TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG TẨIăLI UăTHAMăKH O TOỄNăCAOăC P B2 - GI I TÍCH GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG N MăH C: 2016 -2017 TRANG CH :ă http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG L IăNịIă CH U NGăTRỊNHăGI NGăD YăTOỄNăCAOăC Pă TRểNăMOON.VNăN MăH Că2016ă- 2017 Chúc m ng b n đƣ b c vƠo m t ng ng c a m i c a cu c đ i Vi c đ i h c m cho em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không thách th c Thách th c không ch vi c h c xa nhƠ ho c môi tr ng mƠ c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch nh ng gi ng đ ng l n hƠng tr m Sinh viên mƠ kh i l ng ki n th c đ x T ib ch c i h c, m t môn h c đ c chia lƠm phơn môn (hay g i lƠ h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoƠn BƠi t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vƠo cu i ch ng ho c chuyên đ ch không theo bƠi (các bu i h c) Các bƠi t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngƠng v i vi c h c b c i h c nên k t qu h c t p môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên ngƠnh n m th 3, th (ho c th 5) Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k bƠi t p t i cu i bƠi h c lỦ thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) vƠ cu i ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ lƠm quen v i cách h c i h c, m t s video bƠi t p đ c đ a v i m c đích h ng d n em cách lƠm bƠi t p vƠ trình b y b c i h c Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ em có c h i ti p c n s m v i ki n vƠ k n ng lƠm bƠi t p t t Hy v ng v i s chu n b s m vƠ t t, em s thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thƠnh công vi c chu n b b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng trình đƠo t o đ c đánh mƣ s chi ti t theo phơn đo n đ n v ki n th c tu n t đ em d dƠng theo dõi Các em có th vƠo đ ng link sau đ bi t rõ v toƠn b ch ng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 T i b c Ph thông, em h c m t ch ng trình Toán nh t đ i v i Toán Cao C p s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thơm chí t ng kh i ngƠnh h c Tr ng i v i kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh , ch ng trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212): o Toán A1: i s n tính o Toán A2: Gi i tích o Toán A3: Gi i tích o Toán A4: Gi i tích  i v i kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán B g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213): o Toán B1: i s n tính o Toán B2: Gi i tích  i v i kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng, Lu t ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán C g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán C (http://moon.vn/Pro/7/214): o Toán C1: i s n tính o Toán C2: Gi i tích  Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG T i Moon.vn, ki n th c lỦ thuy t đƣ đ c b trí v i n i dung chi ti t cho t ng kh i ngƠnh thông qua h th ng video bƠi gi ng giáo trình đ y đ c ng nh