Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ co VÕ QUỐC BÁ CẨN oc uo c Hiện có nhiều phương pháp mạnh để chứng minh bất đẳng thức EV Vasile Cirtoaje, SOS Phạm Kim Hùng Trần Tuấn Anh, Nhưng phương pháp phần lớn dùng để giải toán đối xứng, gặp bất đẳng thức hoán vị chúng thường tỏ hiệu Vậy có cách để giải bất đẳng thức hoán vị không? Bài viết này, xin chia sẻ bạn kinh nghiệm nhỏ để chứng minh bất đẳng thức hoán vị biến (và ta áp dụng cho bất đẳng thức hoán vị biến) Rất mong nhận ý kiến đóng góp bạn! Như nói trên, phương pháp chứng minh bất đẳng thức đối xứng nhiều nên ta chuyển bất đẳng thức hoán vị dạng đối xứng việc chứng minh không khó khăn Đó kinh nghiệm nhỏ mà muốn giới thiệu bạn đọc, kỹ thuật giúp ta chuyển bất đẳng thức hoán vị thành bất đẳng thức đối xứng để giải, ta tạm gọi "phương pháp chuyển vị" Để hiểu rõ ý tưởng nó, xét ví dụ sau Example 0.1 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh gb a2 b + b2 c + c2 a + abc (Vasile Cirtoaje, Phạm Kim Hùng) on Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng a ab + b bc + c ca + abc kh Ta thấy bất đẳng thức hoán vị với đẳng thức xảy a = b = c = a = 2, b = 1, c = (với giả thiết c = minf a, b, cg) Điều chứng tỏ việc đánh giá không dễ dàng chút nào, cần chút "quá đà" đưa đến kết không mong muốn Một cách tự nhiên, ta nghĩ đến việc chuyển dạng đối xứng để giải Thông thường, người thường nghĩ đến việc chuyển đối xứng cho ba biến, việc khó thực (vì bất đẳng thức có đến hai điểm đẳng thức), ta nghĩ đến việc đưa đối xứng cho hai biến (mà ba) Muốn làm Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác điều này, bạn để ý đến hai biểu thức gạch chân trên, chúng có điều kì lạ? À, ta hoán đổi vị trí cho ta thu bất đẳng thức m a ab + b ca + c bc + abc a ab + b ca + c bc + abc 2b + a + c + a + c = b ( a + c )2 3 c a ab + b bc + c ca + abc co Và thật thú vị, lại bất đẳng thức đối xứng cho hai biến a c Vì vậy, ta có đánh giá kiểu a ab + b bc + c ca + abc a ab + b ca + c bc + abc điều tuyệt vời! May mắn thay, điều tương đương với c( a b)(b c) hoàn toàn đạt điều cách giả sử b số hạng nằm a c Đến đây, ta tìm lời giải cho toán sau: Không tính tổng quát, giả sử b số hạng nằm a c Khi đó, ta có = oc uo Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = a = 2, b = 1, c = (cùng hoán vị tương ứng) Đây ví dụ quen thuộc, có lẽ nhiều bạn cho quen thuộc, hiển nhiên Và bạn, tinh ý thấy việc đánh giá a ab + b bc + c ca + abc a ab + b ca + c bc + abc thực việc sử dụng bất đẳng thức xếp lại cho hai số đơn điệu chiều ( a, b, c) ( ab, ca, bc) (với giả thiết b số hạng nằm giữa) Tuy nhiên, đến với ý tưởng chuyển vị hoàn toàn độc lập với bất đẳng thức xếp lại Chúng ta đến ví dụ sau để thấy rõ điều gb Example 0.2 Cho số không âm x, y, z có tổng Chứng minh bất đẳng thức sau q q p x + y2 + y + z2 + z + x2 (Phan Thành Nam) kh on Rõ ràng với toán này, việc sử dụng bất đẳng thức xếp lại khó (có thể nói không thể), việc sử dụng phép chuyển vị ta áp dụng Và điều thú vị là, với cách phân tích