Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình sách giáo khoa mới Toán 9 – tập 2 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai và các cách giải phương trình bậc hai, đặc biệt là vận dụng hệ thức Viét vào việc giải phương trình bậc hai . Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường THCS tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán dạng tam thức bậc hai, trong khi đó phân phối chương trình cho phần hệ thức Viét là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến hệ thức Viét và một số ứng dụng của hệ thức đó, mà hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và chọn đề tài: “Ứng dụng hệ thức Viét vào giải toán tam thức bậc hai ” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo hệ thứcViét, phát triển tư duy logic, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. Hơn nữa, hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào các trường chuyên lớp chọn đây là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh còn nhiều lúng túng khi học phần này. Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Viét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này. Hệ thức Viét còn được tiếp tục vận dụng trong chương trình Toán THPT tuy nhiên trong đề tài nghiên cứu của mình, tôi chỉ đề cập đến nội dung chương trình Toán THCS.
Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN A LÝ THUYẾT Định lý Vi-ét thuận: b x1 + x2 = − a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: x x = c a b x1 + x2 = − a [(a ≠ ∆ ≥ 0) ⇒ ] x x = c a * Hệ quả: (trường hợp đặc biệt) a) Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = phương c a b) Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = phương trình có nghiệm là: x1 = nghiệm là: x2 = trình có nghiệm là: x1 = - nghiệm là: x2 = − c a Định lý đảo u + v = S - Nếu có hai số u v thoả mãn điều kiện: u, v hai nghiệm u.v = P phương trình: x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P ≥ 0.) * Các ứng dụng thường dùng + Kiểm tra nghiệm PT bậc hai + Tính nhẩm nghiệm PT bậc hai + Biết nghiệm suy nghiệm + Tìm hai số biết tổng tích + Lập PT bậc hai biết hai nghiệm * Một số kết thu từ định lý Vi-ét a, Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử: −b x1 + x2 = a Khi ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có ∆ ≥ ⇔ ∃x1; x2 : x x = c a b c ax + bx + c = a x + x + ÷ = a x − ( x1 + x2 ) x + x1x2 a a = a ( x − x1 x − x2 x + x1 x2 ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng b, Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 x2 S2 - Nếu S= x1 + x2 không đổi P = x1x2 thay đổi Do S2 – 4P ≥ ⇔ P ≤ S2 −b S S2 S P= ⇔ x1 = x2 = = ⇒ maxP = ⇔ x1 = x2 = 2a (vì PT: x2 – Sx + P = có nghiệm kép) Vậy: Hai số có tổng không đổi, tích lớn ⇔ hai số - Nếu x1 > 0; x2 > P = x1x2 không đổi, S = x1 + x2 thay đổi Do S2 – 4P ≥ ( )( ) ⇔ S − P S + P ≥ ⇔ S − P ≥ 0, S = P ⇔ x1 = x2 = P Vậy: hai số dương có tích không đổi, tổng nhỏ chúng c, Xét dấu nghiệm PT bậc hai Cho PT ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ ) Để xét dấu nghiệm số PT ta dựa vào dấu ∆ , S P - Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ( x1 < < x2 ) ⇔ P < ∆ ≥ P > - Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ⇔ ∆ ≥ - Phương trình (1) có hai nghiệm dương ( < x1 ≤ x2 ) ⇔ P > S > ∆ ≥ - Phương trình (1) có hai nghiệm âm ( x1 ≤ x2 < ) ⇔ P > S < P < S > - Phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < x2 x1 < x2 ⇔ P < S = - Phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < x2 x1 = x2 ⇔ ∆ = S > - Phương trình (1) có nghiệm kép dương ( x1 = x2 > ) ⇔ ∆ = S < - Phương trình (1) có nghiệm kép âm ( x1 = x2 < ) ⇔ x + y = f ( m ) có nghiệm x y = g ( m ) d, Điều kiện tham số để hệ phương trình f ( m ) − g ( m ) = Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng (Chính ĐK để PT bậc hai t − f ( m ) t + g ( m ) = có nghiệm kép) B MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm 1.1 Biểu thức đối xứng hai nghiệm: - Biểu thức f(x1;x2) gọi đới xứng x1 ; x2 nếu: f(x1;x2) = f(x2;x1) ( đổi chỗ x1 x2 biểu thức không thay đổi) - Nếu f(x1;x2) đối xứng f(x1;x2) biểu diễn qua hai biểu thức đối xứng S = x1 + x2 ; P = x1.x2 - Biểu thức đối xứng nghiệm x1 ; x2 PT bậc hai ax2 + bx + c = biểu thức có giá trị không đổi hoán vị x1 x2 1.2 Một số toán Bài toán1: Cho phương trình x − x − = (1) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: x12 + x22 ; x13 + x23 ; x14 + x24 ; x15 + x25 ; x17 + x27 Hướng dẫn: Có a.c = −7 < nên phương trình (1) có nghiệm x1 + x2 = Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 = −7 Suy ra: +) x12 + x22 = = 50 +) x15 + x25 = 16806 +) x13 + x23 = 342 +) x17 + x27 = 823542 +) x14 + x24 = 2402 * Chú ý ta mở rộng toán với yêu cầu: Tính giá trị biểu thức: Sn = x1n + x2n ; S n+1 = x1n+1 + x2n +1; S n+2 = x1n + + x2n+ Bằng cách áp dụng kết toán sau: Cho phương trình bậc 2: ax + bx + c = (a ≠ 0) ( *) có nghiệm x1 , x2 Chứng minh rằng: với Sn = x1n + x2n a.S n+ + b.S n+1 + c.S n = Hướng dẫn: Do x1 , x2 nghiệm phương trình (*) nên ta có: n+2 n +1 n ax1 + bx1 + c = ax1 + bx1 + cx1 = ⇒ n+2 n +1 n ax + bx + c = 2 ax + bx2 + cx2 = ⇒ a ( x1n+ + x2n+ ) + b ( x1n+1 + x2n+1 ) + c ( x1n + x2n ) = Hay: aSn+ + bSn +1 + cS n = Áp dụng vào toán trên, phương trình: x − x − = có hai nghiệm x1 , x2 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng +) S1 = x1 + x2 = +) S2 = x12 + x22 = 50 +) S3 = x13 + x23 = 6S + S1 = 342 +) S4 = x14 + x24 = 6S3 + S = 2402 +) S5 = x15 + x25 = 6S + S3 = 16806 +) S6 = x16 + x26 = S5 + S = 117650 +) S7 = x17 + x27 = 6S6 + S5 = 823542 6 −1 + −1 − Bài toán 2: Tính A = ÷ + ÷ 2 Hướng dẫn: −1 + −1 − ; x2 = 2 x1 + x2 = −1 Ta có: x1.x2 = −1 ⇒ x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + x − = ⇒ Sn+ + Sn +1 + S n = Đặt: x1 = Có S1 = −1; S2 = 3; S3 = −4; S = 7; S5 = −11; S6 = 18 Vậy A = 18 Bài toán 3: (HSG QN 2001-2002): Gọi a, b hai nghiệm phương trình 30 x − 3x = 2002 Hãy rút gọn biểu thức: S = 30 ( a 2002 + b 2002 ) − ( a 2001 + b 2001 ) a 2000 + b 2000 HD: Phương trình cho có: ∆ = + 4.30.2002 > nên phương trình có hai nghiệm x1 = a; x2 = b Sn = a n + b n ; Sn+1 = a n+1 + b n+1; S n+ = a n+ + b n+ Ta có: 30Sn+ − 3Sn+1 − 2002 Sn = ⇒ 30Sn+ − 3S n+1 = 2002 Sn ⇒S= 30Sn + − 3S n +1 2002Sn = = 2002 Sn Sn Vậy S = 2002 * Bài tập tương tự Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Cho phương trình x2+ mx + = ( m tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a x12 + x22 b x13 + x23 c x1 − x2 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x − 3x − = Tính: b B = x1 − x2 a, A = x12 + x2 Cho phương trình x2 - 4x + = Tính giá trị biểu thức A = x14 + x1 + − x1 (với x1 nghiệm phương trình cho) Cho phương trình x2 + x - = x 1, x2 nghiệm phương trình (x < x2) Tính giá trị biểu thức: B = x18 + 10 x1 + 13 + x1 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x − 3x − = Tính: a, A = 2x − 3x x + 2x − 3x1 x2 2 3x12 + 5x1 x2 + 3x 2 b B = 4x1 x2 + 4x13 x2 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x + ax +1 = x3 , x4 nghiệm phương trình x + bx +1 = Tính giá trị biểu thức M = ( x1 − x3 )( x2 − x3 )( x1 + x4 )( x2 + x4 ) theo a b Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x - ax +1 = Tính S = x17 + x2 theo a Dạng 2: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 2.1 Phương pháp giải: - Tìm ĐK để PT ax + bx + c = có nghiệm x1 , x2 : a ≠ 0; ∆ ≥ - Kết hợp hệ thức Viet với ĐK cho trước để xác định tham số m - Kiểm tra lại m có thỏa mãn ĐK có nghiệm không kết luận 2.2 Một số toán Bài toán1: 2 Cho PT: x − ( m − ) x + ( m + 2m − 3) = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: 1 x1 + x2 + = x1 x2 Hướng dẫn: ∆ ' ≥ m ≤ ⇔ m ≠ 1; m ≠ −3 ⇔ m = −4 Ta phải có: x1.x2 ≠ 1 x +x m = −4 + = x1 x2 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng 2 Bài toán 2: Cho phương trình: x − ( m − ) x − m + 3m − = Tìm m để tỉ số nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối 2 3 Hướng dẫn: Có: a.c = −m + 3m − = − m − ÷ − < với ∀m 2 ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt trái dấu Tỷ số hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối mà hai nghiệm trái dấu nên: x1 = −2 x2 x2 = −2 x1 Hay ( x1 + x2 ) ( x2 + x1 ) = ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) = (*) x1 + x2 = m − Theo hệ thức Viét ta có: x1.x2 = −m + 3m − Thay vào (*) ta được: m = −m + 3m − + ( m − ) = ⇔ m − 5m + = ⇔ m = Vậy với m = m = PT cho có nghiệm thỏa mãn đề Bài toán 3: Cho phương trình ẩn x: x + x + m = Xác định m để PT có nghiệm phân biệt lớn m Hướng dẫn: Cách 1: PT có nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ = − 4m > ⇔ m < (*) x1 + x2 = −1 Theo hệ thức Viét ta có: x1.x2 = m x1 > m Phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 lớn m ⇔ x2 > m ( x1 − m ) ( x2 − m ) > x1 x2 − m ( x1 + x2 ) + m > x1 − m > ⇔ ⇔ ⇔ x1 + x2 − 2m > x2 − m > x1 − m + x2 − m > m ⇔ ⇔ ⇔ m < −2 (**) m > m + m + m > m < −2 Từ (*) (**) ta giá trị m cần tìm là: m < -2 Cách 2: Đặt x – m = t ⇔ x = t + m PT cho trở thành: Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng ( t + m) + ( t + m ) + m = ⇔ t + ( 2m + 1) t + m + 2m = (1) Phương trình cho có hai nghiệm lớn m ⇔ phương trình ẩn t (1) có nghiệm dương phân biệt ∆ > ⇔ S > ⇔ ⇔ m > −2 P > Cách 3: Tính x1 , x2 theo m; giải bất phương trình ẩn m 2 Bài toán 4: Cho PT: x + ( 2m − 3) x + m − 3m = Xác định m để PT có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: < x1 < x2 < Hướng dẫn: Có ∆ = > ⇒ PT có nghiệm phân biệt: x1 = m − 3; x2 = m Với m ta có: m – < m hay x1 < x2 Do < x1 < x2 < ⇒ < m − < m < ⇔ < m < Bài tập tương tự: 2 Tìm m để phương trình x + ( m − 1) x + m − 4m + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 2 Cho phương trình x + bx + c = có nghiệm x1; x2 , phương trình x − bx + bc = có nghiệm x3 ; x4 , biết x3 − x1 = x4 − x2 = Tìm b, c Tìm m để phương trình mx − ( m − 1) x + ( m − ) = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Tìm số p q phương trình x + px + q = cho nghiệm x1 − x2 = thỏa mãn: 3 x1 − x2 = 35 Xác định tham số m cho phương trình: 2 a x − ( m + 1) x + m − m − = có hai nghiệm trái dấu b mx − ( m − ) x + ( m − ) = có hai nghiệm dấu Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào hệ số 3.1.Phương pháp giải - Tìm ĐK để PT ax + bx + c = có nghiệm x1 , x2 : a ≠ 0; ∆ ≥ - Áp dụng hệ thức Viet Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng - Khử tham số m từ hệ trên, ta suy hệ thức cần tìm 3.2 Một số toán Bài toán 1: Cho PT: x + ( m + 3) x + 4m − = (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Có ∆ ' = ( m + 3) − ( 4m − 1) = = ( m + 1) + > với m 2 Nên PT (1) có nghiệm x1 , x2 với m Theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = ( m + 3) 2 ( x1 + x2 ) = 4m + 12 ⇔ x1.x2 = 4m − x1.x2 = 4m − Trừ vế hai đẳng thức ta được: ( x1 + x2 ) − x1.x2 = 13 Bài toán 2: Cho PT: x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = có nghiệm x1 , x2 Lập hệ thức x1 , x2 độc lập với m Hướng dẫn: x1 + x2 = m + Khử m từ ta x1 x2 = ( x1 + x2 − ) − x x = m − Do đó: ( x1 + x2 ) − x1 x2 = hệ thức cần tìm * Bài tập tương tự Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m − = có hai nghiệm Chứng minh biểu thức H = x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) không phụ thuộc vào m Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m − = có hai nghiệm x1 , x2 Chứng minh biểu thức Q = x1 ( 2007 − 2006 x ) + x ( 2007 − 2008 x1 ) không phụ thuộc vào giá trị m Dạng 4: Lập phương trình bậc biết điều kiện nghiệm 4.1 Phương pháp giai - Tính tổng hai nghiệm S = x1 + x2 tích hai nghiệm P = x1 x2 - Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 X − SX + P = 4.2 Một số toán Bài toán 1: Cho PT x − ( m − 1) x − m = a, CMR: Phương trình có nghiệm x1 , x2 với m Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng y1 = x1 + x b, Với m ≠ , lập phương trình ẩn y thỏa mãn: y = x + x1 Hướng dẫn: 1 a, Có ∆ ' = m − m + = m − ÷ + > với m 2 x x +1 1− m y1 = x1 + = = b, Ta có : x2 x2 x2 y2 = x2 + x1 x2 + 1 − m = = x1 x1 x1 Tính: 2( − m) 1 1 y1 + y2 = ( − m ) + ÷ = = m x1 x2 y1 y2 ( − m) = x1 x2 ( − m) = 2 −m Vậy y1 , y2 nghiệm phương trình: my − ( − m ) y − ( − m ) = 2 2 Bài toán 2: Cho PT x − x − ( m + 3m ) = có hai nghiệm x1 , x2 Lập pt bậc ẩn y có nghiệm y1 , y2 ( y1 ≠ 1, ≠ y2 ≠ 1) y1 + y2 = x1 + x2 y2 thỏa mãn: y1 + 1 − y − y = Hướng dẫn: 3 - Có: ∆ ' = + m + 3m = m + ÷ + > với m 2 x1 + x2 = - Theo Hệ thức Viét: x1.x2 = − ( m + 3) - Theo ra:+) y1 + y2 = x1 + x2 = +) y1 y + =3 − y2 − y1 ⇒ y1 (1 − y1 ) + y2 ( − y2 ) = ( − y1 ) ( − y2 ) Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng ⇔ ( y1 + y2 ) − ( y12 + y22 ) = ( − ( y1 + y2 ) + y1 y2 ) ⇔ − ( 42 − y1 y2 ) = ( − + y1 y2 ) ⇔ y1 y2 = −3 Vậy y1 , y2 nghiệm pt: y − y − = Bài toán 3: Cho m số thực khác -1 Hãy lập phương trình bậc hai có 4 x1 x2 + = ( x1 + x2 ) nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức : ( x1 − 1) ( x2 − 1) = m +1 (1) (2) Hướng dẫn: Theo ra, ta có : 4 x1 x2 + = ( x1 + x2 ) 4 x1 x2 − ( x1 + x2 ) = −4 ⇔ 1 ( x1 − 1) ( x2 − 1) = x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = m +1 m +1 4 x1 x2 − ( x1 + x2 ) = −4 ⇔ −m x x − x + x = ( ) 2 m +1 x1 + x2 = m + Biến đổi ta x x = − m m +1 ⇒ x1; x2 nghiệm PT : ( m + 1) x − x + − m = Bài tập tương tự: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: 3x + x + = Không giải phương trình thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm x1 x2 x − x − 2 Cho a số thực cho a + ≠ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2 + = ( x1 + x2 ) x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: ( x1 − 1) ( x2 − 1) = a +1 10 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Bài tập tương tự: x + y = Giải hệ phương trình: xy = 27 Cho phương trình: x + ax + b = có hai nghiệm c