tóm t t lỦ thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bƠi t p cho c Toán A, Toán B vƠ Toán C i kèm lỦ thuy t c b n lƠ m t kho d li u kh ng bƠi t p đ c t ng h p t thi gi a vƠ cu i H c k n m g n đơy c a kh i ngƠnh:  Toán A1, A2, A3 A4: h n 3500 bƠi t p  Toán B1 B2: g n 2000 bƠi t p  Toán C1 C2: g n 2000 bƠi t p Các bƠi t p tr ng y u đ c quay Video kèm l i gi i giúp em ôn t p d dƠng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng vƠ xác Th y vƠ đ i ng Supper Mods (c ng đ u lƠ Gi ng viên d y i h c) r t vui đ c trao đ i di n đƠn Toán cao c p t i Moon.VN Facebook v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhơn v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc em nhanh chóng thu l n ng vƠ v n d ng sáng t o ! mđ c nh ng ki n th c, hoƠn thi n k Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG M CăL C CH NG I: GI I H N DÃY S §1: S TH C .9 §2: S PH C .11 §3:GI I H N DÃY S .22 §4: M T S VÍ D GI I H N DÃY S 27 CH NG II: HẨM S M T BI N .35 §1: KHÁI NI M HÀM M T BI N S 35 §2:GI I H N HÀM S .37 §3: S LIÊN T C C A HÀM S 43 §4: M T S VÍ D 47 CH §1: NG III: VI PHÂN HẨM M T BI N S 55 O HÀM 56 §2:VI PHÂN .59 §3: O HÀM VÀ VI PHÂN C P CAO 60 §4:CÁC NH Lụ C B N C A PHÉP TÍNH VI PHÂN 61 §5: NG D NG C A PHÉP TÍNH VI PHÂN 64 CH NG IV:PHÉP TệNH TệCH PHÂN HẨM M T BI N 67 §1: TệCH PHÂN KHÔNG XÁC §2:TệCH PHÂN XÁC NH .67 NH 73 §3 :TÍCH PHÂN SUY R NG 79 CH NG V: HẨM S NHI U BI N 86 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG §1 T NG QUAN HÀM S NHI U BI N 86 1.1 nh ngh a hƠm nhi u bi n 86 1.1.1 nh ngh a : 86 1.1.2 Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s .87 1.2 Gi i h n c a hàm s hai bi n s 87 1.3 Tính liên t c c a hàm s hai bi n s : 88 1.3.1 Khái ni m: 88 1.3.2 Chú ý: .88 §2 O HÀM RIÊNG 90 2.1 o hàm riêng: 90 2.1.1 nh ngh a: 90 2.1.2 ụ ngh a hình h c c a đ o hàm riêng: 90 2.2 o hàm riêng c p cao: .91 2.2.1 nh ngh a : 91 2.2.2 nh lý : 92 §3: VI PHÂN TOÀN PH N VÀ VI PHÂN C P HAI 98 3.1 inh ngh a : 98 3.2 i u ki n kh vi c a hàm s nhi u bi n : .98 3.3 ng d ng c a vi phân toàn ph n vào tính g n đúng: 99 3.4 i u ki n đ bi u th c P  x, y dx  Q  x, y dy m t vi phân toàn ph n: 99 3.5 Ph ng trình c a ti p n, pháp di n c a đ 3.5.1 3.5.2 Ph ng cong t i m t m 99 ng cong không gian 99 ng trình c a ti p n 100 3.5.3 Pháp di n c a đ ng cong : 101 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă §4 CăTRUNG O HÀM C A HÀM S H P 4.1 O HÀM C A HÀM S N 104 o hàm c a hàm s h p 104 4.1.1 nh ngh a: 104 4.1.2 nh ngh a 2: 104 4.2 o hàm c a hàm s n 105 4.2.1 nh ngh a hƠm n: 105 4.2.2 o hàm c a hàm n 105 §5 C C TR 111 5.1 C c tr t c a hàm s hai bi n s : 111 5.1.1 nh ngh a 111 5.1.2 i u ki n c n c a c c tr .111 5.1.3 i u ki n đ c a c c tr : .111 5.2 C c tr có u ki n: 112 5.2.1 Khái ni m: 112 5.2.2 nh lý: 112 5.3 Giá tr l n nh t bé nh t c a hàm hai bi n s m t mi n đóng gi i n i .113 CH NG VI:PH §1 PH NG TRỊNH VI PHÂN .115 NG TRỊNH VI PHÂN C P I 115 ic ng v