BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Hà NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Hà NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục MỞ ĐẦU .1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuẩn chuẩn phi Archimede 1.2 Xây dựng tập số p-adic 1.2.1 Chuẩn p-adic .5 1.2.2 Xây dựng trường 1.2.3 Xây dựng vành 1.2.4 Xây dựng trường p p .5 p 1.3 Hàm chỉnh hình p-adic 1.4 Xây dựng tương tự p-adic hàm log .16 Chương 2: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN p 2.1 Một số khái niệm tính chất dãy nội suy p-adic 19 2.2 Một vài ví dụ dãy nội suy p-adic 25 2.3 Nội suy p-adic hàm số mũ .26 2.4 Nội suy hàm gamma p-adic .30 Chương 3: PHÉP NỘI SUY CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ TRONG p 3.1 Độ cao hàm chỉnh hình .35 3.1.1 Một số khái niệm tính chất 35 3.1.2 Một số ví dụ minh họa .38 3.1.3 Công thức p-adic Poisson – Jensen .42 3.2 Độ cao dãy điểm nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị 43 3.2.1 Độ cao dãy điểm 43 3.2.2 Nội suy p-adic hàm chỉnh hình đĩa đơn vị 44 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ÐẦU Ta biết rằng, đa thức bậc n hoàn toàn xác định hay nói cách khác nội suy biết giá trị đa thức (n + 1) điểm phân biệt Từ nảy sinh vấn đề tổng quát hóa toán nội suy hàm yêu cầu đặt làm khôi phục lại hàm số biết giá trị từ dãy rời rạc điểm? Nội suy hàm p-adic công cụ quan trọng giải tích p-adic để xây dựng hàm p-adic đặc biệt xây dựng tương tự p-adic L_hàm số học Vì vậy, chọn đề tài: NỘI SUY CÁC HÀM P-ADIC để tìm hiểu sâu cách nội suy hàm p-adic ứng dụng Luận văn sâu vào nội dung chính: nội suy hàm liên tục suy hàm chỉnh hình p – adic đĩa đơn vị p p nội , thể chương:  Chương 1: trình bày kiến thức giải tích p – adic gồm chuẩn p – adic, tập số p – adic, hàm chỉnh hình p – adic hàm log  Chương 2: trình bày khái niệm nội suy p – adic hàm liên tục p từ đưa số ví dụ cụ thể cách xây dựng hàm số mũ hàm gamma p – adic  Chương 3: trình bày khái niệm độ cao hàm chỉnh hình, độ cao dãy điểm, nội suy hàm chỉnh hình p – adic đĩa đơn vị quan trọng chứng minh chặt chẽ điều kiện cần đủ để dãy điểm dãy nội suy hàm chỉnh hình cho trước ứng dụng kết Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm thầy Mỵ Vinh Quang Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hướng dẫn chu đáo thầy suốt thời gian thực luận văn Lời cảm ơn xin dành cho tất người thân động viên giúp đỡ để yên tâm học tốt Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến thầy bô môn Đại số, khoa Toán – Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết phòng sau đại học tạo điều kiện để thực bảo vệ luận văn Do hạn chế khả thời gian thực hiện, luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Người viết mong nhận đóng góp quý thầy cô quan tâm đến vấn đề TP.HCM, ngày 30 tháng năm 2009 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Chuẩn chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.1 Cho F trường Chuẩn trường F ánh xạ, kí hiệu :F  cho với x, y  F ta có: i) x  0, x   x  ii) xy  x y iii) x  y  x  y Ví dụ 1: Giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn trường Ví dụ 2: Cho F trường Ánh xạ :F  , , định nghĩa bởi: 1 x  với x  F , x   chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường 0 x  Định nghĩa 1.2 Giả sử chuẩn trường F Khi hàm d : F  F  [0, ) xác định d ( x, y )  x  y metric trường F gọi metric cảm sinh chuẩn Hai chuẩn F gọi tương đương tôpô cảm sinh hai metric tương ứng Kí hiệu Định lý 1.3 (Các điều kiện tương đương chuẩn) Giả sử hai chuẩn trường F Các khẳng định sau tương đương: i) x   x  với x  F ii) x   x  với x  F C iii) Tồn số C > cho x  x với x  F iv)  xn  dãy Cauchy v) 1   xn  dãy Cauchy 2 Định nghĩa 1.4 Chuẩn trường F gọi chuẩn phi Archimede F điều kiện i ii định nghĩa 1.1 thỏa thêm điều kiện: iii’) x  y  max  x , y  Ví dụ: Chuẩn tầm thường trường F chuẩn phi Archimede Mệnh đề 1.5 (Các điều kiện tương đương chuẩn phi Archimede) Cho i) chuẩn trường F Các khẳng định sau tương đương: chuẩn phi Archimede ii)  iii) n  với n  iv) Tập bị chặn, nghĩa tồn số c > cho n  c với n  Mệnh đề 1.6 (Tính chất chuẩn phi Archimede) Cho chuẩn phi Archimede trường F Khi đó: i) Nếu x, y  F , x  y x  y  max  x , y  ii) D(a, r )  {x  F : x  a  r} , D(a, r )  {x  F : x  a  r} vừa đóng vừa mở iii) Giả sử  xn  dãy Cauchy Nếu xn  lim xn  n Nếu xn  xn dãy dừng (tồn N cho xn1  xn với n > N) 1.2 Xây dựng tập số p – adic 1.2.1 Chuẩn p – adic Định nghĩa 1.7 Cho p số nguyên tố Với a  , a  , ta gọi ord p a số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố Nếu a = 0, ord p a   Với r  m  n , m, n  , (m, n) = 1, ta đặt ord p r  ord p m  ord p n Mệnh đề 1.8 Trên trường , ta xét ánh xạ p xây dựng sau:  ord p x  x  x p   p   x  0 Khi p chuẩn phi Archimede gọi chuẩn p – adic Định lý 1.9 (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường tương đương với chuẩn p – adic với p số nguyên tố 1.2.2 Xây dựng trường p  Gọi S tập dãy Cauchy Trên S ta xây dựng quan hệ tương đương sau: {xn } { yn }  lim xn  yn n Ta gọi cho p p p 0 tập hợp tất lớp tương đương theo quan hệ trang bị hai phép toán cộng nhân sau:  xn    yn    xn  yn   xn  yn    xn yn  Khi ta chứng minh ( p , , )  trường với đơn vị Ngoài ra, với  xn   tức xn  , theo mệnh đề 1.6, tồn N cho với n > N : xn  a  Khi đó, phần tử nghịch đảo  xn   xn  1  yn  nN 0  yn   x  n nN  Chuẩn p xác định sau: Với x   xn   p, x p  lim xn n Ta chứng minh chuẩn  Trường p chuẩn phi Archimede xem trường p nhờ ánh xạ nhúng:  j: p p p a  a p p mở rộng chuẩn p - adic Chú ý: Với x  {xn }  Định lý 1.10 (mô tả Với x  p, p x  lim xn n p) x p  , có dãy đại diện {an } x thỏa mãn: i)  an  p n ii) an  an1 (mod p n ) với n = 1, 2,… Nhận xét Với {an } thỏa mãn điều kiện ta viết: a1  b0 a2  b0  b1 p … an  b0  b1 p   bn1 p n1 bi  {0, , p  1} với i = 0, 1, … Khi đó:  Với x  x p 1, p,  x  b0  b1 p   bn1 p  Với x  p,   lim(b n 1 n  b1 p   bn1 p n 1  )   bn p n n 0 x p  p m  : đặt u  p m x suy u p  nên theo u  b0  b1 p   bm p m  hay x  b0 p  m  b1 p  m1   bm    Tóm lại, x  có biểu diễn dạng x   ci p i p   ci pi i  m với m  , i m ci  0, , p  1 , cm  gọi khai triển p – adic x 1.2.3 Xây dựng vành Tập hợp p  {x  p p : x p  1} với phép cộng nhân thành vành gọi vành số nguyên p – adic Tập hợp tất phần tử khả nghịch * p   x p : x 1  p   x  Định lý 1.11 (Tính chất tôpô i) p compact từ ii) p đầy đủ p p p compact p,  : x p 1 p) địa phương kí hiệu là: p lập Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho đa thức f ( x)  a0  a1 x   an x n  p [ x]  (mod p ) với i  0, 1, , n  ; an  (mod p ) a0  (mod p ) Khi f(x) bất khả quy p 1.2.4 Xây dựng trường Gọi p bao đóng đại số Với   p p , x) p tồn đa thức Irr ( , Trường p  p n a0 p Có thể chứng minh p chuẩn trường p với chuẩn vừa xây dựng không đầy đủ Làm đầy đủ ta trường số phức p – adic kí hiệu Với    n  ,  n  p  p  lim  n n lớn Chúng ta mở rộng ord p cho p p p i) p p ) đóng đại số ii) Với x  p, x  theo   ,  p  n p với n đủ : ord p x   log p x p Định lý 1.13 (Tính chất trường p Từ tập số p-adic ta xét chuẩn p-adic quy ước viết p bất khả mà hệ số nhận  làm nghiệm dạng: mở rộng chuẩn p – adic p p , x) p  x n  an1 x n1   a1 x  a0 Ta định nghĩa  p p tức tập tất phần tử đại số p ,  đại số quy, hệ số thuộc Irr ( , p  , x  pr : r   nghĩa Mệnh đề 1.14 Giả sử  nguyên thủy bậc p n đơn vị với số tự nhiên n Khi đó,   p  p1/( p n 1  pn ) Chứng minh Đặt u    n Xét f ( X )  (1  X ) p  (1  X ) n Do  p   p n p 1 n 1 1  X X p  pn X p n n n 1 p n 1 p n 1 X p 1   p n X 1   p n 1 X Xp  nên u nghiệm đa thức f ( X )  n  p n 1 p[ X ]   p Ngoài phương pháp quy nạp, ta chứng minh f(X) thỏa điều kiện tiêu chuẩn Eisenstein f(X) đa thức bất khả quy p với hệ số nhận u làm nghiệm Theo định nghĩa u p  p1/( p n 1  pn ) hay   p  p1/ p n 1  pn ■ 1.3 Hàm chỉnh hình p-adic Mệnh đề 1.15   an Một chuỗi vô hạn n 0 với an  p hội tụ lim an  n Mệnh đề 1.16 Xét chuỗi   an z n n 0 , an  p , đặt r  lim sup n an gọi bán kính hội tụ n chuỗi Khi đó:  Với z  p, z  r : chuỗi hội tụ  Với z  p, z  r : chuỗi phân kì  Với z  p, z  r : chuỗi hội tụ an r n  , phân kì an r n  10 Định nghĩa 1.17 Hàm f : D (0, r )  p gọi hàm chỉnh hình D(0, r) f(z) biểu diễn  dạng chuỗi lũy thừa hội tụ, tức f ( z )   an z n hội tụ D(0, r) n 0 Định nghĩa 1.18 p [[ z ]]  { f Gọi Trong p [[ z ]] ,  a0  a1 z   an z n   p} ta xây dựng phép toán cộng nhân sau: Với f  a0  a1 z   an z n  , g  b0  b1 z   bn z n  thuộc p [[ z ]] f  g  (a0  b0 )  (a1  b1 ) z   (an  bn ) z n  f g  c0  c1 z   cn z n  cn  Khi thuộc p p [[ z ]]  aib j i  j n vành, gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số