1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HÀ THỊ THU HIỀN NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HÀ THỊ THU HIỀN NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Hà Thị Thu Hiền Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài:" Nguyên lý cực đại phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát " hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Hà Thị Thu Hiền i Mục lục Mở đầu 1 Các nguyên lý cực đại 1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát 1.2 Nguyên lý cực đại yếu 1.3 Nguyên lý cực đại mạnh 1.4 Tính nghiệm toán Dirichlet toán Neumann 12 1.4.1 Tính nghiệm toán Dirichlet 12 1.4.2 Tính nghiệm toán Neumann 13 Ứng dụng nguyên lý cực đại 2.1 15 Đánh giá độ lớn ẩn hàm phương trình không 15 2.2 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm phương trình Poisson 17 2.3 Bất đẳng thức Harnack trường hợp hai biến độc lập 22 2.4 Nguyên lý cực đại yếu nghiệm suy rộng phương trình dạng bảo toàn Kết luận 27 29 Tài liệu tham khảo 30 ii Mở đầu Lí chọn đề tài Nguyên lý cực đại tính chất đặc biệt phương trình elliptic cấp hai Điều có nghĩa nguyên lý không xảy phương trình elliptic với cấp khác hai phương trình cấp hai mà elliptic Trong giáo trình sách chuyên khảo phương trình đạo hàm riêng, nguyên lý thường trình bày cho phương trình Laplace, đồng thời ứng dụng đề cập Luận văn trình bày Nguyên lý cực đại mạnh Nguyên lý cực đại yếu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát Từ nguyên lý dễ dàng suy tính nghiệm toán Dirichlet toán Neumann Luận văn trình bày ứng dụng Nguyên lý cực đại vào việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm toán Dirichlet phương trình elliptic tổng quát không nhất, đánh giá độ lớn ẩn hàm, độ lớn đạo hàm cấp ẩn hàm chứng minh bất đẳng thức Harnack nghiệm phương trình mặt phẳng Mục đích nghiên cứu Luận văn nhằm mục đích trình bày cách hệ thống Nguyên lý cực đại mạnh Nguyên lý cực đại yếu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát ứng dụng chúng vào việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình không Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phát biểu chứng minh Nguyên lý cực đại mạnh yếu nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát ứng dụng chúng vào việc nghiên cứu phương trình không Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đánh giá độ lớn nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát không Phương pháp nghiên cứu Luận văn dùng công cụ Giải tích toán học hàm nhiều biến số Giải tích hàm tuyến tính Dự kiến đóng góp Luận văn tài liệu tham khảo bổ sung lý thuyết định tính Nguyên lý cực đại mạnh yếu nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát số áp dụng nguyên lý Chương Các nguyên lý cực đại 1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát Xét toán tử vi phân elliptic tuyến tính tổng quát dạng Lu = aij (x) Dij u + bi (x) Di u + c (x) u, aij = aji (1.1) x = (x1 ; x2 ; ; xn ) nằm miền Ω Rn , n ≥ 2; u = u(x) ∈ C (Ω) Ở có quy ước phép lấy tổng theo số lặp từ đến n L kí hiệu toán tử (1.1) Ta đưa định nghĩa sau: L elliptic điểm x ∈ Ω ma trận hệ số aij (x) xác định dương; từ đó, kí hiệu λ (x) , Λ (x) giá trị riêng cực tiểu giá trị riêng cực đại aij (x) , < λ (x) |ξ|2 ≤ aij (x) ξi ξj ≤ Λ (x) |ξ|2 (1.2) với ξ = (ξ1 ; , ξn ) ∈Rn \ {0} Nếu λ(x) > Ω, L elliptic Ω elliptic ngặt λ(x) ≥ λ0 > với số λ0 Nếu Λ(x)/λ(x) bị chặn Ω, ta gọi L elliptic Ω Ví dụ: Toán tử D11 + x1 D22 elliptic ngặt elliptic Cho α ≥ β + ta có L0 eαx1 = α2 a11 + αb1 eαx1 ≥ λ α2 − αβ eαx1 ≥ λ Cho v = sup u+ + eαd − eαx1 sup Ω ∂Ω Thì, từ |f − | λ |f − | , Lv = L0 v + cv ≤ −λ sup λ ∂Ω − L(v − u) ≤ −λ sup |fλ | + Ω f λ ≤ Ω, v − u ≥ ∂Ω Từ đó, với C = eαd − α ≥ β + 1, ta thu kết cần có cho trường hợp Lu ≥ f, |f − | sup u ≤ sup v ≤ sup u + C sup λ Ω Ω Ω ∂Ω + Thế u –u, ta thu (2.1) cho trường hợp Lu = f Khi điều kiện c(x) ≤ không thỏa mãn, đưa đánh giá tiên nghiệm tương tự với (2.1) giả thiết miền Ω nằm hai mặt phẳng song song gần Hệ 2.1.1 Cho Lu = f nằm miền bị chặn Ω, L elliptic u ∈ C (Ω) ∩ C Ω Cho C số Định lí 2.1.1 giả sử C1 = − C sup Ω Khi  sup |u| ≤ Ω c+ > λ (2.2)  |f |  sup |u| + C sup  C1 ∂Ω Ω λ 16 (2.3) Chú ý Từ C = e(β+1)d − giá trị số (2.1), d miền rộng miền chứa Ω, điều kiện (2.2) thỏa mãn miền đủ hẹp đại lượng |b(x)| /λ(x) c(x)/λ(x) bị chặn Nếu c+ ≡ (với c(x) ≤ 0), C1 = (2.3) rút gọn (2.1) Chứng minh (Hệ 2.1.1) Viết lại Lu = (L0 + c) u = f dạng L0 + c− u = f ≡ f + c− − c u = f − c+ u Từ (2.1) ta thu sup |u| ≤ sup |u| + C sup Ω Ω ∂Ω |f | λ ≤ sup |u| + C sup |fλ| + sup |u| sup cλ + Ω ∂Ω Ω Ω Bất đẳng thức (2.2) dẫn đến (2.3) Một kết trực tiếp Hệ 2.1.1 tính nghiệm toán Dirichlet miền đủ nhỏ (nếu cận đại lượng |b(x)| /λ(x) c(x)/λ(x) cố định) 2.2 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm phương trình Poisson Nguyên lý cực đại dùng ước lượng đạo hàm nghiệm ta thêm điều kiện áp đặt lên phương trình Để minh họa phương pháp ta ước lượng phương trình Poisson Cho ∆u = f hình lập phương Q = {x = (x1 , , xn ) ∈ Rn | |xi | < d, i = 1, , n} , 17 với u ∈ C (Q) ∩ C Q f bị chặn Q Ta dẫn ước lượng |Di u (0)| ≤ n d sup |u| + sup |f |, i = 1, , n d ∂Q Q (2.4) Trong nửa lập phương Q = {(x1 , , xn ) | |xi | < d, i = 1, , n − 1, < xn < d} , xét hàm [u (x , xn ) − u (x , −xn )] , ta viết x = (x1 , , xn−1 ) x = (x , xn ) Thấy ϕ (x , xn ) = ϕ (x , 0) = 0, sup |ϕ| ≤ M = sup |u| , ∂Q ∂Q |∆ϕ| ≤ N = sup |f | Q’ Cũng xét hàm Q ψ (x , xn ) = M xn (x , x ) |x | + x (nd − (n − 1) x ) + N (d − xn ) n n n d2 Hiển nhiên ϕ (x , xn ) ≥ xn = ψ ≥ M phần lại ∂Q ; |∆ψ| = −N Từ ∆ (ψ ± ϕ) ≤ Q’ ψ ± ϕ ≥ ∂Q , từ áp dụng Nguyên lý cực đại ta có |ϕ (x , xn )| ≤ ψ (x , xn ) Q’ Cho x = biểu diễn ϕ ψ, chia cho xn cho xn dần tới 0, ta thu |Dn u (0)| = lim xn →0 n d ϕ (0, xn ) ≤ M + N, xn d ước lượng khẳng định (2.4) cho i = n Kết tương tự đạo hàm biến lại Nếu f = 0, (2.4) tạo chứng minh độc lập (ước lượng) biên gradient cho hàm điều hòa Từ (2.4) ta kết luận miền Ω nghiệm bị chặn u ∆u = f thỏa mãn ước lượng sup dx |Du (x)| ≤ C sup |u| + sup d2x |f (x)| , Ω Ω 18 Ω (2.5) dx = dist (x, ∂Ω) C = C (n) Nếu x ∈ Ω Q hình lập √ phương phía d = dx / n với tâm x, ta có từ (2.4) bất đẳng thức dx |Du (x)| ≤ C sup |u| + d2 sup |f | Q ∂Q ≤ C sup |u| + sup d2y |f (y)| Ω Ω (Ở ta sử dụng chữ giống C để kí hiệu số phụ thuộc vào n.) Bây ta dẫn ước lượng modun (modulus) liên tục nghiệm phương trình Poisson Lại cho u ∈ C (Q) ∩ C Q nghiệm phương trình ∆u = f hình lập phương Q, tập M = sup |u| , N = sup |f | Cho Q’ Q miền R Q = n+1 Q cho d d (x1 , , xn−1 , y, z) | |xi | < , i = 1, , n − 1, < y, z < , xác định Q’ hàm ϕ (x , y, z) = [u (x , y + z) − u (x , y − z) − u (x , −y + z) + u (x , −y − z)] Xét toán tử elliptic n−1 L≡ i=1 ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂xi 2 ∂y 2 ∂z n+1 biến x1 , , xn−1 , y, z, ta thấy |Lϕ| ≤ N Q’ Cũng như, Q’ ta có: (i) ϕ (x , 0, z) = ϕ (x , y, 0) ; (ii) |ϕ| ≤ M |xi | = d/2, i = 1, , n − 1; (iii) ϕ (x , d/4, z) ≤ µz, ϕ (x , y, d/4) ≤ µy, 19 |Du| ≤ µ Q’, µ cho trước số hạng M N công thức (2.5) Ta chọn hàm so sánh Q’ có dạng, 2d 4M |x |2 4µ + yz + kyz log , ψ (x , y, z) = d2 d y+z (2.6) k số dương xác định Ta ý |ϕ| ≤ ψ ∂Q Từ Lψ = y+z (n − 1) M + k −1 + d (y + z)2 ≤ (n − 1) M − k, d ta thấy Lψ ≤ −N tạo k≥ (n − 1) N+ M d2 Với lựa chọn k, hàm 4M |x |2 ψ (x , y, z) = + yz d2 4µ 2d + k log d y+z thỏa mãn điều kiện L(ψ ± ϕ) ≤ Q’, ψ ± ϕ ≥ ∂Q Thêm vào đó, |ϕ| ≤ ψ Q’ Cho x = bất đẳng thức này, chia cho z cho z dần tới 0, ta thu |ϕ (0, y, z)| 4µ 2d |uy (0, y) − uy (0, −y)| = lim ≤ y + ky log z→0 z d y (2.7) Với biến đổi yếu argument ước lượng tương tự đạo hàm với |Di u (0, xn ) − Di u (0, −xn )| (trong Di = ∂/∂xi , i = 1, , n − 1) Xác định ϕ (x, y, z) = [u (x, y, z) − u (x, −y, z) − u (x, y, −z) + u (x, −y, −z)] , x = (x1 , , xn−2 ) Trong miền Q = d d (x1 , , xn−2 , y, z) | |xi | < , i = 1, , n − 2, < y, z < 2 20 ta chọn hàm so sánh tương tự với (2.6) có dạng 4M |x|2 + yz ψ (x, y, z) = d2 4µ 2d + k log d y+z , µ, k số cho |Du| ≤ M Q’ k≥ (n − 2) N+ M d2 Thử lại ∆(ψ ± ϕ) ≤ Q’ ψ ± ϕ ≥ ∂Q , từ dẫn tới |ϕ| ≤ ψ Q’ Như trên, ta cho x = bất đẳng thức này, chia cho y cho y tiến tới 0, ta thu |ϕ (0, y, z)| 4µ 2d |Dn−1 u (0, z) − Dn−1 u (0, −z)| = lim ≤ z + kz log y→0 y d z (2.8) Hiển nhiên kết tương tự thu Dn−1 thay Di , i = 1, , n Ta ý không argument cho (2.7), chứng minh (2.8) không yêu cầu giới thiệu toán tử Rn+1 Nếu ∆u = f miền Ω Rn , ta thu từ (2.7) (2.8) ước lượng cho |Du(x) − Du(y)| ; x y hai điểm Ω Cho dx = dist (x, ∂Ω) , dy = dist (y, ∂Ω) dx,y = (dx , dy ) Giả sử dx ≤ dy , dx = dx,y Giả thiết |x − y| ≤ √ d = dx /2 n, xét đoạn nối x y Ta chọn trung