HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I VÉCTƠ  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đoạn thẳng, đường thẳng tia: B x A A Cho hai điểm A, B ta có đoạn thẳng nhất, kí hiệu: AB BA (Giới hạn hai đầu) d Tia Ax (Giới hạn đầu) Đường thẳng d (Không giới hạn - dài vô tận) Trọng tâm tam giác: A Trọng tâm G tam giác giao điểm ba đường trung tuyến, AG  AM b c G a B C M Đường trung bình tam giác: A Đường trung bình tam giác song song cạnh đáy N M C B Hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD Ta có: AB // DC AB = DC BC // AD BC = AD AC BD cắt trung điểm O đường Khi O gọi tâm hình bình hành NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 B C O A D SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Khái niệm vectơ: Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng Đònh nghóa: Vectơ đoạn thẳng có hướng  Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu là: AB B A  Khi không cần rõ điểm đầu điểm cuối vectơ vectơ kí hiệu là:     a , b , x , y , gọi vectơ tự x a Vectơ phương, vectơ hướng: Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ giá vectơ AB B A Đònh nghóa: Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng  Nhận xét:  Nếu hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai vectơ AB AC phương Hai vectơ nhau:  Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài vectơ AB kí hiệu AB Vậy: AB  AB  BA  Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vò    Hai vectơ a b gọi chúng có hướng độ dài,   kí hiệu a  b  * Chú ý: Khi cho trước vectơ a điểm O, ta tìm điểm A  cho OA  a Vectơ - không:  Vectơ đặc biệt có điểm đầu điểm cuối A (điểm đầu điểm cuối trùng nhau), kí hiệu là: AA gọi vectơ - không  Vectơ - không phương, hướng với vectơ  Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên vectơ - không   Vectơ - không kí hiệu: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ Tổng hai vectơ:  Đònh nghóa: Cho hai vectơ a b  Lấy điểm A tùy ý, vẽ AB  a  BC = b Vectơ AC gọi tổng  hai vectơ a b Ta kí hiệu tổng hai    vectơ a b a  b   Vậy: AC  a  b a b Quy tắc hình bình hành: B C Nếu ABCD hình bình hành thì: AB  AD  AC A D Tính chất phép cộng vectơ:    Với ba vectơ a, b , c tùy ý ta có:     a  b  b  a (tính chất giao hoán)       (a  b )  c  a  (b  c ) (tính chất kết hợp)      a    a  a (tính chất vectơ - không) Hiệu hai vectơ:  a) Vectơ đối: Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướn g với   vectơ đối vectơ a , kí hiệu - a * Chú ý:  Vectơ đối vectơ AB BA , nghóa A  AB  BA   a gọi B   Vectơ đối vectơ vectơ b) Đònh nghóa hiệu hai vectơ:   Cho hai vectơ a b Ta gọi hiệu     hai vectơ a b vectơ a  (b ) , kí   hiệu a  b Vậy: a     a  b  a  (b ) * Chú ý: Phép toán tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ c) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: AB  BC  AC b O AB  AC  CB NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác:   Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA  IB    Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM  a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ Đònh nghóa:  Cho số k  vectơ a  Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu k a , hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài k a  Ta gọi tích vectơ với số tích số với vectơ    Quy ước: a = , k = Tính chất: Với hai vectơ   a   b bất kì, với số h k, ta có:    (h + k) a  ha  ka 1 a = a , (-1) a = - a  k( a  b ) = ka  kb  h(k a ) = (hk) a Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác: a) Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có : MA  MB  2MI b) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có : MA  MB  MC  3MG Điều kiện để hai vectơ phương:   a     Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b ( b  ) phương có số k để  = kb  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k khác để AB  k AC Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương:   Cho hai vectơ a b không phương  Khi vectơ x phân tích   cách theo hai vectơ a b , nghóa    có cặp số h, k cho x   kb NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 A' C x A a O b B B' SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng  Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB  k AC , với k   Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM  ON , với O điểm MN  Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng khơng đổi đường tròn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Trục độ dài đại số trục:  Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác đònh điểm O gọi điểm gốc vectơ đơn vò e Kí hiệu: (O; e ) O e M  Cho điểm M nằm trục (O; e ) Khi có số k cho OM =k e Ta gọi số k tọa độ điểm M trục cho  Cho hai điểm A, B nằm trục (O; e ) Khi có số a cho AB =a e Ta gọi số a độ dài đại số vectơ AB hệ trục cho kí hiệu a = AB * Nhận xét: Nếu AB hướng e AB = AB, AB ngược hướng e AB = -AB Độ dài đại số vectơ OM tọa độ điểm M  Nếu hai điểm A B trục (O; e ) có tọa độ a b AB = b - a Hệ trục tọa độ: a) Đònh nghóa:     Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) (O; j ) vuông góc với  Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ   Trục (O; i ) gọi trục hoành kí hiệu Ox   Trục (O; j ) gọi trục tung kí hiệu Oy      Các vectơ i j vectơ đơn vò Ox Oy i  j =   Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gọi Oxy trục tung (Oy) y y trục hoành (Ox) j i O x 2i -1 O x * Chú ý: Khi mặt phẳng cho hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt phẳng mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy b) Tọa độ vectơ:       Đối với hệ trục tọa độ (O; i , j ), vectơ u biểu diễn u = x i +y j với (x; y) cặp số   Khi đó: cặp số (x;y) gọi tọa độ vectơ u , kí hiệu là: u = (x; y) hay  u (x; y)     Như vậy: u = (x; y)  u = x i + y j NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Nhận xét: Hai vectơ chúng có hoành độ tung độ   Nếu u  ( x; y ) , u '  ( x' ; y ' )  x  x'  y  y'   u  u'  c) Tọa độ điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M  Cặp số (x; y) tọa độ điểm M OM = (x; y) Ta viết: M(x; y) M = (x; y) Hoành độ điểm M kí hiệu xM, tung độ điểm M kí hiệu yM y  Gọi M1, M2 hình chiếu M Ox, Oy Khi đó, M(x; y) x = OM y = OM M(x; y) M2 j O M1 i x d) Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng: Với hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA) Tọa độ vectơ       u  v , u  v , ku :  Cho u = (u1; u2) v = (v1 ; v2) Khi đó:    u  v = (u1 + v1; u2 + v2);  u  v = (u1 - v1; u2 - v2);    k a = (kx; ky) với k  R;   * Chú ý: Vectơ u =(u1; u2) phương với vectơ v =(v1; v2) với v  tồn số thực k khác cho   u  kv  u1  kv1 u  kv2 hay  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác:  Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) Khi tọa độ trung điểm I(xI; yI) AB tính theo công thức: x I  x A  xB , yI  y A  yB  Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Khi tọa độ trọng tâm G(xG; yG) tính theo công thức xG  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x A  xB  xC , yG  y A  y B  yC SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Trục toạ độ  Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e Kí hiệu  O; e   Toạ độ vectơ trục: u  (a)  u  a.e  Toạ độ điểm trục: M (k )  OM  k.e  Độ dài đại số vectơ trục: AB  a  AB  a.e Chú ý: + Nếu AB hướng với e AB  AB Nếu AB ngược hướng với e AB   AB + Nếu A(a), B(b) AB  b  a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB  BC  AC Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy i , j O gốc toạ độ, Ox trục hồnh, Oy trục tung  Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: u  ( x; y)  u  x.i  y j  Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M ( x; y)  OM  x.i  y j  Tính chất: Cho a  ( x; y), b  ( x; y ), k  R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :     y  y + a  b   x  x + a  b  ( x  x; y  y ) + b phương với a  + ka  (kx; ky )  k  R: x  kx y  ky  x  y  x y (nếu x  0, y  0) + AB  ( xB  x A ; yB  y A ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI  + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG  x A  xB ; yI  x A  xB  xC + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: xM  y A  yB ; yG  x A  kxB 1 k y A  yB  yC ; yM  y A  kyB 1 k ( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  k MB ) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