BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU TRANG TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN METRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU TRANG TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hà Đức Vượng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Trang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Tính đầy đủ không gian metric nón” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Trang Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Bổ sung không gian metric 15 Tính đầy đủ không gian metric nón 23 2.1 Không gian metric nón 23 2.2 Bổ sung không gian metric nón 30 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực Q Tập số hữu tỷ ∅ Tập rỗng int(P ) Phần P p Quan hệ thứ tự theo nón P Kết thúc chứng minh Mở đầu Lí chọn đề tài Cho tập hợp X tùy ý khác rỗng ánh xạ T : X → X Nếu tồn x0 ∈ X mà T x0 = x0 x0 gọi điểm bất động ánh xạ T tập hợp X Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên lý thuyết điểm bất động (fixed point theory) Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung toán học nói riêng Các kết điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, Định lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Định lý điểm bất động Caristi (1976) Các kết quan trọng điểm bất động công bố gắn liền với tính đầy đủ không gian metric Mặt khác, với không gian metric không đầy đủ ta xây dựng không gian metric đầy đủ chứa gọi bổ sung không gian metric Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc H Long Guang Z Xian giới thiệu khái niệm metric nón, cách thay tập số thực R định nghĩa metric không gian Banach thực E [4] Năm 2009, nhà toán học Thabet Abdeljawad người Thổ Nhĩ Kỳ mở rộng cách bổ sung không gian metric thành không gian metric đầy đủ sang lớp không gian metric nón đăng báo: “ Completion of cone metric spaces” tạp chí Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics Trong báo tác giả giới thiệu định lý kỹ thuật bổ sung không gian metric nón để có không gian metric nón đầy đủ Với mong muốn tìm hiểu sâu kỹ thuật bổ sung làm đầy đủ không gian metric, không gian metric nón, giúp đỡ hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: “Tính đầy đủ không gian metric nón” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính đầy đủ không gian metric nón Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống kết tính đầy đủ không gian metric nón - Nghiên cứu cách bổ sung để không gian metric nón đầy đủ từ không gian metric nón cho trước Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính đầy đủ không gian metric nón dựa hai báo: Comepletion of cone metric space [3] Thabet Abdeljawad Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings [4] H Long-Guang Z Xian Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu Đóng góp luận văn Qua đề tài xây dựng luận văn tài liệu tổng quan kỹ thuật bổ sung để không gian metric không gian metric nón đầy đủ Luận văn trình bày gồm hai chương nội dung: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức không gian metric, không gian metric đầy đủ Kỹ thuật làm đầy đủ không gian metric Sau khái niệm đưa ví dụ phản ví dụ để minh họa Chương Tính đầy đủ không gian metric nón Trong chương trình bày khái niệm nón, nón chuẩn tắc, metric nón không gian metric