Đang tải... (xem toàn văn)
Kiến thức toán 12 tương đối nhiều đối với học sinh, học sinh ghi chép thường không đầy đủ, cho nên việc ôn tập sẽ gặp nhiều khó khăn. Đây là tài liệu tóm tắt tương đối đầy đủ các kiến thức toán 12 rất tiện lợi cho các em chuẩn bị ôn thi HK, ôn thi THPT Quốc gia sắp tới. – Mời thầy cô và các em tham khảo
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Tổ: Tốn-Tin Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009 PHẦN I: GIẢI TÍCH I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm : Hàm số sơ cấp Hàm hợp ( Hàm mở rộng) 1) (C)’ = ( C: số ) 2) (x)’ = / / 3) ( x α ) = αx α −1 ; (α ∈ R) * ( u α ) = α u α −1 u ' / 4) ( x ) = x / * ( u) / = u u ' (= u' u ) ; (u > 0) / −1 1 5) ÷ = x x −1 − u' 1 * = u ' (= ) ; ( u ≠ ) u u u = + tan x cos x −1 8) ( cot x ) ' = = −(1 + cot x) sin x * ( tan u ) ' = 6) (sinx)’ = cosx 7) ( cosx)’ = - sinx 7) (tanx)’ = 9) (ex)’ = ex 10) (ax)’ = axlna ; (a: số; a> 0) ; ( x > 0) x ; (1 ≠ a > 0; x > ) 12) ( log a x ) ' = x ln a 11) ( ln x ) ' = * ( sinu)’ = u’.cosu * ( cosu)’ = - u’.sinu * ( cot u ) / u ' cos u −1 = u ' sin u * (eu)’= eu.u’ * ( au)’ = aulna.u’ u ' ; ( u > ) u u ' * ( logau)’ = u ln a ( ≠ a > 0; u > 0) * (lnu)’= * Ghi Chú: Các hàm số có nghĩa II) Qui tắc tính đạo hàm: / / 1) ( u ± v ± ± w) = u '± v'± ± w' u '.v − u.v' u 4) = (v ≠ ) v2 2) (u.v)’ = u’.v + u.v’ v / 3) ( uvz ) = u ' vz + v' uz + z ' uv III) Đơn điệu – cực trò GTLN- GTNN Lồi – lõm – điểm uốn A) Đơn điệu: Hàm số (C) : y = f(x) xác đònh D • Hàm số tăng (đồng biến) D y’ ≥ ; ∀x ∈ D / • Hàm số giảm ( nghòch biến) D y ≤ ; ∀x ∈ D B) Cực trò: Hàm số (C) : y = f(x) • Hàm số có cực trò y’ có nghiệm y’ đổi dấu x qua nghiệm • Hàm số cực trò y’ không đổi dấu • Hàm số có cực trò y’ đổi dấu lần Biên Soạn: Trần Phú Hiếu ĐT: 0908.653.207 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Tổ: Tốn-Tin Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009 • Hàm số có n cực trò y’ đổi dấu n lần • Hàm số đạt cực trò x= x0 f’(x0) = f’(x) đổi dấu x qua x0 f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) < • Hàm số đạt cực đại x = x0 f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) > • Hàm số đạt cực tiểu x = x0 * Chú ý: Đối với hàm số , hàm số đạt cực trò mà đạo hàm triệt tiêu dạo hàm không xác đònh C) GTLN-GTNN: * Lập bảng biến thiên hàm số D Từ xác đònh GTLN-GTNN • Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] hàm số liên tục D ta làm sau: Bước 1: Tìm y’ Giải y’ = chọn nghiệm x1 ; x2 ; ;xi thuộc [a;b] Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ; f(xi) ; f(a) ; f(b) Bước 3: Số lớn ( nhỏ nhất) số GTLN (GTNN) cần tìm IV) Các bước khảo sát vẽ đồ thò hàm số: A) Hàm đa thức : (Hàm bậc hàm trùng phương) Bước : MXĐ : D = R Bước : Đạo hàm cấp (y’ = ) Bước : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’) Bước : Điểm đặc biệt Bước : Vẽ đồ thò kết luận tính đối xứng B) Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 ) Bước 1: MXĐ : D = Bước : Đạo hàm cấp (y’= ) Bước : Giới hạn tiệm cận Bước : Bảng biến thiên Bước : Điểm đặc biệt Bước : Vẽ đồ thò kết luận tính đối xứng V) Sự tương giao ( Vò trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) (D) : y = g(x) y = f ( x) y = g ( x) • Toạ độ giao điểm (C) (D) nghiệm hệ : • Biện luận tương giao (C) (D) : Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm (C) (D) : f(x) = g(x) Bước 2: Căn vào số nghiệm phương trình Số giao điểm (C) (D) ( Số nghiệm pt = số giao điểm (C) (D)) Biên Soạn: Trần Phú Hiếu ĐT: 0908.653.207 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Tổ: Tốn-Tin Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009 VI) Tiếp tuyến: Dạng 1: Biết tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) điểm M(x0 ; y0) ∈ (C ) : y – y0 = f’(x0)(x – x0) Dạng 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k là: f ' ( x0 ) = k y = f ( x0 ) y – y0 = k(x – x0) với (x0 ; y0) toạ độ tiếp điểm xác đònh : * Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc (-1) VI) Biện luận số nghiệm phương trình đồ thò Cho hàm số (C) : y = f(x) Biện luận phương trình : F(x;m) = ; ( ẩn x ; tham số m) @ Phương pháp: * Biến đổi phương trình F(x;m) = dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) đường thẳng) * Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thò: (C) : y = f(x) ( Đã vẽ) (D) : y = g(m) ( đường thẳng phương Ox cắt Oy g(m) * Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận số nghiệm phương trình VII) Nguyên hàm – Tích phân NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I) Bảng nguyên hàm : Hàm sơ cấp Hàm hợp ∫ dx = x + C α ∫ x dx = ∫ xα +1 + C ; ( α ≠ −1) α +1 dx = ln x + C ; ( x ≠ ) x ∫ e dx = e x x ∫ a dx = x +C ax + C ( < a ≠ 1) ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x ∫ sin x ∫ du = u + C α ∫ u du = ∫ du = ln u + C ; ( x ≠ ) u ∫ e du = e u u ∫ a du = u +C au + C ( < a ≠ 1) ln a ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin Biên Soạn: Trần Phú Hiếu uα +1 + C ; ( α ≠ −1) α +1 u u du = tan u + C du = − cot u + C ĐT: 0908.653.207 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Tổ: Tốn-Tin Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Diện tích hình phẳng: (C ) : y = f ( x) b (H) : (C ') : y = g ( x) Khi : Diện tích hình (H) : S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a x = a; x = b ( a < b ) Vấn đề 2: Cơng thức thể tích khối tròn xoay : (C ) : y = f ( x) b ( ) H : y = π Xoay quanh Ox : Thể tích : V = ∫ ( f ( x) ) dx a x = a; x = b (a < b) VIII./ SỐ PHỨC • Số i : i = -1 • Số phức dạng : z = a + bi Với : • Mơđun số phức : z = a + b • Số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi • a+ bi = c + di ⇔ • • • (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i • • • a : Phan thuc b : phan ao ( a, b ∈ R ) a = c b = d a + bi ( a + bi ) ( c − di ) = c + di c2 + d Các bậc hai số thực a < : ±i a Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = ( a khác ; a, b, c ∈ R ) Đặt ∆ = b − 4ac −b 2a −b ± ∆ o Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực : x1,2 = 2a −b ± i ∆ o Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm phức : x1,2 = 2a o Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép(thực) : x = Biên Soạn: Trần Phú Hiếu ĐT: 0908.653.207 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Tổ: Tốn-Tin Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009 PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN • Thể tích khối chóp : V = Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao) • Thể tích khối lăng trụ : V = Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao) • Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : V = abc • Thể tích khối lập phương cạnh a : V = a3 Chú ý : * Trong tốn ta thường sử dụng kết :Cho khối chóp OABC,trên đoạn thẳng OA,OB,OC lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi : VO A'B 'C ' OA' OB' OC ' = VO ABC OA OB OC Cơng thức hình nón:Gọi l độ dài đường sinh hình nón,h đường cao,r bán kính đáy a/ Diện tích xung quanh: Sxq = π rl b/ Diện tích tồn phần : Stp = Sxq + Sđáy c/ Thể tích khối nón: V = π r h Cơng thức hình trụ: Gọi l độ dài đường sinh hình trụ,r bán kính đáy a/ Diện tích xung quanh: Sxq = 2π rl b/ Diện tích tồn phần : Stp = Sxq + 2Sđáy c/ Thể tích khối trụ: V = π r h ; (h = l) Cơng thức hình cầu: a/ Diện tích mặt cầu: S = 4π r 3 c/ Thể tích khối cầu: V = π r CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) Cho hai vectơ : r b = ( b1 ; b2 ; b3 ) a = b r r 1 a) a = b ⇔ a2 = b2 a = b 3 r r b) a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) c) Tích vô hướng hai vectơ: rr a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r d) k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) ; ( k ∈ R ) Biên Soạn: Trần Phú Hiếu r 2 d) a = a1 +a2 +a3 e) Góc hai vectơ : ( ) Gọi ϕ = a; b Khi : cos ϕ = r r rr f) a ⊥ b ⇔ a.b = ĐT: 0908.653.207 a.b a b TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Tổ: Tốn-Tin Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009 Cho hai điểm A(x ;y ; Z ) ; B(xB ; yB ; ZB ) o o o o A A A uuur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; Z B − Z A ) uuur Độ dài : AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( Z B − Z A ) 2 x A + xB x = I xI = x A + x B y A + yB ⇔ yI = y A + yB I trung điểm AB.Ta có: yI = 2 z = z + z I A B z A + zB Z I = x A + xB + xC xG = y A + yB + yC G trọng tâm tam giác ABC yG = z A + z B + zc zG = TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r Cho hai vectơ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) va b = ( b1; b2 ; b3 ) r r rr a2 a3 a3 a1 a1 a2 ; ; ÷ b b b b b1 b2 3 Tích có hướng a va b la : a; b = MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c),bán kính R dạng: * (x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1) * x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (2) Chú ý : • (2) phương trình mặt cầu a2 + b2 + c2 – d > • (2) có tâm I(a,b,c) ,bK R = a + b + c − d > KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp ( α ) : Ax + By + CZ + D = là: d(M0; ( α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D MẶT PHẲNG Biên Soạn: Trần Phú Hiếu ĐT: 0908.653.207 A2 + B + C TRƯỜNG THPT LÊ LỢI Tổ: Tốn-Tin Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009 Phương trình tổng quát mp ( α ) có dạng : Ax + By + 1) CZ + D = (A2 + B2 + C2 > 0) có : r VTPT : n = ( A; B; C ) r Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C ) mp ( α ) 2) có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 3) Qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c) mp (ABC) : x y z + + = ( Gọi phương trình theo đoạn chắn) a b c ( a; b; c ≠ ) r rr rr n a ; b 4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) có cặp VTCF VTPT là: = a; b = ( A; B; C ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z ĐƯỜNG THẲNG Qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) r : VTCF a = ( a1 ; a2 ; a3 ) Đường thẳng ∆ : x = x0 + a1t PTTS ∆ : y = y0 + a2t ; ( t ∈ R ) z = z +a t PTCT ∆ : x − x0 y − y0 z − z0 = = ≠ 0) a1 a2 a3 (a1,a2,a3 Biên Soạn: Trần Phú Hiếu ĐT: 0908.653.207