Thông tin tài liệu
PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ Chun đề: Phương pháp tọa độ khơng gian I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC khơng gian z x'Ox : trục hồnh y'Oy : trục tung x' z'Oz : trục cao O : gốc toạ độ k y y' i, j, k : véc tơ đơn vị O j (hay i; j; k : véc tơ đơn vị ) i Quy ước : Khơng gian mà có chọnx hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz gọi khơng gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) z ' II Toạ độ điểm véc tơ: Định nghĩa 1: Cho M kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo i, j, k hệ thức có dạng : OM xi y j + yk với x,y,z Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M z Ký hiệu: M(x;y;z) M y O ( x: hồnh độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) x M ( x; y; z) đ/n OM xi y j zk Ý nghĩa hình học: z M2 R z M3 O M y p x OP ; y= OQ ; z = OR Q x x y M1 Định nghĩa 2: Cho a kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo i, j, k hệ thức có dạng : a a1 i a2 j + a3 k với a1,a2 ,a3 Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a a (a1; a2 ; a3 ) Ký hiệu: a=(a1;a2 ;a3 ) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 đ/n a a1 i a2 j a3 k SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II Các cơng thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ; zA ) B(x B; yB ; zB ) AB ( xB x A ; yB y A ; zB zA ) Định lý 2: Nếu a (a1; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 ) a1 b1 a b a2 b2 a b * * a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) * a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) (k ) * k.a (ka1; ka2 ; ka3 ) III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song Định lý phương hai véc tơ: Định lý : Cho hai véc tơ a b với b a phương b !k cho a k.b Nếu a số k trường hợp xác định sau: k > a hướng b k < a ngược hướng b k Định lý : a b A, B, C thẳng hàng AB phương AC Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 ) ta có : a phương b a1 kb1 a2 kb2 a : a2 : a3 b1 : b2 : b3 a kb IV Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại: a.b a b cos(a, b) a a ab a.b NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Định lý 6: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a2 ) b (b1; b2 ; b3 ) ta có : a.b a1b1 a2 b2 a3b3 Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) ta có : a a12 a22 a32 Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ; zA ) B(x B; yB ; zB ) AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 (zB zA )2 Định lý 9: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 ) ta có : ab a1b1 a2 b2 a3b3 Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 ) ta có : cos(a, b) a.b a.b a1b1 a2 b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ) : MA k.MB A M B Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ) MA k.MB ( k ) x A k x B xM k y A k y B yM 1 k zA k zB zM k Đặc biệt : M trung điểm AB NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 x A xB xM y y yM A B zA zB zM SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( x A ; y A ; zA ) , B(x B; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC ) G trọng tâm tam giác ABC x A x B xC xG y y y yG A B C zA zB zC zG VI Tích có hướng hai véc tơ: Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a (a1; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 ) véc tơ ký hiệu : a; b có tọa độ : a a; b b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ; b1 b1 b2 Cách nhớ: a (a1; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 ) Tính chất: a; b a a; b b SABC AB; AC S ABCD A B AB; AD C D D' C B VABCD A'B'C'D' AB; AD AA' VABCD AB; AC AD C' A' A B' D C A D B C A B a phương b a, b, c đồng phẳng a, b c A, B, C, D đồng phẳng AB, AC, AD đồng phẳng AB,AC AD a; b NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Chun đề: Phương pháp tọa độ khơng gian I Các định nghĩa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng: đn a a VTCP đường thẳng ( ) a có giá song song trùng với ( ) a a ( ) Chú ý: Một đường thẳng có vơ số VTCP, véc tơ phương với Một đường thẳng ( ) hồn tồn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng: a b a b Cho mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng Chú ý : Một mặt phẳng hồn tồn xác định biết điểm thuộc cặp VTCP Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : n đn n n VTPT mặt phẳng n có giá vuông góc với mp Chú ý : Một mặt phẳng có vơ số VTPT, véc tơ phương với NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Một mặt phẳng hồn tồn xác định biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: a (a1; a2 ; a3 ) Định lý: Giả sử mặt phẳng có cặp VTCP : b (b1; b2 ; b3 ) mp có VTPT : a n a; b b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ; b1 b1 b2 n [a , b ] a b Ví dụ: Tìm VTPT mặt phẳng biết qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n ( A; B; C) là: n ( A; B; C ) M x; y;z M ( x0 ; y ; z ) A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) n ( A; B; C ) z M0 Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : Ax By Cz D y với A2 B2 C phương trình tổng qt mặt phẳng Chú ý : x Nếu ( ) : Ax By Cz D ( ) có VTPT n ( A; B; C) M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ( ) : Ax By Cz D Ax By0 Cz0 D z Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oxy):z = (Oyz):x = (Oxz):y = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 (Oyz ) y O (Oxz ) x (Oxy ) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz x y z 1 a b c là: A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C (0; 0; c) (a,b,c 0) C c O a b B A Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3 , B 2; 3;1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với đường thẳng AB Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng P : x y 3z R : 3x 2y z Viết phương trình mặt phẳng R góc với P Q qua A 1;1;1 đồng thời vng Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ III Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu: (a1 , a2 , , an ) gọi tỷ lệ với có số t cho (b1 , b2 , , bn ) Hai n số : Ký hiệu: a1 : a2 : : an b1 : b2 : : bn a a1 a2 n b1 b2 bn a1 tb1 a tb an tbn Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , xác định phương trình : ( ) : A1x B1y C1z D1 có VTPT n1 ( A1; B1; C1 ) ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 có VTPT n2 ( A2 ; B2 ; C2 ) n1 n2 n1 a n n1 n2 b a a b b NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian ( ) cắt ( ) A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 (hay: A1 B1 C1 D1 A B2 C2 D2 ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A B2 C2 D2 ( ) // ( ) Đặc biệt: FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 A1 B1 B C C A ) A B2 B2 C2 C2 A2 A1 A2 B1B2 