BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ KIM OANH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TẮT DẦN MẠNH VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN KIỂU MŨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ KIM OANH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TẮT DẦN MẠNH VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN KIỂU MŨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Cung Thế Anh HÀ NỘI, 2016 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian Sobolev 1.1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.2 Tập hút toàn cục 1.3 Một số kết thường dùng 10 1.3.1 Các bổ đề compact 10 1.3.2 Một số bất đẳng thức 11 1.3.3 Một số bổ đề quan trọng 12 Chương Sự tồn nghiệm yếu 14 2.1 Đặt toán 14 2.2 Sự tồn nghiệm 15 Chương Sự tồn tập hút toàn cục 31 3.1 Tính tiêu hao 31 3.2 Tính compact tiệm cận 33 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K18 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Kim Oanh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Kim Oanh Mở đầu Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực vô hạn chiều sinh phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân hàm toán quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một cách tiếp cận toán hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều nghiên cứu tồn tính chất tập hút toàn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Trong năm qua, tồn tập hút toàn cục nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, xem chuyên khảo [2] Nói riêng, tồn tính chất tập hút toàn cục nghiên cứu cho lớp phương trình truyền sóng tắt dần mạnh điều kiện khác số hạng phi tuyến (xem [4, 5, 6] tài liệu trích dẫn đó) Tuy nhiên, tất kết cần hạn chế kiểu đa thức lên độ tăng trưởng số hạng phi tuyến, nói riêng số hạng phi tuyến kiểu mũ không thỏa mãn Những phương trình sóng tắt dần mạnh nửa tuyến tính thú vị xét từ quan điểm vật lý Ví dụ chúng xuất mô hình dòng chảy chất lỏng nhớt lý thuyết truyền nhiệt Một vấn đề quan trọng phương trình nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua tồn tính chất tập hút toàn cục Tập hút toàn cục lớp phương trình nghiên cứu nhiều tác giả giả thiết khác số hạng phi tuyến (xem, chẳng hạn, [4, 5, 6]) Với mong muốn hiểu biết sâu tính chất tập hút phương trình truyền sóng tắt dần mạnh, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, chọn đề tài "Phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm tồn tập hút lớp phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm yếu; • Nghiên cứu tồn tập hút toàn cục Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn nghiệm tồn tập hút toàn cục; • Phạm vi nghiên cứu: Phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm: phương pháp Galerkin; • Nghiên cứu tồn tập hút: phương pháp lí thuyết hệ động lực Đóng góp luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết kết gần [3] tồn nghiệm tồn tập hút toàn cục lớp phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm đến tập hút toàn cục phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau Các kết chủ yếu tham khảo [1, 2, 3, 7] 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω miền bị chặn Rn Cho ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa không gian Lp (Ω) sau: • Với ≤ p < ∞, ta định nghĩa Lp (Ω) = |f (x)|p dx < ∞ f : f hàm đo Ω với chuẩn f p p |f (x)| dx = Ω p p |f | dx = p Ω • Với p = ∞, ta định nghĩa L∞ (Ω) = f : f hàm đo |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi, k > với chuẩn f ∞ = inf k > : |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi Định nghĩa 1.2 Cho k ≥ số nguyên không âm, ta định nghĩa không gian Sobolev H k (Ω) = u ∈ L2 (Ω) | Dα u ∈ L2 (Ω) , ∀ |α| = 0, , k , với chuẩn k u H k (Ω) |Dα u|2 dx = Ω |α|=0 Ở Dα u đạo hàm yếu cấp α u Định nghĩa 1.3 Ta định nghĩa không gian H01 (Ω) bổ sung đủ C0∞ (Ω), không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω, H (Ω) Trong H01 (Ω), ta thường sử dụng chuẩn tương đương sau u H01 (Ω) |∇u|2 dx = Ω Định nghĩa 1.4 Không gian đối ngẫu H01 (Ω) kí hiệu H −1 (Ω) Như vậy, f ∈ H −1 (Ω) f phiếm hàm tuyến tính bị chặn H01 (Ω) Nếu f ∈ H −1 (Ω) f H −1 (Ω) = sup f, u | u ∈ H01 (Ω), u H01 (Ω) ≤1 Ta viết f, u để kí hiệu giá trị f ∈ H −1 (Ω) u ∈ H01 (Ω) 1.1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian Định nghĩa 1.5 ([1]) Cho X không gian Banach thực với chuẩn · Không gian C ([0, T ] ; X) bao gồm tất hàm liên tục u : [0, T ] → X Từ Bổ đề 2.1 - 2.3 suy toán (2.1) có nghiệm yếu w ∈ C([0, T ]; H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω)) với wt ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; H01 (Ω)) wtt ∈ L2loc (0, T ; L2 (Ω)) Lại có, từ (2.3), (2.12), (2.13), (2.15), (2.17), (2.20) (2.24), ta (2.5)2 Vì vậy, để kết thúc chứng minh Định lí 2.1, ta cần chứng minh (2.6) Giả sử w, v ∈ C([0, T ]; H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω)) ∩ C ([0, T ]; L2 (Ω)) 2,2 (0, T ; L2 (Ω)) hai nghiệm yếu (2.1) Theo ∩W 1,2 (0, T ; H01 (Ω))∩Wloc (2.1)1 , hàm u(t, x) = w(t, x) − v(t, x) thỏa mãn phương trình utt − ∆ut − λ1 ut + f1 (wt ) − f1 (vt ) − ∆u = g (v) − g (w) Kí hiệu     −m, ut ≤ −m,    (m) ut (t, x) = ut (t, x) , |ut | ≤ m,      m, ut ≥ m, (m) ta ut ∈ L∞ ((0, T ) × Ω) ∩ W 1,2 ((ε, T ) × Ω) , với ε ∈ (0, T ) (m) Kiểm tra phương trình ut (s, t) × Ω sử dụng (2.3), (2.5)2 ta t t (m) utt (τ ) , ut (m) ∇ut (τ ) , ∇ut (τ ) dτ + s (τ ) dτ s t t (m) − λ1 ut (τ ) , ut (m) ∇u (τ ) , ∇ut (τ ) dτ + s (τ ) dτ s t (m) f1 (wt (τ )) − f1 (vt (τ )) , ut + (τ ) dτ s t ≤M u (τ ) (m) L2 (Ω) ut (τ ) s 29 L2 (Ω) dτ, < s ≤ t < T Sử dụng tính đơn điệu f1 bất đẳng thức cuối, ta t t (m) utt (τ ) , ut (m) ∇ut (τ ) , ∇ut (τ ) dτ + s (τ ) dτ s t t (m) − λ1 ut (τ ) , ut (m) ∇u (τ ) , ∇ut (τ ) dτ + s (τ ) dτ s t ≤M (m) u (τ ) ut L2 (Ω) (τ ) L2 (Ω) dτ, s cho qua giới hạn m → ∞, ta có t t ∇u (τ ) , ∇ut (τ ) dτ utt (τ ) , ut (τ ) dτ + s s t ≤M u (τ ) L2 (Ω) ut (τ ) L2 (Ω) dτ s Bởi vì, t t ∇u(τ ), ∇ut (τ ) dτ = utt (τ ),ut (τ ) dτ + s ut (t) 2 L2 (Ω) s − ut (s) 2 L2 (Ω) + ∇u (t) 2 L2 (Ω) − ∇u (s) 2 L2 (Ω) , bất đẳng thức cuối cho ta < s ≤ t < T, ut (t) L2 (Ω) + ∇u (t) L2 (Ω) ≤ ut (s) L2 (Ω) + ∇u (s) L2 (Ω) t +M ut (τ ) L2 (Ω) + ∇u (τ ) L2 (Ω) dτ, s Do đó, chuyển qua giới hạn s 0, áp dụng Bổ đề Gronwall, ta (2.6) Như vậy, Định lí 2.1 chứng minh 30 Chương Sự tồn tập hút toàn cục Từ Định lí 2.1 Chương 2, toán tử nghiệm S (t) (w0 , w1 ) := (w (t) , wt (t)) toán (2.1) sinh nửa nhóm liên tục yếu (theo nghĩa, ϕn → ϕ mạnh S (t) ϕn → S (t) ϕ *-yếu) không gian H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) × L2 (Ω) Trong chương trình bày kết tồn tập hút toàn cục nửa nhóm S(t) sinh toán (2.1) báo [3] Cụ thể ta trình bày chứng minh định lí sau Định lí 3.1 Giả sử điều kiện (2.2)-(2.4) thỏa mãn Khi nửa nhóm S(t) sinh toán (2.1) có tập hút toàn cục A không gian H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) × L2 (Ω) Theo Định lí 1.1, để chứng minh kết trên, ta cần chứng minh: • Nửa nhóm S(t) tiêu hao; • Nửa nhóm S(t) compact tiệm cận 3.1 Tính tiêu hao Ta kiểm tra tính tiêu hao nửa nhóm sinh toán (2.1) qua bổ đề sau 31 Bổ đề 3.1 Giả sử điều kiện (2.2)-(2.4) thỏa mãn Khi với tập bị chặn B ⊂ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) × L2 (Ω), tồn cB > cho sup S (t) ϕ ϕ∈B (H01 (Ω)∩L∞ (Ω))×L2 (Ω) ≤ cB , ∀t ≥ (3.1) Chứng minh Giả sử ϕ ∈ B (w (t) , wt (t)) = S (t) ϕ Từ (2.5) suy S (t) ϕ (1) ≤ cB , H01 (Ω)∩L2 (Ω) ∀t ≥ (3.2) Kí hiệu v (s) (t, x) nghiệm yếu (2.18) với (w (s) , wt (s)) w(t + s) thay cho (w0 , w1 ) w(t) theo thứ tự Kí hiệu u(s) (t, x) = w (t + s, x) − v s (t, x), với (t, x) ∈ [0, 1] × Ω s ≥ Khi đó, sử dụng Bổ đề 2.2, Bổ đề 