Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1+ x + 1+ y + 1+ z2 Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+ y y+z z+x + + xy + z yz + x zx + y Ví dụ Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + x +y xy Ví dụ Cho x, y > xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + + xy yz xz x + y + z  x  y  z 1 Ví dụ Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  +  +  +   y + z  x + z  x + y  Hướng dẫn: Ta có x x + y + z ( x + z) + ( y + z) + = = ≥ ( x + z )( y + z ) y+z 2( y + z ) 2( y + z ) y+z Tương tự cho hai biểu thức lại, sau nhân vào ta P ≥ Ví dụ Cho x, y, z > 1 + + = 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Hướng dẫn: Tách  1    y z yz = 1 − + ≥2  + 1 − = 1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) Tương tự xz xy ≥2 ; ≥2 1+ y ( x + 1)( z + 1) + z ( x + 1)( y + 1) Nhân vế theo vế BĐT ta 1 xyz ≥8 ⇒ xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x)(1 + y )(1 + z ) Ví dụ Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1 + x2 + y2 1+ y2 + z2 + z + x2 + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy yz zx Ví dụ Cho số thực x > 1; y > Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Facebook: LyHung95 ( x3 + y3 ) − ( x2 + y ) ( x − 1)( y − 1) Hướng dẫn: Ta có P = ( x3 − x2 ) + ( y3 − y ) x2 y2 xy = + ≥ ( x − 1)( y − 1) y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) x   x − = 1.( x − 1) ≤ xy Lại có   → ( x − 1)( y − 1) ≤  y − = 1.( y − 1) ≤ y  Từ dễ dàng suy P ≥ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a b c 1 1 1 + 2+ ≤  + +  2 a +b b +c c +a 2 a b c  b) a+b b+c c+a 1 1 + 2+ ≤ + +  2 a + b b + c c + a2  a b c  Bài 2: [ĐVH] Cho a, b, c > 1 1 + + ≥ Chứng minh abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH] Cho a, b, c Chứng minh : a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c )  a , b, c > Bài 4: [ĐVH] Cho  a + b + c =     Chứng minh  − 1 − 1 − 1 ≥  a  b  c  Bài 5: [ĐVH] CMR 1 a+b+c + + ≤ , ∀a, b, c > a + bc b + ca c + ab 2abc Bài 6: [ĐVH] Chứng minh với a, b, c > ta có 1 1 + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn P = 1 + 3 + 3 a + b + b + c + c + a3 + Bài 8*: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Tìm GTNN P = a + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Hướng dẫn: Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( a + b ) ( a + ab + b ) − 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) a + b a + b3 = = ( a + b) − ≥ ( a + b) − = 2 2 a + ab + b a + ab + b a + b + ab 3ab Tương tự cho bất đẳng thức khác ta Pmin = a = b = c = Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = Chứng minh P = x9 + y y9 + z9 z + x9 + + ≥2 x6 + x3 y3 + y y + y3 z + z z + z x3 + x6 Bài 10: [ĐVH] (Khối D – 2006) Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1 + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Chứng minh Khi đẳng thức xảy ra? Bài 11: [ĐVH] Cho x, y, z > Chứng minh y x z 1 + 2+ ≤ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z Bài 12: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 13: [ĐVH] (Khối B – 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P = x  +  + y  +  + z  +   zx   xy   yz  Bài 14: [ĐVH] Cho số thực x, y Chứng minh a) x + y 2 ( x + y) ≥ b) x + y 4 ( x + y) ≥ 1 + + =4 a b c 1 Chứng minh : + + ≤1 a + b + c a + b + c a + b + 2c Bài 15: [ĐVH] Cho a, b, c > thoả mãn Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = 12 Chứng minh rằng: xy yz xz + + ≤ x + y y + 4z 4z + x Bài 17: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn: xy + xz = Tìm GTNN biểu thức P = yz zx xy + + x y z Bài 18: [ĐVH] Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z + xy = 3( x + y + z ) Tìm GTNN biểu thức P = x + y + z + 20 + x+z 20 y+2 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!