d; phương trình x + cx + d = có hai nghiệm a b Tìm a, b, c, d biết chúng khác Dạng 6: Xét dấu nghiệm PT bậc PT trùng phương 6.1 Phương pháp giải Cho PT ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ ) Để xét dấu nghiệm số PT ta dựa vào dấu ∆ , S P - Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ( x1 < < x2 ) ⇔ P < ∆ ≥ P > - Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ⇔ ∆ ≥ - Phương trình (1) có hai nghiệm dương ( < x1 ≤ x2 ) ⇔ P > S > ∆ ≥ - Phương trình (1) có hai nghiệm âm ( x1 ≤ x2 < ) ⇔ P > S < P < S > - Phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < x2 x1 < x2 ⇔ P < S = - Phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < x2 x1 = x2 ⇔ 6.2 Một số toán Bài toán 1: Tìm giá trị m để PT sau có nghiệm không âm x + mx + ( 2m − ) = (1) Hướng dẫn Cách 1: Có ∆ = m − ( 2m − ) = ( m − ) ≥ với m PT (1) có nghiệm với m x1 + x2 = −m x1 x2 = 2m − Theo hệ thức Viét, có x1 + x2 < −m < ⇔ ⇔m>2 2m − > x1.x2 > PT (1) có hai nghiệm (pb kép) âm ⇔ Vậy điều kiện để PT (1) có nghiệm âm m ≤ Cách 2: 12 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng −m − ( m − ) −m + ( m − ) = − m ; x2 = = −2 2 Phải có x1 ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤ Giải PT(1) tìm x1 = Khai thác toán Tìm giá trị m để PT sau có nghiệm x + mx + ( 2m − ) = (2) HD: Đặt x = t ≥ ĐK để PT (2) có nghiệm PT t + mt + ( 2m − ) = có nghiệm không âm Bài toán 2: Cho PT x − ( m − 1) x − ( m − 3) = (1) Tìm m để PT (1) có: a, nghiệm phân biệt b, nghiệm phân biệt c, nghiệm phân biệt Hướng dẫn: d, nghiệm e, vô nghiệm Đặt x = t ≥ , ta có t − ( m − 1) t − ( m − 3) = (2) S = ( m − 1) Có ∆ ' = ( m + 1) ( m − ) Theo hệ thức Viet, có P = − m ∆ ' > a, PT(1) có nghiệm pb ⇔ PT (2) có nghiệm phân biệt dương ⇔ P > S > b, PT(1) có nghiệm pb ⇔ PT (2) có nghiệm dương nghiệm P = ⇔ S > ∆ ' = S > c, PT(1) có nghiệm pb ⇔ PT (2) có nghiệm kép dương ⇔ PT(2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < P = S < d, PT(1) có nghiệm ⇔ PT (2) có nghiệm âm nghiệm ⇔ e, PT(1) vô nghiệm ⇔ PT (2) vô nghiệm ⇔ ∆ ' < ∆ ' ≥ PT(2) có hai nghiệm (kép pb) âm ⇔ P > S < * Bài tập tương tự Xác định tham số m cho phương trình: 2 a x − ( m + 1) x + m − m − = có hai nghiệm trái dấu b mx − ( m − ) x + ( m − ) = có hai nghiệm dấu Tìm điều kiện m để phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - = 13 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng a Có hai nghiệm khác dấu b Có hai nghiệm phân biệt âm c Có hai nghiệm phân biệt dương d Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Cho phương trình (m + 1) x + 2(m + 4) x + m + = Tìm m để phương trình có a, Một nghiệm b Hai nghiệm phân biệt dấu c, Hai nghiệm phân biệt âm Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x+ m – = Tìm m để phương trình có: a, Hai nghiệm dấu b.Có nghiệm dương c, Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = a, Chứng minh phương trình có hai nghiệm m thay đổi b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1< x1 < x2 < 6 Cho phương trình: (m – 1) x2 – 2(m – 3)x + m - = Tìm m để phương trình có hai nghiệm a, Trái dấu b Hai nghiệm dương c Hai nghiệm nhỏ 2 Cho phương trình: x + mx + 2m - = Tìm m để phương trình có nghiệm không âm Cho phương trình bậc hai mx − ( 5m − 2) x + 6m − = a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Tìm giá trị m để phương trình: a, 2x2 + mx + m - = có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương b, x2 - 2(m - 1)x + m - = có hai nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối 10 Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 3m + = Xác định điều kiện m để hai nghiệm độ dài hai cạnh hình chữ nhật 11 Xác định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt cho hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Dạng 7: Tìm GTLN & GTNN biểu thức nghiệm Chứng minh bất đẳng thức 2 Bài toán 1: Cho PT x + ( m + ) x + m + 4m − = (1) Chứng minh (1) có hai nghiệm x1; x2 x1 + x2 + x1 x2 ≤ 16 Hướng dẫn: 14 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng PT (1) có nghiệm ∆ ' = ( m + ) − ( m + 4m − ) ≥ ⇔ m + 4m − 12 ≤ ⇔ −6 ≤ m ≤ 2 x1 + x2 = − ( m + ) Theo hệ thức Viet ta có: m + 4m − x1.x2 = 2 1 73 Ta có x1 + x2 + 3x1 x2 = 3m + 10m − 16 = m + ÷ − 2 3 Vì −6 ≤ m ≤ nên 2 13 11 169 73 − ≤ m + ≤ ⇒ ≤ m + ÷ ≤ ⇒ ≤ 3 m + ÷ − ≤ 16 3 3 3 Bài toán 2: Gọi x1; x2 nghiệm PT: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Hướng dẫn: Để phương trình cho có nghiệm thì: ∆' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ≥ ⇒ - ≤ m ≤ - (*) x1 + x2 = − m − Khi theo hệ thức Viét ta có: m + 4m + x1.x2 = Do đó: A = m + 8m + Ta có: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) ≤ − m + 8m − − (m + 4) Suy ra: A = = ≤ 2 Dấu xảy (m + 4)2 = hay m = - Vậy A đạt giá trị lớn là: m = - 4, giá trị thoả mãn điều kiện (*) Bài toán 3: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 – 1998) Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m = ( mlà tham số) a) Chứng minh: Phương trình cho luôn có nghiệm với m b) Trong trường hợp m > x1 , x2 nghiệm phương trình nói tìm GTNN biểu thức A= x12 + x2 − 3( x1 + x2 ) + x1 x2 Hướng dẫn: a) ∆ ' = (m + ) + > 15 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng b) Theo kết phần a phương trình cho có nghiệm phân biệt S = x1 + x2 = ( m + 1) P = x1 x2 = m Theo hệ thức Viét ta có Vì P = m > nên x2 , x2 ≠ biểu thức A xác định với giá trị x1 , x2 tính theo m A= x12 + x1 x2 + x22 − x1 x2 − 3( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) − x1.x2 − 3( x1 + x2 ) + = x1.x2 x1 x2 Thay S P vào biểu thức A ta : A = m + 1 ÷ m Theo bất dẳng thức Cô Si m + ÷: ≥ m ( m > > ) m m m ⇔ m+ 1 1 ≥ ⇔ m + ≥ ⇔ 4(m + ) ≥ m m m Vậy biểu thức A có GTNN Trong bất đẳng thức Cô Si dấu xảy ⇔ m = ⇔ m = ±1 m Với m = thoả mãn điều kiện m > m = -1 không thoả mãn điều kiện m > Vậy với m = A có GTNN Bài toán (HSG QN 2004-2005) Gọi a số thực cho PT x − 3ax − a = có hai nghiệm pb x1 ; x2 Tìm GTNN biểu thức A = a2 3ax2 + x12 + 3a + 3ax1 + x2 + 3a a2 Hướng dẫn: Do PT x − 3ax − a = có hai nghiệm pb x1 ; x2 nên 9a + 4a > ( 1) 9a + 4a > ( 1) x1 − 3ax1 − a = ⇔ x1 = 3ax1 + a x2 − 3ax2 − a = x2 = 3ax2 + a Khi A= a2 3ax2 + x12 + 3a a2 x2 + x12 + 2a + = + 3ax1 + x2 + 3a a2 x12 + x22 + 2a a2 A= a2 9a + 4a + 9a + 4a a2 Theo (1) 9a + 4a > nên áp dụng BĐT Cosi, ta A ≥ A = ⇔ 9a + 4a = a ⇔ a = −1 16 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Khi a = −1 −1 x1 = −1; x2 = 2 Vậy A đạt GTNN a = −1 −1 ; x1 = −1; x2 = 2 Bài toán 5: Cho x, y, z khác thỏa mãn x+ y + z = xyz x2 = yz Chứng minh x ≥ Hướng dẫn x + y = z = Từ giả thuyết ta có: yz = x Theo hệ thức Vi-ét y, z nghiệm phương trình t − ( x − x ) t + x = Do tồn số y, z nên phương trình phải có nghiệm 2 2 Tức là: ∆ ≥ ⇔ ( x − x ) − x ≥ ⇔ x ( x − 1) − ≥ x2 − ≥ 2 Vì x ≠ nên ( x − 1) − ≥ ⇔ x − ≤ −2 Điều kiện bất phương trình hai xảy Vậy x ≥ Bài toán 6: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=5 xy+yz+zx= Chứng minh ≤ x; y; z ≤ Hướng dẫn: Từ giả thiết ta xem z tham số, ta có hệ phương trình ẩn x,y : x + y = − z x + y = − z ⇔ xy + z ( x + y ) = xy = − z ( − z ) Theo định lý Vi-ét x, y nghiệm phương trình: t2 − ( − z) t + − z( − z) = Do phương trình có nghiệm x, y nên: ∆ = ( − z ) − 8 − z ( − z ) ≥ ⇔ ≤ z ≤ Do vai trò bình đẳng x, y, z nên ta có kết luận tương tự y z xy + yz + zx = Bài toán 7: Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình x + y + z = Hướng dẫn: 17 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng xy + yz + zx = ⇔ x + y + z = xy + ( y + x ) z = xy + ( − z ) z = xy = − ( − z ) z ⇔ ⇔ x + y = − z x + y = − z x + y = − z Điều kiện để hệ có nghiệm x, y là: ( x + y) ≥ xy ⇔ ( − z ) ≥ 32 − z ( − z ) ⇔ 3z − 10 z + ≤ ⇔ ≤ z ≤ Vì z nguyên nên ta z = 1; z = Với z = ta x = y = Với z = ta (x; y) = (1; 2) (x; y) = (2; 1) Vậy hệ có cho có nghiệm nguyên (x; y; z) là: (1; 2; 2); (2; 2; 1); (2; 1; 2) * Bài tập tương tự: a > Biết a, b, c thỏa mãn: a = bc a + b + c = 3abc Chứng minh rằng: a ≥ 3; b > 0; c > 0; b + c ≥ 2a a + b2 + c = 2 Biết a, b, c ba số thỏa mãn: ab + bc + ca = 4 Chứng minh rằng: − ≤ a; b; c ≤ 3 a + b = 9+6 Cho chứng minh rằng: S = ac + bd + cd ≤ c + d = Dạng 8: Giải phương trình, hệ phương trình bậc hai chứa hai ẩn 7.1 Phương pháp giải: Đặt S = x + y ; P = x.y ( S ≥ P ) Sau tìm S, P x, y nghiệm PT X − SX + P = 7.2 Một số toán Bài toán 1: Giải phương trình: 5− x 5− x x x + ÷ ÷= x +1 x +1 Hướng dẫn: ĐKXĐ: x ≠ - 5− x 5− x 5− x u + ν = x + x + u = x ÷ ÷ x +1 u + ν = x +1 x +1 Đặt: (*) ⇒ ⇒ u.ν = ν = x + − x u.