Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ễN TP: KIN THC C BN HèNH HC LP 10 11 - 12 Chuyờn : Hỡnh hc khụng gian ễN TP KIN THC C BN HèNH HC LP 9-10 H thc lng tam giỏc vuụng : Cho ABC vuụng A ta cú : a) nh lý Pitago : BC AB AC A b) BA BH BC ; CA CH CB b c) AB AC = BC AH c d) 1 2 AH AB AC B e) BC = 2AM b c b c f) sin B , cosB , tan B , cot B a a c b g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = M H C a b b , sin B cos C b = c tanB = c.cot C H thc lng tam giỏc thng: * nh lý Cụsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c * nh lý Sin: 2R sin A sin B sin C Cỏc cụng thc tớnh din tớch a/ Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc: S a.b.c p.r a.ha = a.b sin C 4R p.( p a )( p b)( p c ) vi p c bit :* ABC vuụng A : S AB AC ,* ABC u cnh a: S abc a2 b/ Din tớch hỡnh vuụng : S = cnh x cnh c/ Din tớch hỡnh ch nht : S = di x rng d/ Din tớch hỡnh thoi : S = (chộo di x chộo ngn) 2 d/ Din tớch hỡnh thang : S (ỏy ln + ỏy nh) x chiu cao e/ Din tớch hỡnh bỡnh hnh : S = ỏy x chiu cao f/ Din tớch hỡnh trũn : S R NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cỏc h thc quan trng tam giỏc u: ễN TP KIN THC C BN HèNH HC LP 11 A QUAN H SONG SONG Đ1 NG THNG V MT PHNG SONG SONG I nh ngha: ng thng v mt phng gi l song song vi nu chỳng khụng cú im no chung II.Cỏc nh lý: L1:Nu ng thng d khụng nm trờn mp(P) v song song vi ng thng a nm trờn mp(P) thỡ ng thng d song song vi mp(P) L2: Nu ng thng a song song vi mp(P) thỡ mi mp(Q) cha a m ct mp(P) thỡ ct theo giao tuyn song song vi a L3: Nu hai mt phng ct cựng song song vi mt ng thng thỡ giao tuyn ca chỳng song song vi ng thng ú a a / /(P) a (P) (P) d d (P) d / / a d / /(P) a (P) a (P) a / /(P) d / /a a (Q) (P) (Q) d (Q) a d (P) (P) (Q) d d / /a (P) / /a (Q) / /a NGUYN VN LC 0933.168.309 d a Q P SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đ2.HAI MT PHNG SONG SONG I nh ngha: Hai mt phng c gi l song song vi nu chỳng khụng cú im no chung II.Cỏc nh lý: L1: Nu mp(P) cha hai ng thng a, b ct v cựng song song vi mt phng (Q) thỡ (P) v (Q) song song vi L2: Nu mt ng thng nm mt hai mt phng song song thỡ song song vi mt phng L3: Nu hai mt phng (P) v (Q) song song thỡ mi mt phng (R) ó ct (P) thỡ phi ct (Q) v cỏc giao tuyn ca chỳng song song (P) / /(Q) (P) (Q) P Q a,b (P) (P) / /(Q) a b I a / /(Q),b / /(Q) (P) / /(Q) a / /(Q) a (P) a P b I Q a P Q R (P) / /(Q) (R) (P) a a / / b (R) (Q) b a P b Q B QUAN H VUễNG GểC Đ1.NG THNG VUễNG GểC VI MT PHNG I.nh ngha: Mt ng thng c gi l vuụng gúc vi mt mt phng nu nú vuụng gúc vi mi ng thng nm trờn mt phng ú II Cỏc nh lý: L1: Nu ng thng d vuụng gúc vi hai ng thng ct a v b cựng nm mp(P) thỡ ng thng d vuụng gúc vi mp(P) a mp(P) a c, c (P) a P d a ,d b a ,b mp(P) d mp(P) a,b caột NGUYN VN LC 0933.168.309 c d b P a SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian L2: (Ba ng vuụng gúc) Cho ng thng a khụng vuụng gúc vi mp(P) v ng thng b nm (P) Khi ú, iu kin cn v b vuụng gúc vi