nón đầy đủ Sau khái niệm đưa ví dụ phản ví dụ để minh họa Cuối trình bày định lý kỹ thuật làm đầy đủ không gian metric nón 31 Chứng minh Với ε > , ta chọn c ∈ E cho p c c < ε 4K + Vì lim xn = x, lim yn = y nên tồn số tự nhiên N cho n→∞ n→∞ dp (xn , x) p c dp (yn , y) p c, ∀n ≥ N Ta có: dp (xn , yn ) p dp (xn , x) + dp (x, y) + dp (y, yn ) p dp (x, y) + 2c, ∀n > N Ta suy dp (x, y) + 2c − dp (xn , yn ) p 4c Hay − [dp (xn , yn ) − 2c − d(x, y)] ≤p 4c Vì P nón chuẩn tắc với số K nên ta có −[(dp (xn , yn )) − 2c − d(x, y)] ≤p K 4c Hay (dp (xn , yn )) − 2c − d(x, y) ≤p K 4c Vậy ta có dp (xn , yn ) − dp (x, y) = dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y) + 2c ≤ dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y) + 2c 32 Khi ta có dp (xn , yn ) − dp (x, y)) ≤ K 4c + 2c = (4K + 2) c Mà c < ε , ta suy 4K + dp (xn , yn ) − dp (x, y) < ε Vậy ta có lim dp (xn , yn ) = dp (x, y) n→∞ Định lý 2.2.2 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số K {xn } dãy X Khi dãy {xn } hội tụ tới x thuộc X lim dp (xn , x) = n→∞ Chứng minh Giả sử {xn } ⊂ X lim xn = x Tức lim dp (xn , x) = n→∞ Với ε > 0, ta chọn c ∈ E cho n→∞ p c K c < ε Vì lim dp (xn , x) = nên tồn số tự nhiên N cho n→∞ dp (xn , x) Sao cho dp (xn , x) p p c, ∀n > N c, ∀n > N Do P chuẩn tắc với số K , ta có dp (xn , x) ≤ K c < ε, ∀n > N Chứng tỏ lim (xn , x) = E n→∞ Ngược lại, giả sử E ta có lim dp (xn , x) = Khi ∀c ∈ E mà n→∞ p c, tồn δ > cho x N , tức ta có lim dp (xn , x) = n→∞ Hay lim xn = n n→∞ Định lý 2.2.3 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón {xn } dãy X Nếu dãy {xn } hội tụ tới x {xn } dãy Cauchy Chứng minh Dãy {xn } ⊂ (X, dp ) Giả sử {xn } dãy hội tụ, ta có với c ∈ E, p c, tồn số tự nhiên N ∈ N∗ cho dp (xn , x) p dp (xm , x) p c c , ∀n, m ≥ N Ta suy c − dp (xn , x) ∈ intP, c − dp (xm , x) ∈ intP Do intP tập mở, ta có intP + intP ⊂ intP Vậy ta có c c − dp (xn , x) + − dp (xm , x) ∈ intP 2 Hay c − (dp (xn , x) + dp (xm , x)) ∈ intP 34 Suy dp (xn , x) + dp (xm , x) p c Vậy ta có dp (xn , xm ) ≤p dp (xn , x) + dp (xm , x) p c Do {xn } dãy Cauchy (X, dp ) Định lý 2.2.4 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số K {xn } dãy X Khi {xn } dãy Cauchy lim dp (xn , x) = n→∞ Chứng minh.Giả sử {xn } dãy Cauchy X Gọi K số chuẩn tắc nón P Với ε > 0, chọn c ∈ E cho p c K c < ε Vì dãy {xn } dãy Cauchy nên tồn số tự nhiên N cho dp (xn , xm ) p c, ∀n, m > N Do P nón chuẩn tắc với số K nên ta có dp (xn , xm ) ≤ K c < ε, ∀n, m > N Vậy lim dp (xn , xm ) = n,m→∞ Ngược lại, giả sử lim dp (xn , xm ) = 0, ta {xn } dãy Cauchy n,m→∞ Thật vậy, ∀c ∈ E mà p c, tồn δ > cho x vậy, tồn số tự nhiên N cho dp (xn , xm ) N Ta suy c − dp (xn , xm ) ∈ intP Vậy ta có dp (xn , xm ) Do ta có p c, ∀n, m ≥ N lim dp (xn , xm ) = 0, tức ta có dãy {xn } dãy Cauchy n,m→∞ X Định lý 2.2.5 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số K không gian Banach thực E Dãy {xn } X thì: Dãy {xn } hội tụ tới x lim dp (xn , x) = E n→∞ Dãy {xn } dãy Cauchy lim n,m→∞ dp (xn , xm ) = E Chứng minh Giả sử {xn } dãy hội tụ X tức ta có lim xn = x n→∞ K số chuẩn tắc P Với ε > 0, chọn c ∈ E cho p c K c < ε Khi đó, lim xn = x ∈ X , ta suy tồn số tự nhiên n0 n→∞ cho dp (xn , x) p c, ∀n ≥ n0 36 Vì nón P chuẩn tắc với số K nên dp (xn , x) ≤ K c < ε, ∀n ≥ n0 Vậy