TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG TÀIăLI UăTHAMăKH O TOÁNăCAOăC P A2 - GI I TÍCH GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG N MăH C: 2016 -2017 TRANG CH :ă http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG L IăNịIă CH U NGăTRỊNHăGI NGăD YăTOÁNăCAOăC Pă TRÊNăMOON.VNăN MăH Că2016ă- 2017 Chúc m ng b n đƣ b c vƠo m t ng ng c a m i c a cu c đ i Vi c đ i h c m cho em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không thách th c Thách th c không ch vi c h c xa nhƠ ho c môi tr ng mƠ c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch nh ng gi ng đ ng l n hƠng tr m Sinh viên mƠ kh i l ng ki n th c đ x T ib ch c i h c, m t môn h c đ c chia lƠm phơn mơn (hay cịn g i lƠ h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoƠn BƠi t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vƠo cu i ch ng ho c chuyên đ ch không theo bƠi (các bu i h c) Các bƠi t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngƠng v i vi c h c b c i h c nên k t qu h c t p môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên ngƠnh n m th 3, th (ho c th 5) Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k bƠi t p t i cu i bƠi h c lỦ thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) vƠ cu i ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ lƠm quen v i cách h c i h c, m t s video bƠi t p đ c đ a v i m c đích h ng d n em cách lƠm bƠi t p vƠ trình b y b c i h c Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ em có c h i ti p c n s m v i ki n vƠ k n ng lƠm bƠi t p t t Hy v ng v i s chu n b s m vƠ t t, em s thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thƠnh công vi c chu n b b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng trình đƠo t o đ c đánh mƣ s chi ti t theo phơn đo n đ n v ki n th c tu n t đ em d dƠng theo dõi Các em có th vƠo đ ng link sau đ bi t rõ v toƠn b ch ng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 T i b c Ph thông, em h c m t ch ng trình Tốn nh t cịn đ i v i Tốn Cao C p s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thơm chí t ng kh i ngƠnh h c Tr ng i v i kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Cơng ngh , ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Tốn A (http://moon.vn/Pro/7/212): o Tốn A1: i s n tính o Tốn A2: Gi i tích o Tốn A3: Gi i tích o Tốn A4: Gi i tích  i v i kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c lƠ Toán B g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Tốn B (http://moon.vn/Pro/7/213): o Tốn B1: i s n tính o Tốn B2: Gi i tích  i v i kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng, Lu t ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c lƠ Toán C g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Tốn C (http://moon.vn/Pro/7/214): o Tốn C1: i s n tính o Tốn C2: Gi i tích  Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG T i Moon.vn, ki n th c lỦ thuy t đƣ đ c b trí v i n i dung chi ti t cho t ng kh i ngƠnh thông qua h th ng video bƠi gi