PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Yêu cầu 1) Nắm vững tất dạng phương trình đường thẳng mặt phẳng tọa độ 2) Đặc biệt lưu ý dạng thường sử dụng sau: Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n  ( A; B) là: y  n M ( x; y ) x O M ( x0 ; y0 ) () : A( x  x0 )  B( y  y0 )  ( A2  B  ) Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết A 1;6  hai đường trung tuyến nằm hai đường thẳng có phương trình x  2y   0,3x  y   Bài giải  Do tọa độ điểm A khơng nghiệm phương trình ta giả sử rằng: Phương trình trung tuyến BM là: x  2y   Phương trình trung tuyến CN là: 3x  y   b6   Đặt B  2b  1; b  , N trung điểm AB nên : N  b;    b6  b6 N  b; 2   b    CN  3b    Suy ra: B  3;  c  3c   ;  Đặt C  c;3c   , M trung điểm AC nên : M     c 1 3c   c  3c   M ;     c  1   BM   2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Suy ra: C  1; 5   Vậy phương trình AB, BC, AC là: AB : 11x  2y   BC : 7x  4y  13   AC : 2x  y   Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M  6;  đường trịn (C) có phương trình  x  1   y   Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho AB  10 2  Bài giải  Đường trịn (C) có tâm I 1;  bán kính R   Gọi H hình chiếu vng góc I AB, ta có: IH  IA  AH  R  AB2 10 10     IH  4 2  Đường thẳng (d) qua M có VTPT n   a;b  có dạng: a  x    b  y     ax  by  6a  2b   Đường thẳng (d) thỏa đề khi: d  I;(d)   IH  a  2b  6a  2b a b 2  10  9a  b  b  3a + Với b  3a ta  d  : x  3y  + Với b  3a ta  d  : x  3y  12   Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác  AD  : x  y  , đường cao  CH  : 2x  y   , cạnh AC qua M  0; 1 , AB  2AM Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC Bài giải  Gọi N điểm đối xứng M qua AD Suy ra: N  tia AB Mặt khác ta có: AN  AM  AB  2AN  N trung điểm AB  Do MN  AD nên phương trình MN là: x  y  m1  M  0; 1  MN  1  m1   m1  Suy ra:  MN  : x  y   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Gọi K  MN AD , tọa độ K nghiệm hệ pt:  x x  y  1    K ;     xy0  2 y      2x K  x M  1 Vì K trung điểm MN nên: xy N  2y  N  1;0  N K  yM   Do AB  CH nên phương trình AB là: x  2y  m  N  1;0   AB  1  m   m  Suy ra:  AB  : x  2y       1  x   A 1;1 Vì A  AB AD nên tọa độ A nghiệm hệ pt: xx  2y   y0 y 1 Suy ra:  AC  : 2x  y    Vì C  AC CH nên tọa độ C nghiệm hệ pt:   2x  y    x    C   ; 2    2x  y  3     y  2  2x N  x A  3  Do N trung điểm AB  xy B  2y  B  3; 1 B N  y A  1  Phương trình cạnh BC:  BC  : 2x  5y  11   Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A  1;  Trung tuyến CM : 5x  7y  20  đường cao BH : 5x  2y   Viết phương trình cạnh AC BC Bài giải  Do AC  BH nên phương trình AC là: 2x  5y  m  A  1;   AC  2  10  m   m  8 Suy ra:  AC  : 2x  5y    Do C  AC CM nên tọa độ C nghiệm hệ pt: 5x2x  7y5y  820  xy  04  C  4;0  Đặt B  a; b  , B  BH nên: 5a  2b   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 1  a  b   Vì M trung điểm AB nên tọa độ M : M  ;    1  a  b  1  a 2b  Do M  ;   20   5a  7b  31    CM   2     2b   a   B 2;3  Tọa độ M nghiệm hệ: 5a   5a  7b  31 b3  Phương trình cạnh BC là:  BC  : 3x  2y  12   Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x  y  x  y  15  Gọi I tâm đường tròn (C ) Đường thẳng  qua M (1;  3) cắt (C ) hai điểm A B Viết phương trình đường thẳng  biết tam giác IAB có diện tích cạnh AB cạnh lớn Bài giải Đường trịn (C) có tâm I (2;  1), bán kính R  Gọi H trung điểm AB Đặt AH  x (0  x  ) Khi ta có x  IH AB   x 20  x     x  (ktm AB  IA) nên AH   IH  Pt đường thẳng qua M: a( x  1)  b( y  3)  (a  b  0)  ax  by  3b  a  Ta có d ( I , AB)  IH   | a  2b | a2  b2   a(3a  4b)   a   a  b * Với a  ta có pt  : y   * Với a  b Chọn b  ta có a  Suy pt  : x  y   Vậy có hai đường thẳng  thỏa mãn y   x  y    Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng d :2 x  y   , cạnh AB nằm đường thẳng d  :12 x  y  23  Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm M  