lim dp (xn , x) = E n→∞ Ngược lại, giả sử lim dp (xn , x) = E n→∞ Ta có với p c thuộc E , tồn δ > cho x < δ c − x ∈ intP , ( int P tập mở) Với δ > xác định trên, tồn số tự nhiên n0 cho dp (xn , x) < δ, ∀n ≥ n0 Suy c − dp (xn , x) ∈ intP Ta dp (xn , x) p c, ∀n ≥ n0 , tức xn → x, (n → ∞) Giả sử {xn } dãy Cauchy X , gọi K số chuẩn tắc nón P Với ε > chọn c thuộc E cho p c K c < ε Khi đó, từ {xn } dãy Cauchy, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , xm ) p c, ∀n, m ≥ n0 Vì nón P chuẩn tắc với số K nên ta có d(xn , xm ) ≤ K c < ε, ∀n, m ≥ n0 37 Vậy lim n,m→∞ dp (xn , xm ) = 0, hay lim dn (xn , xm ) = E n,m→∞ Ngược lại, giả sử lim dp (xn , xm ) = E n,m→∞ Ta có, với p c thuộc E , tồn δ > cho x < δ c − x ∈ intP ( intP tập mở) Với δ > xác định tồn n0 cho dp (xn , xm ) < δ, ∀n, m ≥ n0 Suy c − dp (xn , xm ) ∈ intP Ta nhận dP (xn , xm ) c, ∀n, m ≥ n0 Tức {xn } dãy Cauchy Định lý 2.2.6 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón không đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số K không gian Banach thực E Khi tồn không gian metric nón (Xs , ds ) đầy đủ, có không gian W đẳng cự với X trù mật Xs 38 Không gian (Xs , ds ) ta coi không gian đẳng cự đồng Chứng minh Chứng minh chia làm bước sau: Xây dựng không gian (X s , ds ) Xây dựng ánh xạ T : X → W phép đẳng cự Trong W ⊂ X s trù mật X s Tính đầy đủ không gian X s Tính X s Ta chứng minh chi tiết bước sau: Giả sử dãy {xn } dãy xn dãy Cauchy (X, dp ) Ta định nghĩa {xn } tương đương với xn , viết là: {xn } ∼ xn lim dp (xn , xn ) = (E, ||.||) n→∞ (2.1) Giả sử X s lớp tương đương xs , y s , dãy Cauchy Chúng ta viết {xn } ∈ X s nghĩa {xn } thành phần xs (đại diện lớp xs ) đặt: ds (xs , y s ) = lim dp (xn , yn ) n→∞ (2.2) Do {xn } dãy Cauchy nên giới hạn (2.2) tồn không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện Ta dễ dàng thấy ds thoả mãn ba điều kiện đầu định nghĩa metric nón (định nghĩa 2.1.4) Bây ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác 39 Trong (X, dp ) ta có dp (xn , yn ) ≤p dp (xn , zn ) + dp (zn , yn ), ∀n ∈ N∗ Do nón P tập hợp đóng, dp ánh xạ liên tục nên ta có lim dp (xn , yn ) ≤p lim dp (xn , zn ) + lim dp (zn , yn ) n→∞ n→∞ n→∞ Vậy ta có ds (xs , y s ) ≤p ds (xs , z s ) + ds (z s , y s ) Do (X s , ds ) không gian metric Ta xác định ánh xạ T : X → X s sau: Với b ∈ X , ta tạo lớp tương đương bs ∈ X s mà lớp chứa dãy Cauchy số (b, b, ) Vì ta đặt T (b) = bs , (b, b, ) ∈ bs Đặt W = T (X), ta có W ⊂ X s Từ (2.2) ta thấy T phép đẳng cự ta có ds (bs , as ) = dp (b, a), as lớp tương đương dãy Cauchy {yn } với yn = a, ∀n Phép đẳng cự ánh xạ − từ X lên W Vì ta có X W không gian đẳng cự Tiếp theo ta chứng minh W trù mật X s Ta lấy xs ∈ X s , dãy {xn } ∈ xs Vì {xn } dãy Cauchy nên ∀c số tự nhiên n0 cho dp (xn , xn0 p c , ∀n ≤ n0 p 0, tồn 40 Lấy (xn0 , xn0 , ) ∈ xsn0 xsn0 ∈ W Do ta có ds (xs , xsn0 ) = lim dp (xn , xn0 ) n→∞ p c Điều chứng tỏ c - lân cận xs ∈ X s chứa phần tử tập hợp W Vì W trù mật X s , tức bao đóng W trùng với không gian X s Bây ta chứng minh (X s , ds ) không gian metric nón đầy đủ Giả sử {xsn } dãy Cauchy (X s , ds ) Vì W trù mật X s nên với p c cố định, ∀xsn ta có zns ∈ W p c n cho ds (xsn , zns ) Mặt khác ta có s s ds (zm , zns ) ≤p ds (zm , xsm ) + ds (xsm , xsn ) + ds (xsn , zns ) ≤p c