ν = x − x x + − x ÷ ÷ x +1 x +1 x +1 18 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng u, v nghiệm phương trình: x2 - 5x + = Giải PT ta u = v = u = v = u = (*) trở thành: ν = x2 - 2x + = Nếu: ∆' = – = - < Phương trình vô nghiệm: u = (*) trở thành: x2 - 3x + = ν = Nếu: Suy ra: x1 = 1; x2 = (TMĐK) Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2 x + y + mx + my − m − = ( 1) Bài toán 2: Cho hệ PT ( 2) x + y = Tìm m để hệ PT cho có hai cặp nghiệm ( x1; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) thỏa x1 ≠ x2 ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = Hướng dẫn Từ (2) ta có y = – x Thay vào (1) ta x + ( − x ) + mx + m ( − x ) − m − = ⇔ x − x + 3m + 15 = ( 3) Do hệ PT cần có hai nghiệm ( x1; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) với x1 ≠ x2 nên (3) phải có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 tức ∆ ' > ⇔ 16 − ( 3m + 15 ) > ⇔ m < − x1 + x2 = y1 = − x1 Khi ta có 3m + 15 y2 = − x2 x1.x2 = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = ⇔ ( x1 − x2 ) + ( − x1 ) − ( − x2 ) 2 Xét ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 3m + 15 ⇔ 16 − ÷ = ⇔ m = − ( TM ) 2 2 =4 x + y = m Bài toán 3: Cho hệ PT 2 x + y = − m ( I) Tìm GTNN biểu thức A = xy + 2x + 2y (x ; y) nghiệm hệ (I) Hướng dẫn x + y = m S = x + y = m ⇔ ⇔ 2 2 2 x + y = − m P = xy = m − ( x + y ) − xy = − m x + y = m Ta có Hệ (I) có nghiệm S − P ≥ ⇔ m ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Ta có A = xy + ( x + y ) = P + S = ( m2 − 3) + 2m = ( m + 1) − 19 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Do −2 ≤ m ≤ ⇒ −1 ≤ m + ≤ ⇒ ≤ ( m + 1) ≤ Dấu xảy m = -1 (TMĐK) Vậy GTNN A -4 m = -1 x y + y x = 30 Bài toán 4: Giải hệ phương trình: x x + y y = 35 Hướng dẫn Đặt u = x ≥ 0; v = u v + uv = 30 uv ( u + v ) = 30 ⇔ y ≥ hệ trở thành: 3 u + v = 35 ( u + v ) − 3uv ( u + v ) = 35 SP = 30 SP = 30 S = ⇔ ⇔ (thỏa 3 P = S − 3SP = 35 S = 125 Đặt S = u + v; P = uv ( S ≥ P ) ta hệ: mãn) Theo hệ thức Vi-ét ta có u, v hai nghiệm PT: t − 5t + = Giải PT ta t = 2; t = u = u = v = v = Do Dẫn đến nghiệm hệ (4; 9) (9; 4) *Bài tập tương tự: x y + xy = ( m + 1) Tìm m để hệ có nghiệm nhất: xy + x + y = ( m + ) x + xy + y = − 2 Giải hệ phương trình 4 x + y = ( x + x + 1) ( y + y + 1) = 3 Giải hệ phương trình ( − x ) ( − y ) = Giải hệ phương trình x + xy + y = a, x + xy + y = xy ( x + 1)( y − 2) = −2 2 x + x + y − 2y =1 b, Dạng 9: Lập phương trình đường thẳng y = ax+ b (d) với a ≠ quan hệ với Parabol y = mx2 với m ≠ 9.1 Phương pháp giải: Loại 1: - Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) qua điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m ≠ 0) - Cơ sở lý luận: Do đường thẳng Parabol có giao điểm nên hoành độ giao điểm nghiệm phương trình : mx2 = ax + b ⇔ mx2 - ax - b = 20 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng a x + x = A B m Từ theo Viet ta có : x x = − b A B m (*) Từ (*) tìm a b ⇒ Phương trình (d) Loại 2: - Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) điểm M (xM; yM) - Cơ sở lý luận: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình: mx2 - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 Vận dụng hệ thức Viet, ta có: x + x = a −b x x = m ⇒ a b ⇒Phương trình tiếp tuyến Cho Parabol (P) có phương trình: (P): y = x Gọi A B điểm ∈ (P) có hoành độ xA = - ; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Bổ sung: Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A B (x1, y1) B(x2, y2) Khi đó: - Độ dài đoạn thẳng AB tính công thức AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A ) - Tọa điểm trung điểm M AB tính công thức xM = x A + xB y + yB ; yM = A 2 9.2 Một số toán Bài toán 1: Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x Gọi A B điểm ∈ (P) có hoành độ xA = - ; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Đây toán không khó hầu hết em có lời giải sau: A ∈ ( P ) ⇒ yA = (-1)2 = vậyA(-1;1) x = − A B ∈ ( P ) ⇒ yB = 22 = B(2;4) x = B Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (AB) với a, b ∈ R A ∈ ( AB ) 1 = − a + b −3a = −3 a = ⇔ ⇔ ⇔ B ∈ ( AB ) = 2a + b 1 = − a + b b = có Vậy phương trình đường thẳng AB y = x + Nếu linh hoạt suy nghĩ tìm phương pháp giải ta cho lời giải “ đẹp” sau sử dụng định lý Vi-ét Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng: y = ax + b (AB) 21 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Phương trình hoành độ giao điểm (AB) (P) là: x2 = ax + b ⇔ x2 - ax - b =0 (*) Ta có: xA = - ; xB = nghiệm phương trình (*) x A + x B = a a = Theo định lý Viet ta có: ⇔ b = x A x B = − b Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + x2 Bài toán 2: Cho (P): y = ; A ∈ (P) có hoành độ xA = lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A Cũng toán không áp dụng định lý Viet học sinh có lời giải sau: A ∈ ( P ) 22 ⇒ y = = Vậy A(2;1) A x A = Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b (d) với a, b ∈ R A∈ (d) ⇔ = 2a + b ⇔ b = - 2a Vậy = ax + - 2a x2 Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: = ax + - 2a ⇔ x − 4ax − + 8a = ∆ = 4a + − 8a = ( a − 1) ∆ = ⇔ ( a − 1) = ⇔ a = Từ a = ⇒ b = - 2.1 = -1 Phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x - Nếu sử dụng định lý Viet ta có lời giải toán sau: Giả sử phương trình tiếp tuyến A (d): y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: x2 = ax + b ⇔ x2 - 4ax - 4b = (*) Ta có: xA = nghiệm kép (*) (x1 = x2 = 2) x + x = 4a a = Theo Viet ta có: ⇒ b = −1 x x = −4b Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - *Bài tập tương tự Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): 2x - y – m2 = (P) : y = mx2 với m tham số dương 22 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng a Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Chứng minh A B nằm bên phải trục tung b Gọi xA xB hoành độ A B Tìm GTNN T = x + x + x x A B a B Cho (P): y = − x2 điểm M (1;-2) a, Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m b, Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi c, Gọi x A ; xB hoành độ A B Xác định m để x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ tính giá trị Cho (P): y = x đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.Tìm m cho (d) cắt (P) hai điểm có hoành độ x1 ≠ x thỏa mãn : 1 + = x12 x22 Cho Parabol (P): y = -x2 đường thẳng (d) y = mx – a, CMR với m (d) cắt (P) điểm phân biệt b, Gọi x1,x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm giá trị m để x12x2+x22x1- x1x2 =3 Dạng 10: Định lý Vi-ét toán khác Bài toán 1: Cho a, b nghiệm phương trình: x + px + = b, c nghiệm phương trình x2 + qx + = Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - Hướng dẫn: a,b nghiệm phương trình: x2 + px + = b,c nghiệm phương trình: x2 + qx + = Theo định lý viét ta có: a + b = - p b + c = - q a.b = b.c = Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - Từ (1) (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) (1) (2) Bài toán 2: Giả sử a, b hai số khác Chứng minh PT x + ax + 2b = ( 1) ; x + bx + 2a = ( 2) có nghiệm chung nghiệm số lại (1) (2) nghiệm PT x + x + ab = ( 3) 23 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Hướng dẫn: Giả sử (1) có hai nghiệm pb x1 ≠ x0 ⇒ x0 + ax0 + 2b = (2) có hai nghiệm pb x2 ≠ x0 ⇒ x0 + ax0 + 2b = ⇒ ( a − b ) x0 + 2b − 2a = ⇔ ( a − b ) x0 = ( a − b ) Vì a ≠ b ⇒ x0 = vào (1) ta có: + 2a + 2b = ⇒ a = −b − 2 Thay a vào (1), ta có x − ( b + ) x + 2b = ⇒ ( x − ) ( x − b ) = ⇒ x0 = 2; x1 = b Tương tự, ta có x2 = a x1 + x2 = a + b Do x1.x2 = ab Theo Viet đảo ta có: x1; x2 hai nghiệm PT x − ( a + b ) x + ab = ⇔ x + x + ab = (vì a + b = -2) BÀI TẬP ĐỀ XUẤT Bài 1: ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) Xét phương trình : x − 2(m2 + 2) + 5m2 + = (1) với m tham số 1) Chứng minh với giá trị m phương trình (1) có nghiệm phân biệt 2) Gọi nghiệm phương trình (1) x1 , x2 , x3 , x4 Hãy tính theo m giá trị 1 1 biểu thức M = x + x + x + x 2 Bài 2: Cho phương trình x - ax + a - = có nghiệm x1 , x2 a) Không giải phương trình tính giá trị biểu thức M = x12 + 3x22 − x12 x2 + x22 x1 b) Tìm a để tổng bình phương nghiệm số đạt GTNN ? Bài 3: Tìm giá trị m để nghiệm x 1, x2 PT mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12 + x22 = Bài 4: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số) a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 5: Cho x1 = +1 ; x2 = 1+ Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 Bài 6: Cho phương trình: x2 + 5x - = (1) 24 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Không giải phương trình (1), lập phương trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phương trình (1) Bài 7: Tìm hệ số p q phương trình: x2 + px + q = cho hai nghiệm x1; x1 − x = 3 x − x = 35 x2 phương trình thoả mãn hệ: Bài 8: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - (1); a2 + b2 + c2 = (2) Chứng số a, b, c thuộc đoạn − ;0 biểu diễn trục số Bài 9: Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt: x + y + yx = m 2 x + y = − 2m x + ( m + ) x = my Bài 10: Xác định m để hệ có nghiệm phân biệt y + ( m + ) y = mx Bài 11: Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình (ẩn x): x + ( m − ) x + m − 3m + = mx12 mx22 49 + ≤ Chứng minh rằng: −7 < − x1 − x2 Bài 12: Cho phương trình: x − 5mx − 4m = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 a, Chứng minh rằng: x12 − 5mx2 − 4m > m2 x22 + 5mx1 + 12m + b Xác định giá trị m để biểu thức đạt giá x1 + 5mx2 + 12m m2 trị nhỏ ( Bài 13: Tìm số nguyên lớn không vượt − 15 ) Bài 14: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình: x − x + = Chứng minh Sn = x1n + x2n số nguyên không chia hết cho với n Bài 15: Tìm đa thức bậc có hệ sô nguyên nhận số thực r = ( Bài 16: Tìm chữ số tân phần nguyên số + 3 55 + nghiệm ) 2013 25 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng ( Bài 17: Chứng minh biểu diễn thập phân số + ) n có n chữ số đứng sau dấy phẩy Bài 18: Tìm m để phương trình: x − ( 2m + 3) x + m + = (1) Có nghiệm thỏa mãn: −2 < x1 < −1 < x2 < < x3 < < x4 < Bài 19: Cho phương trình: x − ( m + ) x + 5m + = Tìm m cho: a Phương trình có nghiệm thỏa mãn x > b Phương trình có nghiệm thỏa mãn x > c Phương trình có nghiệm thuộc (-1; 1) d Phương trình có nghiệm thỏa mãn x [...]