C1C2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Chun đề: Phương pháp tọa độ khơng gian I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng ( ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : z a x x0 ta1 () : y y0 ta2 z z ta ( ) M0 M ( x, y , z ) y (t ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng ( ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : ( ) : x x0 y y0 z z0 a1 a2 a3 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 2; 2;1 , B 0; 2;5 Viết phương trình tham số đường thẳng qua A B Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;1;0 , B 0; 2;1 C trọng tâm G 0; 2; Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng ABC Ví dụ 3: Cho điểm M(-2;1;1) đường thẳng x 2t (d) : y 1 t z t Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d) x Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) đường thẳng (d) : z z 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M đường thẳng (d) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : M a ( ) n n a a ( ) M a Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho: đường thẳng () : a (a1; a2 ; a3 ) ( ) n M a a x x0 y y0 z z0 có VTCP a1 a2 a3 qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D có VTPT n ( A; B; C ) Khi : () cắt ( ) Aa1 Ba2 Ca3 Aa1 Ba2 Ca3 Ax0 By0 Cz0 D Aa1 Ba2 Ca3 Ax0 By0 Cz0 D () // ( ) ( ) ( ) () ( ) Đặc biệt: a a1 : a2 : a3 A : B : C n a pt() tìm pt( ) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M ( ) ( ) ta giải hệ phương trình : x,y,z Suy ra: M(x,y,z) Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d) : (P) : x 3y 4m 2z m x 1 y z 1 4 mặt phẳng Tìm m để đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) Vị trí tương đối hai đường thẳng : M M0 ' 1 a u M0 b u' 2 M 0' NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 M0 1 2 u ' 1 M M u u' 2 M ' 1 u' 2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đường thẳng () có phương trình tham số: Mặt phẳng (P) có VTPT n (1; 3; 2) Giả sử N(1 + 3t ; 2t ; + 2t) Để MN // (P) x 1 3t y 2t t z 2t MN n t MN (3t 3; 2t ;2t 2) N(20; 12; 16) Phương trình đường thẳng cần tìm : x2 y2 z4 7 Câu 17 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x3 y 9 z 6 d: mặt phẳng (P): Lập phương trình đường 2 3 thẳng nằm mặt phẳng (P), vng góc với d cách d khoảng 238 Gọi chứa Giả sử H Hạ HK , góc AKH nhọn góc (P) (Q) Và HK đoạn vng góc chung d Vậy nên Do (Q) vng góc với d nên (Q) có dạng: Với Với Câu 18 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng P : x y z , mặt phẳng (Q) : 2x y 2z đường thẳng D: x 2 y 3 z 4 Tìm điểm M thuộc D , N thuộc mặt phẳng (P) cho MN 1 1 vng góc với mặt phẳng (Q) MN = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VTPTn Q (2;1; 2) M D M t;3 t; t MN Q MN kn Q 2k; k; 2k N 2k t 2; k t 3; 2k t N P k t 3 MN k k 1 k t 4 : M 6; 1;0 ; N(8;0; 2) k 1 t 2 : M 4;1; ; N 2;0; Phương trình mặt phẳng Câu 19 Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A( 3;2; 3) hai đường thẳng d1 : x -1 y + z - x - y -1 z - = = = = d : 1 -1 a/ Chứng minh d1 d2 cắt b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P) a/ d1 qua điểm M1(1; 2; 3) , có vtcp u1 (1;1; 1) d2 qua điểm M (3;1;5) , có vtcp u2 (1;2; 3) Ta có [u1, u2 ] M1M 1 1 1 ; 1 ; (5; 4;1) (2; 3;2) Suy ra, [u1, u2 ].M1M 5.2 4.3 1.2 , d1 d2 cắt b/ Mặt phẳng (P) chứa d1 d2 Điểm (P): M1(1; 2; 3) vtpt (P): n [u1, u2 ] (5; 4;1) Vậy, PTTQ mp(P) là: 5(x 1) 4(y 2) 1(z 3) 5x 4y z 16 Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) là: 5.