c + + ds (xsm , xsn ) m n Giả sử P nón chuẩn tắc với số K , ta suy s ds (zm , zns ) ≤ K c c + + ds (xsm , xsn ) m n Chuyển qua giới hạn ta có lim n,m→∞ s ds (zm , zns ) ≤ K lim m,n→∞ c c + + ds (xsm , xsn ) = m n 41 s } dãy Cauchy (X s , d ) Vậy {zm s Vì T : X → W song ánh đẳng cự nên ta có s } dãy Cauchy (X, d ) dãy {zm } = T −1 {zm p Giả sử xs lớp tương đương chứa dãy {zm } Ta có ds (xsn , xs ) ≤p ds (xsn , zns ) + ds (zns , xs ) ≤p c + ds (zns , xs ) n Vì dãy {zm } ∈ xs , zns ∈ W (zn , zn , ) ∈ zns nên ta suy ds (xsn , xs ) ≤p ds (xsn , zns ) + ds (zns , xs ) ≤p c + lim d(zn , zm ) n n,m→∞ Vì P nón chuẩn tắc với số K , ta có ds (xsn , xs ) ≤ K c + lim d(zn , zm ) n m→∞ Do {zn } dãy Cauchy nên ta có lim ds (xsn , xs ) = n→∞ hay lim xsn = xs ∈ X s n→∞ Vậy (X s , ds ) không gian metric nón đầy đủ Cuối ta chứng minh (X s , ds ) xác định ta đồng không gian đẳng cự 42 Thật vậy, (Y s , ρs ) không gian metric nón đầy đủ với tập V trù mật (Y s , ρs ) V đẳng cự với X , với xs , y s ∈ X s ta có dãy {xsn } {yns } W cho lim xs n→∞ n = xs lim yns = y s , n→∞ không gian (X s , ds ) Theo định lý 2.2.1 ta có ds (xs , y s ) = lim ds (xsn , yns ) n→∞ Do V W không gian đẳng cự, V trù mật (Y s , ρs ) nên ta có khoảng cách ds ρs Tức ds (xs , y s ) = ρs (xs , y s ) Hay X s Y s không gian đẳng cự Vì ta coi không gian đẳng cự đồng nên không gian (X s , ds ) xây dựng Kết luận chương Trong chương trình bày khái niệm nón, nón chuẩn tắc, metric nón, không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ tính chất Các khái niệm H Long Guang Z Xian giới thiệu báo "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings " tạp chí J Math Anal Appl, [4] 43 Cuối trình bày định lý bổ sung không gian metric nón không đầy đủ thành không gian metric nón đầy đủ (định lý 2.2.6) Kết Thabet Abdeljawad công bố báo "Completion of cone metric spaces" đăng tạp chí Hacettepe Journal of Mathematics and statistics, [3] 44 Kết luận Luận văn trình bày số kiến thức không gian metric, kỹ thuật làm đầy đủ không gian metric Sau trình bày kiến thức không gian metric nón, kỹ thuật làm đầy đủ không gian metric nón Với phạm vi thời gian kiến thức có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (1998), Tô pô đại cương, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Thabet Abdeljawad (2010), Completion of cone metric spaces, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, Vol 39 (1), 67 74 [4] H Long-Guang and Z Xian (2007), cone metric spaces and fixed piont theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl , 332, 1468-1476 [...]... trong R vì Q = R c) (R, d) là không gian metric đầy đủ Vậy R chính là bổ sung của không gian metric (Q, d) 22 Kết luận chương 1 Như vậy trong chương này sau phần khái niệm về không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric là khái niệm về không gian metric đầy đủ Phần cuối của chương là định lý bổ sung một không gian metric không đầy đủ thành không gian metric đầy đủ Định lý được trình bày phần... không gian đầy đủ 1.2 Bổ sung của không gian metric Định lý 1.2.1 [1] Giả sử (X, d) là không gian metric không đầy đủ Khi ˆ sao cho: ˆ d) đó, tồn tại một không gian metric đầy đủ (X, ˆ; 1 X đẳng cự với một không gian con X1 của X ˆ 2 X1 trù mật trong X ˆ được xác định một cách duy nhất