... là do sử dụng định lý Vi-ét Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng: y = ax + b (AB) 21 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2 = ax + b ⇔ x2 - ax - b =0 (*) Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*) x A + x B = a a = 1 Theo định lý Viet ta có: ⇔ b = 2 x A x B = − b Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2 x2 Bài toán 2:... 2 Bài toán 3: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 – 1998) Cho phương trình x 2 − 2(m + 1) x + m = 0 ( mlà tham số) a) Chứng minh: Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m b) Trong trường hợp m > 0 và x1 , x2 là các nghiệm của phương trình nói trên hãy tìm GTNN của biểu thức A= x12 + x2 2 − 3( x1 + x2 ) + 6 x1 x2 Hướng dẫn: 1 2 3 4 a) ∆ ' = (m + ) 2 + > 0 15 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng b)... giá trị của m để x12x2+x22x1- x1x2 =3 Dạng 10: Định lý Vi-ét và các bài toán khác Bài toán 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x 2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0 Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6 Hướng dẫn: a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0 Theo định lý viét ta có: a + b = - p b + c = - q và ... 2a a2 A= a2 9a 2 + 4a + 9a 2 + 4a a2 Theo (1) thì 9a 2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Cosi, ta được A ≥ 2 A = 2 ⇔ 9a 2 + 4a = a 2 ⇔ a = −1 2 16 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng Khi a = −1 −1 thì x1 = −1; x2 = 2 2 Vậy A đạt GTNN bằng 2 khi a = −1 −1 ; x1 = −1; x2 = 2 2 Bài toán 5: Cho x, y, z khác 0 và thỏa mãn x+ y + z = xyz và x2 = yz Chứng minh x 2 ≥ 3 Hướng dẫn x + y = z 2 = 3 Từ giả thuyết ta có: ... thức bậc 5 có hệ sô nguyên nhận số thực r = ( 5 Bài 16: Tìm chữ số tân cùng của phần nguyên của số 5 + 3 3 2 55 + là nghiệm 5 2 ) 2013 25 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng ( Bài 17: Chứng minh rằng trong biểu diễn thập phân của số 7 + 4 3 ) n có ít nhất n chữ số 9 ứng ngay sau dấy phẩy 4 2 Bài 18: Tìm m để phương trình: x − ( 2m + 3) x + m + 5 = 0 (1) Có các nghiệm thỏa mãn: −2 < x1 < −1 < x2 < 0 < x3... (m ≠ 0) - Cơ sở lý luận: Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình : mx2 = ax + b ⇔ mx2 - ax - b = 0 20 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng a x + x = A B m Từ đó theo Viet ta có : x x = − b A B m (*) Từ (*) tìm a và b ⇒ Phương trình (d) Loại 2: - Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (xM; yM) - Cơ sở lý luận: Do (d)... tích của chúng 5.1 Phương pháp giải (dựa vào Định lý đảo của Định lý Vi-et): u + v = S thì u và v là nghiệm của phương trình t 2 − St + P = 0 (1) u.v = P Nếu hai số u và v có Tìm nghiệm của phương trình (1) ta được hai số cần tìm Chú ý: - Nếu S 2 − 4 P ≥ 0 thì tồn tại hai số u và v - Nếu S 2 − 4 P < 0 thì không tồn tại hai số u và v 5.2 Một số bài toán Bài toán 1: Tìm hai cạnh của hình chữ nhật có... = − b Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2 x2 Bài toán 2: Cho (P): y = ; A ∈ (P) có hoành độ xA = 2 lập phương trình đường 4 thẳng tiếp xúc với (P) tại A Cũng như bài toán trên nếu không áp dụng định lý Viet học sinh có lời giải như sau: A ∈ ( P ) 22 ⇒ y = = 1 Vậy A(2;1) A 4 x A = 2 Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b (d) với a, b ∈ R A∈ (d) ⇔ 1 = 2a + b ⇔ b = 1... (P) : y = mx2 với m là tham số dương 22 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng a Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Chứng minh rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung 4 1 b Gọi xA và xB là hoành độ của A và B Tìm GTNN của T = x + x + x x A B a B 2 Cho (P): y = − x2 và điểm M (1;-2) 4 a, Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m b, Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm... nghiệm âm là m ≤ 2 Cách 2: 12 Định lý Vi-ét & Một số ứng dụng −m − ( m − 4 ) −m + ( m − 4 ) = 2 − m ; x2 = = −2 2 2 Phải có x1 ≥ 0 ⇔ 2 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 Giải PT(1) tìm được x1 = Khai thác bài toán 4 2 Tìm giá trị của m để PT sau có nghiệm x + mx + ( 2m − 4 ) = 0 (2) HD: 2 Đặt x 2 = t ≥ 0 ĐK để PT (2) có nghiệm là PT t + mt + ( 2m − 4 ) = 0 có ít nhất một nghiệm không âm 4 2 Bài toán 2: Cho PT x − 2 ( m −