ph ng trình vi phơn c p .115 Ph ng trình phơn ly 116 Ph ng trình thu n nh t 116 Ph ng trình khuy t bi n 117 Ph ng trình n tính 119 Ph ng trình Bernoulli .121 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG Ph ng trình vi phơn toƠn ph n 121 §2 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI 124 ic ng v ph ng trình vi phơn c p 124 Ph ng trình khuy t .125 Ph ng trình n tính thu n nh t 126 Ph ng trình n tính không thu n nh t .129 Ph ng trình n tính có h s không đ i .130 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG CH NGăI: GI IăH N DẩYăS §1:ăS ăTH C 1) S c n thi t m r ng t p h p s h u t : Trong th c t vƠ nghiên c u s h u t không đáp ng đ c,nên nh t thi t ph i m r ng t p h p s Ví d : Tìm s h u t (n u có) mƠ bình ph c k t qu b ng nh ngh a: 2) S th p phơn vô h n không tu n hoƠn đ t N u g i t p h p s h u t lƠ th c đ ng s đ c xác đ nh b i  c xem lƠ bi u di n m t s vô vƠ t p h p s vô t lƠ I.thì t p h p s I N u v i m i t p X  x có m t s M cho x  M nói t p X b ch n b i s M.Trái l i n u có s m đ x  m nói t p X b ch n d i T p b ch n trên(d i) có th không b ch n d i(trên).S M hay m đ c g i lƠ c n hay d i c a t p X Nh n xét:M t t p b ch n trên(d i) có vô s c n trên(d i) nh ngh a  S bé nh t c n đ M = SupX c g i lƠ c n vƠ đ cg i xX  S l n nh t c n d m = inf X iđ c g i lƠ c n d i đ c g i lƠ xX 3) nh lỦ Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG S Mđ c g i lƠ c n c a t p X  x o  X cho x o  M   S mđ c g i lƠ c n d i c a t p X  x o  X cho x o  m   Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 10 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG Ngoài Py'  Q'y ,   x, y   D Cách gi i: V i u ki n đƣ cho, v trái c a ph ng trình lƠ vi phơn toƠn ph n c a hƠm u(x,y) xác đ nh b i m t hai công th c sau u  x, y   y X  P  x , y  dx   Q  x, y  dy ho X0 u  x, y   c y0 X y X0 y0  P  x, y  dx   Q  x, y0  dy Trong (x 0, y0) lƠ m b t k mi n D Khi đƣ có hƠm u(x,y) nh nghi m t ng quát lƠ u(x,y) = C Ví d : Gi i ph ng trình (4xy + y)dx + (4x y + x)dy = Gi i: D ki m tra u ki n đ v ph i lƠ vi phơn toƠn ph n v y tích phơn t ng quát c a ph ng trình lƠ 1  0dx    4x  y  x dy  C  2x y  xy  C Nh n xét: tr   (x, y) đ ph ng trình ng h p Py'  Q'y ,   x, y   D mƠ t n t i hƠm (x, y) P  x, y  dx  Q  x, y  dy   lƠ ph ng trình vi phơn toƠn ph n.Khi hƠm   (x, y) đ c g i lƠ th a s tích phơn.Nói chung ph ng pháp chung đ tìm   (x, y) ph thu c vƠo c hai bi n x,y c bi t   (x) ta có Py  Qx   d P Q d Py  Qx Q    dx Q y x  Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 122 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă T CăTRUNG ng t   (y) ta c ng tính đ c đ c th a s tích phơn t ng ng,t có đ ph n vƠ tìm đ c nghi m t ng ng Py  Qx d  qua ta tìm P  c ph ng trình vi phơn toƠn Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 123 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă NGăTRỊNHăVIăPHÂNăC PăHAI §2.ăPH 1.