nếu coi các không ˆ d) Không gian (X, gian đẳng cự là đồng nhất ˆ được gọi là bổ sung của không gian (X, d) ˆ d) Không. .. cương của Đỗ Văn Lưu trong [1] 23 Chương 2 Tính đầy đủ của các không gian metric nón Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về nón, metric nón, xây dựng quan hệ thứ tự trên không gian metric nón Sau đó trình bày kỹ thuật làm đầy đủ một không gian metric nón Sau mỗi khái niệm, chúng tôi đều đưa ra ví dụ để minh họa 2.1 Không gian metric nón Định nghĩa 2.1.1 [3] Một tập con P của không. .. chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian metric, sự hội tụ trong không gian metric Khái niệm không gian metric đầy đủ và kỹ thuật làm đầy đủ một không gian metric không đầy đủ Sau mỗi khái niệm chúng tôi đều đưa ra ví dụ để minh họa 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn... p c, tồn tại số tự nhiên N sao cho: d(xn , xm ) p c, ∀n, m ≥ N Định nghĩa 2.1.7 [4] Không gian metric nón (X, dp ) được gọi là không gian metric nón đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X 2.2 Bổ sung của không gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 [3] Giả sử (X, dp ) và (Y, ρp ) là không gian metric nón Ánh xạ T của X vào Y được gọi là phép đẳng cự nếu nó bảo toàn khoảng cách, tức là: ρp (Tx1 , Tx2... Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q Định nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X Ví dụ 1.1.4 Cho l2 là không gian các dãy số khả tổng bậc hai Không gian l2 là không gian metric đầy đủ (n) (n) (n) Thật vậy, giả sử x(n) = (x1 , x2 , , xk , ), n = 1, 2, là một dãy Cauchy tùy ý trong không gian l2 Theo định nghĩa của dãy Cauchy,... ), ∀x1 , x2 ∈ X Nhận xét 2.2.1 Nếu T là song ánh, phép đẳng cự cùng ánh xạ ngược của nó liên tục thì (X, dp ) và (Y, ρp ) là hai không gian đẳng cấu Ta thấy nếu không gian metric nón X đẳng cự với không gian metric nón Y thì có một song ánh đẳng cự của X lên Y Định lý 2.2.1 [3] Cho (X, dp ) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn }, {yn } là hai dãy trong X Nếu lim... d) là một không gian metric Bây giờ ta chỉ ra (Q, d) là không gian metric không đầy đủ Xét dãy {xn } ⊂ Q, xác định bởi 1 xn = (1 + )n n Ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy 1 1 Thật vậy, ta có d(xn , xm ) = (1 + )n − (1 + )m n m Do đó 1 1 lim d(xn , xm ) = lim (1 + )n − lim (1 + )m n,m→∞ n→∞ m→∞ n m = e − e = 0 Ta có {xn } là dãy Cauchy trong Q Hiển nhiên (Q, d) là không gian metric không đầy đủ 1 Bởi... (z, y) Vậy dp là metric nón trên X và (X, dp ) là một không gian metric nón Định nghĩa 2.1.5 [3] Cho (X, dp ) là một không gian metric nón, {xn } là một dãy trong X Dãy {xn } được gọi là hội tụ tới x nếu với mọi c thuộc E với 0 p c, tồn tại số tự nhiên N sao cho dp (xn , x) Ta có thể viết: lim xn = x n→∞ p c với mọi n ≥ N 30 Định nghĩa 2.1.6 [3] Cho (X, dp ) là không gian metric nón Dãy {xn } trong... được dˆ là một metric trong X ˆ; a) X đẳng cự với không gian con X1 của X 17 ˆ; b) X1 trù mật trong X ˆ là không gian metric đầy đủ c) X Thật vậy: a) Giả sử x ∈ X , suy ra {x, x } là dãy Cauchy trong X Gọi x˜ là lớp ˆ tương đương chứa dãy {x, x, }, ta có x˜ ∈ X ˆ được xác định bởi ϕ(x) = x˜ là một phép Hiển nhiên, ánh xạ ϕ : X → X đẳng cự ˆ Vậy, X đẳng cự với không gian con X1 := ϕ(X) của X ˆ, b) Lấy