HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG III VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Vectơ:  Vectơ đoạn thẳng có hướng đặc trưng bởi: phương, chiều độ lớn   Đường thẳng chứa vectơ a gọi giá vectơ a  Độ dài vectơ AB , kí hiệu AB  AB  BA  Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng    Hai vectơ a b gọi chúng có hướng độ dài, kí   hiệu a  b  Hai vectơ gọi đối chúng ngược hướng có độ dài, vectơ đối  vectơ a , kí hiệu - a Ta có:  AB  BA Quy tắc hình bình hành quy tắc ba điểm: Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành thì: AB  AD  AC Quy tắc ba điểm: cho ba điểm A, B, C ta có  AB  BC  AC  AB  AC  CB Các tính chất phép cộng vectơ:    Cho ba vectơ a, b , c bất kì, ta có:                 ab ba  (a  b )  c  a  (b  c )  a0  0a  a Phép nhân số với vectơ:    Đònh nghóa: Cho số k  vectơ a  Tích vectơ a với số k vectơ, kí    hiệu k a , hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài  k a    Tính chất: Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có:         k( a  b ) = ka  kb  (h + k) a   ka        h(k a ) = (hk) a 1 a = a , (-1) a = - a Một số tính chất thường gặp:   Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA  IB    Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC   Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có: MA  MB  2MI  Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có: MA  MB  MC  3MG      Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b ( b  ) phương có số k để   a = kb  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k khác để AB  k AC     Cho hai vectơ a b không phương Khi vectơ x phân tích   cách theo hai vectơ a b , nghóa có cặp số h, k    cho x   kb NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN I- ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TÓAN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: Cho đoạn thẳng AB không gian Nếu ta chọn điểm đầu A, điểm cuối B ta có vectơ, kí hiệu AB Đònh nghóa: Vectơ không gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ kí hiệu a, b, x, y ,… Các khái niệm có liên quan đến vectơ giá vectơ, độ dài vectơ, phương, hướng hai vectơ, vectơ – không, hai vectơ, … đònh nghóa tương tự mặt phẳng Phép cộng phép trừ vectơ không gian:  Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A AB, AD, AA’ có đường chéo AC’ Khi ta có quy tắc hình hộp là: AB  AD  AA'  AC ' B' C' A' D' B C A D Phép nhân vectơ với số:   Trong không gian, tích vectơ a với số k ≠ vectơ k a đònh nghóa tương tự mặt phẳng có tính chất giống tính chất xét mặt phẳng II- ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ: Khái niệm đồng phẳng ba vectơ không gian: Trường hợp đường thẳng OA, Trường hợp đường thẳng OA, OB, OB, OC không nằm mặt OC nằm mặt phẳng ta phẳng, ta nói ba vectơ a, b, c nói ba vectơ a, b, c đồng phẳng A không đồng phẳng a b O a O b c B C A B c C * Chú ý: Việc xác đònh đồng phẳng không đồng phẳng ba vectơ nói không phụ thuộc vào việc chọn điểm O NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đònh nghóa: Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng b a a  b O c c Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Đònh lí 1: Trong không gian cho hai vectơ a, b không phương vectơ c Khi ba vectơ a, b , c đồng phẳng có cặp số m, n cho c = ma  nb Ngòai cặp số m, n Đònh lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b , c Khi với vectơ x ta tìm ba số m, n, p cho x  ma  nb  pc Ngòai ba số m, n, p LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Đònh nghóa phép toán  Đònh nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng  Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý IA  IB  ; OA  OB  2OI Ta có: + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a  0)  ! k  R : b  ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có: MA  k MB; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 OM  OA  kOB 1 k SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a b không phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb  Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc Tích vô hướng hai vectơ  Góc hai vectơ không gian: AB  u, AC  v  (u, v )  BAC (00  BAC  1800 )  Tích vô hướng hai vectơ không gian: + Cho u, v  Khi đó: u.v  u v cos(u, v ) + Với u  v  Qui ước: u.v  + u  v  u.v  VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc phép toán vectơ hệ thức vectơ VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R: c  ma  nb a, b , c đồng phẳng  Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: x  ma  nb  pc VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng hai vectơ không gian NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I- TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: u Góc hai vectơ không gian:   Đònh nghóa: Trong không gian, cho u v hai vectơ khác vectơ - không Lấy điểm A bất A    kì, gọi B C hai điểm cho AB  u , AC  v Khi ta gọi góc BAC (00  C  1800) góc v   hai vectơ u v không gian, kí hiệu   ( u, v ) B C Tích vô hướng hai vectơ không gian: Đònh nghóa: Trong không gian cho hai vectơ u v khác vectơ - không Tích vô hướng hai vectơ u v số, kí hiệu u v , xác đònh công thức:      u.v  u v cos(u, v ) Trường hợp u = v = ta quy ước u v = II- VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG: Đònh nghóa: Vectơ a khác vectơ – không gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d a d Nhận xét:    Nếu a vectơ phương đường thẳng d vectơ ka với k  vectơ phương d  Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác đònh biết  điểm A thuộc d vectơ phương a  Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương III- GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Đònh nghóa: Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b