ă iăc ngăv ăph nh ngh a Ph CăTRUNG ngătrìnhăviăphơnăc pă2 ng trình vi phơn c p lƠ ph ng trình d ng F(x,y,y',y'') = N u gi i đ c ph ng trình theo y' có d ng y'' = f(x,y,y') Bài toán Cauchy LƠ bƠi toán tìm nghi m c a ph ng trình y' = f(x,y,y') th a mƣn u ki n y(x 0) = y0 , y'(x 0) = y0 ' , x 0, y0 ,y0 ' lƠ giá tr cho tr c BƠi toán Cauchy đ c vi t  y'  f  x, y, y'   '  y x  x  y0 ; y' x  x  y0  3  4 i u ki n (4) g i lƠ u ki n ban đ u, hay u ki n Cauchy nhălỦăt năt iăvƠăduyănh tănghi m Xét bƠi toán Cauchy (3, 4) Gi s hƠm s f  x, y, y' , f  x, y, y' f  x, y, y'  , liên t c mi n V  y y'   Khi đó, v i  x y0 , y0'  V ,thì m t lơn c n nƠo c a m x 0, t n t i nghi m nh t y = y(x) c a ph ng trình (3) th a mƣn u ki n ban đ u (4) Nghi m t ng quát Ta g i nghi m t ng quát c a ph lƠ hƠm s ng trình y' = f(x,y,y') y  (x,C1,C2 ) , C ,C2 lƠ h ng s tùy Ủ, th a mƣn u ki n sau: Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 124 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG y  (x,C1,C2 ) th a mƣn ph a) HƠm s ng trình đƣ cho v i m i C 1, C2   b)  x , y0 , y0'  D , v i D lƠ mi n mƠ u ki n t n t i vƠ nh t nghi m đ c th a mƣn, tìm đ c giá tr c a h ng s C 1, C2 cho nghi m y  (x,C1,C2 ) th a mƣn u ki n ban đ u (4) Nghi m riêng, tích phơn riêng N u công th c nghi m t ng quát ta cho C1, C2 giá tr c th nghi m nh n đ c g i lƠ nghi m riêng Nghi măk ăd Có th t n t i nghi m không n m h nghi m t ng quát Nh ng nghi m nh v y g i lƠ nghi m k d 2.ăPh ngătrìnhăkhuy t a) Ph ng trình khuy t y, y' D ng ph t y' = t, đ cách gi i c F(x,t') = N u nghi m c a ph ban đ u lƠ ơy lƠ ph ng trình F(x,y'') = ng trình c p khuy t bi n t đƣ bi t ng trình nƠy lƠ t = f(x,C) nghi m ph ng trình y = T(x,C) + D, T(x) lƠ nguyên hƠm c a f(x) Ví d : Gi i ph ng trình y'' = x + xex + Gi i:   y'   x  xe x  dx  b) Ph x3 x4 x2  xe x  e x  x  C  y    xe x  Cx  D 12 ng trình khuy t y D ng ph t y' = t, đ c F(x,t,t') = ng trình lƠ F(x,y',y'') = ó lƠ ph ng trình c p đ i v i t Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 125 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG  Ví d : Gi i ph  ng trình y''  x  2xy' ; y x 0  , y' x 0 t t = y', đ c t'(1 + t' 2x 2xdx     ln  x  ln C ln t  2 t 1+x 1+x C  t  C  x  y'  C  x  y  x  Cx  D     ơy lƠ ph = 2xt  c y x 0  D  ; y' ng trình khuy t x D ng ph t y' = t, đ x 2)  Thay u ki n đ u đ c) Ph 3 x 0  C  Nên y = x + 3x +1 ng trình lƠ F(y,y',y'')= c y''  t 'y y'x  t t 'y Th vƠo ph ng trình, đ c F(y, t, t t 'y ) = ng trình c p đ i v i t(y) Ví d : Gi i ph ng trình 2yy'' = y' +1 c y  t.ty Th t y' = t, đ vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c 2y t ty  t  1;     2tdt dy   ln t   ln y  ln C  y  C t  t 1 y M t khác, y' = t, nên dy = tdx Th y t k t qu vƠo đơy, đ c C2tdt  tdx  x  2Ct  D áp s y = C(t + 1) ; x = 2Ct + D (d dƠng vi t dƠng t 3.