a l b vuụng gúc vi hỡnh chiu a ca a trờn (P) FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a a mp(P), b mp(P) b a b a' b a' P Đ2.HAI MT PHNG VUễNG GểC I.nh ngha: Hai mt phng c gi l vuụng gúc vi nu gúc gia chỳng bng 900 II Cỏc nh lý: L1:Nu mt mt phng cha mt ng thng vuụng gúc vi a mp(P) mt mt phng khỏc thỡ hai mt a mp(Q) mp(Q) mp(P) phng ú vuụng gúc vi L2:Nu hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc vi thỡ bt c ng thng a no nm (P), vuụng gúc vi giao tuyn ca (P) v (Q) u vuụng gúc vi mt phng (Q) L3: Nu hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc vi v A l mt im (P) thỡ ng thng a i qua im A v vuụng gúc vi (Q) s nm (P) L4: Nu hai mt phng ct v cựng vuụng gúc vi mt phng th ba thỡ giao tuyn ca chỳng vuụng gúc vi mt phng th ba (P) (Q) (P) (Q) d a (Q) a (P),a d Q a P P a Q d P (P) (Q) A (P) a (P) A a a (Q) (P) (Q) a a (R) (P) (R) (Q) (R) NGUYN VN LC 0933.168.309 a A Q P Q a R SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đ3.KHONG CCH Khong cỏch t im ti ng thng , n mt phng: Khong cỏch t im M n ng thng a (hoc n mt phng (P)) l khong cỏch gia hai im M v H, ú H l hỡnh chiu ca im M trờn ng thng a ( hoc trờn mp(P)) O O H a P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khong cỏch gia ng thng v mt phng song song: Khong cỏch gia ng thng a v mp(P) song song vi a l khong cỏch t mt im no ú ca a n mp(P) d(a;(P)) = d(O; (P)) = OH Khong cỏch gia hai mt phng song song: l khong cỏch t mt im bt k trờn mt phng ny n mt phng d((P);(Q)) = d(O; (P)) = OH 4.Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau: l di on vuụng gúc chung ca hai ng thng ú a O H P O P Q H A a b B d(a;b) = AB Đ4.GểC Gúc gia hai ng thng a v b l gúc gia hai ng thng a v b cựng i qua mt im v ln lt cựng phng vi a v b Gúc gia ng thng a khụng vuụng gúc vi mt phng (P) l gúc gia a v hỡnh chiu a ca nú trờn mp(P) c bit: Nu a vuụng gúc vi mt phng (P) thỡ ta núi rng gúc gia ng thng a v mp(P) l 900 NGUYN VN LC 0933.168.309 a a' b' b a P a' SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Gúc gia hai mt phng l gúc gia hai ng thng ln lt vuụng gúc vi hai mt phng ú Hoc l gúc gia ng thng nm mt phng cựng vuụng gúc vi giao tuyn ti im Din tớch hỡnh chiu: Gi S l din tớch ca a giỏc (H) mp(P) v S l din tớch hỡnh chiu (H) ca (H) trờn mp(P) thỡ S' Scos ú l gúc gia hai mt phng (P),(P) b a a b Q P Q P S C A B ễN TP KIN THC C BN HèNH HC LP 12 A TH TCH KHI A DIN I/ Cỏc cụng thc th tớch ca a din: TH TCH KHI LNG TR: V= B.h h vi B: din tớch ỏy h: chiu cao a) Th tớch hp ch nht: V = a.b.c vi a,b,c l ba kớch thc B a b) Th tớch lp phng: V = a3 vi a l di cnh TH TCH KHI CHểP: c a b a a V= Bh vi B: din tớch ỏy h: chiu cao T S TH TCH T DIN: Cho t din SABC v A, B, C l cỏc im tựy ý ln lt thuc SA, SB, SC ta cú: VSABC SA SB SC VSA ' B' C ' SA ' SB' SC' NGUYN VN LC 0933.168.309 h B S C' A' A B' C B SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 TH TCH KHI CHểP CT: h V B B' BB' B, B' : dieọn tớch hai ủaựy vi h : chieu cao Chỳ ý: 1/ ng chộo ca hỡnh vuụng cnh a l d = a , ng chộo ca hỡnh lp phng cnh a l d = a , ng chộo ca hỡnh hp ch nht cú kớch thc a, b, c l d = a b2 c , A' B' C' A B C 2/ ng cao ca tam giỏc u cnh a l h = a 3/ Hỡnh chúp u l hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u v cỏc cnh bờn u bng ( hoc cú ỏy l a giỏc u, hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ca ỏy) 4/ Lng tr u l lng tr ng cú ỏy l a giỏc u NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I TH TCH LNG TR Chuyờn : Hỡnh hc khụng gian 1) Dng 1: Khi lng tr ng cú chiu cao hay cnh ỏy Vớ d 1: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A cú cnh BC = a v bit A'B = 3a Tớnh th tớch lng tr Li gii: Ta cú ABC vuụng cõn ti A nờn AB = AC = a ABC A'B'C' l lng tr ng AA' AB AA'B AA'2 A'B2 AB2 8a2 AA' 2a Vy V = B.h = SABC AA' = a3 C' A' B' 3a C a A a B Vớ d 2: Cho lng tr t giỏc u ABCD.ABCD' cú cnh bờn bng 4a v ng chộo 5a Tớnh th tớch lng tr ny C' D' A' B' 4a 5a C D A B Li gii: ABCD A'B'C'D' l lng tr ng nờn BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3a 3a ABCD l hỡnh vuụng AB 2 9a Suy B = SABCD = Vy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Vớ d 3: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc u cnh a = v bit din tớch tam giỏc ABC bng Tớnh th tớch lng tr NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Li gii: Gi I l trung im BC Ta cú ABC u nờn C' A' B' AI A AB & AI BC A 'I BC(dl3 ) 2S SA'BC BC.A 'I A 'I A'BC BC AA ' (ABC) AA ' AI C I B A 'AI AA ' A 'I2 AI2 Vy : VABC.ABC = SABC AA'= Vớ d 5: Cho hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh thoi cnh a v cú gúc nhn bng 600 ng chộo ln ca ỏy bng ng chộo nh ca lng tr Tớnh th tớch hỡnh hp C' D' Li gii: Ta cú tam giỏc ABD u nờn : BD = a v SABCD = 2SABD = B' A' C D A B 60 a2 a a DD'B DD' BD'2 BD2 a a3 Vy V = SABCD.DD' = Theo bi BD' = AC = 2) Dng 2: Lng tr ng cú gúc gia ng thng v mt phng Vớ d 1: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi BA = BC = a ,bit A'B hp vi ỏy ABC mt gúc 60 Tớnh th tớch lng tr C' A' B' C A 60o B Li gii: Ta cú A 'A (ABC) A 'A AB& AB l hỡnh chiu ca A'B trờn ỏy ABC Vy gúc[A'B,(ABC)] ABA' 60o ABA' AA' AB.tan 600 a a2 SABC = BA.BC 2 a3 Vy V = SABC.AA' = NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Vớ d 2: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A vi AC = a , ACB = 60 o bit BC' hp vi (AA'C'C) mt gúc 300 Tớnh AC' v th tớch lng tr A' Li gii: C' ABC AB AC.tan60o a Ta cú: AB AC;AB AA' AB (AA'C'C) B' 30 A nờn AC' l hỡnh chiu ca BC' trờn (AA'C'C) Vy gúc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o AB AC'B AC' 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' o C a o 60 AA'C' AA' AC'2 A'C'2 2a ABC l na tam giỏc u nờn SABC B a2 Vy V = a3 Vớ d 3: Cho lng tr ng ABCD A'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a v ng chộo BD' ca lng tr hp vi ỏy ABCD mt gúc 300 Tớnh th tớch v tng diờn tớch ca cỏc mt bờn ca lng tr Li gii: Ta cú ABCD A'B'C'D' l