khác lại có phép chuyển vị khác nhau, giúp đưa toán đến kết Chẳng hạn, ví dụ này, có hai cách chuyển vị sau Lời giải Bất đẳng thức có dạng đồng bậc (ở vế trái) q q q x2 + y2 + xy + xz + y2 + z2 + yz + yx + z2 + x2 + zx + zy Ta thấy bất đẳng thức chứa hoán vị cho biến x, y, z nên việc đánh giá gặp nhiều khó khăn, ý tưởng ta chuyển dạng đối Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m xứng, chẳng hạn cho y z Để thực hiện, ta để ý biểu thức yx zy gạch chân trên, ta chuyển vị biểu thức thu bất đẳng thức q q q x2 + y2 + xy + xz + y2 + z2 + yz + yz + z2 + x2 + zx + xy co Và thật thú vị, bất đẳng thức đối xứng cho y z Với ý tưởng vậy, cần có q q q q 2 2 2 y + z + yz + yx + z + x + zx + zy y + z + yz + yz + z2 + x2 + zx + xy Bình phương vế, thu gọn, ta thấy bất đẳng thức tương đương với y)( x z)( x + y + z) c y( x oc uo Điều đạt ta giả sử x = f x, y, zg x = max f x, y, zg Với phân tích này, ta đến lời giải toán sau: Không tính tổng quát, giả sử x = f x, y, zg , theo trên, ta có q q q q y2 + z2 + yz + yx + z2 + x2 + zx + zy y2 + z2 + yz + yz + z2 + x2 + zx + xy, nên bất đẳng thức ta đưa q p x + y2 + x + z2 + y + z q x + y2 + gb tương đương p x + z2 2, 2x + y + z on Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có q q q p p p 2 2 x+y + x+z x + x + (y + z) = 4x + (y + z)2 q = 4x ( x + y + z) + (y + z)2 = 2x + y + z kh Do đó, bất đẳng thức ta chứng minh xong Đẳng thức xảy x = y = z = 13 x = 1, y = z = hoán vị tương ứng Lời giải Nếu bạn không thích phép chuyển vị trên, thử chọn phép chuyển vị kiểu khác sau: Hãy ý đến biểu thức gạch bất đẳng thức q q q x2 + y2 + xy + xz + y2 + z2 + yz + yx + z2 + x2 + zx + zy Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nếu ta thực phép chuyển vị cho biểu thức thu bất đẳng thức đối xứng cho x z x2 + y2 + xy + xz + q z2 + y2 + zx + zy + q x2 + z2 + yz + yx m q Như vậy, ta cần có y2 + z2 + yz + yx + q z2 + x2 + zx + zy q x2 + z2 + yz + yx + x ( x2 y2 )(y z) q z2 + y2 + zx + zy, co q q q oc uo q c Điều đạt ta giả sử y số hạng nằm x z Đến đây, ta thu lời giải sau: Giả sử y số hạng nằm x z, dễ thấy y2 + z2 + yz + yx + z2 + x2 + zx + zy x2 + z2 + yz + yx + q z2 + y2 + zx + zy, nên ta cần chứng minh q x2 + y2 + xy + xz + tương đương q x + z + 2y2 + Đặt t = xz (0 t y (1 q on q z + y2 + p q x+z ( x + y2 )(z + y2 ) x2 + z2 + yz + yx 2xz p 2, 2, x+z 2xz 2y)) bất đẳng thức viết lại f (t) = 2t + 2y2 Ta có f 00 (t) = y2 + z2 + zx + zy + x + y2 + gb q 4+2 q t + (1 y + y2 ) y2 + [t + y2 (1 p y y + y2 )]3/2 (1 y 2t)3/2 2t < 0, kh nên f (t) hàm lõm, suy f (t) f f (0), f (y(1 2y))g nên ta cần chứng minh f (0) f (y(1 2y)) Điều đồng nghĩa với việc chứng minh bất đẳng thức xz = ( x y)(z y) = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác + Nếu xz = 0, ta giả sử z = 0, x = y bất đẳng thức trở thành q p y + y2 + y + y m co Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, theo bất đẳng thức Minkowski, ta có r r q 2 p p p y + y2 + y = y + y2 + y + 02 r p p y + y + (y + 0)2 = y tương đương y + y2 + q 