2.3 bất đẳng thức (2.5), ta w (t + s) L∞ (Ω) ≤ v (s) (t) L∞ (Ω) ≤ e−t w (s) + u(s) (t) L∞ (Ω) (2) L∞ (Ω) + cB , ∀t ∈ [0, 1] ∀s ≥ (3.3) Chọn t = s = n − (3.3), phương pháp lặp, ta w (n) L∞ (Ω) ≤ e−n w (0) − e−n , − e−1 (2) L∞ (Ω) + cB ∀n ∈ N, w (n) L∞ (Ω) ≤ w (0) L∞ (Ω) + e (2) c , ∀n ∈ Z+ e−1 B Do với T ≥ 0, tồn nT ∈ Z+ tT ∈ [0, 1) cho T = nT + tT , (3.3) (3.4), ta có w (T ) (3) L∞ (Ω) ≤ cB 32 ∀T ≥ (3.4) Kết hợp với (3.2), ta có sup S (t) ϕ ϕ∈B (H01 (Ω)∩L∞ (Ω))×L2 (Ω) ≤ cB ∀t ≥ Bổ đề chứng minh 3.2 Tính compact tiệm cận Ta kiểm tra tính compact tiệm cận nửa nhóm S(t) qua bổ đề Bổ đề 3.2 Giả sử điều kiện (2.2)-(2.4) thỏa mãn B tập bị chặn H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) × L2 (Ω) Khi tập hợp ∞ {S (tm ) ϕm }∞ m=1 , tm → ∞ {ϕm }m=1 ⊂ B, compact tương đối H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) × L2 (Ω) Chứng minh • Bước Trước tiên ta chứng minh tính compact tương đối {S (tm ) ϕm }∞ m=1 H0 (Ω)×L (Ω) Với T > m ∈ N cho tm ≥ T , ta định nghĩa (T ) (T ) (wm (t) , wmt (t)) = S (t + tm − T ) ϕm Từ Bổ đề 3.1 (2.5)1 suy t (T ) wm (t) (T ) H01 (Ω)∩L∞ (Ω) + wmt (t) L2 (Ω) (T ) ∇wmt (s) + L2 (Ω) ds t (T ) (T ) f1 wmt (s) , wmt (s) ds ≤ c1 ∀t ≥ + (3.5) 33 Khi đó, Định lí Banach-Alaoglu, ta thấy tồn dãy (T ) ∞ 1,∞ ∞ (0, T ; L2 (Ω {wmn (t)}∞ n=1 hàm w ∈ L (0, T ; H0 (Ω)∩L (Ω))∩W )) ∩ W 1,2 (0, T ; H01 (Ω))   (T )   wmn (t) → w (t)    (T ) wmn t (t) → wt (t)      (T ) wm (t) → wt (t) nt cho *-yếu L∞ 0, T ; H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) , *-yếu L∞ 0, T ; L2 (Ω) , (3.6) yếu L2 0, T ; H01 (Ω) Kiểm tra phương trình (T ) (T ) (T ) (T ) (T ) (T ) wmn tt − wmk tt − ∆ wmn t − wmk t − ∆ wm − wm n k +f (T ) wmn t −f (T ) wmk t +g (T ) wm n −g (T ) wm k (3.7) =0 (T ) (T ) 2(wmn t − wmk t ) (s, T ) × Ω sử dụng (2.2) (3.5), ta (T ) (T ) wmn t (T ) − wmk t (T ) L2 (Ω) (T ) (T ) + ∇ wm (T ) − wm (T ) n k L2 (Ω) T (T ) wmn t (t) + c1 − (T ) wmk t (t) L2 (Ω) dt ≤ (T ) wmn t (s) − (T ) wmk t (s) L2 (Ω) s T (T ) (T ) + ∇ wm (s) − wm (s) n k L2 (Ω) (T ) (T ) wm (t) − wm (t) n k + c2 L2 (Ω) dt s (3.8) (T ) (T ) Mặt khác, kiểm tra (3.7) wmn − wmk 34 (0, T ) × Ω xét (3.5), ta T (T ) (T ) ∇ wm (t) − wm (t) n k L2 (Ω) dt ≤ c3 + T T (T ) wmn t (t) + − (T ) wmk t (t) L2 (Ω) (T ) wm (t) n dt + c4 − (T ) wm (t) k L2 (Ω) dt 0 T (T ) (T ) (T ) (T ) f wmn t (t) − f wmk t (t) , wm (t) − wm (t) dt n k + Kết hợp với (3.8) suy T T (T ) (T ) wmn t (t) − wmk t (t) L2 (Ω) (T ) (T ) ∇ wm (t) − wm (t) n k dt + dt L2 (Ω) 0 T (T ) (T ) wm (t) − wm (t) n k ≤ c5 + c6 L2 (Ω) dt