ng giáo trình đ y đ c ng nh tóm t t lỦ thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bƠi t p cho c Toán A, Toán B vƠ Toán C i kèm lỦ thuy t c b n lƠ m t kho d li u kh ng bƠi t p đ c t ng h p t thi gi a vƠ cu i H c k n m g n đơy c a kh i ngƠnh:  Toán A1, A2, A3 A4: h n 3500 bƠi t p  Toán B1 B2: g n 2000 bƠi t p  Toán C1 C2: g n 2000 bƠi t p Các bƠi t p tr ng y u đ c quay Video kèm l i gi i giúp em ôn t p d dƠng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng vƠ xác Th y vƠ đ i ng Supper Mods (c ng đ u lƠ Gi ng viên d y i h c) r t vui đ c trao đ i di n đƠn Toán cao c p t i Moon.VN Facebook v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhơn v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc em nhanh chóng thu l n ng vƠ v n d ng sáng t o ! mđ c nh ng ki n th c, hoƠn thi n k Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG M CăL C CH NG I: GI I H N DÃY S §1: S TH C §2: S PH C §3:GI I H N DÃY S 20 §4: M T S CH Vệ D 25 NG II: HÀM S M T BI N 33 §1: KHÁI NI M HÀM M T BI N S 33 §2:GI I H N HÀM S 35 §3: S LIÊN T C C A HÀM S 41 §4: M T S CH §1: Vệ D 45 NG III: VI PHÂN HÀM M T BI N S 53 O HÀM 54 §2:VI PHÂN 57 §3: O HÀM VÀ VI PHÂN C P CAO 58 §4:CÁC NH Lụ C B N C A PHÉP TệNH VI PHÂN 59 §5: NG D NG C A PHÉP TệNH VI PHÂN 62 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CH CăTRUNG NG IV:PHÉP TệNH TệCH PHÂN HÀM M T BI N 65 §1: TệCH PHÂN KHƠNG XÁC §2:TệCH PHÂN XÁC NH 65 NH 71 §3 :TệCH PHÂN SUY R NG 77 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG CH NGăI: GI IăH N DÃYăS §1:ăS ăTH C 1) S c n thi t m r ng t p h p s h u t : Trong th c t vƠ nghiên c u s h u t không đáp ng đ c,nên nh t thi t ph i m r ng t p h p s Ví d : Tìm s h u t (n u có) mƠ bình ph c k t qu b ng nh ngh a: 2) S th p phơn vô h n không tu n hoƠn đ t N u g i t p h p s h u t lƠ th c đ ng s đ c xác đ nh b i  c xem lƠ bi u di n m t s vô vƠ t p h p s vơ t lƠ I.thì t p h p s I N u v i m i t p X  x có m t s M cho x  M nói t p X b ch n b i s M.Trái l i n u có s m đ x  m nói t p X b ch n d i T p b ch n trên(d i) có th khơng b ch n d i(trên).S M hay m đ c g i lƠ c n hay d i c a t p X Nh n xét:M t t p b ch n trên(d i) có vơ s c n trên(d i) nh ngh a  S bé nh t c n đ M = SupX c g i lƠ c n vƠ đ cg i xX  S l n nh t c n d m = inf X iđ c g i lƠ c n d i đ c g i lƠ xX 3) nh lỦ Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG S Mđ c g i lƠ c n c a t p X  x o  X cho x o  M   S mđ c g i lƠ c n d i c a t p X  x o  X cho x o  m   Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG §2:ăS ăPH C 2.1.D ngăđ iăs ăc aăs ăph c - nh ngh a s i: S i đ nh z  a  bi đ g i lƠ ph n Re(z) Ph n - c g i lƠ đ n v o, lƠ m t s cho i  1 ngh a s ph c: Cho a vƠ b lƠ hai s th c vƠ i lƠ đ n v o, c g i lƠ s ph c S th c a đ c g i lƠ ph n th c vƠ s th c b đ c o c a s ph c z Ph n th c c a s ph c z  a  bi đ c kí hi u lƠ o c a s ph c z  a  bi đ c kí hi u lƠ Im(z) -Khi c ng (tr ) hai s ph c ta c ng (tr ) ph n th c vƠ ph n o t ng ng -Khi nhơn hai s ph c ta th c