ăPh ng minh) ngătrìnhătuy nătínhăthu nănh t ó lƠ ph ng trình d ng y'' + p(x)y' + q(x)y = (5) a) C u trúc nghi m t ng quát nhălỦ N u y1(x) y2(x) lƠ hai nghi m c a ph y  x   Cy1  x   Dy2  x  c ng lƠ nghi m c a ph ng trình thu n nh t (5), ng trình nƠy Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 126 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG N u có thêm u ki n hai nghi m riêng y 1(x) y2 (x) đ c l p n tính nghi m y = C y1(x) + D y2(x) lƠ nghi m t ng quát c a (5) (Hai hƠm s y1(x)/y2(x) y1(x), y2(x) đ c g i lƠ đ c l p n tính n u phơn th c không đ ng nh t b ng h ng s ) Ch ngă minh: D ki m tra r ng n u y (x) y2(x) lƠ nghi m c a (5) y(x) c ng lƠ nghi m c a (5) Ta s ch ng minh y(x) lƠ nghi m t ng quát Xét u ki n đ u b t k y x  x  y0 ; y' x  x  y0' Khi  y0  Cy1  x0   Dy2  x0  ' ' '  y0  Cy1  x0   Dy2  x0 ơy lƠ h ph ng trình đ i s n tính v i đ nh th c c a h khác 0(do gi i thi t v tính đ c l p n tính c a y y2) V y, h có nghi m, t c lƠ tìm đ c h ng s C, D đ nghi m y th a mƣn u ki n ban đ u FCM nh lỦ cho th y, đ tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t, ch vi c tìm hai nghi m riêng đ c l p n tính lƠ đ c Ng i ta ch a có cách chung đ tìm hai nghi m nƠy Tuy nhiên, n u đƣ bi t m t nghi m riêng có th tìm đ c nghi m riêng th hai b ng ph ng pháp d i đơy b) Ph ng pháp tìm nghiêm riêng th hai B đ N u y 1(x), y2(x) lƠ hai nghi m riêng c a ph th c Wronsky W= y1  x  y  x  y1'  x  y'2  x  ng trình (5) đ nh - p x dx th a mƣn h th c W  Ce  Ch ng minh Vì y1(x), y2 (x) lƠ hai nghi m c a ph ng trình (5), nên  y1  p(x)y1  q(x)y1    y2  p(x)y2  q(x)y  Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 127 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG Nhơn h th c đ u v i -y2, sau v i y1 , r i c ng l i, đ  y1y2  y2y1  p  x  y1y2  y2y1   Mà W   y1 y2  y2 y1 , W'   y1 y2  y1 y2  y2 y1  Th vƠo k t qu trên, đ W ' + p(x)W =   c y2 y1  y1 y2  y2 y1 c dW  p x dx    p  x  dx  W(x)  Ce  W FCM nhă lỦ N u y1 (x)  lƠ m t nghi m riêng c a ph ng trình (5) nghi m riêng th hai y 2(x), đ c l p v i y 1(x) tìm đ c theo công th c    p x dx y2  x   y1  x    e  dx   y1  x   Ch ng minh Theo b đ , có - p x dx W  Ce  y y  y y C - p x dx - p x dx  y1y2  y2 y1  Ce   2 1 2e  y1 y1 (C=1,D=0) d  y2  C -  p x dx y2 C -  p x dx - p x dx   2e dx +D  y2  y1  e  dx   2e dx  y1  y1 y1 y1 y1 Ví d : Gi i ph   ng trình  x y'' 2xy' 2y  , bi t m t nghi m riêng y = x Gi i: Chia hai v cho 1- x2, px    2x 2xdx   p  x  dx     ln x  2 1-x 1-x V y nghi m th hai lƠ ln  x 1   e 1   p x dx    p x dx     y2  x   y1  x    e dx   x   e dx   x  dx x x   x x2 x    y1  x   T nghi m t ng quát y = Cx + D(x + 1) Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 128 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă 4.