Định nghĩa 1.19 Cho r > 0, định nghĩa Ar ( minh Ar ( p)     ) f   an z n  p n 0  vành p [[ z ]] p [[ z ]] Với f ( z )  a0  a1 z   an z n  Ar ( p) , đặt  (r , f )  max an r n gọi hạng tử tối đại f n  (r , f )  max{n : an r n   (r , f )} Mệnh đề 1.20 Cho r > 0, f ( z )  a0  a1 z   an z n  Ar ( p) Khi đó: i)  (r , f ) chuẩn phi Archimede vành Ar ( ii) Ar ( p) đủ  (r , f ) p)  an r n 0  Ta chứng  11 iii) p[ z] trù mật Ar ( p) Định lý 1.21 Cho r > Giả sử f ( z ), g ( z )  k n n cho  (r , g )  bk r k Gọi p [ z ] với g ( z )   b z n 0 Q(z) R(z) thương dư phép chia f(z) cho g(z) tức f ( z )  g ( z )Q( z )  R ( z ) Khi  (r , f )  max{ (r , g )  (r , Q),  ( r , R )} Chứng minh Do định nghĩa  (r , f ) dễ thấy  ( r , f )  max{ ( r , g )  ( r , Q ),  (r , R )} Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiên ta xét trường hợp r = Không tính tổng quát giả sử  (1, g )  ta cần chứng minh max{ (1, Q ),  (1, R )}   (1, f ) (*) Thật ta cần chứng minh (*) trường hợp max{ (1, Q ),  (1, R )}  Thật vậy, giả sử max{ (1, Q ),  (1, R )}  a  p r Khi f ( z) Q( z ) R( z )   Q   R   f  max   1,  ,  1,    nên  1,   hay  g ( z)  a a a  a   a   a   (1, f )  a  max{ (1, Q ),  (1, R )} Để chứng minh  1, f   ta giả sử ngược lại  1, f   Khi n f   z i max  suy  D(0,1) với i hay f  D(0,1)[ z ] i 0 i Do max{ (1, Q),  (1, R )}  nên  (1, Q ),  (1, R )  suy Q, R  D (0,1)[ z ] Xét vành D(0,1)[ z ] D (0,1)[ z ] ta có  f ( z )  g ( z ) Q ( z )  R ( z ) Vì  (1, g )  hay bk  nên deg g  k  deg R  deg R suy Q  R  hay R ( z ), Q ( z )  D(0,1)[ z ] max{ (1, Q),  (1, R )}  (mâu thuẫn với điều giả sử ban đầu ta) 12 Tóm lại (*) hay max{ (1, g )  (1, Q ),  (1, R )}   (1, f ) Giờ xét r  * p tồn a  * p cho a  r Với h  a0  a1 z   an z n  , đặt ( z )  h(az )  a0   an a n z n  n Rõ ràng  (1, )  max an a n  max an a  max an r n   (r , h) (**) n n n f a ( z )  g a ( z )Qa ( z )  Ra ( z ) Áp dụng chứng minh với r =  (1, f a )  max{ (1, g a )  (1, Qa ),  (1, Ra )} Theo (**) ta có đpcm Cuối giả sử r  * p Do * p trù mật  nên tồn ri  * p cho ri  r lim  ( ri , h)   (r , h) với h đa thức f, g, Q, R i  Vì ta chứng minh trường hợp 2,  (ri , f )  max  (ri , g )  (ri , Q ),  (ri , R ) nên lấy giới hạn vế ta có đpcm ■ Định lý 1.22 Cho f  Ar ( p) g ( z )  b0  b1 z   bk z k  Khi tồn chuỗi lũy thừa Q  Ar ( p) p[ z] cho  (r , g )  bk r k đa thức R ( z )  p[ z] cho f ( z )  g ( z )Q( z )  R ( z ) , degR < k  (r , f )  max{ (r , g )  (r , Q),  (r , R )} Chứng minh Do tính chất iii mệnh đề 1.20 nên với f  Ar ( fn  p [ z] p) , tồn dãy đa thức hội tụ f Gọi Qn ( z ) Rn ( z ) thương dư phép chia f n ( z ) cho g ( z ) : f n ( z )  g ( z )Qn ( z )  Rn ( z ) (*) với deg Rn  k Khi f n1 ( z )  f n ( z )  g ( z )[Qn1 ( z )  Qn ( z )]  Rn1 ( z )  Rn ( z ) với deg( Rn1  Rn )  k Áp dụng định lý 1.21 ta có:  (r , f n1  f n )  