hi n gi ng nh nhơn hai bi u th c đ i s v i ý i  1 -Mu n chia hai s ph c ta nhơn t vƠ m u cho s ph c liên h p c a m u -S ph c z  a  bi đ c g i lƠ s ph c liên h p c a s ph c z  a  bi *Tính ch t c a s ph c liên h p: Cho z vƠ w lƠ hai s ph c, z w lƠ hai s ph c liên h p t ng ng Khi đó: (i) z  z lƠ m t s th c (ii) z.z lƠ m t s th c (iii) z  z vƠ ch z lƠ m t s th c (iv) z  w  z  w (v) z.w  z.w (vi) z  z Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă  (vii) z n  z 2.2.D ngăl n CăTRUNG v i m i n ngăgiácăc aăs ăph c Modun c a s ph c z  a  bi lƠ m t s th c d ng đ c đ nh ngh a nh sau mod(z)  z  a  b N u coi s ph c z  a  bi lƠ m t m có t a đ z  a  b2  Góc  đ  a  0  a,b    b   lƠ kho ng cách t m  a,b  đ n g c t a đ c g i lƠ argument c a s ph c z vƠ đ c kí hi u lƠ arg(z)   a a     cos  r b a  b2  ho c tan   v i    2 Tìm argument s ph c  b a sin   b   r a  b2 D ng l ng giác c a s ph c z  a  bi z  r  cos   isin  Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 10 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă I I 1  x  x 1  dx  x2 x2  x   CăTRUNG 2t 2dt   t  2   ln x  x  x2  x  1 x ax  bx  c dx dt  2t  ln 1 t C 1 t C lƠ Pn (x) đa th c b c n (3) lƠ Qn 1(x) đa th c b c ax  bx  c c xác đ nh b ng cách l y đ o hƠm đ ng th c (3).Tính h s n-1  đ c a Qn 1(x)  b ng ph  x2  x  1 Pn (x)dx I  Qn 1(x) ax  bx  c    I  t2 x  x  x 1 1 Tíchăphơnăd ng I8   Ví d : I   (1  t )  ng pháp h s b t đ nh x 3dx  2x  x x 3dx  2x  x x3  2x  x  (ax  bx  c)  2x  x     (2ax  b)  2x  x  dx  2x  x   2x  x  x3  (2ax  b)(1  2x  x )    x3  3ax3  (5a  2b)x  (3b  2a  c)x  b  c   19  a   ;b   ;c   ;   6 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 69 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă x 3dx I  2x  x  CăTRUNG 2x  5x  19 dx  2x  x  4  2x  x 2x  5x  19 x 1  C  2x  x  4arcsin Tíchăphơnăd ng I   x  (a  bx )  dx a) N u  1   b) N u  1    ta đ t a  bx  z k k lƠ m u c a phơn s  ta đ t ax   b  z k k lƠ m u c a phơn s  Ví d : I   I xdx 1 x xdx  x2     x 1  x  dx      3 (z2  1)2 dx  10 TíchăphơnăhƠmăl  1 11   đ t  x  z2 ta có  3 z  2z3  3z C v i z   x ngăgiác: Tích phơn d ng I1   R(sin x,cos x)dx R lƠ hƠm h u t x  t2 2t  t  cos x  ;sin x   t2  t2 a) đ tính ta đ t tg b) N u R(sin x,  cos x)  R(sin x,cos x) đ t sin x  t c) N u R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x) đ t cos x  t d) N u R( sin x,  cos x)  R(sin x,cos x) đ t tgx = t Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 70 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG §2:TệCHăPHÂNăXÁCă 1) NH nh ngh a, u ki n t n t i tích phơn xác đ nh: Cho hƠm f(x) xác đ nh đo n  a,b  ,chia  a,b  b i m chia x k v i k  0,n th a mãn a  x  x1   x n  b đ t x k  x k 1  x k v i t   max x k  Trên m i đo n  x k , x k 1  l y b t k m k  0,n k : x k  k  x k 1 L p t ng   n  f (k )x k vƠ đ c g i lƠ t ng tích phơn c a hƠm f(x) k 0 a,b ,n u t n t i gi i h n lim n  f (k )x k mƠ không ph 0 k  thu c vƠo phép chia  a,b  gi i h n g i lƠ tích phơn xác đ nh c a hƠm f(x)  a,b  , b vi t I   f (x)dx Khi hƠm f(x) lƠ hƠm kh tích  a,b  a N u ta g i m k M k t ng ng lƠ c n d i vƠ c n c a f(x)  x k , x k 1  T ng s  n  mk x k S  k 0 n  Mk x k đ c g i lƠ t ng acbu d i vƠ k 0 c a hƠm f(x) a,b  s    S Ta đ t Sk  Mk (x k 1  x k ) Nh n xét: N u thêm m chia m i t ng t ng acbu d i ch có th t ng lên vƠ acbu ch có th gi m Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 71 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG Ch ng minh:Gi s có x : x k  x  x k 1 t ng acbu trên  x k , x k 1  Sk  Mk (x  xk )  Mk (xk  x ) do xk , x   xk , xk 1  x, x k 1   x k , x k 1 nên Mk  Mk ;Mk  Mk  Sk  Sk M i t ng ng acbu d i không v t m i t ng trên,m c dù t ng v i cách chia khác nh lỦ: Tích phơn xác đ nh t n t i  lim (S  s)  2) 3) 0 Các l p hƠm kh tích N u hƠm f(x) lien t c  a,b  kh tích HƠm f(x) gi i n i  a,b  ch có m t s h u h n m gián đo n,thì kh tích  a,b  HƠm f(x) đ n u gi i n i  a,b  kh tích 4) Tính ch t c a tích phơn xác đ nh b a a b  f (x)dx   f (x)dx b c b a a c  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx b b  kf (x)dx  k  f (x)dx a k  cos nt a Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 72 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG b b b a a a  f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx b V i f (x)  x  a,b    f (x)dx  a b b a a N u f(x) vƠ g(x) kh tích vƠ f (x)  g(x)  a,b   f (x)dx   g(x)dx b b a a  f (x)dx   f (x) dx b N u m  f (x)  M  m(b  a)   f (x)dx  M(b  a) a nh lỦ giá tr trung bình:N u m  f (x)  M vƠ kh tích  a,b  b  f (x)dx  (b  a) m    M a 10 N u g(x) vƠ f(x).g(x) kh tích  a,b  ; m  f (x)  M vƠ g(x) gi nguyên b b a a m t d u,thì  f (x)g(x)dx    g(x)dx c   a, b đ b b a a c bi t n u f(x) liên t c  a,b   f (x)g(x)dx  f (c)  g(x)dx x 11 N u f(x) kh tích  a,b  (x)   f (t)dt, hàm (x) t/mãn tính a ch t sau: Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 73 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG a (x) liên t c  a,b  b (x)  f (x) x x (x  x)  (x)  x  f (t)dt   f (t)dt  a a x  f (t)dt  x.f (x  x) (đl giá tr tr/ x bình) (x  x)  (x)  f (x) x 0 x (x)  lim    12 Chú ý: a N u hƠm f (x) lƠ hƠm s ch n  a,a  a a a  f (x)dx  2 f (x)dx b N u hƠm f (x) lƠ hƠm s tu n hoƠn chu k 2k a  2k k  f (x)dx   k 5) f (x)dx v i a b t k a Cách tính tích phơn xác đ nh: Công th c Newton-Lepnit:N u f(x) liên t c  a,b  có nguyên hàm b x b F(x)  f (x)dx  F(x) x a  F(b)  F(a) a Khi tính nguyên hƠm c a f(x) ta áp d ng cách tính tích phơn đƣ bi t tích phơn khơng xác đ nh 6)Tính g n tích phơn xác đ nh 7) ng d ng c a tích phơn xác đ nh: Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 74 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG Di n tích hình ph ng:Mi n ph ng gi i h n b i hai đ g(x) liên t c ng cong f(x) vƠ b a,b đ c xác đ nh b i S   f (x)  g(x) dx a Di n tích mi n ph ng đ c cho b i ph ng trình tham s  x  x(t)   y  y(t) t1  t  t đ c xác đ nh S  t2   x(t)y(t)  x(t)y(t)dt t1 ng cho b i r  r() v i 1    2 đ Trong t a đ c c: c xác đ nh  2 S   r ()d 2 