( 3) d (A,(P )) 4.2 ( 4) 16 42 42 20 2 khơng 42 gian với hệ tọa độ Oxyz, cho S : x y z x y z mặt phẳng (α) : x - 2y + 2z + = Câu Trong ( 3) mặt cầu a Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α) b Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) a (S) có tâm I(2;-1;-2) bán kính R=4 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Do d(I,( ))=1 b Viết phương trinh mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) Vì mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) nên pt (β) có dạng x-2y+2z+D=0 Ta có d(I, (β))=R D 4 D 12 D 12 Vậy (β) có pt x-2y+2z+12=0 x-2y+2z-12=0 Câu 21 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;3; 1 , B 1;1;3 đường thẳng d có phương trình x y 1 z Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn 1 AB tìm điểm C đường thẳng d cho CAB tam giác cân C Tọa độ trung điểm M đoạn AB: M 0; 2; 1 , AB 2; 2; Mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB qua M, nhận n 1; 1; làm VTPT nên có phương trình: x y z 1 x y z CAB cân C CA CB C P x y 1 z C 6; 4; 1 Vậy C giao điểm d với (P), tọa độ C nghiệm: 1 x y 2z Câu 22 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, x y 1 z S : x y z x y z , đường thẳng d : 1 cho mặt cầu a Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) b Viết phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu (S), cắt vng góc với đường thẳng d d có vtcp u (1; 2; 1) , (S) có tâm I(2;-1;-2) bán kính R=4 Vì (P) vng góc với d nên (P) nhận u (1; 2; 1) làm vtpt Do pt (P) có dạng x+2y-z+D=0 Mặt khác (P) tiếp xúc với (S) nên ta có D 2 4 D 2 Vậy pt (P) x+2y-z-2+ =0 x+2y-z-2- =0 xt Pt d viết dạng tham số y 2t z 2t d(I,(P))=R 2 D NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Gọi d’ đt cần tìm,và H(t ;1+2t ;2-t) giao điểm d d’ Ta có IH (t 2; 2t; t ) Và IH u t-2+2(2+2t)-(4-t)=0t=1/3 Vậy H(1/3 ;5/3 ;5/3) Do d’ qua điểm I(2;-1;2) H(1/3 ;5/3 ;5/3) x 5t Vậy pt đt cần tìm y 1 8t z 2 11t Câu 23 Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho A 1;1;1 , B 2;1;0 , C 2;0; Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm B, C cách A khoảng lớn Lập luận để mặt phẳng cần tìm mặt phẳng cần tìm mặt phẳng qua BC vng góc với (ABC) n ABC BC , AB 1; 2;1 BC 0; 1;2 , AB 1;0; 1 Vectơ pháp tuyến (ABC) là: Suy VTPT : n BC , n ABC 5; 2;1 Pt : 5 x y z Câu 24 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1; 1; , B 3;0; 4 mặt phẳng (P) : x y z Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB vng góc với mặt phẳng (P) AB 2;1; 6 vtcp đường thẳng AB x 2t Ptts AB: y 1 t z 6t t R Gọi M giao điểm AB (P) Khi M 1 2t; 1 t; 6t M (P) 1 2t 1 t 6t t 4 M ; ;1 3 Vtpt nQ AB, n P 10; 10; 5 Q : x y z Câu 25 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – = mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (Q) chứa Ox (Q): ay + bz = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính (Q) qua tâm I Suy ra: –2a – b = b = –2a (a 0) (Q): y – 2z = Câu 26 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;2), B(0; 0;2) đường thẳng d : x y z 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d phương trình mặt cầu có tâm B, tiếp xúc với (P) Véc tơ phương d u (2; 2;1) (P) d (P) nhận u (2; 2;1) véc tơ pháp tuyến Phương