Bài tập đại số tuyến tính: Ma trận – Hệ phương trình Dạng Thực phép toán ma trận Tính chất thường dùng: (AB)t  Bt At ;AB  AC  A(B  C) ; AA t ma trận đối xứng  1  2    Ví dụ Cho ma trận A    B  6 2  1    7    Tính A2 ;AAt ;AB;Bt At ;BA   1   1   2       Giải A  A.A       19 24 15      15 13 25        1    1   1  7   13 3         AA        29 20  ; AB        32 18 5     1   1 20 30     1   15 14 1            t  13 3   13 32    t t t B A  (AB)   32 18 5    18  15 14 1   3 5    Chú ý AB  BA 2    Ví dụ Cho ma trận A    ;  5    t 2    t Giải AB     5    15   14  (Chú ý) ; BA  1  7   1  13 29            15 19 11   1     8 11       1   4     B   2  ; C    Tính ABt ;BAt ;A2  AC  2 6   6      17 25   17 11  2   17 25          t t t     3 13  ; BA  (AB )   3 13    3 1   11 1 19   25 13 19     11 1 19          t 2    A  AC  A(A  C)     5      2 Ví dụ Cho ma trận A      1 a Đặt C  AB Tìm c32 1 1  1      1 1    1 4  1   2 8      5  7     7 6  B 1  8    2 1  b Đặt D  AAt Tính d 43  d34  7    Giải a Ta có c32  1     1.(7)  2.6  6.3  8.4  55  3    4  b Ta có AA t   A  A t t t t  AA t nên D ma trận đối xứng Vậy d 43  d34 1   d 43       5.1  1.2  7.6  2.8  65 suy d43  d34  2d43  2.65  130 6   8 Dạng Định thức ma trận tính chất liên quan Chú ý tính chất: | A t || A |;| A k || A |k ;| A 1 | ; | kA | k n | A | (n cấp ma trận A); | AB || A || B | |A| 2 3   Ví dụ Cho ma trận A   1  Tính | A |,| 2A |;| 4At |;| 2A5 |;| (2A)1 | 1 1   Giải Khai triển theo cột 1, ta được: | A | 1 1 3    2.(3)  1.(5)  1.4  2 1 | 2A | 23 | A | 23.3  24 ; | 4At | 43 | At | 43 | A | 43.3  192 ; | 2A5 | (2)3 | A5 | (2)3 | A |5  (2)3 35  1944 ; | (2A)1 | 1 1    | 2A | | A | 24 2  2      Ví dụ Cho ma trận A    B   2  Tính | A |,| B|,| AB|,| A t B2 |;| ABA 1 | ; | (2AB)t | 0   13      Giải Khai triển theo hàng 3, ta | A | 1  13  7  13  ; Do B ma trận chéo nên | B | 2.1.4  Vậy: | AB|| A | | B| 6.8  48 | At B2 || At || B2 || A | | B|2  6.82  384 | ABA 1 || A || B.A 1 || A | | B | | A 1 || A | | B | | B | |A| | (2AB)t || 2AB| 23 | AB| 23 | A | | B| 23.6.8  384 1  1 Ví dụ Cho A    3  3 Giải Ta có 1 1 0 | A |  3 3 1  0 Tính | A |;| 2A |;| 3A t | 1  5 5 3 2 13 4 8 5 3 2  h  2h1  13 3 2 3 2    h  3h1   13  5 8  8  13  h  3h  4 8    5.58  7.(22)  4.14  192 | 2A | 24 | A | 24.(192)  3072 | 3At | 34 | At | 34.| A | 34.(192)  15552 Dạng Ma trận khả nghịch toán liên quan Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo: P Bước 1: Tính | A | , | A | A ma trận khả nghịch (tức có ma trận nghịch đảo), chuyến bước Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A t Từ A t xác định ma trận phụ hợp A* A A* có từ A t cách thay phần tử A t phần bù đại số tương ứng * Bước 3: Ma trận nghịch đảo A 1  A |A| P2 Dùng phép biến đổi sơ cấp  A | I    I | A 1  Bài toán giải phương trình ma trận: Nếu A khả nghịch AX  B  X  A1B XA  B  X  BA1  3   Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A     1    Giải | A | 1 3   ( 1)  2.( 1)   ( 1)  3 | A | nên A ma trận khả nghịch 3     1     Xét ma trận chuyển vị A t   1   Ma trận phụ hợp A*     3         1  *     10  Vậy A 1  A  | A | 3  3 3     1     10   3 3     1 1 3 1  1 3 1 1    3   1    1    3    10 7   3  3      1     2 3   Ví dụ Cho ma trận A    a Tìm m để A khả nghịch  m 5   Giải a Ta có | A | B Với m  , tìm A 1 3  3  2(15  2m)  (5  3m)  3.