điểm đoạn hệ tọa độ xuất phát quay x y nằm trục xn với x = (0, xn ) , y = (0, −xn ) Trong hệ tọa độ với hình lập phương Q = {(x1 , , xn ) | |xi | < d, i = 1, , n} nằm Ω khoảng cách lớn dx/2 từ ∂Ω Ta áp dụng (2.5), (2.7) (2.8) trực tiếp Q để thu d2 |Du(x) − Du(y)| ≤C |x − y| sup |u| + sup d2 |f | log Q 21 Q 2d , |x − y| với vài số C = C(n) Từ d2x,y dx,y |Du(x) − Du(y)| ≤ C sup |u| + sup d2x |f (x)| log |x − y| |x − y| Ω Ω Nếu x y điểm Ω cho |x − y| > d, từ (2.5) ta có, d2x,y |Du(x) − Du(y)| ≤ C sup |u| + sup d2x |f (x)| |x − y| Ω Ω Kết hợp kết đó, ta thu d2x,y |Du(x) − Du(y)| ≤ C sup |u| + sup d2x |f (x)| |x − y| Ω Ω log dx,y +1 |x − y| C số phụ thuộc vào n Các kết trước tạo định lý sau Định lý 2.2.1 (Về đánh giá độ lớn đạo hàm cấp phương trình Poisson) Cho u ∈ C (Ω) thỏa mãn phương trình Poisson, ∆u = f Ω, sup dx |Du(x)| ≤ C sup |u| + sup d2x |f (x)| , Ω Ω Ω với x,y Ω, x = y, d2x,y |Du(x) − Du(y)| ≤ C sup |u| + sup d2x |f (x)| |x − y| Ω Ω log dx,y +1 , |x − y| (2.9) C = C(n) Ở dx = dist (x, ∂Ω) , dx,y = (dx , dy ) 2.3 Bất đẳng thức Harnack trường hợp hai biến độc lập Nguyên lý cực đại tạo chứng minh sơ cấp bất đẳng thức Harnack phương trình elliptic có hai biến độc lập Cho Dρ = Dρ (0) 22 kí hiệu hình tròn mở có bán kính ρ tâm gốc, ta trình bày kết dạng sau Định lý 2.3.1 Cho u nghiệm C không âm Lu = a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy +c(x, y)uyy = hình tròn DR , giả sử L elliptic DR Khi điểm z = (x, y) ∈ DR/4 ta có bất đẳng thức Ku (0) ≤ u(z) ≤ K −1 u (0) , (2.10) K số phụ thuộc vào modun (modulus) elliptic µ = sup Λ(x)/λ(x) D Chứng minh Ta ý phương trình Lu = modun µ bất biến phép biến đổi tương tự, đủ để định lý hình tròn đơn vị D = D1 Từ u ≥ D, Nguyên lý cực đại mạnh (Định lý 1.3.2) dẫn đến hai khả u ≡ u > D, thỏa mãn với gải thiết sau Xét tập G D u > u(0) , cho thành phần chứa O Thấy từ Nguyên lý cực đại ∂G ∩ ∂D tập khác rỗng, từ không tính tổng quát giả thiết điểm Q = (0, 1) nằm ∂G Ta xác định hàm v+ v− v± (x, y) = ±x + − k y − 2 , k số dương Parabol Γ± : v± = 0, có đỉnh ∓ 43 , 12 D trục chung y = 21 Nếu k đủ lớn (k ≥ 3) , miền P± D mà v± > có tương giao D+ ∩ D− bị chặn cung Γ+ , Γ− nằm hoàn toàn nửa D Trong P± , hàm v± hiển nhiên thỏa mãn bất phương trình < v± < 47 Có E± = exp(αv± ), α số dương chọn, ta tìm 23 tính toán trực tiếp LE± = E± α α ∓ 4bk y − + 4ck y− 2 − 2αkc ≥ E± α2 λ − 2αkΛ ≥ D, α ≥ 2kµ Suy luận ra, với lựa chọn α, hàm w± = (E± − 1) / e7α/4 − (2.11) có tính chất: Lw± ≥ D, w± = Γ± ; < w± < P± Giả sử cho z điểm P+ ∩ P− Khi có ba khẳng định (i) u ≥ u (0) /2 z ∈ G; (ii) z nằm thành phần U+ P+ \G cho ∂U+ ⊂ Γ+ ∪ ∂G; (iii) z nằm thành phần U− P− \G cho ∂U− ⊂ Γ− ∪ ∂G Trong trường hợp (ii) (iii) ta có u − 12 u (0) w± = 12 u (0) (1 − w± ) > ∂G ∩ ∂U± , u − 21 u (0) w± = u > Γ± ∩ ∂U± Vì u − 12 u (0) w± > ∂U± Từ L u − 12 u (0) w± ≤ , ta kết luận u (z) > u (0) (w+ (z) , w− (z)) ∀z ∈ P+ ∩ P− Nói riêng, vùng y = 12 , |x| ≤ 21 , ta có u x, 1 > K1 u (0) ∀x ∈ − ; , 2 24 (2.12) K1 = α/4 1 e − / e7α/4 − = inf w+ x, , w− x, 2 |x|≤1/2 2 Bây ta xác định hàm so sánh, tương tự với (2.11) Gọi v = y+1−6x2 , ta xét miền P = (x, y) ∈ D|v (x, y) > 0, y < P bị chặn miền, y = 12 , |x| ≤ 12 , cung Γ parabol v = 0, với đỉnh tọa độ (0, 1) qua điểm ± 12 , 12 Như trước đó, với lựa chọn phù hợp β > phụ thuộc vào µ, hàm w = eβv − / e3β/2 − có tính chất: Lw ≥ D; w = Γ; < w < P Từ (2.12) ta có u − K1 u (0) w > ∂P, từ L (u − K1 u (0) w) ≤ 0, dẫn tới Nguyên lý cực đại u (z) > K1 u (0) w (z) ∀z ∈ P Chú ý D1/3 ⊂ P, có K2 = inf w, ta thu D1/3 u (z) > K1 K2 u (0) =Ku (0) ∀z ∈ D1/3 (2.13) Rõ ràng K phụ thuộc vào µ Nếu z ∈ D1/4 hình tròn D3/4 (z) chứa D bất đẳng thức (2.13) áp dụng hình tròn D1/4 (z) dẫn tới u (0) > Ku (z) ∀z ∈ D1/4 Kết hợp bất phương trình với (2.13) ta thu Ku (0) < u (z) 0, chứng minh Định lý 2.3.1 hình tròn đơn vị D có (với biến đổi yếu); kết luận tương tự, số K phụ thuộc vào giới hạn với hệ số D µ Trong trình bày kết tương tự với hình tròn bán kính R, số K phụ thuộc vào R thêm vào đại lượng khác Bất đẳng thức Harnack (2.10) dẫn tới Định lý Liouville sau Hệ 2.3.2 (Định lý Liouville) Nếu phương trình Lu = a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = elliptic R2 , u nghiệm bị chặn (hoặc bị chặn trên) xác định mặt phẳng, u số 26 Chứng minh Ta giả sử inf u = 0, từ đó, với ε > bất kì, u(z0 ) ≤ ε với vài z0 Trong hình tròn D2R (z0 ) , ta có từ (2.10) u(z) ≤ Kε với z ∈ DR (z0 ) Từ K số độc lập R , u(z) ≤ Kε với z ∈ R2 kết luận đưa trực tiếp cho ε → 2.4 Nguyên lý cực đại yếu nghiệm suy rộng phương trình dạng bảo toàn Ta tổng kết chương việc xét toán tử dạng bảo toàn Trong nhiều hoàn cảnh cách tự nhiên để xét rộng toán tử có dạng (1.1) Như trường hợp đơn giản Lu = Dj aij Di u (2.17) Ở cần xét nhiều toán tử chung mà phần có dạng phân kì L gọi elliptic Ω ma trận hệ số aij (x) dương với x ∈ Ω Hiển nhiên kết liên quan Nguyên lý cực đại áp dụng cho toán tử (2.17) hệ số aij (x) đủ trơn Tuy nhiên, hệ số aij (x) không trơn, toán phi tuyến, không thích hợp để tạo giả thiết đại lượng liên quan tính trơn các hệ số (ví dụ cận , đạo hàm chúng), phương pháp bên không áp dụng Các quan hệ Lu = (≥ 0, ≤ 0) thỏa mãn nghiệm (các nghiệm dưới, nghiệm trên) Lu = xác định với lớp rộng hệ số hàm u (2.17) Vì hệ số aij (x) bị chặn đo u ∈ C (Ω) , thì, ý nghĩa tổng quát, u 27 gọi nghiệm suy rộng thỏa mãn Lu = (≥ 0, ≤ 0) Ω, aij (x)Di uDj ϕdx = (≤ 0, ≥ 0) (2.18) Ω với hàm không âm ϕ ∈ C01 (Ω) Bằng việc áp dụng Định lý phân kì dễ dàng thấy để tương đương với Lu = (≥ 0, ≤ 0) theo nghĩa thông thường cần phải giả thiết aij (x) ∈ C (Ω) u ∈ C (Ω) Định lý 2.4.1 (Nguyên lý cực đại yếu cho phương trình dạng bảo toàn) Cho L elliptic miền bị chặn Ω Giả sử Lu ≥ (≤ 0) Ω, với