b a b' O a' Nhận xét:  Để xác đònh góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11   Nếu u FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  vectơ phương đường thẳng a v vectơ phương   đường thẳng b (u , v ) =  góc hai đường thẳng a b  00    900 1800 -  900 <   1800  Nếu a b song song trùng góc chúng 0 V- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC: Đònh nghóa: Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 Người ta kí hiệu hai đường thẳng a b vuông góc với a  b Nhận xét:    Nếu u v vectơ phương hai đường thẳng a b thì:  a  b  u.v   Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với đường thẳng  Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Vectơ phương đường thẳng: a  VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng:  a//a, b//b   a, b    a ', b '   Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u, v )   Khi đó:  a, b    180     Nếu a//b a  b  a, b   00 00    1800 900    1800 Chú ý: 00   a, b   900 Hai đường thẳng vuông góc:  a  b   a, b   900  Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a  b  u.v   Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh góc hai đường thẳng 900 Chứng minh vectơ phương đường thẳng vuông góc với Sử dụng tính chất hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I- ĐỊNH NGHĨA: Đường thẳng d gọi vuông góc với mặt phẳng () d vuông góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng () Khi d vuông góc với () ta nói () vuông góc với d, d () vuông góc với Kí hiệu: d  () II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: Đònh lí: Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Hệ quả: Nếu đường thẳng vuông góc với hai cạnh tam giác vuông góc với cạnh thứ ba tam giác III- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Người ta gọi mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB vuông góc với đường thẳng AB mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB d O  M A B I  Tính chất 2: Có đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với mặt phẳ ng cho trước NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 O  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV- LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: a b Tính chất 1: a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với đường thẳng  b) Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với a Tính chất 2: a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  b) Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song với b Tính chất 3: a a) Cho đường thẳng a mặt phẳng () song song với Đường thẳng vuông góc với () vuông góc với a  b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vuông góc với đường thẳng khác chúng song song với V- PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC: Phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng () Phép chiếu song song theo phương  lên mặt phẳng () gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng () A B A' B'  * Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng trường hợp đặc biệt phép chiếu song song nên có đầy đủ tính chất phép chiếu song song Chú ý người ta dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng ()” thay cho tên gọi “phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ()” dùng tên gọi H' hình chiếu H mặt phẳng () thay cho tên gọi hình chiếu vuông góc H mặt phẳng () Đònh lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng () b đường thẳng không thuộc() đồng thời không vuông góc với () Gọi b’ hình chiếu vuông góc b () Khi a vuông góc với b a vuông góc với b’ NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 A B b A'  B' b' a SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Góc đường thẳng mặt phẳng: Đònh nghóa: Cho đường thẳng d mặt phẳng ()  Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng () 900  Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng () góc d hình chiếu d’ () gọi góc đường thẳng d mặt phẳng () * Chú ý: Nếu góc đường thẳng d mặt phẳng () ta có 00    900 d A  d' H O  LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Đònh nghóa d  (P)  d  a, a  (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b  (P), a  b  O  d  (P)  d  a, d  b Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng  a b  (P)  b (P )  a  (P)  (Q)  a  (Q) a  ( P )  a  (P)  b  a b  ( P )  a  b  a b a  (P ), b  (P )  (P) Q)  (P)  (Q) (P)  a,(Q)  a  a  (P) a  b,(P)  b  a  P) Đònh lí ba đường vuông góc Cho a  (P), b  (P) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a Góc đường thẳng mặt phẳng  Nếu d  (P)  d ,(P) = 900  Nếu d  (P)  d ,(P) =  d , d '  với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00   d ,(P)  900 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P)  Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P)  Chứng minh d // a a  (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d  a, ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt vuông góc với đường thẳng cho, mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác đònh góc đường thẳng a mặt phẳng (P)  Tìm giao điểm O a với (P)  Chon điểm A  a dựng AH  (P) Khi AOH  (a,(P)) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Đònh nghóa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 00 Cách xác đònh góc hai mặt phẳng cắt nhau: Giả sử hai mặt phẳng () () cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng () đường thẳng a vuông góc với c dựng () đường thẳng b vuông góc với c Người ta chứng minh góc hai mặt phẳng () () góc hai đường thẳng a b  b c a I  Diện tích hình chiếu đa giác: Cho đa giác H nằm mặt phẳng () có diện tích S H’ hình chiếu vuông góc H mặt phẳng (), gọi  góc mp() mp() Khi diện tích S’ H’ tính theo