(7)   m m m A khả nghịch | A |  m  b Với m  | A |    nên A khả nghịch Ta có     3    A t     Ma trận phụ hợp A*      5        13 2 7  * 1  A  A   1 1  |A| 3   8 1  13       8   2 3 5  1 3  1     13 2 7  1    1 1             7    1       2  1    Ví dụ Cho ma trận A   1 1 B   1  0    a Tìm X để AX  B b Tính 1  4 2  |X| c Tìm Y để YAt  Bt Giải a Ta có | A | 1   4    nên A khả nghịch Vậy AX=B  X=A 1B 1 1 2 1   Ma trận chuyển vị A   1   Ma trận phụ hợp  1    t    1  1 A*     1   1    6  1 1   1   6 4       7  5 1      1 1   1   6 4   1  * 1   Vậy X  A B   0  A B   7 |A| 2    1 1   0 2  1    6 5   12 10    1 7 19     7 18 19     2 2    1   1 2  b Ta có | B| 1.2.(2)  4 Suy | X || A 1B || A 1 || B | c Ta có YA t  Bt   YA t    Bt  t t 7     AY t  B  Y t  A 1B  X  Y  X t   6  19  5   4    Ví dụ Cho ma trận A   1   2    a Tìm X để XA  B Giải a | A | | B | 4   2 |A| 2    B   3  4    b Tìm Y để YA  A  2B 1 4 4 2 8  3.(5)  2.10  8.5   nên A khả nghịch 2 2 1  8   Vậy XA  B  X  BA Xét A   1   Ma trận phụ hợp  4 2    1 t 1            A*         2 4 2 2 4 2   * 1 X  BA  B  A  (BA* )  | A | | A |   1  1   4   5 10  2    12 26 11    4      2 1  1     5 10      3   12 26 11     2 1       1   1    4     5   6   6      1 0    1 1 1 b YA  A  B  Y  (A  B)A  AA  BA  I X       0 1     6      16     12   12 23 14 9 1    4       1    4       2    8    11    2  2 0 Ví dụ Cho ma trận A    B  Tìm X để AX  B  4   1  Giải | A | 2.( 4)   11  nên A khả nghịch Vậy AX  B  X  A 1B  4 2  * Ma trận chuyển vị A t     Ma trận phụ hợp A    4      4 1    3  9             1 X  A 1B  A* B    11 11      |A| 11  3   1  11  4 5     11 11  11   4   11  Dạng Hạng ma trận r(A) : Hạng ma trận A Phương pháp: Dùng phép biến đổi sơ cấp A  B (dạng hình thang) Khi r(A)  r(B) Trường hợp đặc biệt A ma trận vuông cấp n tìm hạng A dựa vào kết r(A)  n | A |  4    Ví dụ Tìm hạng ma trận A    1     4   4    h h   Giải Cách 1: Ta có biến đổi A   5 17    5 17   B Vậy r(A)  r(B)  0 5   0 22      h  3h h  h1 Cách 2: Ta có | A | 1 4 4 3 1  110  nên r(A)  7 1  3   1   Ví dụ Tìm hạng ma trận A   3     1 11 13  1  1  1        5 1  5h3 8h2  5 1  h4 2 h3  5 1  h  h1    Giải Ta có A   B h  3h1   5h4 6 h2  0 36 37   0 36 37  h  h1        12 16   0 72 74  0 0  Vậy r(A)  r(B)   3  m 6 Ví dụ Tìm m để hạng ma trận sau nhỏ A    1   2 1  2 2  1    1 3   1 3  1 3   h2 2 h1     2 6 m  h3 2 h1  0 m   h  h3  0 m   c1 c4  Giải Ta có A     h  h1  1 3   3  3 1  1        1    2   3 0 0   1 3   3 1  h  h3    B Nếu m   r(A)  r(B)  Nếu m   r(A)  r(B)  0 0 m  2    0 0 Vậy m  hạng A nhỏ Dạng Giải hệ phương trình tuyến tính a11 x1  a12 x   a1n x n  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn:   a m1 x1  a m x   a mn x n  b m a1n b1   a11 a 12 a 1n   a11 a12     a a 22 a n  a a 22 a n b2  Chú ý: Ma trận hệ số ẩn A   21 , ma trận bổ sung B   21         a mn  a mn b m   a m1 a m  a m1 a m Sử dụng phương pháp khử ẩn Gauss: Xét ma trận bổ sung B hệ Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa B dạng hình thang Khi hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình có ma trận hình thang thu Ta có kết sau: Nếu r(A)  r(B) : Hệ cho vô nghiệm Nếu r(A)  r(B)  n (n số ẩn): Hệ cho có nghiệm Nếu r(A)  r(B)  r  n (n số ẩn): Hệ cho có vô số nghiệm với n  r nghiệm tự 2 x  y  z  t   Ví dụ Giải hệ phương trình sau 3x  y  12z  t  1  x  y  10z  9t  9  Giải Xét