| vo Thut toỏn 3.4 ta cú h qu: H q u 3.3 Gi s nghim Sp ca bi toỏn bt ng thc bin phõn VI P(C , F) khỏc rng, toỏn t F liờn tc trờn 2, gi n iu theo Sp trờn 69 c , toỏn t G l L- Lipchitz v ò- n iu mnh trờn c , dóy s {Afc} l mt dóy 00 s dng cho 00 Afc = oo v y ] x < oo Khi ú, dóy {;rfc} sinh bi Thut fc=0 k =0 toỏn 3.4 hi t v nghim nht X* ca bi toỏn B V I P ( C , F,G) 70 K t lun Lun ó trỡnh by cỏc chớnh sau Nhng kin thc c bn ca gii tớch li v mt s nh lý v s tn ti nghim ca bi toỏn cõn bng Thut toỏn chiu gii bi toỏn bt ng thc bin phõn gi n iu v thut toỏn chiu cho bi toỏn cõn bng gi n iu Thut toỏn v chng minh s hi t cho bi toỏn tỡm cc tiu ca hm chun Euclide trờn nghim ca bi toỏn cõn bng gi n iu; bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu mnh trờn nghim ca bi toỏn cõn bng gi n iu, v ỏp dng vo bi toỏn bt ng thc bin phõn hai cp 71 Ti liờu tham kho [1] Vn Lu, Phan Huy Khi, 2000, Gii tớch li NXB Khoa Hc v K Thut H Ni [2] Lờ Dng Mu, Nguyn Vn Hin, 2009, Nhp mụn gii tớch li ng dng NXB Khoa hc t nhiờn v Cụng ngh [3] Nguyn Xuõn Tn, Nguyn Bỏ Minh, 2006, Mt s lý thuyt ti u a tr NXB Giỏo Dc [4] B V Dinh, L.D Mu A projection algorithm for soving pseudomonotone equilibrium problems and its application to a class of bilevel equilibria, Optimization, 64(2015).no.3.559-575 [5] B V Dinh, An algorithm for variational inequalities with pseudomonotone equilibrium constraints, submitted [6] F Facchinei and J.S.Pang, 2003, Finite Dimensional Variational Inequaliư ties and Complementarity Problems, Springer, New york [7] K Fan, (1972), A minimax inequality and application, in: O.Shisha, I n equality III, Proceeding of the Third Symposium on In-equalities, Academic Press, New York 72 [...]... hiệu bài toán này là E P ( C , f ) và tập nghiệm của nó là Sf v ề mặt hình thức bài toán cân bằng khá đơn giản, nhưng nó lại bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash Dưới đây là những bài toán được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng 1.2.2 B ài toán. .. được bài toán V I EP( C, về bài toán BE P ( C , f , g ) 30 ỉ, G) Chương 2 PH Ư Ơ N G P H Á P CHIẾU GIẢI BÀ I TO Á N C Â N B Ằ N G GIẢ Đ Ơ N ĐIỆU Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân, ở chương này, ta sẽ trình bày một phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, sau đó sẽ trình bày một phương pháp. .. m ạnh trên c c và f ( x, ) lồi, nửa liên tục thì bài toán cân bằng E P ( C , f ) có nhiều nhất m ột nghiệm 1.3 B ài to á n cân b ằn g tư ơn g đương Thường thì khi xem xét tìm kiếm lời giải cho bài toán cân bằng E P ( C , f ) người ta đưa về giải một bài toán cân bằng khác tương đương với nó nhưng dễ giải hơn Sau đây là một số định lý về bài toán cân bằng tương đương Ta giả thiết c là một tập lồi trong... thuật toán chiếu khác Những điểm ưu việt của thuật toán này cho thấy việc mở rộng thuật toán cho bài toán cân bằng E P ( C , f ) và các bài toán khác là khá cần thiết 2.2 B ài to á n cân b ằn g giả đơn đ iệu Cho Í2 c R" là một tập lồi mở chứa tập lồi đóng C v à / : C x C - > K l à song hàm cân bằng xác định trên c Bài toán cân bằng E P ( C , f ) như sau: Tìm X* e c sao cho ỉ(x*, y) ^ 0,Vy e c Ta sử dụng. .. 0, V( x, y) G A x B, và với x = x' , y = y' khi đó ip(x',y*) - ip(x*,y') ^ 0 , V(x' , y' ) G A x B Theo cách đặt, ta có f (u*, v) ^ Q,Vv G c hay U* — (x*,y*) G c là nghiệm của bài toán cân bằng E P ( C , f ) 1.2.7 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng Trong phần này chúng tôi trình bày một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm và một số tính chất của tập nghiệm của bài toán cân bằng E P ( C , f ) Đ... I P ( C , F , G ) trở thành bài toán B E P ( C , f , g ) 1.4.2 B ài toán bất đẳng thứ c biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng Cho G : c c là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, ánh xạ -» H và f ( x , y ) là song hàm cân bằng xác định trên 29 c Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng V I E P ( C , f , G ) là bài toán: Tìm X* € Sf sao cho {G(x*),y... toán tối ưu đươc đưa về bài toán cân bằng EP( C, / ) 1.2.4 B ài toán điểm bất động Giả sử c c HI là một tập lồi đóng khác rỗng, H là không gian Hilbert thực và ánh xạ đơn trị F : c -» c Khi đó, bài toán điểm bất dộng FP( C, F) là bài toán: Tìm X* e c sao cho X* = F(x*) ỉ { x , y) = {x - F( x) , y Đặt: 21 - x)Mx, y e c Bài toán F P ( C , F ) trở thành bài toán EP ( C , f ) Bài toán điểm bất động của... 1 và chuyển về Bước lặp thứ k Dãy {a:*} được xác định bởi thuật toán chiếu cơ bản sẽ dừng sau một số hữu hạn bước lặp tới nghiệm duy nhất của bài toán V I P ( C , F ) hoặc sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán V I P ( C , F ) với điều kiện toán tử F là T- đơn điệu mạnh và L- Lipchitz trên c Tuy nhiên, thuật toán này không hội tụ khi toán tử F là đơn điệu trên c Tức, thuật toán chiếu cơ bản không áp dụng. .. khi và chỉ khi 0 € df (x°) Đặc biệt, nếu hàm / khả vi thì điều kiện này trở thành V f (x°) = 0 18 1.2 1.2.1 B ài to á n cân b ằn g và m ộ t số bài to á n m ô tả dưới d ạn g cân b ằn g B ài toán cân bằng Giả sử / :c X c c là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực HI và ->• R u { + 00} thỏa mãn f ( x , x ) = 0 với Vx € C; một hàm / như vậy được gọi là song hàm cân bằng Bài toán cân bằng. .. và song hàm cân bằng / : C x C - > R u {+ 0 0 } có các tính chất sau: 1 f ( , y ) nửa liên tục trên với m ọi y e c , 2 f ( x , ) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phẫn trên c với m ọi X € c K hi đó bài toán cân bằng E P ( C , f ) có nghiệm Ta nhắc lại một số định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm để xét tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Cho C c l Song hàm cân bằng