ăPh CăTRUNG ngătrìnhătuy nătínhăkhôngăthu nănh t LƠ ph ng trình có d ng y'' p  x  y' q  x  y  f  x  (6) nhă lỦ Nghi m t ng quát c a ph ng trình n tính không thu n (6) b ng t ng c a nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t t ng ng (5) v i m t nghi m riêng nƠo c a ph ng trình không thu n (6) Nói cách khác, nghi m t ng quát c a (6) lƠ y = Y(x) + y*(x), Y(x) lƠ nghi m t ng quát c a (5), y*(x) lƠ nghi m riêng c a (6) a) Ph ng pháp bi n thiên h ng s Gi s đƣ bi t nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t (5) lƠ Y(x) = Cy 1(x) + Dy2(x) Ch ph i tìm nghi m riêng c a (6) lƠ xong Ta Coi C, D lƠ hƠm ph thu c x, vƠ ph i tìm hƠm s nƠy đ bi u th c y(x) = C(x)y 1(x) + D(x)y (x) lƠ nghi m c a ph ng trình (6) Có y  Cy1  C' y1  Dy2  D y2 Ch n C, D cho C'y1  D'y2  Khi y' = Cy 1' + Dy2 ' L y đ o hƠm, đ trình (6), đ (7) c y  C'y1  Cy1  D'y2  Dy2 Th y' vƠ y'' vƠo ph ng c C'y1  Cy1  D'y2  Dy2   pCy1  Dy2   q Cy1  Dy2   f  x  ; C y1  py1  qy1  D y2  py2  qy2  C' y1  D' y2  f x Vì y1 , y2 lƠ nghi m c a ph ng trình thu n nh t, nên C'y1  D'y2  f  x  (8) T ng h p u ki n (7) (8) nhơn đ c k t qu : nhălỦ: Bi u th c y = Cy + Dy2 lƠ nghi m riêng c a ph  C' y1  D' y  thu n nh t (6) , n u th a mƣn h   C' y1'  D' y 2'  f  x  H lƠ h đ i s n tính v i n C', D' T tìm đ Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 ng trình không c C, D 129 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă  ng trình thu n nh t t Gi i: Ph t  ng trình  x y  2xy  2y   x , bi t m t nghi m Víă d : Gi i ph riêng c a ph CăTRUNG ng trình vi t thành y'  Theo bƠi gi i đƣ có ng ng lƠ ng ng lƠ y = x (xem ví d 2x y'  y 1 1-x  x2 trên, nghi m t ng quát c a ph Y = Cx + D(x + 1), m c trên) ng tình thu n nh t đơy y = x ; y2 = x + tìm nghi m riêng, ta gi i h  C'    C'x  D' x     x2 1    C' D'2x     D'  x   x2 1     x 1 C x ln     x 1  D  ln x   x 1 x2  V y nghi m riêng lƠ y*   x  x ln + ln x  Nghi m t ng x 1 2 quát   x 1 x2  y  Cx +D x   x  x ln + ln x  x 1 5.ăPh 2 ngătrìnhătuy nătínhăcóăh ăs ăkhôngăđ i ó lƠ ph ng trình có d ng y'' + py' + qy = f(x), p, q lƠ h ng s 1) Gi i ph ng trình thu n nh t y'' py' qy  (9) Ta s tìm nghi m riêng đ c l p n tính c a ph d i d ng ng trình thu n nh t Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 130 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG y = ekx, k lƠ h ng s c n tìm Có y' = ke kx ; y'' = k 2ekx Th y'', y' , y vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c k 2ekx  kpekx +qekx  hay k +pk  q  (10) ph ng trình (10) đ c g i lƠ ph ng trình đ c tr ng Xét tr a) N u (10) có hai nghi m đ n k 1, k Khi ph ng h p: ng trình thu n nh t (9) có hai nghi m riêng y1  ek1x ; y2  ek x Hai nghi m nƠy đ c l p n tính V y nghi m t ng quát lƠ y  Cek1x  Dek x b) N u (10) có nghi m kép k Khi ph ng trình thu n nh t (9) có m t nghi m riêng y1  ek x Nghi m t ng quát lƠ y   C  Dx  ek x c) N u (10) có nghi m ph c k = a  bi Khi ph có hai nghi m riêng ng trình thu n nh t (9) a  bi  x a  bi  x y1  e  eax  cosb  isin b ; y2  e  eax  cosb  isin b y1  y2 y y  eax cosb ; z2   eax sin b c ng lƠ hai nghi m 2i riêng Chúng đ c l p n tính, v y nghi m t ng quát lƠ T đó, z1  y   Ccosb  Dsinb eax Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình sau (a) y  3y  2y  (b) y  4y  4y  (c) y  2y  5y  Gi i: (a) Ph quát ng trình đ c tr ng k - 3k + = 0, k = 1, k = Nghi