3;1 Bài giải VTPT của BC : nBC   2; 5  , VTPT của AB : nAB  12; 1 , VTPT của AC : nAC   a; b  ,  a  b   Ta có ABC  ACB  900 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  cos ABC  cos ACB  cos  nAB , nBC   cos  nBC , nCA   nAB nBC nAB nBC  nCA nBC nCA nBC  2a  5b 145   9a  100ab  96b2  2 a b  a  12b   9a  8b  + Với a  12b  Cho ̣n a  12, b  1 thì nCA  12; 1  AB AC ( loa ̣i) + Với 9a  8b  Cho ̣n a  8, b  nên AC :  x  3   y  1  Vậy AC : x  y  33   Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn T  : x  y  x  y  18  hai điểm A  4;1 , B  3; 1 Gọi C , D hai điểm thuộc T  cho ABCD hình bình hành Viết phương trình đường thẳng CD Bài giải 2 10 Ta có T  :  x     x    nên T  có tâm 2  2  AB   1; 2  , AB  , và 10 1 9 I  ;  bán kính R  2 2  AB  : x  y   Đường thẳ ng CD AB   CD  : x  y  m  ( điề u kiê ̣n m  7 ) Khoảng cách từ I đế n CD là h  2m  và  2m   CD  R  h   20 2 m   2m   CD  AB      2m    25   20 m  Ta có thỏa mañ + m  pt  CD  : x  y   + m  pt  CD  : x  y   Có hai đường thẳ ng thỏa mãn : x  y   0; x  y    NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1;  , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D , đường phân giác ADB có phương trình x  y   , điểm M  4;1 thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB A E M' K I B M C D Gọi AI phân giác BAC Ta có : AID  ABC  BAI IAD  CAD  CAI Mà BAI  CAI , ABC  CAD nên AID  IAD  DAI cân D  DE  AI PT đường thẳng AI : x  y   Goị M’ điểm đối xứng M qua AI  PT đường thẳng MM’ : x  y   Gọi K  AI  MM '  K(0;5)  M’(4;9) VTCP đường thẳng AB AM '  3;5  VTPT đường thẳng AB n   5; 3 Vậy PT đường thẳng AB là:  x  1   y     x  y   Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình: x  y   , phương trình đường cao kẻ từ B là: x  y   Điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ từ C Viết phương trình cạnh bên tam giác ABC  cos HCB 10 VTPT a  b  Gọi H trực tâm  ABC Tìm B(0;-1), cos HBC  Pt đthẳng HC có dạng: a(x-2)+b(y-1)=0( n  (a; b) cos HCB  ab 2(a  b ) )  a a  4a  10ab  4b          10 b b NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a  b  2  a  2, b  , phương trình CH: -2x + y + =    a  1, b  2(l ) a    b AB  CH Tìm pt AB:x+2y+2=0 Tìm : C ( ;  ) ,pt AC:6x+3y+1=0 3 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình vng ABCD có M(1;2) trung điểm AB, N(-2;1) điểm thuộc đoạn AC cho AN=3NC Viết phương trình đường thẳng CD Ta có MN= 10 , AN=3AC/4= 2 3a MN =AM +AN -2AM.AN.cos45 5a =  a=4 Gọi I(x;y) trung điểm CD.Ta có IM   x  1, y  2     17 BD   IN    x  , y   +Đường thẳng CD qua I(1;-2) có pt : y+2=0 + Đường thẳng CD qua I(17/5;-6/5) có pt : 3x-4y-15=0 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho C  5;4  , đường thẳng d : x  y  11  qua A song song với BC, đường phân giác AD có phương trình x  y   Viết phương trình cạnh tam giác ABC Tìm A 1;6  , AC : x  y  13  , BC : x  y   Từ C kẻ đường thẳng vng góc AD , cắt AD I , cắt AB J Khi tam giác ACJ cân A Phương trình đường thẳng CI : x  y    I  2;3 , J  1;2  , phương trình đường thẳng AB : x  y   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC x - y -  Tọa độ điểm A nghiệm HPT:   A(3; 1) x  y -  Gọi B(b; b- 2)  AB, C(5- 2c; c)  AC 3  b   2c  b  Do G trọng tâm tam giác ABC nên   1  b   c  c  Hay B(5;3), C(1;2) Một vectơ phương cạnh BC u  BC  (4; 1) Phương trình cạnh BC là: x - 4y + = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC Biết B(2; 3) AB  BC , đường thẳng AC có phương trình x  y   , điểm M  2; 1 nằm đường thẳng AD Viết phương trình đường thẳng CD Vì ABCD hình thang cân nên nội tiếp đường tròn Mà BC  CD nên AC đường phân giác H góc BAD D A M B' Gọi B ' điểm đối xứng B qua AC Khi B '  AD Gọi H hình chiếu B AC Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình: B C x  y 1  x  Suy H  3;    x  y   y  Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H trung điểm BB’ Do B '  4;1 Đường thẳng AD qua