trình (P) : 2( x 2) 2( y 1) ( z 2) 2 x y z Gọi (S) mặt cầu tâm B, có bán kính R Ta có (S) tiếp xúc với (P) nên ta có R d (B;(P)) phương trình mặt cầu (S): x y ( z 2) Câu 27 Trong khơng gian Oxyz ,cho điểm M(0;2;0) hai đường thẳng d1 ; d có x 1 y z 1 x y 1 z ; d2 : Viết phương trình mặt phương trình: d1 : 2 2 phẳng (P) qua M , song song với trục Ox , cho (P) cắt hai đường thẳng d1 ; d2 A, B cho AB = Giả sử có mặt phẳng (P) thỏa u cầu đề A d1 A 1 2t ;2 2t ; 1 t B d B 2l ; 1 2l ; l AB 2(l t ) 2; 2(l t ) 3;(l t ) 1 l t 1 AB 9(l t ) 22(l t ) 14 13 l t *l t 1 2 AB 0; 1;0 VTPT n( P ) AB; i (0;0;1) Pt mặt phẳng (P): z = ( loại (P) chứa Ox) *l t 13 / 1 8 1 4 AB ; ; VTPT n ( P ) AB; i 0; ; 9 9 Pt mặt phẳng (P): - y + z + = ( thỏa đề nhận) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 28 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = a) Xác định tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) tiếp xúc (S) (S): x y z x y z (P): x + y + z + 2015 = a) (S) có tâm I(1; -2; 3) R = x t (D) qua I(1; -2; 3) có VTCP u = (1; 1; 1;) có ptts : y 2 t z t b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = (D 2015) d I , Q D 2 Vậy (Q) : x + y + z 2 Câu 29 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : : x 1 y z 3 x 3 y z 2 Tìm tọa độ giao điểm viết phương trình mặt 5 phẳng (P) cho đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt phẳng (P) Viết lại dạng tham số Giải hệ phương trình tìm giao điểm A(3; 0; 2) Đường thẳng có VTCP u1 2; 3;2 Đường thẳng có VTCP u2 6; 4; 5 Gọi (Q) mặt phẳng chứa 1 , (Q) có VTPT n u1 , u2 (7; 22; 26) Vì hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt phẳng (P) (P) chứa ( P) (Q) Do (P) qua A có VTPT n1 n , u2 (214;191; 104) (P) có phương trình là: 214 x 191 y 104 z 850 Câu 30 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 2;3;0 , B 0;1 , C 1, 4, 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa B, C song song với đường thẳng OA Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC n BC 1;3;1 Theo đề mặt phẳng (P) có VTPT n OA 2;3;0 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 n BC ; OA 3; 2; 3 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 mp(P)có VTPT n qua B suy P : x y 1 z 3x y 3z AB, AC 4;0; 4 S ABC 2 2S 4 22 d A, BC ABC BC 11 11 Câu 31 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) mặt phẳng P : x y z 1 a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mp (P) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vng góc với mp (P) biết mp (Q) cắt hai trục Oy, Oz điểm phân biệt M N cho OM = ON a) Vì (S) có tâm A tiếp xúc (P) nên bán kính (S) R = d(a, (P)) = (S) là: ( x 3) ( y 2) ( z 2) Vậy pt 64 b) Gọi nQ VTPTcủa (Q), n P = (1;-1;-1) VTPT (P) Khi nQ nP Mp(Q) cắt hai trục Oy Oz M 0; a;0 , N 0;0; b phân biệt cho a b OM = ON nên a b a b nQ u => nQ u, nP 2;1;1 Khi mp M 0; 2;0 ; N 0;0; (thỏa mãn) + a = b MN 0; a; a (Q): x y z + a = - b MN 0; a; a u 0; 1;1 u 0;1;1 nQ u => nQ u , nP 0;1; 1 Khi mp (Q): y z M 0;0;0 N 0;0;0 (loại) Vậy Q : x y z Câu 32 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) H hình chiếu A d nên AH d AH u (u (2;1;3) véc tơ phương d) H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 33 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x2 y z x y z Lập phương trình mặt phẳng ( P) chứa truc Oy cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có bán kính r (S ) : x2 y z x y z ( x 2)2 ( y 3)2 ( z 1)2 16 ( S ) có tâm I (2; 3;1) bán kính R ; trục Oy có VTCP j (0;1;0) Gọi n (a; b; c) VTPT mp(P) , ( P) chứa Oy n j b n (a;0; c) (a c 0) Phương trình mp(P): ax cz (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kinh r d I ,( P) R r 2a c a2 c2 4a 4ac c 4a 4c c 3c 4ac 3c 4a Vậy phương trình mp(P) : x 3x z Câu 34 Trong khơng gian với ̣ to ̣a ̣ Oxyz, cho điể m M(1;-1;1) và hai đường thẳng x y 1 z x y 1 z (d ) : (d ') : Chứng minh: điể m M, (d), (d’) cùng nằ m 2 3 mơ ̣t mă ̣t phẳ ng Viết phương trình mă ̣t phẳ ng đó *(d) qua M (0; 1; 0) có vtcp u1 (1; 2; 3) (d’) qua M (0;1; 4) có vtcp u (1; 2;5) *Ta có u1; u (4; 8; 4) O , M1M (0; 2; 4) Xét u1; u M1M 16 14 (d) (d’) đồng phẳng *Gọi (P) mặt phẳng chứa (d) (d’) => (P) có vtpt n (1; 2; 1) qua M1 nên có phương trình x 2y z *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ ta có đpcm Câu 35 Cho mặt cầu (S): x y z x y z a) Xác định tọa độ tâm I bán kính r mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1) 2 a 2 a 2b b a) Từ phương trình mặt cầu ta có: 2 c 8 c d d Tọa độ tâm I(1; -3; 4) Bán kính: r 16 b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vng với mp NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IM (0; 4; 3) Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0; 4; 3) có phương trình: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0( x 1) 4( y 1) 3( z 1) y 3z Câu 36 Trong khơng gian to ̣a ̣ Oxyz cho hai điể m A(1; 1; 1), B(2; 2; 2), mă ̣t phẳ ng (P): x + y z + = và mă ̣t cầ u (S): x2 + y2 + z2 2x + 8z = Viế t phương triǹ h mă ̣t phẳ ng (Q) song song với đường thẳ ng AB, vng góc với mă ̣t phẳ ng (P) và cắ t (S) theo mơ ̣t đường tròn (C) cho diê ̣n tić h hiǹ h tròn (C) bằ ng 18 Mp(Q) // AB, (Q) (P), cắ t (S) theo đường tròn có bán kính Ta có x2 + y2 + z2 2x + 8z = (x 1)2 + y2 + (z +4)2 = 24 Suy (S) có tâm I(1 ; ; 4), bán kiń h R = Go ̣i n P , nQ lầ n lươṭ là vecto pháp tú n của mp(P), mp(Q) Ta có n P = (1; 1; 1), AB = (1; 3; 1), [ n P , AB ] = (4; 2; 2) nQ AB (Q ) / / AB nên có thể cho ̣n nQ = [ n P , AB ] (Q ) ( P) nQ n P Ta có Hay nQ = (2; 1; 1) Suy pt mp(Q): 2x y + z + d = Gọi r, d lầ n lươ ̣t là bán kin ́ h (C), khoảng cách từ tâm I của (S) đế n mp(Q) Ta có diê ̣n tić h hình tròn (C) bằ ng 18 nên r2 = 18 Do đó d2 = R2 r2 = 24 18 = d = Ta có d = |d 2| = d = hoă ̣c d = Từ đó, có mp là (Q1): 2x y + z + = 0, (Q2): 2x y + z = Mp(Q) có pt có thể chứa AB Kiể m tra trực tiế p thấ y A(1; 1; 1) (Q1) nên AB // (Q1); A(1; 1; 1) (Q2) nên AB (Q2) KL: pt mp(Q): 2x y + z + = Phương trình mặt cầu Câu 37 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0; 3), B(2; 0; 1) mặt phẳng ( P) : x y z Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng AB, bán kính 11 tiếp xúc với mặt phẳng (P) Đường thẳng AB qua A(0;0;-3) có VTCP AB (2;0; 2) x 2t Nên phương trình tham số đường thẳng AB là: y z 3 2t Gọi I tâm mặt cầu I(2t;0;-3+2t) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi: d ( I ;( P)) 11 6t 3 2t 11 11 t 4t 22 4t 22 t 22 t 13 t I (9;0;6) Phương trình mặt cầu ( S ) : (x 9) y (z 6) 44 13 t ( I 13;0; 16) Phương trình ( S ) (x 13) y (z 16) 44 Câu 38 Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A( 1;1;1), B(5;1; 1), C (2;5;2), D(0; 3;1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm D, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).Viết phương trình mp tiếp diện với mặt cầu (S) song song với mp(ABC) Ta có AB (6; 0; 2) , AC (3; 4;1) vtpt mp(ABC): n [AB, AC ] PTTQ mp(ABC): 8(x 8x 6 ; 3 ; 1) 12(y 1) 24(z 1) 12y 24z 2x 3y 6z (8; 12;24) - Mặt cầu (S ) có tâm D, tiếp xúc mp(ABC) Tâm mặt cầu: A(0; 3;1) Bán kính mặt cầu: R 2.0 d (D,(ABC )) 3.