m t ng y  Cex +De2x Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 131 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă (b) Ph ng trình đ c tr ng k + 4k + = 0, k = -2 lƠ nghi m kép Nghi m t ng quát c a ph (c) Ph ng trình vi phơn lƠ y   C+Dx  e2x ng trình đ c tr ng k + 2k + = 0, (k +1) + = 0, k = -1  2i Nghi m t ng quát c a ph 2) Ph CăTRUNG ng trình vi phơn lƠ y  (C cos 2  Dsin 2)e x ng trình có v ph i đ c bi t Xét ph ng trình y'' + py' + qy = f(x) Trong tr ng h p t ng quát, ta đƣ bi t cách gi i ph ng trình thu n nh t, nên có th dùng ph ng pháp bi n thiên h ng s đ tìm m t nghi m riêng, t tìm đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình không thu n nh t đƣ cho Tr ng h p v ph i f(x) có d ng đ c bi t, tìm đ m t cách nhanh chóng nh trình bƠy d i đơy a) Tr ng h p f (x)  P(x)ex , (P(x) lƠ đa th c b c n cho tr Ta s xác đ nh d ng c a nghi m riêng y*(x), tùy theo tr lƠ nghi m c a ph ng trình đ c tr ng hay không + N u  không lƠ nghi m c a ph c nghi m riêng c) ng h p  có ng trình đ c tr ng, y  ex Q(x) + N u  lƠ nghi m đ n c a ph ng trình đ c tr ng, y  xex Q(x) + N u  lƠ nghi m kép c a ph ng trình đ c tr ng, y  x 2ex Q(x) Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình sau (a) y '' 3y ' 2y  2x (b) y'' 3y' 2y  xe x (c) y '' 2y ' y  2 x  1 ex Gi i: (a) Ph ng trình đ c tr ng k - 3k + = 0, k = 1, k = Nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t t ng ng lƠ Y = Ce x + De2x Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 132 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG V ph i f(x) = 2xe 0x, (  = 0) V y tìm nghi m riêng d ng y* = ax + b Tính đ o hƠm c a y* r i th vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c - 3a + 2(ax + b)  2x, t a = 1, b = 3/2 áp s y = Ce x + De 2x + x + 3/2 (b) V ph i f(x) = xe x Có  = lƠ m t nghi m riêng c a ph ng trình đ c tr ng V y tìm nghi m riêng d ng y* = x(ax + b)e x = (ax + bx)e x Tính đ o hƠm:   (y*)  ax  bx  2ax  b e x  ax   b  2a  x  b  e x   (y*)  ax   b  2a  x  b  2ax  b  2a  ex  ax   b  4a  x  2a  2b  ex Th vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c  [ax  (b  4a)x  2a  2b]e x   VF  3[ax  (b  2a)x  b ]e x  bx ]e x 2[ax        a   x x    2ax  2a  b  e  xe    b  1   x  y  Ce x  De2x    1 e x 2  áp s ng trình đ c tr ng k - 2k + = 0,  = lƠ nghiêm kép Nghi m (c) Ph   riêng có d ng y  ax  bx e x Tính đ o hƠm:   (y*)  ax3  bx  3ax  2bx ex  ax   b  3a  x  2bx  e x     (y*)   ax   b  3a  x  2bx  3ax   b  3a  x  2b  e x   = ax3   b  6a x2   4b 6a x 2b ex   Th vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 133 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG  [ax  (b  6a)x   4a  6b  x  2b]e x  VF  2[ax  (b  3a)x  2bx ]e x  bx + ]ex   [ax  áp s b) Tr    4a  2b  x  2b  e x        2x   e x    a  1 ; b   y   C  Dx  ex  1  x  e x ng h p f  x   eax P  x  cos bx  Q  x  sin bx  , P(x) Q(x) đa th c Ta s xác đ nh d ng c a nghi m riêng Y(x), tùy theo tr có lƠ nghi m c a ph ng