Sáng kiến kinh nghiệm I. Đặt vấn đề: Đại số là một ngành lớn của toán học. Đối tợng nghiên cứu của nó là các phép tính ví dụ nh cộng, trừ, nhân, chia, cụ thể hơn là mối quan hệ giữa các phép tính. Có thể nói Đại số có lịch sử lâu đời nhất trong trong toán học. Tuy nhiên nó ngày càng phát triển với những bớc nhảy vọt. Đại số là ngành học mà nó là động lực thúc đẩy sự phát triển của toán học nói chung và có ứng dụng cần thiết trong thực tế cuộc sống nh trong khoa học kỹ thuật. Trong trờng học, Đại số là môn toán học đầy hứng thú song cũng rất phức tạp. Nó là môn học rèn luyện kỹ năng tính toán, phát huy trí thông minh sáng tạo cho học sinh từ đó phát hiện ra những tài năng trẻ. Là giáo viên dạy toán trong đó có phân môn Đại số lớp 8 tôi không khỏi có những trăn trở về bộ môn này. Đứng trớc một môn học với biết bao kiến thức với những dạng toán phức tạp và đa dạng đòi hỏi ngời thầy phải tìm ra cho mình một phơng pháp dạy sao cho phù hợp với kiến thức, phù hợp với đối tợng học sinh mà mình tiếp cận để đạt đợc hiệu quả cao nhất. Đối với từng dạng toán phải đa ra ph- ơng pháp giải phù hợp đặc biệt là trong công tác phát hiện và bồi dỡng những học sinh có năng khiếu toán. Một trong những dạng toán hấp hẫn mà không dễ dàng với học sinh là: "Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 1 biểu thức". Đây là 1 vấn đề không đơn giản nhng rất cần thiết cho việc bồi dỡng học sinh giỏi. Và bởi lẽ nó không đơn giản nên tôi chỉ dám đề cập đến 1 khía cạnh nhỏ là: "Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bằng phơng pháp bất đẳng thức". 1 Sáng kiến kinh nghiệm II. Nội dung: Ta đã biết các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có 1 vị trí xứng đáng trong chơng trình học và dạy toán ở các trờng THCS. Các bài toán này rất phong phú, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng 1 cách hợp lý nhiều khi khác độc đáo. Tuy nhiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có rất nhiều phơng pháp song ở đây tôi chỉ đề cập đến phơng pháp bất đẳng thức. Đứng trên quan điểm hàm số ngời ta định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 1 hàm số trên 1 miền nào đó nh sau: "Cho hàm số F(x) xác định trên miền D. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất F(x) trên D nếu nh đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau đây: 1. F(x) M x D 2. Tồn tại x 0 D sao cho F(x 0 ) = M Khi đó ta kí hiệu M = max F(x) x D Số m gọi là giá trị bé nhất của F(x) trên D, nếu nh đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau: 1. F(x) m x D 2. Tồn tại x 0 D sao cho F(x 0 ) = m Khi đó ta kí hiệu: m = min F(x) x D Phơng pháp bất đẳng thức thực ra dựa trực tiếp vào định nghĩa trên. Nghĩa là để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của 1 biểu thức A ta cần chứng minh rằng Ak hoặc Ak (với k = cmst) giá trị của biểu thức và chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. Để sử dụng phơng pháp này ngoài những bất đẳng thức cơ bản đã học tôi muốn đề cập đến 1 bất đẳng thức rất hay sử dụng là bất đẳng thức Côsi: Nếu a 1 , a 2 ,a n là các số không âm, ta có: 2 Sáng kiến kinh nghiệm 1, n n anaa n aaa . . 