( 3) 6.1 2 14 ( 3) Phương trình mặt cầu (S ) : x (y 3) (z 1) Gọi (P) tiếp diện (S ) song song với mp(ABC) (P) có phương trình 2x 3y 6z Vì (P) tiếp xúc với (S ) nên d(I ,(P )) D (D 2.0 R 3.( 3) 2 15 D 14 15 D 15 D Vậy, phương trình mp(P) cần tìm là: 2x 14 14 3y 1) 6z D 6.1 ( 3) 2 D (loai) D 29(nhan) 29 Câu 39 Trong khơng gian với hệ tọa độ ÕOxyz , cho đường thẳng : x y 3 z6 1 1 hai mặt phẳng P : x y z , Q : x y z Viết phương trình mặt cầu S có tâm thuộc đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng P , Q Gọi I tâm mặt cầu S , I t;3 t; 6 t 5t 12 5t 5t 12 5t d I ;( P) , d I ;(Q ) , theo giả thiết 3 3 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 t 2 I 2;1; 4 , R Mặt cầu S : x y 1 z 2 Câu 40 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) , đường thẳng d: x 1 y z mặt phẳng ( P) : x y z Tìm tọa độ giao điểm d với 1 2 (P) viết phương trình mặt cầu (S) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) x 1 2t d có phương trình tham số y t z 2t Gọi B d (P) , B d nên B(1 2t ;4 t ;2t ) Do B (P ) nên 2(1 2t ) 2(4 t ) 2t t B(7;0;8) Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I (1 2a;4 a;2a) Theo (S) có bán kính R IA d ( I , ( P )) (2 2a) (a 1) (2 2a) 2(1 2a) 2(4 a) 2a 22 22 12 4a 16 35 9(9a 2a 9) (4a 16) 65a 110a 175 a 1; a 13 2 +) Với a I (1;3;2), R ( S ) : ( x 1) ( y 3) ( z 2) 16 9a 2a 2 83 87 70 13456 35 83 87 70 116 (S ) : x y z +) Với a I ; ; ; R 13 13 13 169 13 13 13 13 13 Câu 41 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mp(P): x + y + z – = hai đường thẳng d1 : x 1 y z 1 ; 1 d2 : x y 1 z 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d1, tiếp xúc với d2 cắt mp(P) theoo đường tròn có bán kính r = ,biết tâm mặt cầu có cao độ dương d2 qua A(2;1;-1) có vtcp ud 1;2;5 I d1 I 1 2t ; 2 t ;1 t AI 2t 3; t 3; t , AI , ud 7t 19; 11t 17;3t 3 d I ,d AI , ud 179t 658t 659 30 ud 179t 658t 659 R(1) 30 d2 tiếp xúc với (S) nên d I ,d R d I , P 2t Ta có: R d 2 I ,P 2t 4t 20t 34 4t 20t 34 r R R R (2) 3 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 t 179t 658t 659 4t 20t 34 139t 458t 319 319 Từ (1) (2), ta có: t 30 139 599 41 180 Suy ra: I(1;-1;0) (nhận) I ; ; (loại zI > 0) 139 139 139 2 Với I(1;-1;0) R S : x 1 y 1 z Kết luận: phương trình mặt cầu cần tìm S : x 12 y 12 z Câu 42 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) mặt phẳng P : x – y z Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) tìm tọa độ giao điểm mặt cầu với trục Ox +) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R d ( A, ( P)) 1 2 1 2 2 +) Phương trình mặt cầu là: (x – 2) + (y – 1) + (z – 1) = +) Tọa độ giao điểm mặt cầu trục Ox nghiệm hệ pt: 2 ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 1) x y x z +) Các giao điểm: M (2 2;0;0), N (2 2;0;0) Câu 43 Trong khơng gian với hệ trục 0xyz, cho hai điểm A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) mặt phẳng (P): x + y + z + = Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng AB, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) + Gọi H hình chiếu vng góc A lên (P), AH x 1; y 2; z 3 x t AH có ptts : y 2 t z t + H AH nên H 1 t; 2 t ;3 t Mặt khác: H∈ (P) nên suy ra: t t t t 2 Vậy H(-1;-4;1) x 2t + Đường thẳng AB có ptts : y 2 2t z 2t +Gọi I tâm mặt cầu (S): I AB I(1 2t ; 2 2t ;3 2t ) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) có bán kính R=1 nên : d(I,(P))=1 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian t 2t t FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3 Vậy có hai phương trình mặt cấu cần tìm : x 5 y 4 z 3 2 1 x y z Câu 44 Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1;1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) A'(2; 2; 1) Tìm tọa độ đỉnh B', C' viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, A' - Do ABC.A'B'C' hình lăng trụ nên BB ' AA ' B ' 2;3;1 Tương tự: CC ' AA ' C ' 2; 2; 2 - Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng x y z 2ax 2by 2cz d 0, a b c d Do A, B, C A' thuộc mặt cầu (S) nên: 2a 2b 2c d 2a 4b 2c d 2a 2b 4c d 4a 4b 2c d 3 a b c 6 d 9 6 - Do phương trình mặt cầu (S): x y z 3x y 3z Câu 45 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;3;-2), C(6;-4;-1) Chứng minh A, B,C ba đỉnh tam giác vng viết phương trình mặt cầu tâm A qua trọng tâm G tam giác ABC Ta có: AB(2; 2;1); AC (4; 5; 2) AB; AC khơng phương A; B; C lập 5 thành tam giác Mặt khác: AB.AC 2.4 2.(5) 1.2 AB AC suy ba điểm A; B; C ba đỉnh tam giác vng Vì G trọng tâm tam giác ABC nên G(4;0; -2) Ta có: AG NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Mặt cầu cần tìm có tâm A bán kính AG nên có pt: ( x 2)2 ( y 1) ( z 3) Câu 46 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 0); B(1; 0; 2); C(2;0; 1), D(-1; 0; -3) Chứng minh A, B, C, D đỉnh hình chóp viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có AB (0; 1;2); AC (1; 1;1); AD (2; 1; 3) AB , AC 1; 2;1 ; AB , AC AD 7 Do AB , AC AD 7 , nên véc tơ AB , AC , AD khơng đồng phẳng suy A, B, C, D đỉnh hình chóp Gọi phương trình mặt cầu có dạng x y z 2ax 2by 2cz d ( với a b c d ) 2a 2b d 2 a c d 5 Do mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên ta có hệ a c d 5 2a 6c d 10 31 50 Giải hệ suy a ; b ; c ; d 14 14 14 31 50 Vậy phương trình mc là: x y z x y z 7 7 Câu 47 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0; , B 1;0;0 Viết phương trình mặt cầu đường kính AB tìm điểm M tia Oy cho MA MB 13 + Gọi S mặt cầu có đường kính AB I trung điểm AB Ta có I 1;0;2 , AB Khi mặt cầu S có tâm I có bán kính R x 1 AB 2 nên có phương trình y z 2 + M Oy M 0; t;0 MA MB 13 3 t 2 42 12 t 02 13 25 t 13 1 t t 1 Với t M 0;1;0 t 1 M 0; 1;0 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ PP tọa độ khơng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 48 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 2z hai điểm A 2; 0; , B 3; 1;2 Viết phương trình mặt cầu S tâm I thuộc mặt phẳng P qua điểm A, B điểm gốc toạ độ O Giả sử I x , y, z Ta có I P x y 2z 1 x y 2z 2 Do A, B,O S IA IB IO Suy x x y 2z x Từ (1) (2) ta có hệ x y 2z y 2 I 1; 2;1 x z Bán kính mặt cầu (S) R IA Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x 1 y z 1 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
Ngày đăng: 04/09/2016, 18:00
Xem thêm: NỘI DUNG ôn tọa độ KHÔNG GIAN OXYZ , NỘI DUNG ôn tọa độ KHÔNG GIAN OXYZ