trình đ c tr ng hay không + N u a  ib không lƠ nghi m c a ph ng h p a  ib ng trình đ c tr ng, tìm Y d ng Y  eax  U  x  cosbx  V  x  sinbx  + N u a  ib lƠ nghi m c a ph ng trình đ c tr ng, tìm Y d ng Y  xeax  U  x  cosbx  V  x  sinbx  Trong đó, U vƠ V lƠ đa th c c n tìm có b c b ng b c cao nh t c a P vƠ Q Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình sau (a) y'' 3y' 2y  4sin x 2cos x (b) y'' y  cos x Gi i: (a) Ph ng trình đ c tr ng k - 3k + = 0, k = 1, k = Nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t t ng ng lƠ Y = Ce x + De2x V ph i f(x) = sinx + cosx Có I không lƠ nghi m c a ph tr ng ng trình đ c B c cao nh t c a đa th c P, Q lƠ V y ta tìm nghi m riêng d ng y* = asinx + bcosx Tính đ o hƠm c a y* Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 134 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG (y*)  a cos x  bsin x ; (y*)  a sin x  bcos x Th vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c - a sin x  bcos x  3 a cos x  bsin x    a sin x  bcos x   4sin x  2cos x  a  3b  sin x   b  3a  cos x  4sin x  2cos x áp s  a  ; b  y  Cex  De2x  sin x  cos x (b) Ph ng trình đ c tr ng k + = 0, i lƠ nghi m B c cao nh t c a đa th c P, Q lƠ V y nghi m riêng có d ng y  ax sinx  bx cosx Có: (y*)   a  bx  sin x   b  ax  cos x (y*)   b  b  ax  sin x   a  a  bx  cos x   2b  ax  sin x   2a  bx  cos x Th vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c  2b  ax  sin x   2a  bx  cos x  ax sin x  bx cos x  2bsin x  2a cos x  2cos x T a = 1, b = áp s y  Ccos x  Dsin x  xsin x c) Tr ng h p f  x   P  x  cosbx  Q  x  sinbx  eax t y = ze ax, s đ a v d ng đƣ xét Ví d : Gi i ph Gi i: ph ng trình y'' 2y' 2y  xe xsinx t y  ze x Có y'   z'  z  e x ; y''   z'' 2z' z  e x ng trình đƣ cho, đ Th vƠo c z'' + z = xsinx Theo cách gi i c a ph n (b), tìm đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình Ccosx  Dsinx   sinx  xcosx  y  V y nghi m c a ph ng trình đƣ cho Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 135 TLTK: LT – TOỄNăCAOăC P B2 - GI IăTệCHăă(N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIểN:ăTS.ăNGUY Nă y  d) Tr CăTRUNG Ccosx  Dsinx   sinx  xcosx   x e ng h p f(x) = f 1(x) + f 2(x), f 1(x), f 2(x) có d ng nh đƣ xét Áp d ng nguyên lỦ ch ng ch t nghi m sau đơy: nhălỦ(Nguyên lỦ ch ng ch t nghi m) Cho ph y'' p  x  y' q  x  y  f1  x   f  x  N u y1  x  lƠ nghi m riêng c a ph y2  x  lƠ nghi m riêng c a ph ng trình (11) ng trình y'' p  x  y' q  x  y  f1  x  ng trình y'' p  x  y' q  x  y  f  x  , y  y1  x   y2  x  lƠ nghi m riêng c a ph ng trình (11) Ch ng minh đ nh lỦ lƠ d dƠng Ví d : Gi i ph ng trình y'' - y' = 2cos 2x Gi i: Nghi m c a ph ph ng trình thu n nh t lƠ Y  C  Dex tìm nghi m riêng, ta phơn tích v ph i: 2cos 2x = + cos2x V y xét hai ng trình: (1) y'' y'  Nghi m lƠ y1  x (2) y'' y'  cos2x Nghi m lƠ y2   áp s : y  C  De x  x  cos2x  sin 2x 10 10 cos 2x  sin 2x 10 10 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/602/7 136