3y + 4y2 2y) 2, + y oc uo q bất đẳng thức c + Nếu ( x y)(z y) = 0, ta giả sử y = z, x = 2y trở thành q q q 2y + y2 + y + y2 + y 2y(1 Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên đúng, theo bất đẳng thức Minkowski, ta có q q q q p p 2 y + y + 3y + 4y = ( y) + y + ( y)2 + (1 2y)2 q p p ( y + y)2 + (y + 2y)2 = + y gb Phép chứng minh ta hoàn tất Với ý tưởng chuyển vị vậy, giải nhiều toán đẹp khó Sau hai ví dụ khác on Example 0.3 Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh q q q 3 3 x y + z + y z + x + z x + y3 (Phan Thành Nam) kh Lời giải Ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh có dạng p A+ p B+ p C 1, với A = x y + z3 = x + x y xy2 y3 + 2z( x2 y2 ) + z2 ( x y ) + z3 , B = y z + x = y3 + y2 z yz2 z3 + 2x (y2 z2 ) + x ( y z) + x3 , C = z x + y3 = z3 + z2 x zx2 x3 + 2y(z2 x ) + y2 ( z x ) + y3 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nếu có số số A, B, C có tổng không dương bất đẳng thức ta hiển nhiên Thật vậy, giả sử A + B C = z x + y3 z x + y 1, nên A+ p B+ p p C B+ p B+ p C= p C Bây ta xét trường hợp ngược lại, tức lúc ta có A + B C + A Khi đó, giả sử z = f x, y, zg , đặt yx2 x3 + 2z(y2 x ) + z2 ( y Lúc này, ta có tính chất sau: D + E = B + C 0, B + C x ) + z3 , E = x3 + y3 z3 co D = y3 + y2 x m p 0, c)( a2 + 2ab + 2ac + bc)(2a2 + b2 + 2c2 + 2bc + 3ca + 2ab) p p p p Với tính chất này, ta dễ dàng chứng minh B + C D + E, ta đưa bất đẳng thức chứng minh BC = ( a c)(b A+ p D+ p E 1, oc uo p c DE tương đương q y + z3 + x q x + z3 + y Thực tương tự trên, ta có q x y + z3 + q y x + z3 q x + y3 p z3 + p z3 z3 = 2z, gb nên ta cần chứng minh x+y z q x + y3 z3 Đây bất đẳng thức hiển nhiên on (x + y z )3 ( x + y3 z3 ) = 3( x z)(y z)( x + y) Phép chứng minh ta hoàn tất Đẳng thức xảy x = y = z = x = 1, y = z = hoán vị tương ứng kh Example 0.4 Cho số không âm a, b, c có tổng Chứng minh (3a2 + bc + 3b2 )(3b2 + ca + 3c2 )(3c2 + ab + 3a2 ) 900 (Võ Quốc Bá Cẩn) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác (3b2 + ca + 3c2 )(3c2 + ab + 3a2 ) = 3a(b c)(b (3b2 + ab + 3c2 )(3c2 + ca + 3a2 ) = a)( a + b) 0, (3a2 + bc + 3b2 )(3b2 + ab + 3c2 )(3c2 + ca + 3a2 ) co ta đưa bất đẳng thức chứng minh m Lời giải Không tính tổng quát, ta giả sử b số hạng nằm a c Khi đó, với ý đẳng thức sau 900 Đến đây, ta thấy c (3a2 + bc + 3b2 )(3b2 + ab + 3c2 ) = = 9b4 + 3( a + c)b3 + (9a2 + ac + 9c2 )b2 + 3( a3 + c3 )b + 9a2 c2 = 9b4 + 3( a + c)b3 + 9( a + c)2 b2 + 3( a + c)3 b + 9ac( ac ab bc) 9b4 + 3( a + c)b3 + 9( a + c)2 b2 + 3( a + c)3 b = 3b( a + 3b + c) b2 + ( a + c)2 , oc uo 17b2 ac 3c2 + ca + 3a2 3( a + c )2 , nên ta cần chứng minh 9x2 b( x + 3b)( x2 + b2 ) 900, gb với x = a + c Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 2 9x b( x + 3b)( x + b ) on mà 5xb + x ( x + 3b) + 2( x2 + b2 ) = 5xb + x ( x + 3b) + 2( x2 + b2 ) 10 10 ( x + b )2 (x 2b)2 , 10 ( x + b)2 = 30, kh nên từ trên, ta 9x2 b( x + 3b)( x2 + b2 ) 103 = 900 10 Bất đẳng thức ta chứng minh xong Đẳng thức xảy a = 0, b = 1, c = hoán vị tương