lng tr ng nờn ta cú: DD' (ABCD) DD' BD v BD l hỡnh chiu ca BD' trờn ABCD Vy gúc [BD';(ABCD)] = DBD' 300 a BDD' DD' BD.tan 300 3 a 4a Vy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 3 B' C' A' D' o 30 C D B A a Vớ d 4: Cho hỡnh hp ng ABCD A'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a v BAD = 60o bit AB' hp vi ỏy (ABCD) mt gúc 30 o Tớnh th tớch ca hỡnh hp ABD u cnh a SABD A' D' 60 C B o 30 A Li gii: C' B' o D a NGUYN VN LC 0933.168.309 a2 a2 ABB' vuụng tiB BB' ABt an30o a 3a3 V B.h S BB' Vy ABCD SABCD 2SABD SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Gi O AC BD , H l trung im ca AB, suy SH AB Do AB ( SAB ) ABCD ) v ( SAB ) ( ABCD ) nờn SH ( ABCD ) +) Ta cú OA AC 2a BD 4a a , OB 2a 2 2 AB OA OB a 4a a AB a 15 2 1 AC BD 2a.4a 4a 2 +) SH S ABCD Th tớch chúp S ABCD 1 a 15 2a 15 V SH S ABCD 4a 3 l : Ta cú BC // AD nờn AD //(SBC) d ( AD , SC ) d ( AD , ( SBC )) d ( A, ( SBC )) Do H l trung im ca AB v B = AH (SBC ) nờn d ( A, ( SBC )) 2d ( H , ( SBC )) K HE BC , H BC , SH BC nờn BC (SHE ) K HK SE , K SE , ta cú BC HK HK ( SBC ) HK d ( H , ( SBC )) HE 2S BCH S ABC S ABCD 4a 2a BC BC AB 2a 5 1 91 2a 15 2a 1365 HK 2 2 HK HE SH 4a 15a 60a 91 91 Vy d ( AD, SC ) HK 4a 1365 91 Cõu Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SA a, SA (ABCD) Gi M l trung im ca SA Mt phng (BCM) ct SD ti N Tớnh th tớch chúp S.BCMN v khong cỏch gia SB v AC NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 // AD nờn mp ny ct mp (SAD) theo giao // AD Do (BCM) tuyn MN BC AB BC BM BC SA Ta cú T giỏc BCMN l hỡnh thang vuụng cú BM l a a MN ; BM 2 a a a 3a Din tớch hỡnh thang BCMN l S BCMN Dng SK BM , BC ( SAB) BC SK SK ( BCMN ) ng cao, Cú SK d A, BM a 3a a a3 Vy VS BCMN 8 Trong mt phng (ABCD) dng qua B song song vi AC t (P) = ( , SB) Khi ú, AC // (P) v d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)) T A h AI ti I; T A h AH SI ti H suy AH = d(A; (P)) Ta cú AI a AH a Cõu Cho chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, bit AB=2a , AD= a a Trờn cnh AB ly im M cho AM , cnh AC ct MD ti H Bit SH vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SH = a Tớnh th tớch chúp S HCD v tớnh khong cỏch gia hai ng thng SD v AC theo a * Tớnh th tớch chúp S.HCD: AM AD nờn ng dng, AD DC Suy ADH DCH , m ADH HDC 90 DHC 90 Hai tam giỏc vuụng AMD v DAC cú ADC vuụng ti D: AC2 AD2 DC2 AC a H thc lng ADC: DH.AC = DA.DC NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian Suy ra: DH FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 DC.DA 2a AC DHC vuụng ti H: HC DC2 DH 4a 4a Do ú din tớch HCD: SHCD DH.HC 4a Th tớch chúp SHCD: VS.HCD SH.SHCD 15 Tớnh khong cỏch gia SD v AC: Dng HE SD Ta cú SH (ABCD) nờn SH AC v DH AC , ú AC (SHD) M HE (SHD) nờn HE AC T ú HE l on vuụng gúc chung ca SD v AC nờn HE d SD; AC SHD vuụng ti H nờn: HE SH2 HE HD2 2a Vy d SD; AC HE 2a Cõu 10 Cho hin h chop S.ABCD co ay ABCD la hin h thang vi ay ln la AD; cỏc ng thng SA, AC va CD ụi mụ t vuụng