ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Nghiệm đa thức: Nghiệm đa thức f(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + + an-1x + an số x = x0 làm cho đa thức Giá trò tuyệt đối:  A A  A   A A  Hai quy tắc biến đổi phương trình:  Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu hạng tử  Trong phương trình, ta nhân chia hai vế cho số khác Phương trình bậc ax + b = (a ≠ 0) phương trình đưa dạng ax + b: b a  Phương trình: ax + b =  ax = -b  x = - Phương trình tích: A(x).B(x) =  A(x) = B(x) = Phương trình chứa ẩn mẫu: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0): Nêu cách giải phương trình bậc hai trường hợp nghiệm đặc biệt? NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I- KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn:  Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1) f(x) g(x) biểu thức x Ta gọi f(x) vế trái, g(x) vế phải phương trình (1)  Nếu có số thực x0 cho f(x0) = g(x0) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình (1)  Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm (nghóa tìm tập nghiệm nó)  Nếu phương trình nghiệm ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Điều kiện phương trình: Điều kiện xác đònh phương trình (1) điều kiện ẩn số x để f(x) g(x) có nghóa Phương trình nhiều ẩn: Đó phương trình có dạng F(x, y, z, ) = G(x, y, z, ), F(x, y, z, ) G(x, y, z, ) biểu thức nhiều biến Nếu phương trình hai ẩn x y trở thành mệnh đề x = x y = y0 (với x0, y0 số) ta gọi cặp số (x0, y0) nghiệm Khái niệm nghiệm phương trình ba ẩn, bốn ẩn, … hiểu tương tự Phương trình chứa tham số: Trong phương trình (một nhiều ẩn), chữ đóng vai trò ẩn số có chữ khác xem số gọi tham số Việc giải phương trình chứa tham số thường gọi giải biện luận phương trình NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương: Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương: Đònh lý: Nếu thực phép biến đổi sau phương trình mà không làm thay đổi điều kiện ta phép biến đổi tương đương  Cộng hay trừ hai vế phương trình với số biểu thức;  Nhân chia hai vế phương trình với số khác với biểu thức có giá trò khác * Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “” để tương đương phương trình Vậy: f(x) = g(x)  f(x)  h(x) = g(x)  h(x) f(x) = g(x) + h(x)  f(x) - h(x) = g(x) f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x) (h(x) ≠ 0) f(x) = g(x)  f ( x ) g( x )  h ( x ) h( x ) (h(x) ≠ 0) Phương trình hệ quả: Nếu nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) nghiệm phương trình f1 ( x)  g1 ( x) phương trình f1 ( x)  g1 ( x) gọi phương trình hệ phương trình f ( x)  g ( x) Ta viết: f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) Phương trình hệ có thêm nghiệm nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Phương trình ẩn f(x) = g(x) (1)  x0 nghiệm (1) "f(x0) = g(x0)" mệnh đề  Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình  Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức P( x ) cần điều kiện P(x) – Nếu phương trình có chứa biểu thức P( x ) cần điều kiện P(x)  + Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) Phương trình tương đương, phương trình hệ Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2  (1)  (2) S1 = S2  (1)  (2) S1  S2 Phép biến đổi tương đương  Nếu phép biến đổi phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau: – Cộng hai vế phương trình với biểu thức – Nhân hai vế phương trình với biểu thức có giá trị khác  Khi bình phương hai vế phương trình, nói chung ta phương trình hệ Khi ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Phương trình bậc nhất:  Giải biện luận phương trình dạng ax+b=0:  Khi a  phương trình ax+b=0 gọi phương trình bậc ẩn Phương trình bậc hai: Giải biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0): Đònh lý Vi-ét:  Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) có hai nghiệm x1, x2 b a S = x1  x   , P = x x  u  v  S c a  Ngược lại, hai số u, v có  u, v nghiệm phương trình:  uv  P x2–Sx+P=0 II- PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Phương trình chứa ẩn mẫu: Phương trình chứa ẩn dấu giá trò tuyệt đối: Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trò tuyệt đối ta dùng đònh nghóa  A A  bình phương hai vế phương trình dẫn đến  A A  giá trò tuyệt đối: A   phương trình hệ Phương trình chứa ẩn dấu căn: Để giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa phương trình hệ không chứa ẩn dấu Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương ax4 + bx + c = (a ≠ 0) đưa phương trình bậc hai cách đặt t = x2 (t  0) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ax+b=0 ax + b = (1) Kết luận Hệ số (1) có nghiệm x   a0 a=0 b0 b=0 b a (1) vơ nghiệm (1) nghiệm với x Chú ý: Khi a  (1) gọi phương trình bậc ẩn PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2+bx+c=0 (a  0) Cách giải (a  0) (1) Kết luận ax2 + bx + c =   b2  4ac Chú ý: >0 (1) có nghiệm phân biệt x1,2  =0 (1) có nghiệm kép x    VẤN ĐỀ 3: Một số tập áp dụng định lí Vi–et Biểu thức đối xứng nghiệm số b a Ta sử dụng cơng thức S  x1  x2   ; P  x1x2  c a để biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 theo S P Ví dụ: x12  x22  ( x1  x2 )2  x1x2  S2  2P x13  x23  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  3x1x2   S(S  3P) Hệ thức nghiệm độc lập tham số Để tìm hệ thức nghiệm độc lập tham số ta tìm: b S  x1  x2   ; a P  x1 x2  c a (S, P có chứa tham số m) Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x x2 Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng: S = u + v, P = uv x  