công thức: S’ = Scos  II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC: Đònh nghóa: Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc hai mặt phẳng góc vuông Nếu hai mặt phẳng () () vuông góc với ta kí hiệu ()  () Các đònh lí: Đònh lí 1: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Hệ quả1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng d c  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hệ 2: Cho hai mặt phẳng () () vuông góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng () ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () đường thẳng nằm mặt phẳng () d   Đònh lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng    III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG: Đònh nghóa: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,v.v… gọi hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,v.v… Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi hình lăng trụ Ta có loại lăng trụ hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, hình lăng trụ ngũ giác đều… Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng có đáy hình vuông mặt bên hình vuông gọi hình lập phương Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ đứng luôn vuông góc với mặt phẳng đáy hình chữ nhật Lăng trục đứng tam giác Lăng trụ đứng ngũ giác NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Hình hộp chữ nhật Hình lập phương SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU: Hình chóp đều: Cho hình chóp đỉnh S có đáy đa giác A1 A2 An H hình chiếu vuông S góc S mặt phẳng đáy ( A1 A2 An ) Khi đoạn thẳng SH gọi đường cao hình chóp H gọi chân đường cao Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy C B A D H F E Nhận xét: a) Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy góc b) Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc B' C' D' A' Hình chóp cụt đều: Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt F' E' C B D A F E LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Góc hai mặt phẳng  a  (P)   (P),(Q)   a, b  b  (Q)  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng a  (P), a  c   (P),(Q)   a, b  Chú ý: 00   (P),(Q)  900 b  (Q), b  c Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  =  (P),(Q) Khi đó: S = S.cos Hai mặt phẳng vuông góc  (P)  (Q)   (P),(Q)  900  Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: (P)  a  (P)  (Q) a  (Q) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tính chất (P)  (Q)    A  (P)  a  (P )  a  A, a  (Q) (P)  (Q),(P)  (Q)  c    a  (Q) a  (P ), a  c (P )  (Q)  a   (P )  ( R)  a  ( R)  ( Q )  ( R )  VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: (P),(Q)   a, b   Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng a  (P), a  c   (P),(Q)   a, b  b  (Q), b  c  Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q) Khi đó:  VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)  Chứng minh (P),(Q)  900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d(Q) với (Q)(P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P)  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S  diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  =  (P),(Q) Khi đó: S = S.cos NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §5 KHOẢNG CÁCH I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu vuông góc O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm O mặt phẳng () Gọi H hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng () Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () kí hiệu d(O, ()) O a  H O H  II- KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳn g song song: Đònh nghóa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng () Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng () khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (), kí hiệu d(a, ()) Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Đònh nghóa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng a O H  O  H Ta kí hiệu khoảng cách hai mặt phẳng () () song song với d((),()) Khi d((),())= d(M,()) với M  (), d((),()) = d(M’,()) với M’  () NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III- ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU: Đònh nghóa: a) Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi M a đường vuông góc chung a b b N b) Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi () a mặt phẳng chứa b song song với a, a’ hình chiếu vuông góc a mặt phẳng () Vì a // () nên a // a’ Do a’ b’ cắt điểm Gọi điểm N Gọi () mặt phẳng chứa a a’  đường thẳng qua N vuông góc  với () Khi () vuông góc với () Như  nằm () nên cắt đường thẳng a M cắt đường thẳng b N, đồng thời  vuông góc với a b Do  đường vuông góc chung a b Nhận xét: a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng a b M  N  b LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a)  MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,(P ))  MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng  cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b  Nếu  cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b  Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoả ng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a  b:  Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A  Dựng AB  b B  AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song  Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a  Chọn M  a, dựng MH  (P) H  Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B  Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc  Dựng mặt phẳng (P)  a O  Dựng hình chiếu b b (P)  Dựng OH  b H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác đònh đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