T (T ) (T ) (T ) (T ) (t) − wm f wmn t (t) − f wmk t (t) , wm (t) dt n k + (3.9) Lấy tích phân (3.8) (0, T ) s sử dụng (3.9) ta (T ) (T ) T wmn t (T ) − wmk t (T ) L2 (Ω) (T ) (T ) + T ∇ wm (T ) − wm (T ) n k L2 (Ω) T (T ) (T ) wm (t) − wm (t) n k ≤ c5 + c7 (1 + T ) L2 (Ω) dt T (T ) (T ) (T ) (T ) f wmn t (t) − f wmk t (t) , wm (t) − wm (t) dt n k + Sử dụng định lí nhúng compact, từ (3.6) suy T (T ) (T ) wm (t) − wm (t) n k lim n,k→∞ 35 L2 (Ω) dt = 0, (3.10) sử dụng (3.5), ta T (T ) n→∞ (T ) (T ) (T ) f (wmn t (t)) − f (wmk t (t)), wm (t) − wm (t) dt n k lim sup lim sup k→∞ T (T ) (T ) (T ) f (wmn t (t)), wm (t) − wm (t) dt n k ≤ lim sup lim sup n→∞ k→∞ {x:x∈Ω|wmn t (t,x)|>1} T (T ) (T ) (T ) f (wmk t (t)), wm (t) − wm (t) dt n k + lim sup lim sup n→∞ k→∞ {x:x∈Ω|wm t (t,x)|>1} k T T (T ) ≤ c8 lim sup (T ) (T ) f1 (wmn t (t)), wmn t (t) dt + c8 lim sup n→∞ wmn t (t) n→∞ L2 (Ω) dt ≤ c9 Chuyển qua giới hạn (3.10), ta lim sup lim sup S (tmn ) ϕmn − S (tmk ) ϕmk n→∞ k→∞ H01 (Ω)×L2 (Ω) c10 ≤√ , T ∀T > 0, dãy {mn } phụ thuộc vào T Khi đó, tồn dãy (2) (l) {m(1) n } ⊃ {mn } ⊃ ⊃ {mn } ⊃ · · · cho với l = 1, 2, , lim sup lim sup S(tm(l) )ϕm(l) − S(tm(l) )ϕm(l) n n n→∞ k k→∞ k H01 (Ω)×L2 (Ω) c10 ≤√, l lim lim sup S(tm(n) )ϕm(n) − S(tm(k) )ϕm(k) n n n→∞ k k→∞ 36 k H01 (Ω)×L2 (Ω) = (3.11) Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức S(tm(n) )ϕm(n) − S(tm(ν) )ϕm(ν) n n ν ν H01 (Ω)×L2 (Ω) ≤ lim sup S(tm(n) )ϕm(n) − S(tm(k) )ϕm(k) n n H01 (Ω)×L2 (Ω) + lim sup S(tm(k) )ϕm(k) − S(tm(ν) )ϕm(ν) ν ν H01 (Ω)×L2 (Ω) k k→∞ k k→∞ k k lưu ý đến (3.11), ta lim n,ν→∞ S(tm(n) )ϕm(n) − S(tm(ν) )ϕm(ν) n n ν ν H01 (Ω)×L2 (Ω) = Do đó, dãy {S tm(n) ϕm(n) }∞ n=1 dãy Cauchy H0 (Ω)×L (Ω) n n hội tụ Tương tự, ta dãy {S (tm ) ϕm }∞ m=1 có dãy hội tụ H01 (Ω) × L2 (Ω) Từ ta có tính compact tương đối {S (tm ) ϕm }∞ m=1 H0 (Ω) × L (Ω) • Bước Bây ta chứng minh tính compact tiệm cận ∞ {wm (tm )}∞ m=1 L (Ω), (wm (t) , wmt (t)) = S (t) ϕm Nhờ tính compact tương đối {S (tm ) ϕm }∞ m=1 H0 (Ω) × L (Ω), với δ > tồn Tδ > Mδ > cho |∇wm (t, x)|2 + |wmt (t, x)|2 dx < δ, ∀t ≥ Tδ {x:x∈Ω |wmt (t,x)|>Mδ } (3.12) Kiểm tra phương trình wmtt − ∆wmt + f (wmt ) − ∆wm + g(wm ) = h     wmt + Mδ , wmt ≤ −Mδ ,    0, |wmt | ≤ Mδ , ,      wmt − Mδ , wmt ≥ Mδ 37 (s, s + 1) × Ω sử dụng (3.12), ta s+1 f1 (wmt (t, x))(wmt (t, x) − Mδ )dxdt s {x:x∈Ω wmt (t,x)>Mδ } s+1 f1 (wmt (t, x))(wmt (t, x) + Mδ )dxdt ≤ c11 δ, + s {x:x∈Ω wmt (t,x)>−Mδ } với s ≥ Tδ , s+1 f1 (wmt (t, x)) wmt (t, x) dxdt ≤ 2c11 δ, ∀s ≥ Tδ s {x:x∈Ω, |wmt (t,x)|>2Mδ } (3.13) τ Ta kí hiệu wm (t, x) = wm (t + τ, x)   f1 (w) , |y| ≤ M M f1 (y) = ,  0, |y| > M τ τ τ Γε (t, x) = (1 + ε + λ1 ) wmt (t, x) + wm (t, x) − g (wm (t, x)) τ − f1M (wmt (t, x)) + h (x) , Φε (y) = f1 (y) − f1M (y) + εy, M ≥ ε ∈ (0, 1) τ τ τ τ Phân tách wm (t) thành wm (t) = vεm (t) + uτεm (t), vεm (t) uτεm (t) nghiệm toán sau   τ τ τ τ   vεmtt − ∆vεmt + vεmt − ∆vεm = Γε (t, x) (0, 1) × Ω,    τ vεm =0 (0, 1) × ∂Ω,      τ τ τ τ vεm (0, ·) = wm (0) , vεmt (0, ·) = wmt (0) Ω, 38   τ   ) (0, 1) × Ω, uτεmtt − ∆uτεmt + uτεmt − ∆uτεm = −Φε (wmt    uτεm = (0, 1) × ∂Ω,       uτεm (0, ·) = 0, uτεmt (0, ·) = Ω Sử dụng kỹ thuật chứng minh Bổ đề 2.2, ta τ τ vεm (1) − e−1 wm (0) H s (Ω) ≤ c1 + f1 2−s C[−M,M ] , ∀s ∈ [0, 2) (3.14) Sử dụng lí luận chứng minh Bổ đề 2.3, ta có uτεm (t) L∞ (Ω) ≤ 2ε (2 − α)(1 − α) Φ−1 ε (−ε) ∞ + Φε (ν) dν + νΦε (ν) 4πα Φ−1 ε (ε) −∞ Φε (ν) dν νΦε (ν) τ τ Φε (wmt (s)), wmt (s) ds, ∀t ∈ [0, 1] , × (3.15) α ∈ (0, 1) Từ định nghĩa Φε , suy −1 Φ−1 ε (ε) = Φε (−ε) = −1 Do Φ−1 ε (−ε) ∞ Φε (ν) dν + νΦε (ν) Φ−1 ε (ε) −∞ −M + −∞ ∞ M Φε (ν) dν = νΦε (ν) dv + v2 ∞ f (v) + ε dv ≤ v(f1 (v) + εv) f (v) + ε dv v(f1 (v) + εv) M ∞ dv + v2 1 39 −1 f (v) dv + vf1 (v) −∞ f (v) dv ≤ c2 vf1 (v) Sử dụng ước lượng cuối (3.15), ta uτεm (t) L∞ (Ω) τ τ f1 (wmt (t, x))wmt (t, x)dxdt ≤ εc3 + τ (t,x)|>M } {x:x∈Ω |wmt τ +1 f1 (wmt (s, x))wmt (s, x)dxdt, ∀t ∈ [0, 1] , ∀τ ≥ = εc3 + τ {x:x∈Ω |wmt (s,x)|>M } (3.16) Do đó, từ (3.13) - (3.16), ta kết luận với δ > tồn Mδ > Tδ > cho wm (τ + 1) − e−1 wm (τ ) ∈ Oδ∞ (B(0, r(Mδ , s))), r(Mδ , s) = c1 (1 + f1 2−s C[−M,M ] ), B (0, r) = {u : u ∈ H s (Ω) , u ∀τ ≥ Tδ , H s (Ω) tồn nε ∈ N cho e−nε wm (τ ) L∞ (Ω) ε < , 40 ∀τ ≥ ∀m ∈ N Chọn δ = ε , từ hai hệ thức cuối, ta thu 3nε wm (τ + nε ) ∈ O∞ 2ε (B (0, rε (s))) , ∀τ ≥ Tδ ∀s ∈ (1, 2) , (3.17) rε (s) = nε r Mδ , s Bởi tính compact phép nhúng H s (Ω) ⊂ L∞ (Ω), với s > 1, ta suy B (0, rε (s)) tập compact tương đối L∞ (Ω) Từ đây, (3.17), tập {wm (τ + nε )}τ ≥Tδ , nói riêng ∞ {wm (tm )}∞ m=1 , có ε-lưới hữu hạn L (Ω) Do ε số dương tùy ∞ ý, ta thu tính compact tương đối {wm (tm )}∞ m=1 L (Ω) Điều với tính compact chứng minh Bước hoàn thành chứng minh 41 Kết luận Luận văn nghiên cứu phương trình truyền sóng tắt dần mạnh miền bị chặn Ω ⊂ R2 với số hạng phi tuyến kiểu mũ, điều kiện biên Dirichlet kiện ban đầu không gian (H01 (Ω)∩L∞ (Ω))×L2 (Ω) thay cho không gian pha thông thường H01 (Ω)×L2 (Ω) Các kết trình bày luận văn bao gồm: Sự tồn phụ thuộc liên tục nghiệm yếu vào kiện ban đầu Sự tồn tập hút toàn cục không gian (H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω)) × L2 (Ω) nửa nhóm sinh nghiệm yếu toán 42 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc., Providence, RI [3] A Khanmamedov (2014), Strongly damped wave equations with exponential nonlinearities, J Math Anal Appl 419, 663-687 [4] F Dell’Oro and V Pata (2012), Strongly damped wave equations with critical nonlinearities, Nonlinear Anal 75, 5723-5735 [5] V Pata and M Squassina (2005), On the strongly damped wave equation, Comm Math Phys 253, 511-533 [6] V Pata and S Zelik (2006), Smooth attractors for strongly damped wave equations, Nonlinearity 19, 1495-1506 [7] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems An Introduction to Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attractors, Cambridge University Press, Cambridge [8] N.S Trudinger (1967), On imbeddings into Orlicz spaces and some applications, J Math Mech 17, 473-483 43 [...]... ở đó Cs (0, T ; L1 (Ω)) = {u : u ∈ L∞ (0, T ; L1 (Ω)), ϕ(x)u(·, x)dx ∈ C[0, T ] Ω với mọi ϕ ∈ L∞ (Ω)} 13 Chương 2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Trong luận văn này chúng ta xét bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ Nội dung chính của Chương 2 là trình bày sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm... với C1 , C2 là các hằng số không âm Khi đó ξ (t) ≤ C2 1 + C1 teC1 t với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T • Bất đẳng thức Gronwall đều: Giả sử x, a và b là các hàm dương thỏa mãn t+r t+r x (s)ds ≤ X, t dx ≤ ax + b với dt t+r a (s)ds ≤ A và t t với r > 0 nào đó và với mọi t ≥ t0 Khi đó x (t) ≤ b (s)ds ≤ B X + B eA r với mọi t ≥ t0 + r 12 1.3.3 Một số bổ đề quan trọng Bổ đề 1.1 ([3]) Cho Q ⊂ Rn là tập đo được với. .. cuối ta được Ψ (kwn (t, x)) dx ≤ c1 , Ω 18 ∀t ≥ 0, (2.12) 2 với k > 0, ở đó L∗Ψ (Ω) là không gian Orlicz với N -hàm Ψ (z) = ez Bất đẳng thức cuối cùng với (2.3), cho ta g (wn (t)) L2 (Ω) ≤ c2 , ∀t ≥ 0, (2.13) với hằng số c2 , cũng như c và c1 , chỉ phụ thuộc vào (w0 , w1 ) (H01 (Ω)∩L∞ (Ω))×L2 (Ω) và độc lập với n Bây giờ nhân phương trình (2.8)j với hàm cnj (t), lấy tổng từ j = 1 đến n và tích phân trên... được mà không cần biết công thức nghiệm cụ thể của phương trình Do đó việc xấp xỉ nghiệm tại một thời điểm đủ lớn bằng tập hút A mang lại nhiều lợi ích trong quá trình nghiên cứu phương trình Thứ hai, trong nhiều trường hợp, người ta chứng minh được rằng tập A là hữu hạn chiều vì thế dù rằng không gian pha là vô hạn chiều thì hệ động lực sinh bởi phương trình rút gọn trên tập hút toàn cục, có thể 9 