max{ (r , g )  (r , Qn1  Qn ),  (r , Rn1  Rn )} 13 Do f n dãy Cauchy nên Qn , Rn  Ar ( Ar ( p) p) dãy Cauchy  (r , ) mà đủ  (r , ) nên tồn Q ( z )  lim Qn ( z ), R ( z )  lim Rn ( z ) Lấy n n giới hạn vế (*) ta có f ( z )  g ( z )Q( z )  R ( z ) deg Rn  k nên degR < k Khi  ( r , f )  max{ ( r , g )  ( r , Q ),  (r , R )} ■ Định lý 1.23 (Định lý Weierstrass) Cho f  Ar ( với r > p) Khi tồn đa thức g ( z )  b0  b1 z   b r  chuỗi lũy thừa h( z )  p p [ z] có bậc    (r , f ) [ z ] thỏa: i) f(z) = g(z)h(z) ii)  (r , g )  b r iii) h  Ar ( p) iv)  (r , h  1)  v)  (r , f  g )   (r , f )  Đặc biệt h không điểm D (0, r )  x  p  : x  r f có  không điểm D(0, r ) Chứng minh Giả sử f ( z )  a0  a1 z  Đặt g1 ( z )  a0  a1 z   a z Hiển nhiên  ( r , g1 )  max an r n  a r n Ta có: ( f  g1 )( z )  a 1 z 1   ( r , f  g1 )  Do max n   ( r , f ) an r n  max an r n   (r , f ) n  (r , f  g1 )  (r , f  g1 )  suy tồn   cho   1  (r , f )  (r , f ) Chọn h1 ( z )  14 Giờ ta chứng minh phương pháp quy nạp tồn dãy đa thức gi ( z )  bi  bi1 z   bi z hi cho: (1)  (r , gi )  bi r (2)  (r , f  gi )   (r , f ),  ( r , hi  1)   (3)  (r , f  gi hi )   i  ( r , f ) Ở phần đầu ta chứng minh điều cho trường hợp i = Giả sử ta xây dựng dãy đa thức gi , hi thỏa điều kiện 1, 2, Theo định lý 1.22, tồn chuỗi lũy thừa Qi  Ar ( p) đa thức Ri  p[ z] cho f ( z )  gi ( z )hi ( z )  gi ( z )Qi ( z )  Ri ( z ) với deg Ri    (r , f  gi hi )  max{ ( r , gi )  ( r , Qi ),  ( r , Ri )} Định nghĩa gi 1  gi  Ri , hi 1  hi  Qi Do mệnh đề 1.20  (r , f )  max{ ( r , f  gi ),  (r , gi )} theo (2) lại có  ( r , f  gi )   (r , f ) nên  (r , f  gi )   (r , gi )  (r , f )   (r , gi ) Ta có:  (r , Qi )   (r , f  gi hi )  i  (r , f )    i  (r , gi )  (r , f )  (r , Ri )   (r , f  gi hi )   i  (r , f )   (r , f )   (r , gi )  (r , gi 1 )   (r , gi ) Như (1) với i + deg Ri  deg gi   Điều kiện (2) với i +  (r , f  gi 1 )   (r , f  gi  Ri )  max{ (r , f  gi ),  (r , Ri )}   (r , f )  (r , hi 1  1)   (r , hi   Qi )  max{ (r , hi  1),  (r , Qi )}   Ngoài ra, ý f  gi 1hi 1  f  ( gi  Ri )(hi  Qi )  f  gi hi  giQi  Ri (hi  Qi )  Ri (1  hi  Qi ) Khi  (r , f  gi 1hi 1 )   (r , Ri ) max{ (r , hi  1),  (r , Qi )}   i 1 (r , f ) (3) với i + Hơn nữa,  (r , gi 1  gi )   ( r , Ri )   i  (r , f )  (r , hi 1  hi )   (r , Qi )   i 15 Do   nên {g i },{hi } dãy Cauchy chuẩn  (r , ) Khi với  j   , i  , bi 1, j  bij r j   (r , gi 1  g i )   i  ( r , f ) tức {bij }i1 dãy Cauchy với j nên hội tụ  Đặt b j  lim bij , g ( z )   b j z j i  j 0 Rõ ràng gi  g  (r , g )   (r , gi )  bi r  b r (điều kiện (ii) đúng) Vì Ar ( p) đầy đủ nên {hi } hội tụ tồn h  Ar ( p) cho hi  h Theo điều kiện (3), cho i   ta có  (r , f  gh)  nên f = gh (điều kiện (i) đúng) Điều kiện (iii) hiển nhiên cách định nghĩa h Cho i   điều kiện (2) ta có điều kiện (iv) Cho i   điều kiện (2) ta có  ( r , f  g )   (r , f )   ( r , f ) (điều kiện (v) đúng) Giả sử h   c1 z   cn z n  Với z  t  r ,  ( , h  1) tăng nên  (t , h  1)   ( r , h  1)  n max cn z  max cn t n  suy h( z )  tức h không điểm n n D(0, r ) Gọi z1 , , z không điểm g Khi g ( z )  b ( z  z1 ) ( z  z ) Điều kiện (ii) kéo theo  (r , g / b )  r  max r , z   max r , z   r suy z j  r với j  1, , Do g có  không điểm, h không điểm D(0, r ) nên f có  không điểm D(0, r ) ■ 16 1.4 Xây dựng tương tự p – adic hàm log Mệnh đề 1.24 Miền hội tụ   (1) n 1 n 1 zn D(0, 1) n Chứng minh Bán kính hội tụ chuỗi r  lim n n Với số tự nhiên n, n  p ord p n 1  ord n  ord n  p p  p p  n suy n  n m n n  lim n n n m (m, p) = Khi n n  lim n n  hay r = Vậy n chuỗi lũy thừa hội tụ D(0, 1) Tại z  z p, p, z  : lấy dãy số {nk } mà (nk , p )  Khi   Vậy nk z  , chuỗi phân kì ■  Trong giải tích phức, hàm log định nghĩa log(1  z )   (1) n1 n 1 zn hội n tụ (–1, 1] Giờ giải tích p – adic, hội tụ xét với chuẩn p – adic   (1)n1 n 1 zn hội tụ đĩa D(0, 1) hàm log lúc định nghĩa n sau : Định nghĩa 1.25 log : D(0,1)   p với log(1  z )   (1) n1 Định lý 1.26 Hàm log có tính chất sau đây: n 1 zn n 17  i) log :1  E  E đẳng metric với E   z   p : z  p ii) Tập tất không điểm log(1 + z)  pn 1 p     1 n Chứng minh i) Để chứng minh i, ta cần chứng minh điều sau:  Nếu  z 1  E log(1  z )  E Thật vậy, nhận xét x1 , , xn1 , xn  E  x x   x x  ord p  n1   ord p  n1 (n  1)!  ord p ( x1 xn1 )  ord p ( n !)  n   n!  x x x x n  n  Sn Sn      suy n1  n  p 1 p n n p 1 p 1 p 1 z z z3 z zn Vì vậy, với z  E , log(1  z )       max  p 1 p hay n n log(1  z )  E  Nếu z1 , z2  E log(1  z1 )  log(1  z2 )  z1  z2 Sử dụng nhận xét ta có: n 1 z1  z2  z1n2 z2   z2n1 n 1 z1 VT  z1  z2    (1)  VP n (vì z1  z2  z z   max  ,   ,…,  2   z1n1 z1n2 z2 z1n1  z1n2 z2   z2n1 z2n1   max  , , ,   )  n n n n   Tóm lại, hàm log :1  E  E đẳng metric [...]... ,  n  p thì  p  lim  n n lớn Chúng ta cũng mở rộng ord p cho p p p i) p p ) đóng đại số ii) Với mọi x  p, x  theo và khi   0 ,  p  n p với n đủ : ord p x   log p x p Định lý 1.13 (Tính chất của trường p Từ đây trên các t p số p- adic ta sẽ xét chuẩn p- adic và quy ước viết p bất khả mà hệ số đầu tiên là 1 nhận  làm nghiệm dạng: và là mở rộng của chuẩn p – adic trên p p , x) p  x n... nghĩa  p p tức là t p tất cả các phần tử đại số trên p ,  đại số trên quy, hệ số thuộc Irr ( , p  0 , x  pr : r   nghĩa là 9 Mệnh đề 1.14 Giả sử  là một căn nguyên thủy bậc p n của đơn vị với số tự nhiên n nào đó Khi đó,   1 p  p1 /( p n 1  pn ) Chứng minh Đặt u    1 n Xét f ( X )  (1  X ) p  1 (1  X ) n Do  p  1 và  p n p 1 n 1 1  X X p  pn X p n n n 1 p n 1 p n 1 X p 1...   