Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I VÉCTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Cho ABC có A, B, C trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC  C A  AB b) Tìm vectơ BC , C A Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC  BA  AD ; AB  AD  AC b) Nếu AB  AD  CB  CD ABCD hình chữ nhật Cho hai véc tơ a, b Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: ab  ab Cho ABC cạnh a Tính AB  AC ; AB  AC Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB  AC  AD Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA, HB, HC Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB  AD , AB  AC , AB  AD NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB  DC  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: a) Nếu AB  CD AC  BD b) AC  BD  AD  BC  2IJ c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB  AI  JA  DA)  3DB Cho ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ  IQ  PS  Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Cho ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH  2OM b) HA  HB  HC  2HO c) OA  OB  OC  OH Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng 3 minh: AM  AB  AC Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN  NA K trung điểm MN Chứng minh: a) AK  AB  AC b) KD  AB  AC Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: a) AM  OB  OA b) BN  OC  OB c) MN  OC  OB  Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: a) AB   CM  BN 3 b) AC   CM  BN 3 c) MN  BN  CM Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 1 a) Chứng minh: AH  AC  AB CH    AB  AC  3 6 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH  AC  AB Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI , AG theo a, b Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC vaø BD theo vectơ AB vaø AF Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo vectơ OA, OB, OC Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1  BB1  CC1  b) Đặt BB1  u , CC1  v Tính BC, CA, AB theo u vaø v Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC a) Tính AI , AF theo AB vaø AC b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG theo AI vaø AF Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA  5HB  HC  b) Đặt AG  a, AH  b Tính AB, AC theo a vaø b Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI a) Chứng minh: BN  BA  MB b) Tìm điểm D, C cho: NA  NI  ND ; NM  BN  NC Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM  AB  AC  AD Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Chứng minh: MN  ( AB  DC ) b) Xác định điểm O cho: OA  OB  OC  OD  Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ a) IB  3IC  c) KA  KB  KC  2BC FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b) 2JA  JC  JB  CA d) 3LA  LB  LC  Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IA  3IB  3BC b) JA  JB  JC  c) KA  KB  KC  BC d) LA  2LC  AB  AC Cho ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  BC b) FA  FB  FC  AB  AC c) 3KA  KB  KC  d) 3LA  LB  LC  Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  4ID b) 2FA  2FB  3FC  FD c) KA  3KB  2KC  KD  Cho tam giác ABC điểm M tùy ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh véc tơ MA  MB  MC vaø MD  ME  MF Cho tứ giác ABCD a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA  GB  GC  GD  (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD) b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG  OA  OB  OC  OD  Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C, D trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA, BB, CC, DD b) G trọng tâm của tứ giác ABCD Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k cho vectơ v k MI với điểm M: a) v  MA  MB  MC b) v  MA  MB  MC c) v  MA  MB  MC  MD d) v  MA  MB  MC  3MD NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA  2OB  3OC  Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: BH  BC , BK  BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng HD: BH  AH  AB; BK  AK  AB Cho ABC với I, J, K xác định bởi: IB  IC , JC   JA , KA  KB a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC (HD: IJ  AB  AC ) b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm AIB) Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD = AF, AB = AE Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành Cho ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA  3IC  , JA  JB  3JC  Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng Cho ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA  4MB  , NB  3NC  Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ABC Cho ABC Lấy điểm M N, P: MB  MC  NA  NC  PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB vaø AC b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Cho ABC Về phía tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm Cho tam giác ABC, A điểm đối xứng A qua B, B điểm đối xứng B qua C, C điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Cho ABC Gọi A, B, C điểm định bởi: AB  AC  , BC  3BA  , 2C A  3C B  Chứng minh tam giác ABC ABC có trọng tâm Trên cạnh AB, BC, CA ABC lấy điểm A, B, C cho: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 AA BB CC    AB BC AC Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A, B, C điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui điểm N b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA  4MB  , CN  BC Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD  DE  EC a) Chứng minh AB  AC  AD  AE b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM  BC  AB , CN  x AC  BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính IM IN Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a  b  c  a) Chứng minh có điểm G thoả mãn aGA  bGB  cGC  b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP  aMA  bMB  cMC Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  MA  3MB  MC a) Tìm điểm I thoả mãn IA  3IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  MA  MB  MC a) Tìm điểm I cho 2IA  IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MA  MB b) 2MA  MB  MA  2MB HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực AB Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MC  MB  MC b) MA  BC  MA  MB c) MA  MB  MB  MC d) MA  MB  MC  MA  MB  MC HD: a) Trung trực IG (I trung điểm BC, G trọng tâm ABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp đường tròn tâm D, bán kính BA NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho ABC a) Xác định điểm I cho: 3IA  IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN  MA  MB  MC qua điểm cố định c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA  2HB  HC  HA  HB d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA  KB  KC  KB  KC Cho ABC a) Xác định điểm I cho: IA  3IB  IC  b) Xác định điểm D cho: 3DB  DC  c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA  3MB  MC  MA  MB  MC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 2 a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ điểm M cho 2MA  5MB  d) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  1 Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 3 a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA  2MB  b) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  AB Trên trục x'Ox cho điểm A(2), B(4), C(1), D(6) a) Chứng minh rằng: AC  AD  AB b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID  IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD  AB AJ Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB b) Tìm tọa độ điểm M cho MA  MB  MC  c) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  NC Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB.CD  AC.DB  DA.BC  b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Viết tọa độ vectơ sau: 3 a  i  j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4 j ; e  3i 2 a) a  2i  j ; b  i  j ; c  3i ; d  2 j b) Viết dạng u  xi  yj biết toạ độ vectơ u là: a) u  (2; 3); u  (1; 4); u  (2; 0); u  (0; 1) b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1; 0); u  (0; 0) Cho a  (1; 2), b  (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: a) x  a  b; y  a  b; z  2a  3b   b) u  3a  2b; v   b; w  4a  b 1 2 Cho a  (2; 0), b   1;  , c  (4; 6) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a) Tìm toạ độ vectơ d  2a  3b  5c b) Tìm số m, n cho: ma  b  nc  c) Biểu diễn vectơ c theo a, b Cho hai điểm A(3; 5), B(1; 0) a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC  3 AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ vectơ AB, AC , BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM  AB  AC d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN  2BN  4CN  Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Cho tam giác ABC với trực tâm H, B điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ AH vaø BC; AB vaø HC Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2IJ b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA  MB  MC MD  ME  MF Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC Chứng minh: a) AI  AO  AB b) 3DG  DA  DB  DC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Ọ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a) Chứng minh: AI   AD  AB  b) Chứng minh: OA  OI  OJ  c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AC AG, DE , DG theo AB vaø AC AD  AB , AE  a) Tính b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng Cho ABC Gọi D điểm xác định AD  AC M trung điểm đoạn BD a) Tính AM theo AB vaø AC b) AM cắt BC I Tính IB IC AM AI Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: a) MA  MB b) MA  MB  MC  c) MA  MB  MA  MB d) MA  MB  MA  MB e) MA  MB  MA  MC Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