M nhận MB ' làm vectơ phương nên có phương trình x  y   Vì A  AC  AD nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x  y 1  x  Do đó, A 1;    x  y 1   y  Ta có ABCB’ hình bình hành nên AB  B ' C Do đó, C  5;  Gọi d đường trung trực BC, suy d : 3x  y  14  Gọi I  d  AD , suy I trung điểm AD Tọa độ điểm I nghiệm hệ: 3x  y  14  43 11 38 11 Suy ra, I  ;  Do đó, D  ;    10 10   5 x  y 1  Vậy, đường thẳng CD qua C nhận CD làm vectơ phương nên có phương trình x  13 y  97  (Học sinh giải theo cách khác) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Trong mă ̣t phẳ ng tọa độ Oxy, cho đường trịn (C1) (C2) có phương trình ( x  1)2  ( y  4)2  10, x  y  x  y  13  Viết phương trình đường thẳng  qua M(2;5) cắt hai đường tròn (C), (C’) A, B cho S I MA  25 S I MB 12 biết phương trình đường thẳng  có hệ số nguyên (I1,I2 tâm (C1) (C2))      (C1) có tâm I1(-1;4), bán kính R1 = 10 (C1) có tâm I1(3;3), bán kính R2 = Dễ kiểm tra được: M giao điểm (C 1),(C2)  qua M nên  : a (x  2)  b(y  5)  0, (a, b  Z, a  b  0) Gọi H, K hình chiếu I1,I2 lên  Ta có: IH  d I ;   Ta có: S I MA 3a  b ; IK  d I2 ;   a  2b a b a  b2 25 25  S I MB  I1 H MA  I K MB  12 I1 H 2MH  25I K 2MK 12 24 2  12.I1H I1M  I1H  25I K I M  I K  12.I1H 10  I1H  25I K  I K  144 I1H 10  I1H   625I K   I K  2 2  | 3a  b |    | 3a  b |    | a  2b |    | a  2b |    144   10      625   5     2 2  a  b    a  b    a  b    a  b    144  3a  b   a  3b   625  a  2b   2a  b  2 2 12  3a  b  a  3b   25  a  2b  2a  b   12  3a  b  a  3b   25  a  2b  2a  b    a 2 a a a  2   ( n ) 2      2  14a  21ab  14b  b b b b    2   a 171  2975 86a  171ab  86b  86  a   171 a  86  (loai a,b  Z)  b  172   b  b a + Với  2 , chọn a = 2, b= -1   : x  y   b a + Với  , chọn a = 1, b=   : x  y  12  b Có hai có hai đường thẳng thỏa điều kiện toán 2x–y+1=0, x+2y–12 = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  : y   điểm A(0;6), B (4; 4) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C đường thẳng  cho tam giác ABC vng B Phương trình đường thẳng AB là: x0 y6 x y6    40 46 1  x  y  12  x  y  12  C   C (t;2)  BA(4;2), BC (t  4; 2) Tam giác ABC vuông B nên BA.BC   4t  16    t   C(3;2) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi M điểm đối xứng I qua A với M  ;  Biết 3  phương trình đường thẳng DC : x + y – 1= diện tích hình thang ABCD 12 Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hồnh độ dương 17 M B A H I C D Ta có : tam giác MDC vng D  (MD) : x – y + =  D(-2; 3) Gọi Gọi  3 MD = 2 3a.2 AB = a  SABCD = = 12  a = 2  DC = C(c; –c )  DC2 = 2(c + )2  c = hay c  B(3; 2)  (BC): 3x – y – = MD = HD = = -6 (loại)  C(2; -1) Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C1 ) : x2  y  13 đường tròn (C2 ) : ( x  6)2  y  25 cắt A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1 ), (C2 ) theo hai dây cung phân biệt có độ dài Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C 1) (C2) M N Gọi M ( x; y )  (C1 )  x2  y  13 (1) Vì A trung điểm MN nên N (4  x;  y ) Do N  (C2 )  (2  x)2  (6  y)2  25 Từ (1) (2) ta có hệ (2)  x    y   x  y  13     x   17   2  (2  x)  (6  y )  25     y   M( 17 ; ) Đường thẳng cần tìm qua A M có phương trình: x  y   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ mặt phẳng FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với AB//CD có diện 1 tích 14, H ( ;0) trung điểm cạnh BC I ( ; ) trung điểm AH Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hồnh độ dương D thuộc đường thẳng d: x  y   A B I H D M C Vì I trung điểm AH nên A(1;1); Ta có: AH  13 Phương trình AH là: x  y   Gọi M  AH  CD H trung điểm AM Suy ra: M(-2; -1) Giả sử D(a; 5a+1) (a>0) Ta có: ABH  MCH  S ABCD  S ADM  AH d ( D, AH )  14  d ( D, AH )  28 13 Hay 13a   28  a  2(vì a  0)  D(2;11) Vì AB qua A(1;1) có 1VTCP MD  (1;3)  AB có 1VTPT n(3; 1) nên AB có pt là: 3x  y   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