p n X 1   p n 1 X Xp  1 nên u là nghiệm của đa thức f ( X )  n  p n 1 p[ X ]   p Ngoài ra bằng phương ph p quy n p, ta có thể chứng minh được f(X) thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn Eisenstein và do đó f(X) chính là đa thức bất khả quy trên p với hệ số đầu tiên là 1 nhận u làm nghiệm Theo định nghĩa u p  p1 /( p n 1  pn ) hay   1 p  p1 / p n 1  pn ■ 1.3 Hàm chỉnh hình p- adic. .. an x n  p [ x] trong đó ai  0 (mod p ) với i  0, 1, , n  1 ; an  0 (mod p ) và a0  0 (mod p 2 ) Khi đó f(x) bất khả quy trên p 1.2.4 Xây dựng trường Gọi p là bao đóng đại số của Với mọi   p p , x) p do đó tồn tại đa thức Irr ( , Trường p  p n a0 p Có thể chứng minh được p là chuẩn trên trường p cùng với chuẩn vừa xây dựng không đầy đủ Làm đầy đủ ta sẽ được trường các số phức p – adic kí... lim n n Với mọi số tự nhiên n, n  p ord p n 1 1  ord n 1  ord n  p p  p p  n suy ra n  n m n 1 n  lim n n n m trong đó (m, p) = 1 Khi đó n n  1 do đó lim n n  1 hay r = 1 Vậy n chuỗi lũy thừa hội tụ trong D(0, 1) Tại z  z p, p, z  1 : lấy dãy số {nk } mà (nk , p )  1 Khi đó 1  1  0 Vậy tại nk z  1 , chuỗi phân kì ■  Trong giải tích phức, hàm log được định nghĩa là log(1 ... giải tích p – adic, sự hội tụ được xét với chuẩn p – adic thì   (1)n1 n 1 zn hội tụ trong đĩa D(0, 1) và hàm log lúc này được định nghĩa như n sau : Định nghĩa 1.25 log : D(0,1)   p với log(1  z )   (1) n1 Định lý 1.26 Hàm log có các tính chất sau đây: n 1 zn n 17  i) log :1  E  E đẳng metric với E   z   p : z  p ii) T p tất cả các không điểm của log(1 + z) là  pn 1 1 p  ... Thật vậy, nhận xét rằng nếu x1 , , xn1 , xn  E thì  x x   x x  ord p  1 n1   ord p  1 n1 (n  1)!  ord p ( x1 xn1 )  ord p ( n !)  n   n!  1 x x x x n  1 n  Sn Sn  1     0 suy ra 1 n1  1 và do đó 1 n  p 1 p n n p 1 p 1 p 1 1 z z 2 z3 z 4 zn Vì vậy, với z  E , log(1  z )       max  p 1 p hay n n 1 2 3 4 log(1  z )  E  Nếu z1 , z2  E thì log(1  z1 ) ... hạn n 0 với an  p là hội tụ khi và chỉ khi lim an  0 n Mệnh đề 1.16 Xét chuỗi   an z n n 0 , an  p , đặt r  1 lim sup n an gọi là bán kính hội tụ của n chuỗi Khi đó:  Với mọi z  p, z  r : chuỗi hội tụ  Với mọi z  p, z  r : chuỗi phân kì  Với mọi z  p, z  r : chuỗi hội tụ khi an r n  0 , phân kì khi an r n  0 10 Định nghĩa 1.17 Hàm f : D (0, r )  p gọi là hàm chỉnh hình trên... được Ar ( p)     ) f   an z n  p n 0  là vành con của p [[ z ]] p [[ z ]] Với f ( z )  a0  a1 z   an z n  Ar ( p) , đặt  (r , f )  max an r n gọi là hạng tử tối đại của f n  (r , f )  max{n : an r n   (r , f )} Mệnh đề 1.20 Cho r > 0, f ( z )  a0  a1 z   an z n  Ar ( p) Khi đó: i)  (r , f ) là chuẩn phi Archimede trên vành Ar ( ii) Ar ( p) đủ đối với  (r , f ) p)  an... Định nghĩa 1.18 p [[ z ]]  { f Gọi Trong p [[ z ]] ,  a0  a1 z   an z n  ai  p} ta xây dựng 2 ph p toán cộng và nhân như sau: Với f  a0  a1 z   an z n  , g  b0  b1 z   bn z n  thuộc p [[ z ]] thì f  g  (a0  b0 )  (a1  b1 ) z   (an  bn ) z n  f g  c0  c1 z   cn z n  trong đó cn  Khi đó thuộc p p [[ z ]]  aib j i  j n là vành, gọi là vành các chuỗi lũy thừa