ma trận bổ sung 4  4   1 1 4   1 1  1 1   h2 3h1   h3  h2   B   12 1 1     21 14 14    21 14 14  h  h1  1 10 9 9   21 14 14  0 0 0        1 1 4       3 2 2  r(A)  r(B)   nên hệ có vô số nghiệm với nghiệm tự 0 0 0    h2  h2  x  2z  t  2 x  y  z  t   Hệ cho tương đương với hệ    y  3z  t  y  3z  t  2  z, t   Vậy nghiệm hệ (x, y,z, t)  (2z  t  1, 3z  2t  2,z, t) (z, t  )  x  3y  z  2 x  y  z  11t  9  Ví dụ Giải hệ phương trình sau  4 x  y  3z  15t  17 3x  y  2z  17t  15   1 1   h 2 h1   1 1 11 9  h3  h1  7 3 11 13  h3 11h2   Giải Xét ma trận bổ sung B     3 15 17  h  3h1  11 7 15 25  h 11h2     21   3 2 17 15   11 17    1 1 1     h 1h   7 3 11 13  3 8h  h3 16  7 3 11 13    7 3 11 13      0 16 16 32   0 16 16 32   0 1 2        2  0  0  0 0 0 0 r(A)  r(B)   nên hệ có vô số nghiệm với nghiệm tự  x  5t   x  3y  z   y  2 t    Hệ cho tương đương với hệ 7 y  3z  11t  13   z  t  2 z  t    t  Vậy nghiệm hệ (x, y,z, t)  (5t  3, 2t  1, t  2, t) (t  ) 3x  y  5z  7  x  y  3z  7t   Ví dụ Giải hệ phương trình sau  2 x  y  5t  4 x  5y  6z  19t  7   1 5 7   1 5   3h  h1   7  3h3  h1  14 21  Giải Xét ma trận bổ sung B      2 1  3h  h1  5 10 15 5       19 3   19 38 57 19   1 5 7   1 5 7      3  h3  h2  3    r(A)  r(B)   nên hệ có vô số    3  h3  h2  0 0       3  0 0 0  nghiệm với nghiệm tự x  z  t  3x  y  5z   Hệ cho tương đương với hệ    y  2z  3t   y  2z  3t  z, t   h2  h2 h  h h4  h4 19 Vậy nghiệm hệ phương trình (x, y,z, t)  (z  t  2, 2z  3t  1,z, t) (z, t  ) x  y  z  2t  2 x  y  z  t   Ví dụ Giải hệ phương trình sau   x  y  3z  t  1  x  3y  z  3t  1  1 1   1 1   h 2 h1   3 1 1  h3  h1 5 5  5h3 3h2     Giải Xét ma trận bổ sung B    2 2 1  h  h1  3 4 2  5h4 2 h2     1 3   1     1 1  1 1     5 5  h  h3  5 5   r(A)   r(B)  nên hệ cho vô nghiệm   0 17 5 10   0 17 5 10        0 17 5 5  0 0 x  y  z  t  2 x  3y  z  t   Ví dụ Giải hệ phương trình sau   x  y  3z  t  3x  y  z  t  1  3 Giải Xét ma trận bổ sung B    1  3 1 1 1 5  1 1  h2 2 h1    h3  h1 5h3  h  5 1 3 10      h3 3h1  13  5h4  h2    6  1 2 4 9    1 1 1 1     h  h3  5 1 3 10    5 1 3 10  r(A)  r(B)  nên hệ có nghiệm  0 18  0 18 9 45  45       0 9 17 35   0 25 25  x  y  z  t  x    5y  z  3t  10 y    Hệ cho tương đương với hệ   18z  9t  45  z    25t  25   t  Vậy nghiệm hệ phương trình (x, y,z, t)  (1,1, 2,1) Dạng Biện luận hệ phương trình tuyến tính Kiến thức sử dụng: Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn: Có nghiệm r(A)  r(B)  n Có vô số nghiệm r(A)  r(B)  n Vô nghiệm r(A)  r(B) Có nghiệm r(A)  r(B) Đặc biệt hệ cho có số phương trình số ẩn hệ có nghiệm | A |  x  3y  z  t   Ví dụ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 x  y  3z  t   x  y  2z  mt   Giải Xét ma trận bổ sung 1 1  1 1   1  1   h2  h1   h3  h   B   1 1   3    5 3 3 h  h1  5  2 m   7 4m  1  0 4m         Hệ có nghiệm r(A)  r(B)  4m    m   x  3y  z  t   Ví dụ Tìm m để hệ sau vô nghiệm  x  2y  2z  3t   x  8y  t  m  Giải Xét ma trận bổ sung    1 1 1 1 1 1   h  h1   h3 h2   B   1 2 3     1 2    1 2  h  h1  1 m   1 2 m  1 0 0 m  4       Hệ vô nghiệm r(A)  r(B)  m    m  2 x  y  z  t   Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm 3x  y  z  2t    x  y  3z  4t  m  Giải Xét ma trận bổ sung    1 1   1 1  1 1   h2 3h1   h3  h2   B   2 1     7 14    7 14  h  h1  4 3 m   7 5 m    0 0 m  18        Hệ có nghiệm r(A)  r(B)  2m  18   m 