goc vi nhau; AC CD a va AD BC Tớnh th tớch cua khụ i chop S.ABCD va khoang cach gia hai ng th ng SB va CD Ta co: SA AC va SA CD SA (ABCD) ACD vuụng cõn ta i C AD = 2a BC = a Go i I la trung iờ m AD AI = BC, AI // BC va CI AD ABCI la hin h vuụng S K D I A H B C AB AD 2 Do o SABCD = (AD BC).AB 3a Võ y VSABCD = SABCD SA 3a a a 2 3 2 Ta co CD // BI CD // (SBI) d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI)) Go i H = AC BI va AK SH ti K Ta co AK (SBI) d(A, (SBI)) = AK Ta co AK SA AH2 2a2 2a2 2a2 AK = a 10 a 10 Vi H la trung iờ m AC nờn d(C; (SBI)) = d(A; (SBI)) = NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th d(A; (SBI)) = AK = Hỡnh hc khụng gian a 10 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Võ y d(CD, SB) = a 10 Cõu 11 Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a , tõm O v SO vuụng gúc vi mt phng ABCD Trờn cnh SA ly im M cho MA = 2MS Gi N l trung im ca CD , SNO 600 Tớnh th tớch chúp S ABCD theo a v cosin gúc gia MN vi mt phng (ABCD ) a Xet SON vuụng ta i O, coON , SNO 600 S SO ON tan 600 M a Din tic h hin h vuụng ABCD la SABCD a a3 SO.SABCD SO (H BD ) MH (ABCD ) VS ABCD A D Ke MH Khi o, ta co hinh chiờ u vuụng gúc cua MN trờn C B (ABCD) la HN suy goc gia MN va (ABCD) l MNH H N O 2 Vi MH SO, MA 2MS BH 2HO nờn ta co HD BD a 3 Xet HND , ta co HN HD DN 2HD.DN cos 450 Xet MHN vuụng ta i H, ta co tan 17 a 17 a HN 16 MH 51 cos HN 17 17 29 Cõu 12 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht Tam giỏc SAB u v nm mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy (ABCD) Bit SD 2a v gúc to bi ng thng SC vi mt phng (ABCD) bng 300 Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t im B n mt phng (SAC) Gi H l trung im ca AB Suy SH ( ABCD ) S K A D I SH SC.sin SCH SC.sin 300 a H B v SCH 300 Ta cú: SHC SHD SC SD 2a Xột tam giỏc SHC vuụng ti H ta cú: C NGUYN VN LC 0933.168.309 HC SC.cos SCH SC.cos 300 3a SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Vỡ tam giỏc SAB u m SH a nờn AB 2a Suy BC HC BH 2a Do ú, S ABCD AB.BC 4a 2 4a Vy, VS ABCD S ABCD SH 3 Vỡ BA 2HA nờn d B, SAC 2d H , SAC Gi I l hỡnh chiu ca H lờn AC v K l hỡnh chiu ca H lờn SI Ta cú: AC HI v AC SH nờn AC SHI AC HK M, ta li cú: HK SI Do ú: HK SAC Vỡ hai tam giỏc SIA v SBC ng dng nờn Suy ra, HK HS HI HS HI 2 HI AH AH BC a HI BC AC AC a 66 11 Vy , d B, SAC 2d H , SAC 2HK 2a 66 11 Cõu 13 Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, mt bờn SAD l tam a Tớnh th tớch chúp S ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AD, SB theo a giỏc u nm mt phng vuụng gúc vi ỏy, SC S D C H A B Gi H l chõn ng cao h t S ca tam giỏc u SAD Suy ra: SH a v SH ABCD a 2 a 3a a2 2 DH DC CH HDC 600 cos HDC a DH DC 2 .a Trong tam giỏc vuụng HSC cú HC NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a2 2 1a a 3 VS ABCD SH S ABCD a 3 2 Ta cú ADC u cnh a CH AD CH BC hay BC SHC BC SC CSB vuụng ti C Suy S ABCD DA.DC.sin ADC a3 a3 Li cú VD.SBC VS BCD VS ABCD a3 3a3 d D; SBC SSBC