ứng Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nhận xét Bằng cách tương tự, ta giải toán sau: p Với a, b, c số không âm có tổng k số cho trước k , tìm giá trị P( a, b, c) = ( a2 + kbc + b2 )(b2 + kca + c2 )(c2 + kab + a2 ) m lớn biểu thức sau co Không có bất đẳng thức hoán vị ba biến sử dụng phép chuyển vị mà phần đông bất đẳng thức hoán vị bốn biến áp dụng Đầu tiên, sử dụng phép chuyển vị để đưa bất đẳng thức hoán vị cho ba biến, dùng đánh giá thích hợp để chứng minh toán Mời bạn đến ví dụ sau để rõ ý tưởng (đây toán khó) c Example 0.5 Cho số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Chứng minh 27 (Phạm Kim Hùng) oc uo a3 b + b3 c + c3 d + d3 a + 23abcd Lời giải Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 0.1 Nếu a, b, c số không âm a3 b + b3 c + c3 a + 473 abc( a + b + c) 256 27 ( a + b + c )4 256 gb Chứng minh Bạn đọc tự chứng minh lấy cách sử dụng phép chuyển vị cho biến Quay trở lại toán Do tính hoán vị vòng quanh nên không tính tổng quát, ta giả sử d số hạng nhỏ số a, b, c, d Khi đó, ta có c3 d + d3 a ( c3 a + d4 ) = ( c3 d3 )( a d) 0, on nên để chứng minh bất đẳng thức cho, ta cần chứng minh a3 b + b3 c + c3 a + d4 + 23abcd 27 kh Đến đây, áp dụng bổ đề trên, ta đưa chứng minh 27 (4 256 d )4 473 abc(4 256 d) + d4 + 23abcd 27, (6361d 256 1892) abc + 27 (4 256 d )4 + d4 27 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác d )4 + d4 27 (6361d 1892) abc + (4 d)4 + d4 27 256 256 (4 d )3 27 (6361d 1892) + (4 d )4 + d4 256 27 256 (5d2 + 270d 473)(d 1)2 27 27 Nếu 27 co = 27 256 (4 m Nếu 6361d 1892 bất đẳng thức hiển nhiên 6361d 1892 ta có Bất đẳng thức ta chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = d = a = 3, b = 1, c = d = hoán vị tương ứng c BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ oc uo Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn hai số đồng thời Chứng minh a2 + b2 + c2 4abc + ab + bc + ca a2 b + b2 c + c2 a + abc (Võ Quốc Bá Cẩn) Giả sử a, b, c số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh bất đẳng thức sau (a) a2 b + b2 c + c2 a + b3 c2 + c3 a2 + abc; gb (b) a3 b2 (Vasile Cirtoaje) on Chứng minh với số thực dương a, b, c có tổng 3, bất đẳng thức sau a b c + + 2 b+c c+a a+b (Phạm Kim Hùng) kh Chứng minh với số thực dương a, b, c có tổng 3, bất đẳng thức sau r r r a b c + + 2 b +3 c +3 a +3 (Võ Quốc Bá Cẩn) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 10 m Giả sử a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh p p p p 2a + b3 + 2b + c3 + 2c + a3 + (Võ Quốc Bá Cẩn) (ka + b)(kb + c)(kc + a) co Giả sử a, b, c số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm tất số thực không âm k cho bất đẳng thức sau ( k + 1)3 (Michael Rozenberg) c Cho a, b, c, d số thực không âm thỏa mãn a + b + c + d = Chứng minh ab(b + c) + bc(c + d) + cd(d + a) + da( a + b) oc uo (Phạm Kim Hùng) kh on gb Cho a, b, c, d số thực không âm thỏa mãn a + b + c + d = Chứng minh p ab( a + 2b + 3c) + bc(b + 2c + 3d) + cd(c + 2d + 3a) + da(d + 2a + 3b) (Phạm Kim Hùng)