u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω), cực đại (cực tiểu) u Ω đạt ∂Ω, là, sup u = sup u inf u = inf u Ω Ω ∂Ω ∂Ω Chứng minh Cho u thỏa mãn : aij (x)Di uDj ϕdx ≤ ∀ϕ ∈ C01 (Ω) , ϕ ≥ 0; (2.19) Ω giả sử, ngược lại với khẳng định chúng ta, sup u > sup u = u0 Ω ∂Ω Khi với số c > 0, có miền Ω ⊂⊂ Ω, v = u − u0 − c > v = ∂Ω Bất đẳng thức (2.19) với u thay v ϕ = v Ω , ϕ = Ω (Như xác định ϕ ∈ / C01 (Ω) , (2.19) xấp xỉ ϕ với hàm C01 (Ω).) Nó dẫn tới aij (x)Di vDj vdx ≤ 0, Ω từ aij dương, ta kết luận Dv = Ω Do v = ∂Ω , ta có v = Ω , điều mâu thuẫn với định nghĩa v Điều thiết lập Nguyên lý cực đại yếu 28 29 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu Nguyên lý cực đại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát Luận văn trình bày vấn đề sau: - Nguyên lý cực đại mạnh Nguyên lý cực đại yếu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát - Tính nghiệm toán Dirichlet toán Neumann - Đánh giá độ lớn ẩn hàm phương trình không - Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp nghiệm phương trình Poisson - Bất đẳng thức Harnack trường hợp hai biến độc lập - Nguyên lý cực đại yếu nghiệm suy rộng phương trình dạng bảo toàn Mặc dù tác giả cố gắng, song khả nghiên cứu hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Hà Thị Thu Hiền 30 Tài liệu tham khảo [1] D Gilbarg, N S Trudinger, (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, New York [2] F Taylor (1975), Basic linear partial differential equations, Academic Press, New York - London [...]... = 0 trong Ω , điều này mâu thuẫn với định nghĩa của v Điều này thiết lập Nguyên lý cực đại yếu 28 29 Kết luận Nội dung của luận văn là nghiên cứu Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát Luận văn đã trình bày các vấn đề sau: - Nguyên lý cực đại mạnh và Nguyên lý cực đại yếu của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát - Tính duy nhất nghiệm của bài toán... bất kỳ Ω ⊂⊂ Ω, L là elliptic đều và (1.3) đúng Hệ số 4 c(x) cũng sẽ được hạn chế nhưng sẽ được đưa ra với các giả thiết thích hợp 1.2 Nguyên lý cực đại yếu Nguyên lý cực đại là một đặc điểm quan trọng của các phương trình elliptic cấp hai và là sự khác biệt của chúng với các phương trình cấp cao hơn và các hệ phương trình Thêm vào đó, để các ứng dụng của nó nhiều hơn, Nguyên lý cực đại tạo ra đánh giá... nhất vào tính elliptic của L và không dựa vào các tính chất đặc biệt của hệ số (như tính trơn) Tính tổng quát này tạo ra tính hữu dụng của Nguyên lý cực đại trong tiên đoán ước lượng các nghiệm, đặc biệt trong các bài toán không tuyến tính Định lý 1.2.1 (Nguyên lý cực đại yếu) Cho L là elliptic trong miền bị chặn Ω Giả sử rằng trong Ω, Lu ≥ 0, c (x) ≡ 0 với u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) Khi đó cực đại của u... là tính duy nhất của các nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền đủ nhỏ (nếu các cận trên của các đại lượng |b(x)| /λ(x) và c(x)/λ(x) đã được cố định) 2.2 Đánh giá độ lớn đối với đạo hàm cấp một của nghiệm phương trình Poisson Nguyên lý cực đại cũng có thể được dùng ước lượng đối với các đạo hàm của các nghiệm nếu ta thêm điều kiện áp đặt lên phương trình Để minh họa phương pháp ta ước lượng đối với. .. duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet và bài toán Neumann - Đánh giá độ lớn của ẩn hàm đối với phương trình không thuần nhất - Đánh giá độ lớn đối với đạo hàm cấp một của nghiệm phương trình Poisson - Bất đẳng thức Harnack trong trường hợp hai biến độc lập - Nguyên lý cực đại yếu đối với nghiệm suy rộng của phương trình dạng bảo toàn Mặc dù tác giả đã cố gắng, song khả năng nghiên cứu còn hạn chế, nên... giả thiết cho c ≤ 0, suy ra theo Định lý 1.4.2 thì w = u − v là một hằng số trong Ω; và nếu c < 0 tại một điểm nào đó trong Ω thì w = u − v ≡ 0, do vậy u = v 14 15 Chương 2 Ứng dụng của nguyên lý cực đại 2.1 Đánh giá độ lớn của ẩn hàm đối với phương trình không thuần nhất Nguyên lý cực đại cũng tạo ra một ước lượng theo từng điểm đối với các nghiệm của phương trình không thuần nhất Lu = f trong các... riêng dương κ với bài toán : ∆u + κu = 0, u = 0 trên ∂Ω có nghiệm u (x) = 0 Một ứng dụng trực tiếp và quan trọng của Nguyên lý cực đại yếu là vào bài toán về tính duy nhất và tính liên tục phụ thuộc của nghiệm trên các giá trị biên của chúng 1.3 Nguyên lý cực đại mạnh Mặc dù Nguyên lý cực đại yếu đủ cho hầu hết các ứng dụng, chúng ta thường cần có dạng mạnh hơn để loại trừ trường hợp cực đại không tầm... (2.18) Ω với mọi hàm không âm ϕ ∈ C01 (Ω) Bằng việc áp dụng Định lý phân kì dễ dàng thấy rằng để tương đương với Lu = 0 (≥ 0, ≤ 0) theo nghĩa thông thường thì cần phải giả thiết aij (x) ∈ C 1 (Ω) và u ∈ C 2 (Ω) Định lý 2.4.1 (Nguyên lý cực đại yếu cho phương trình dạng bảo toàn) Cho L là elliptic trong miền bị chặn Ω Giả sử rằng Lu ≥ 0 (≤ 0) trong Ω, với u ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω), thì cực đại (cực tiểu)... thể đạt cực đại trong y Nếu c < 0 tại một điểm nào đó, thì hằng số của định lý hiển nhiên bằng không Cũng như, nếu u = 0 tại một điểm cực đại (cực tiểu), thì từ chứng minh của định lý ta suy ra rằng u ≡ 0, không phụ thuộc vào dấu của c Có thể chứng minh Nguyên lý cực đại mạnh trực tiếp qua Định lý 1.2.1 và Định lý 1.3.1 11 1.4 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet và bài toán Neumann 1.4.1 Tính. .. hợp hai biến độc lập Nguyên lý cực đại tạo ra một chứng minh sơ cấp của bất đẳng thức Harnack đối với các phương trình elliptic đều có hai biến độc lập Cho Dρ = Dρ (0) 22 kí hiệu hình tròn mở có bán kính ρ tâm tại gốc, ta trình bày kết quả dưới dạng sau đây Định lý 2.3.1 Cho u là một nghiệm C 2 không âm của Lu = a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy +c(x, y)uyy = 0 trong hình tròn DR , và giả sử rằng L là elliptic