Sx  P  , PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa tính chất  A   A  A A  A   A.B  A B  A  B  A  B  A.B   A  B  A  B  A.B  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  A  0, A  A  A2  A  B  A  B  A.B   A  B  A  B  A.B  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ  Dạng 1:  Dạng 2:  f ( x)    f ( x )  g( x ) C2  g( x )  f ( x )  g( x )       f ( x )  g( x )   f ( x )    f ( x )   g( x )   f ( x )  g( x ) C1 C1 2 f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x ) C2  f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )  Dạng 3: a f ( x )  b g( x )  h( x ) Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Đặt ẩn phụ Chú ý: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để xác định  Dạng 1: f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x ) Dạng 2:   g( x )   f ( x )  g( x ) f ( x )  g( x )    f ( x )  (hay g( x )  0)  Dạng 3: af ( x )  b f ( x )  c   t 2 f ( x ), t   at  bt  c  Dạng 4: f ( x )  g( x )  h( x )  Đặt u  f ( x ), v  g( x ) với u, v   Đưa phương trình hệ phương trình với hai ẩn u v Dạng 5: f ( x )  g( x )  f ( x ).g( x )  h( x ) Đặt t  f ( x )  g( x ), t  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta phải ý đến điều kiện xác định phương trình (mẫu thức khác 0) PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4+bx2+c=0 (a  0) Cách giải:  t  x , t  ax  bx  c  (1)    at  bt  c  (2) Số nghiệm phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm (1) ta dựa vào số nghiệm (2) dấu chúng  (1) vơ nghiệm  (2) vô nghiệm (2) có nghiệm kép âm  (2) có nghiệm âm  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm kép (2) có nghiệm 0, nghiệm lại âm  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm kép dương (2) có nghiệm dương nghiệm âm  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm 0, nghiệm lại dương  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm dương phân biệt Một số dạng khác phương trình bậc bốn ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  K , với a  b  c  d  Dạng 1: – Đặt t  ( x  a)( x  b)  ( x  c)( x  d )  t  ab  cd – PT trở thành: t  (cd  ab)t  K   Dạng 2: ( x  a)4  ( x  b)4  K – Đặt t  x  ab – PT trở thành: ab ba , xbt 2  ab 2t  12 2t  2  K   với       xat  Dạng 3: ax  bx3  cx2  bx  a  (a  0) (phương trình đối xứng) – Vì x = khơng nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x , ta được:  PT  a  x    1  b x    c  2 x x    1 1 – Đặt t  x   t  x   với t  x  x – PT (2) trở thành: at  bt  c  2a  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (2) ( t  2) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc hai ẩn: Phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng tổng quát ax + by = c (1) a, b, c hệ số, với điều kiện a b không đồng thời (a + b2  0) * Chú ý:  Khi a = b = ta có phương trình 0x + 0y = c, đó: Nếu c  phương trình vô nghiệm Nếu c = cặp số (x0, y0) nghiệm a b  Khi b  0, phương trình ax + by = c trở thành: y =  x  c a (2) Cặp số (x0, y0) nghiệm phương trình (1) điểm M(x0, y0) thuộc đường thẳng (2) Tổng quát, người ta chứng minh phương trình bậc hai ẩn có vô số nghiệm Biểu diễn hình học tập nghiệm phương trình (1) đường thẳng phẳng tọa độ Oxy Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: a x  b y  c 1 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát :  (3) a2 x  b2 y  c2 x, y hai ẩn; chữ lại hệ số Nếu cặp số (x0, y0) đồng thời nghiệm hai phương trình hệ (x0, y0) nghiệm hệ phương trình (3) Giải hệ phương trình (3) tìm tập nghiệm II- HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát :  a1 x  b1 y  c1 z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d a x  b y  c z  d 3  (4) x, y, z ba ẩn; chữ số lại hệ số Mỗi ba số (x0; y0; z0) nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình (4) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Hệ phương trình bậc hai ẩn a1x  b1y  c1  a2 x  b2 y  c2 (a12  b12  0, a22  b22  0) Giải biện luận: – Tính định thức: a1 b1 a2 b2 , Dx  c1 b1 c2 b2 , Dy  a1 c1 a2 c2 Kết Xét D D0 D=0 D Dx  Dy  Dx = Dy =  Dy  D Hệ có nghiệm  x  x ; y    D D  Hệ vơ nghiệm Hệ có vơ số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Ngun tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn  Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn  Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại Hệ có dạng: (I)  f ( x, y)   g( x , y )  (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi)  Đặt S = x + y, P = xy  Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P  Giải hệ (II) ta tìm S P  Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X  SX  P  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠI SỐ 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hệ đối xứng loại Hệ có dạng: (I)  f ( x, y)   f ( y, x )  (1) (2) (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại)  Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: (I)   f ( x, y)  f ( y, x )   f ( x, y)  (3) (1)  Biến đổi (3) phương trình tích: (3)  ( x  y ).g( x , y )    x  y  g( x , y )    f ( x, y)   x  y  Như vậy, (I)      f ( x , y )    g( x , y )   Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Hệ đẳng cấp bậc hai  a x  b xy  c y  d 1 Hệ có dạng: (I)  2  a2 x  b2 xy  c2 y  d2  Giải hệ x = (hoặc y = 0)  Khi x  0, đặt y  kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) – Ngồi cách giải thơng thường ta sử dụng phương pháp giải (sẽ học lớp 12) – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0  y0 Chú ý: hàm số để NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