d D; SBC 8.SSBC 3a3 a a CS CB .a 2 a Vy d AD; SB d D; SBC d D; SBC 3a3 Cõu 14 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, cnh AB 2a Hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn mt phng (ABCD) trựng vi trng tõm G ca tam giỏc ABC, gúc gia SA v mt phng ( ABCD ) bng 30 Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v cosin ca gúc gia ng thng AC v mt phng (SAB) S H K A I B G O M D C Gi M l trung im BC, O l giao im ca AC v BD Ta cú AM AB BM a AG gia SA v tan SAG tan 300 mt ỏy l 2 5a Vỡ SG vuụng gúc vi mt ỏy, nờn gúc AM 3 SAG 300 Xột tam giỏc vuụng SGA, ta cú SG 5a SG AG 3 1 5a 15a3 4a S ABCD 4a Suy VS ABCD SG.S ABCD (vtt) 3 3 27 NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 H GI vuụng gúc vi AB, I thuc AB Ni S vi I, h GK vuụng gúc vi SI, K thuc SI Khi ú K l hỡnh chiu vuụng gúc ca G trờn (SAB) Ta cú GI MB GK GS GI GS GI 2 2a , ú 10a Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O lờn (SAB), ta cú OH GK 10a Khi ú AH l hỡnh chiu ca AO lờn (SAB) suy gúc gia AC v (SAB) l OAH Xột tam giỏc vuụng OHA, ta cú sin OAH OH 10a 11 cos OAH OA 2.a 4 Cõu 15 Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SD 3a Hỡnh chiu vuụng gúc H ca nh S lờn mt phng (ABCD) l trung im ca on AB Gi K l trung im ca on AD Tớnh theo a th tớch chúp S ABCD v khong cỏch gia hai ng thng HK v SD S F C B H E O A K D T gi thit ta cú SH l ng cao ca hỡnh chúp S.ABCD v 3a a ) ( ) a2 a 2 1 a3 Din tớch ca hỡnh vuụng ABCD l a , VS ABCD SH S ABCD a.a 3 T gi thit ta cú HK / / BD HK / /( SBD) SH SD HD SD ( AH AD ) ( Do vy: d ( HK , SD ) d ( H ,( SBD )) (1) Gi E l hỡnh chiu vuụng gúc ca H lờn BD, F l hỡnh chiu vuụng gúc ca H lờn SE Ta cú BD SH , BD HE BD ( SHE ) BD HF m HF SE nờn suy HF ( SBD) HF d ( H , ( SBD)) (2) NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a +) HE HB.sin HBE sin 450 a +) Xột tam giỏc vuụng SHE cú: a a (3) a 2 ( ) a2 a +) T (1), (2), (3) ta cú d ( HK , SD ) a SH HE HF SE SH HE HF SE Cõu 16 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi I l trung im AB, H l giao im ca BD vi IC Cỏc mt phng (SBD) v (SIC) cựng vuụng gúc vi ỏy Gúc gia (SAB) v (ABCD) bng 60 Tớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng SA v IC S Ta cú VS.ABCD SH.SABCD , ú SABCD a Do (SIC),(SBD) cựng vuụng vi ỏy suy SH (ABCD) F A D K P C M I H Dng HE AB SHE AB , suy SEH l gúc gia (SAB) v (ABCD) SEH 600 Ta cú SH HE.tan 600 3HE HE HI a HE CB IC 3 E B SH a 3 a 3a a 3 Suy VS.ABCD SH.SABCD Gi P l trung im ca CD, suy AP song song viCI d SA, CI d CI, SAP d H, SAP Dng HK AP , suy SHK SAP Dng HF SK HF SPA d H, SPA HF 1 (1) 2 HF HK HS2 1 1 Dng DM AP , ta thy DM HK 2 HK DM DP DA a 1 1 HF Thay vo (1) ta cú 2 HF DP DA HS a a a a 2 a Vy d SA, CI 2 Do SHK vuụng ti H NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cõu 17 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc vi mt ỏy (ABCD), ỏy ABCD l hỡnh ch nht cú AD = 3a, AC = 5a, gúc gia hai mt phng (SCD) v (ABCD) bng 450 Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v tớnh gúc gia ng thng SD v mt phng (SBC) - Tớnh th tớch +) Ta cú: AB AC BC 4a S K +) M SCD , ABCD SDA 450 H nờn SA = AD = 3a A Do ú: VS ABCD D SA.S ABCD 12a (vtt) B C - Tớnh gúc +) Dng im K cho SK AD Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn CK, ú: DK SBC Do ú: SD, SBC DSH +) Mt khỏc DH DC.DK 12a , SD SA2 AD 3a KC SH SD DH 3a 34 Do ú: SD, SBC DSH arccos SH 17 arccos 340 27 ' SD Cõu 18 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O, hai ng chộo AC 3a, BD 2a , BD = 2a; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Bit gúc gia ng thng SB v mt phng (SAC) bng 30 Tớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia ng thng SB v AC Tớnh VS ABCD v d(SB , AC) NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cm c gúc gia SB v mp (SAC) l gúc BSO 300 1 VS ABCD S ABCD SO AC.BD.SO 2a 3 V OH vuụng gúc SB Chng minh c d(SB , AC) = OH (ng vuụng gúc chung) Tớnh c: d(SB , AC) = OH a Cõu 19 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, ABC 60 Cnh bờn SA vuụng gúc vi mt ỏy v cnh bờn SC to vi mt ỏy mt gúc 600 Gi I l trung im BC, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn SI a) Tớnh th tớch chúp S.ABCD b) Tớnh khong cỏch t im H n mt phng (SCD) theo a S a) Do ABC =600 nờn tam giỏc ABC u, suy SABCD a v AC a Mt khỏc SA ( ABCD) SCA 60 K H A D E B C I a3 SA AC.tan 600 a VS.ABCD SA.SABCD 2 HS HS.IS AS AS b)Ta cú 2 IS IS IS IA AS 2 d H, SCD d I, SCD d B, SCD d A, SCD 5 ( vỡ I l trung im BC v AB//(SCD)) Gi E l trung im CD, K l hỡnh chiu ca A lờn SE, ta cú AE DC DC (SAE) AK (SCD) Suy d H, SCD d A, SCD AK 5 SA.AE 2a 15 SA AE 25 Cõu 20 Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht Bit SA ( ABCD ) , SC hp vi mt phng ( ABCD ) mt gúc vi tan , AB 3a v ca chúp y x -8 -6 -4 -2 -5 y x -8 -6 -4 -2 -5 Tớnh th tớch v khong cỏch t im D n mt phng (SBC ) NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 S H A D 3a B C 4a Xỏc nh ỳng gúc SCA 3 Th tớch VSABCD S ABCD SA 3a.4a .5a 16a Khong cỏch t im D n mt phng (SBC) Xỏc nh dc khong cỏch d D, (SBC d A, (SBC AH Tớnh ỳng d D, ( SBC ) AH 12a Vy : D(0; 0; 0) v D( 6; 0; ) Hỡnh lng tr ng Cõu Cho hỡnh lng tr ABC A ' B ' C ' , ABC u cú cnh bng a , AA ' a v nh A ' cỏch u A, B, C Gi M , N ln lt l trung im ca cnh BC v A ' B Tớnh theo a th tớch lng tr ABC A ' B ' C ' v khong cỏch t C n mt phng ( AMN ) Gi O l tõm tam giỏc u ABC AO (ABC) a a , AO AM 3 a2 a a2 A ' O AA '2 AO a ; SABC 3 Ta cú AM Th tớch lng tr ABC A ' B ' C ' : V SABC A ' O NGUYN VN LC 0933.168.309 a2 a a2 4 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ta cú VNAMC SAMC d N ,( ABC ) d C ,( AMN ) 3VNAMC SAMC a2 a S AMC S ABC ; d N ,( ABC ) A ' O 2 1a a a Suy ra: VNAMC 48 a li cú : AM AN , nờn AMN cõn ti A Gi E l trung im AM suy AE MN , MN A 'C a 2 3a a a 11 a 11 ; S AMN MN AE 16 16 3a a 11 a 22 (vd) d C ,( AMN ) : 48 16 11 AE AN NE Cõu Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn mt phng (ABC) trựng vi tõm O ca tam giỏc ABC Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC bit khong cỏch gia AA v BC l Gi M l trung im a BC ta thy: AM BC BC ( A' AM ) A' O BC K MH AA' , (do A nhn nờn H thuc on AA.) Do BC ( A' AM ) HM BC Vy HM l an vuụng HM ( A' AM ) gúc chung ca NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 AAv BC, ú d ( AA' , BC) HM a Xột tam giỏc ng dng AAO v AMH, ta cú: A' O HM AO AH AO.HM a a a AH 3a 1aa a3 Th tớch lng tr: V A' O.S ABC A' O.AM.BC a 23 12 suy A' O Cõu Cho hỡnh lng tr ng ABCD.A ' B'C' D ' cú ỏy l hỡnh thoi cnh a, BAD 120o v AC' a Tớnh th tớch lng tr ABCD.A ' B'C' D ' v khong cỏch gia hai ng thng AB' v BD theo a A' Gi O l tõm hỡnh thoi ABCD Do hỡnh thoi ABCD cú BAD 120o ABC, ACD u AC a Ta cú: SABCD 2SABC D' C' B' A a2 D H 120o O B C M ABCD.A ' B'C' D ' l lng tr ng ACC ' vuụng ti C CC' AC'2 AC2 5a2 a2 2a a2 a3 Vy VABCD.A'B'C'D' CC'.SABCD 2a T giỏc AB'C' D l hỡnh bỡnh hnh AB' // C' D AB' // (BC ' D) d(AB',BD) d(AB',(BC' D)) d(A,(BC' D)) d(C,(BC ' D)) Vỡ BD AC,BD CC' BD (OCC') (BC' D) (OCC') Trong (OCC'), k CH OC' (H OC') CH (BC' D) d(C,(BC' D)) CH OCC' vuụng ti C Vy d(AB',BD) 2a 1 2a CH 2 CH CO CC' a 4a 17 17 Cõu Cho lng tr ng ABC A ' B ' C ' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A , AB a, ABC 600 Gúc gia ng thng A ' C v mt phng ( ABC ) bng 450 Tớnh th tớch ca lng tr theo a v cosin ca gúc gia ng thng AB ' v mt phng ( A ' BC ) NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Theo gi thit, ta cú A' C' AB BC.cos ABC BC a 2a AC 3a Gúc gia cos 600 A ' C v (ABC) l A ' CA 450 AA ' AC 3a B' I K A C 3a Vy th tớch lng tr l V AA ' AB AC 2 H B Gi I l tõm hỡnh ch nht ABBA, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BC, K l hỡnh BC AH chiu vuụng gúc ca A trờn AH Ta cú BC AK Do ú BC A ' A AK ( A ' BC ) Vy IK l hỡnh chiu ca IA lờn ( A ' BC ) , hay gúc gia AB v mt phng ( A ' BC ) l AIK D thy AB ' AA '2 A ' B '2 2a IA a ng dng h thc tam giỏc vuụng, ta cú 1 1 1 3a Suy AK 2 2 2 AK AA ' AH AA ' AB AC 3a Xột tam giỏc vuụng AKI ta cú sin AIK AK cos AIK AI 5 Cõu Cho lng tr tam giỏc ABC.A1B1C1 cú tt c cỏc cnh bng a , gúc to bi cnh bờn v mt phng ỏy bng 300 Hỡnh chiu H ca im A trờn mt phng (A1B1C1) thuc ng thng B1C1 Tớnh th tớch lng tr ABC.A1B1C1 v tớnh khong cỏch gia hai ng thng AA1 v B1C1 theo a Do AH ( A1 B1C1 ) nờn gúc AA1 H l gúc gia AA1 v (A1B1C1), theo gi thit thỡ gúc AA1 H bng 300 NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th Hỡnh hc khụng gian FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a Xột tam giỏc vuụng AHA1 cú AA1 = a, gúc AA1 H =300 AH VABCA1B1C1 AH S A1B1C a a a3 Xột tam giỏc vuụng AHA1 cú AA1 = a, gúc AA1 H =300 A1 H A1B1C1 l tam giỏc u cnh a, H thuc B1C1 v A1 H a Do tam giỏc a nờn A1H vuụng gúc vi B1C1 Mt khỏc AH B1C1 nờn B1C1 ( AA1 H ) K ng cao HK ca tam giỏc AA1H thỡ HK chớnh l khong cỏch gia AA1 v B1C1 Ta cú AA1.HK = A1H.AH HK A1 H AH a AA1 NGUYN VN LC 0933.168.309 SP Toỏn K35 - H Cn Th