coi... định bởi hệ phương trình vi phân cấp hai n n cnk (t) ∇ϕk , ∇ϕj + f ( cnk (t) ϕk , ϕj + k=1 n k=1 k=1 n n cnk (t) ∇ϕk , ∇ϕj + g( + cnk (t)ϕk ), ϕj cnk (t) ϕk ), ϕj = h, ϕj , j = 1, , n, k=1 k=1 (2.8) với dữ kiện ban đầu cnj (0) = αj , cnj (0) = βj , j = 1, 2, , n (2.9) Do det ( ϕj , ϕk ) = 0 và các hàm phi tuyến f và g là liên tục, áp dụng Định lí Peano thì tồn tại ít nhất một nghiệm địa phương của... b) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0; c) với mọi t ≥ 0, S (t) ∈ C 0 (X, X) ; d) với mọi u ∈ X, t → S (t) u ∈ C 0 ((0, +∞) , X) Họ các ánh xạ S(t), t 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X Khi đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái) Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính) thì giá trị dim X gọi là số chiều của hệ động... ta thấy rằng tập hút toàn cục có ý nghĩa rất quan trọng khi nghiên cứu về các hệ động lực vô hạn chiều Thứ nhất, từ điều kiện thứ 3 ta thấy với bất kỳ một nghiệm nào của phương trình với điều kiện ban đầu thì sau một khoảng thời gian đủ lớn, nghiệm đó sẽ tiến dần đến tập A Hơn nữa, có thể xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của một nghiệm bất kỳ bằng một nghiệm nằm trên tập hút toàn cục A Bên cạnh đó, do điều... *-yếu Định lí 1.5 ([1]) Giả sử E0 và E là hai không gian Banach Giả sử E ⊂ E0 với phép nhúng là liên tục Giả sử u ∈ L∞ (τ, T ; E) và u (t) ∈ E0 10 với mọi t ∈ [τ, T ] và hơn nữa giả sử u (t) , ϕ là một hàm liên tục đối với t ∈ [τ, T ] với bất kì ϕ ∈ E0∗ (tức là u(t) là hàm liên tục yếu từ [τ, T ] vào E0 ) Khi đó: a) u (t) ∈ E với t ∈ [τ, T ], u (t) E ≤ u Lp (τ,T ;E) , ∀t ∈ [τ, T ], và u(t) là liên tục... đó {ϕj }∞ j=1 là cơ sở của H (Ω) ∩ H0 (Ω), từ (2.7), n sao cho với mọi v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω), tồn tại {αnj }kj=1 kn αnj ϕj → v trong H01 (Ω) , khi n → ∞, j=1 và kn n ≤ v αnj ϕj sup j=1 L∞ (Ω) , C (Ω) cùng với (2.16), ta có wtt , v = h, v − ∇wt , ∇v − ∇w, ∇v − f (wt ) , v − g (w) , v trong L1 (0, T ) , với mọi v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) Từ phương trình này dễ dàng thấy wtt ∈ L1 0, T ; H −1 (Ω) + L1 (Ω) và wtt... L(L2 (Ω),H s (Ω)) ≤ M t− 2 , (2.22) với t, s ≥ 0 Do đó, sử dụng công thức biến thiên hằng số, từ (2.21) và (2.22) ta nhận được ϕ ∈ C [0, T ] ; L2 (Ω) ∩ C ((0, T ] ; H s (Ω)) ∩ L2 0, T ; H01 (Ω) và ϕ (t) s H s (Ω) ≤ M t− 2 w0 + w1 L2 (Ω) 2 + M 1 + g (w) L∞ (0,T ;L2 (Ω)) + wt 2−s L∞ (0,T ;L2 (Ω)) , (2.23) 24 với mọi t ∈ [0, T ] và s ∈ [0, 2) Như một hệ quả, giải phương trình v+vt = ϕ, ta được (2.20) Sử