21 21 ++ (1) 2, Dấu "=" trong (1) xảy ra a 1 = a 2 = a 3 =.a n Trong khuôn khổ có hạn tôi không đi sâu vào chứng minh bất đẳng thức này. và ta hay thờng sử dụng các trờng hợp riêng của trờng hợp tổng quát trên: + Bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm: a, b Ta có: a + b 2 ab Dấu "=" xảy ra a = b + Bất đẳng thức côsi cho 3 số không âm: a, b, c Ta có: a + b + c 3 3 abc Dấu "=" xảy ra a = b = c Sau đây ta xét 1 số ví dụ về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức bằng phơng pháp bất đẳng thức. Ví dụ 1: "Với giá trị nào của x để biểu thức A = x 2 - 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất ?" Đây là biểu thức cha biết x, giá trị của A tuỳ thuộc vào giá trị của biểu thức x. A có giá trị thay đổi nhng nó tồn tại 1 giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất ấy là bao nhiêu? ứng với giá trị nào của x? Để trả lời ta phải tìm cách để chứng minh rằng A k (k là hằng số) khi đó A min = k ứng với giá trị của x làm cho A = k. Muốn chứng minh đợc ta phải tách biểu thức A thành nhóm thích hợp. Lời giải: Ta có A = x 2 - 2x + 5 = x 2 - 2x + 1 + 4 A = (x -1) 2 + 4 Mà (x-1) 2 0 dấu "=" xảy ra x = 1 Vậy A min = 4 x = 1 Hay với x = 1 thì biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 4. 3 Sáng kiến kinh nghiệm Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai: f(x)= 125 2 + xx b) Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai: f(x)= 23 2 + xx Bài giải: a) Ta có f(x)= 125 2 + xx = 1 5 2 5 2 + xx = 1 5 1 5 1 5 2 5 22 2 + + xx = 1 5 1 5 1 5 2 + x = 5 4 5 1 5 2 + x Với x, x R thì 0 5 1 2 x nên ta có: f(x) = 5 4 5 4 5 1 5 2 x Với x, x R Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 5 4 , đạt đợc khi x = 5 1 b) f (x) = 23 2 + xx = xx 3 1 3 2 = 2 6 1 6 1 3 1 3 22 2 + xx = 12 23 6 1 3 2 x Vì 0 6 1 2 x x, x R nên 12 23 12 23 6 1 3 2 x 4 Sáng kiến kinh nghiệm Và f(x) đạt giá trị lớn nhất là 0 6 1 3 2 = x 0 6 1 = x 6 1 = x Kết quả: f(x) đạt giá trị lớn nhất 12 23 ứng với giá trị x = 6 1 của biến. Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x 2 + x + 1) 2 Mới thoạt nhìn bài toán học sinh rất dễ nhầm lẫn và có vẻ đơn giản. Ta sẽ cho rằng A 0 x (vì là bình phơng của 1 biểu thức) và do đó A có giá trị nhỏ nhất bằng 0. Không phải vậy. Nếu để ý kĩ hơn ta sẽ nhận ra ngay A >0 x Vì x 2 + x + 1 0 Lời giải của bài toán nh sau: Ta có x 2 + x + 1 = x 2 + x + 4 3 4 1 + Nên: x 2 + x + 1 4 3 x dấu "=" xảy ra x = 2 1 Do đó A min (x 2 + x + 1) min => Giá trị nhỏ nhất của A = 16 9 4 3 2 = x = - 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 16 9 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (2x - 1) 2 - 3 12 x + 2 Bài toán này biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất có chứa cả giá trị tuyệt đối. Mới nhìn ta có cảm giác là phức tạp. Song nếu bình tĩnh suy xét ta sẽ thấy ngay 1 5 Sáng kiến kinh nghiệm nét đặc biệt trong biểu thức đó là các luỹ thừa của (2x - 1). Từ đó gợi ý cho ta có thể đổi biến để đa về bài toán đơn giản hơn: Giải: Đặt 12 x = t nh vậy t 0 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: t 2 - 3t + 2 với t 0 Ta có: t 2 - 3t + 2 = t 2 - 3t + 4 9 - 4 1 2 3 4 1 2 = t Mà 2 2 3 t 0 0 => t 2 - 3t + 2 = 2 2 3 t - 4 1 - 4 1 0 Dấu"=" xảy ra t = 2 3 Do đó: A - 4 1 x => A min = - 4 1 12 x = 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là - 4 1 Khi và chỉ khi Ví dụ 5: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x) = 2 322 2 2 + + xx xx b) Tìm giá trị lớn nhất của Q(x) = 4 173 2 2 + + x x Bài giải a) Sử dụng phép chia đa thức, ta đa P(x) về dạng: 6 2x - 1 = 2 3 1 - 2x = 2 3 x = 4 5 x = - 4 1 x = 4 5 x = - 4 1 x = 4 5 x = - 4 1 Sáng kiến kinh nghiệm P(x) = 2 - 2 1 2 + xx Xét 4 3 2 1 2 2 1 2 1 2 222 22 + =+ +=+ xxxxx Vì 0 2 1 2 x x, x R nên 4 3 2 2 + xx , x, x R Và 2 2 + xx đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 1 Suy ra 2 1 2 + xx đạt giá trị lớn nhất khi x = 2 1 và giá trị lớn nhất đó là: 3 4 3 1 = Vậy P(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 2 - 3 2 3 4 = Kết quả: P 2 1 = 3 2 b) Ta có Q(x) = 3 + 4 5 2 + x ; Q(x) lớn nhất khi 4 5 2 + x lớn nhất. 4 5 2 + x lớn nhất khi x 2 +4 đạt giá trị nhỏ nhất. Vì x 2 + 4, x, x R nên x 2 + 4 đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi x =0. Vậy với x = 0, Q(x) đạt giá trị lớn nhất là 3 + 4 1 4 4 5 = Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của M = 544 3 2 + xx Đây là biểu thức có tử là hằng số và mẫu là 1 tam thức bậc 2. Sẽ là không chính xác nếu lập luận M có tử là hằng nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Bây giờ vấn đề đặt ra là ta phải làm thế nào để chứng minh đợc 1 bất đẳng thức nào đó. Ta chú ý mẫu thức: 4x 2 - 4x + 5 = 4x 2 - 4x + 1 + 4 = (2x - 1) 2 + 4 + 4 x. Từ đó 7 Sáng kiến kinh nghiệm ta có thể lập luận để đa ra bất đẳng thức cho cả biểu thức M nhờ vào phép so sánh hai phân tử. Giải: M = 544 3 2 + xx = 4)12( 3 4144 3 22 + = ++ xxx Ta thấy (2x - 1) 2 0 x Dấu "=" xảy ra x = 2 1 Nên (2x - 1) 2 + 4 4 x dấu "=" xảy ra x = 2 1 Do đó: 4 3 4)12( 3 2 + x (theo qui tắc so sánh 2 phân thức mà tử và mẫu đều dơng) Dấu "=" xảy ra x = 2 1 Vậy M mãx = 2 1 4 3 = x Qua ví dụ này ta thấy để tìm đợc giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức trớc hết ta phải xem dạng của biểu thức từ đó định hớng để đi tới 1 bất đẳng thức nào đó, thờng là những bất đẳng thức thông dụng. Nhng cũng có bài toán ta phải phân tích để sử dụng một số bất đẳng thức khác đã chứng minh. Sau đây là ví dụ: Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = z y y zx x zy yx z xz y y x + + + + + + + + + + + x z Với x 0; y 0 ; z 0 Với bài toán này nếu để nguyên thì ta không thể đa về: A k (k=const) ngay đợc. Nếu đọc kỹ đề ta có thể nghĩ đến việc tách A thành 2 nhóm mà mỗi 8 Sáng kiến kinh nghiệm nhón ta có thể chứng minh đợc 1 bất đẳng thức sau đó ta sẽ đa về việc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều. Để ý : yx z xz y zy x + + + + + và z yx y zx x zy + + + + + là các vế của những bất đẳng thức ta thờng gặp Giải: Xét: B = yx z xz y zy x + + + + + Đặt: x +y = a; y + z = b; x + z = c => a, b, c >0 Theo bất đẳng thức côsi cho 3 số a, b, c: a + b + c 3 abc 3 Dấu "-" xảy ra a = b = c ++ cba 111 3 3 1 abc Dấu "-" xảy ra a = b = c ( ) 9 111 ++++ cba cba Dấu "=" xảy ra a = b = c Thay x + y = a; y + z = b; x + z = c ta có: 2 (x + y +z) 9 111 + + + + + zxzyyx ( ) 2 9111 + + + + + ++ zxzyyx zyx 2 9 11 + + + ++ + + zx y zy x yx z 2 3 + + + + + zx y zy x yx z Dấu "=" xảy ra x = y = z Xét: y zx x zy z xy C + + + + + = = ++ ++ + x y y x x z z x y z z y 9 Sáng kiến kinh nghiệm vì x, y, z > 0 nên y x ; x y ; z x ; x z ; z y ; y z >0 áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2 + y z z y Dấu "=" xảy ra x = y 2 + x z z x Dấu "=" xảy ra x = z 2 + y x x y Dấu "=" xảy ra x = y C 6 Dấu "=" xảy ra x =y =z Ta có: A = B + C Nên A 2 15 6 2 3 =+ Dấu "=" xảy ra x =y =z Vậy A min = 2 15 zyx == Ví dụ 8: 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2x - x 2 với 0<x<2 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q(x) = , 4 2 x x + x>0 Giải 1. ta có 2x - x 2 = x(2-x) với 0 < x <2 => x > 0, 2 - x > 0 Xét tổng x + (2-x) = 2 = không đổi. Vậy tích x(2-x) lớn nhất khi x = 2 -x => x = 1 Giá trị lớn nhất của P(x) với 0 < x < 2 là: P(1) = 1 + 1 = 2, ứng dụng với giá trị x = 1. 2. Ta có Q(x) = x x 4 2 + = x + x 4 x>0 10 [...]... riêng, có đầy đủ các thiết bị hiện đại nh: máy chiếu, máy vi tính v.v 13 Sáng kiến kinh nghiệm V Tài liệu tham khảo 1 Một số vấn đề phát triển Toán 8 - tập 1, tập 2 của tác giả Vũ Hữu Bình 2 Toán nâng cao Đại số 8 của tác giả Vũ Thế Hựu 3 Một số chuyên đề Toán 8 của tác giả Bùi Văn Tuyên 14 ... phơng pháp bất đẳng thức để tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của 1 biểu thức nào đó Phơng pháp này không phải bài toán nào dạng này cũng áp dụng đợc mà còn tuỳ thuộc vào từng bài cụ thể Đứng trớc bài toán dạng này nên xem xét đề kỹ càng để xác định hớng đi cho đúng Đặc biệt loại toán này học sinh rất dễ hay ngộ nhận (ví dụ 2) cho nên ngời dạy phải cho học sinh nắm chắc về khái niệm giá trị lớn nhất... khái niệm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 1 biểu thức Phơng pháp này gần gũi, dễ hiểu đối với các em ở bậc THCS song cũng không nhất thiết là bài toán nào cũng áp dụng nó ở đối tợng học sinh của mình, tôi đã cho các em áp dụng phơng pháp này để giải một số bài toán về tìm giá trị 12 Sáng kiến kinh nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và kết quả là các em nắm bắt đợc rất tốt và sử dụng thành thạo Trong... hợp chung để phát hiện ra dấu đẳng thức cần có nhận xét thích hợp Tuy nhiên yêu cầu phải biết sáng tạo linh hoạt trong việc tìm ra một bất đẳng thức để chứng minh IV Một vài kiến nghị Là giáo viên dạy toán đợc tham gia dạy ngay năm đầu tiên của chơng trình thay sách giáo khoa, đợc tiếp thu nhiều phơng pháp mới trong dạy học và tôi nhận thấy để có hiệu quả cao hơn trong công tác giảng dạy thì cơ sở vật . đề phát triển Toán 8 - tập 1, tập 2 của tác giả Vũ Hữu Bình. 2. Toán nâng cao Đại số 8 của tác giả Vũ Thế Hựu. 3. Một số chuyên đề Toán 8 của tác giả Bùi. dạng toán phải đa ra ph- ơng pháp giải phù hợp đặc biệt là trong công tác phát hiện và bồi dỡng những học sinh có năng khiếu toán. Một trong những dạng toán