dƠi đ ng cong: b a Xác đ nh b i y  f (x) v i a  x  b đ c tính L    f 2 (x)dx a  x  x(t) b Xác đ nh b i  v i y y(t)   t1  t  t đ c tính t2 L   x2 (t)  y2 (t)dt t1  c Trong t a đ c c r  r() v i      L   r ()  r2 ()d  Th tích v t th : Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 75 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG b a V t V có th tích V   S(x)dx S = S(x) ( a  x  b ) a thi t di n th ng vng góc v i tr c 0x b b Do y  f (x) (a  x  b) quay xung quanh 0x: V0x   f (x)dx a b c Do y  f (x)  (a  x  b) quay xung quanh 0y: V0y  2 xf (x)dx a Di n tích m t tròn xoay đ y  f (x) v i n 1 a  k 1   f (a  k)dx  k 0 a  k ng cong ph ng n 1 a  k 1   f (x)dx  k 0 a  k n 1 a  k 1   f (a  k  1)dx k 0 a  k b b a a quay xung quanh tr c 0x: S0x  2 f (x)ds  2 f (x)  f 2 (x)dx Di n tích m t trịn xoay đ tham s ng cong ph ng cho b i ph ng trình  x  x(t) v i t1  t  t quay xung quanh 0x :   y  y(t) t2 S0x  2  y(t) x2 (t)  y2 (t)dt t1 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 76 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG §3 :TệCHăPHÂNăSUYăR NG 1) Tíchăphơnăv iăc năvơăt n: /ngh a:Cho hƠm s y  f (x) kh tích đo n  a,b  v i s h u h n b b  a Ta g i gi i h n lim b   f (x)dx (n u t n t i) lƠ tích phơn suy r ng c a a hàm y  f (x) a,   vƠ kỦ hi u  b a a  f (x)dx  blim  f (x)dx    f (x)dx Khi tích phơn  lƠ h i t , trái l i a HoƠn toƠn t b lim a  g i lƠ phơn k a ng t ta c ng có đ nh ngh a  b b  f (x)dx   f (x)dx a  f (x)dx lim   f (x)dx   f (x)dx a  b  a gi i h n t n  t i Chú ý: Ta c n có s so sánh v s t r ng ng tác gi a chu i s vƠ tích phơn suy Cácătínhăch tăđ năgi n a Tínhăch t 1:N u tích phơn   f (x)dx h i t tích a  phân  f (x)dx c ng A h i t vƠ ng c l i ( A  a ).Ngoài  A  a a A  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 77 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG b Tínhăch tă2: N u tích phơn    f (x)dx h i t lim A  a c Tínhăch tă4: N u tích phơn   f (x)dx  f (x)  g(x)dx h a d nhălỦă1: i t vƠ A   g(x)dx h a   f (x)dx  i t a    a a a  f (x)  g(x)dx    f (x)dx    g(x)dx  i u ki n t có vƠ đ đ  f (x)dx h i t lƠ   A0 đ a l n A0  a cho v i A1  A0 A2  A0 A2 A1 A1 a a A2  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   i uăki n h iăt :Ta xét nh ng hƠm f (x)  (liên h v i chu i s d ng) nhălỦă2: i u ki n t có vƠ đ đ a   f (x)dx f (x)  a A a  x   h i t lƠ tích phơn  f (x)dx b ch n ( A  a ) a b nhălỦă3:Gi s  f (x)  (x) a  x   hàm f (x) ; (x) Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 78 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG kh tích m i đo n  a,b v i a  b N u   (x)dx h  i t a  h i t vƠ  a a   f (x)dx   (x)dx Ng cl i a  f (x)dx  f (x)dx   (x)dx phơn k a a phơn k  x Víăd :Xét s h i t c a  x e dx v i   const  Ch ngăminh:Ta có lim x e  x x   :x e  x  (quy t c Lôpitan)nên v i x đ l n 1  x x e  x e  x x  2e e  x   x e dx   h i t , suy nhăngh a :Tích phân  x e dx h i t 1 c x   f (x)dx đ c g i lƠ h i t t đ i, n u a    f (x) dx h i t Nh v y a   f (x) dx h i t a d  f (x)dx c ng h i t a nhălỦă4: Cho y  f (x) kh tích đo n  a,b  v i s h u h n ba 0  N u   ,v i C  const  th a mƣn f (x)  C x   f (x)dx h i t t đ i a Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 79 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG  N u    vƠ v i x đ l n f (x)  e x  ,  f (x)dx phơn k a nhălỦă5 (Abel) Gi s f (x) g(x) xác đ nh a,  h n n a  - Tích phân  f (x)dx h it a - Hàm g(x) đ n u b ch n  tích phân  g.f dx h it a f nhălỦă6ă(Dirichlet):Cho   a  ;hƠm s (x) liên t c v i xa b N u t n t i C  const  cho a  b :  (x)dx  C a   a (x) x  dx h i t 2) Tíchăphơnăc aăhƠmăs ăkhơngăb ăch n: nhăngh a: Cho hàm f (x) kh tích m i đo n a  ,b v i 0ba, xác đ nh a,b nh ng không b ch n t i lơn c n x  a N u t n t i b lim 0  f (x)dx gi i h n g i lƠ tích phơn c a hƠm không b ch n a  b f (x)  a,b vƠ kỦ hi u :  f (x)dx a nhăngh a: Cho hàm f (x) kh tích m i đo n a,c  1  ;  c  2 , b , Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 80 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG  1  c  a ;  2  b  c vƠ không b ch n c t i tích phơn suy r ng  f (x)dx a c 1 lim 1 0  f (x)dx   f (x)dx lim  0 a ta có b  f (x)dx t c lƠ t n t i gi i h n sau c c a lơn c n m c.Khi t n b b  c  b c b a a c f (x)dx   f (x)dx c  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx b ta có  f (x)dx h i t ,trái l i tích phơn g i lƠ phơn k a L uăỦ: b Trong tích phân  f (x)dx n u hƠm s f (x) không xác đ nh t i x  a ho c x  b a b nh ng t n t i lim f (x) ho c lim f (x)  f (x)dx v n t n t i x a  x b  a M i liên h gi a hai lo i tích phơn suy r ng:Gi s Cho hƠm f (x) kh tích m i đo n a  ,b v i    b  a ,xác đ nh a,b nh ng không b b ch n t i lơn c n x  a Do lim   f (x)dx   a t xa b f (x)dx a  y Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 81 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă b  ta có f (x)dx  a    b a CăTRUNG dy f (a  )  y y   b a  b lim   f (x)dx   Khi (y)dy (y)  (y)dy   (y)dy b a i uăki năh iăt :T phơn tích trình bƠy a f (a  ) y y  b a a nhălỦă1’: i u ki n t có vƠ đ đ ta có đ nh lỦ sau b  f (x)dx a f (x)  0; x   a,b h i t lƠ tích phơn b  f (x)dx b ch n v i a    (    b  a ) b nhălỦă2’:Gi s  f (x)  (x) a  x  b b b b b N u  (x)dx h i t  f (x)dx h i t vƠ  f (x)dx   (x)dx Ng a a a b  f (x)dx phơn k cl i a b  (x)dx phơn k a a c nhălỦă3’: b /ki n t có vƠ đ đ  f (x)dx h i t lƠ     : a  1    2   a   f (x)dx   a 1 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 82 TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017) GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă CăTRUNG b nhăngh a :Tích phân  f (x)dx đ d c g i lƠ h i t t đ i, n u a  b  f (x) dx h i t Nh v y   f (x) dx h i t a a  f (x)dx c ng h i t a nhălỦă4: e  N u    x  a đ g n a mƠ f (x)  (x  a) b  f (x)dx h i t t đ i a  N u   x  a đ g n a đ f (x)  g (x  a) b  f (x)dx phơn k a nhălỦă5:Cho   a  ;hƠm s (x) liên t c v i x  a N u t nt i b C  const  cho:  a  b (x)dx  C  (x  a)  (x)dx h i t a Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 83