Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM < aN ( , ,  ) loga M  loga N ( , ,  ) Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x x (1) Bài giải ♥ Ta có: 3x x 32 x2 x x2 x x 2 ♥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1;  Tự luyện: Giải bất phương trình 1) x 3 x  27 x 1 2) x 15 x 13 23 x Ví dụ 2: Giải bất phương trình log3  4x    log 2x    (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x  4x     x  2x   x     (*) ♥ Khi đó: 1  log  4x  2   log 2x    log  4x    log 9  2x     4x     2x    16x  42x  18   x3 ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x3  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tự luyện: Giải bất phương trình sau 1) log 2 x log 3x 2) log 5x 10 log x2 3) log x4  log (3  x) 2x  3 4) log x 5) log (x2  6x  5)  log3 (2  x)  7) log  x    log ( x  1)   log x 6) log x  log  x  1  log2  6x 8) log x2 5x  Ví dụ 3: Giải bất phương trình log x  3x  0 x (1) Bài giải ♥ Điều kiện: 0  x  x  3x  0 x  x  (*) ♥ Khi đó: 1  log x  3x   log 1 x x  3x  1 x x  4x   0 x x   2   x    2   x  ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1)  2  x     Tự luyện: Giải bất phương trình sau 2x  0 x 1 2x  log 0,5 2 x5 3x  1 x 1 3x  log 1 x2 1) log2 2) log3 3) 4)  x2  x  Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log0,7  log6 0 x    (1) Bài giải ♥ Điều kiện:  x2  x  x2  x   x   x    4  x  2 x2  x x2           2 x2 x4 x4 log x  x  x  x     x  x4 (*) ♥ Khi đó: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x x x2  x  log  log 1 0,7 x   x4  1  log0,7  log6  x2  x x2  x  log6  log6  6 x4 x4  4  x  3 x2  5x  24  0 x4  x   4  x   ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1)    x  2x   Tự luyện: Giải bất phương trình log  log2 0 x 1   b Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ 5: Giải bất phương trình x 1  36.3x 3   (1) Bài giải ♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta 3x 4.3x (2) ♥ Đặt t 3x t , bất phương trình (2) trở thành t 4t 3 Suy ra: 3x 1 t (3) x 1 x ♥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1;  Bài giải 1) 22x - 3.2x+2 + 32 < 2) x 23 3) x  5.3x   4) 52x1  5x  5) x2 2x 2x  x2    3 x 6) 32x1  22x 1  5.6x  3 Ví dụ 6: Giải bất phương trình log22 x  log2 x   (1) Bài giải ♥ Điều kiện: x ♥ Đặt t log x , bất phương trình (1) trở thành t t t NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (2) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit Suy ra: log x FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x ♥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S ;2  Tự luyện: Giải phương trình sau 1) log 2 x 17 log x   2) 3.log32 x 14.log x   3) log x  log x   4) log 21 ( x  1)    log ( x  1)5 5) log x  log x   2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 6) log x log x 2 2 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bất phương trình mũ Câu Giải bất phương trình:   x 1  2 x   BPT  2 x1  2 x   x 1  2x  x  Câu Giải bất phương trình: 3.9 x  10.3x   Đặt t  3x (t  0) Bất phương trình cho trở thành 3t  10t    Suy t 3  x   1  x  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  [1;1] x 1 1 Câu Giải bất phương trình: 22x 1      Bất phương trình tương đương với 22x 1  x 1 23    22x 1  2x 1  2x   x     x  2x   2  x  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  2; Câu Giải bất phương trình: 8 x 3 4 x 6 x 1 8 x2 4 x 3 x 1 4 2x   x2 x 1  x  1 x    4  x  1  0  x   x  1 1  x  2 x 2  x 1  x 2   Câu Giải bất phương trình sau: 76 x 76 x 3x 7  49  76 x 3 x 7 3x 7  49  72  x  3x    x  3x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x  VT   x  3x      x  3 Xét dấu VT ta tập nghiệm bất phương trình S = [-3; 1] Câu Giải bất phương trình: 4x  3.2x   Bất phương trình 4x  3.2x    22 x  3.2x   Đặt t  x , t  Bất phương trình trở thành: t  3t     t    x    x  Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1) Câu Giải bất phương trình log2 x x 2log2 x  20  Điều kiện: x> ; BPT  24log2 x  x2log2 x  20  Đặt t  log x Khi x  2t BPT trở thành 42t  22t  20  Đặt y  22t ; y  2 BPT trở thành y2 + y - 20   -  y  Đối chiếu điều kiện ta có: 22t   2t   t   -  t  Do -  log x    x  2 Câu Giải bất phương trình (2  3) x 2 x1  (2  3) x 2 x1    t  2  3 Bpt   Đặt x2 2 x   2 x2 2 x  x2 2 x 2 4 (t  0) t    t  4t      t   (tm) t BPTTT:  2  2  x2 2 x    1  x  x   x2  x      x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bất phương trình logarith Câu Giải bất phương trình: log0,2 x  log0,2(x  1)  log0,2(x  2) Điều kiện: x  (*) log0,2 x  log0,2 (x  1)  log0,2 (x  2)  log0,2(x2  x)  log0,2(x  2)  x2  x  x   x  (vì x > 0) Vậy bất phương trình có nghiệm x  Câu Giải bất phương trình : log log (2  x )   ( x  R) Điều kiện: log (2  x )    x   1  x   1  x     x   1  x     2  x0 2  x  x  Vậy tập nghiệm bpt S  (1;0)  (0;1) Khi (2)  log (2  x )    Câu Giải bất phương trình: 2log3 ( x  1)  log (2 x  1)  ĐK: x > , log3 ( x  1)  log (2 x  1)   log 3[( x  1)(2 x  1)]   x  3x     x2 => tập nghiệm S = (1;2] Câu Giải bất phương trình: log5  x  1  log5   x    log 3x   + BPT  log5  x  1  log5  3x     log   x  + Điều kiện:   x   log  x  1 x    log 5   x    x  1 x      x   12 x  21x  33   33  x 1 12 Giao với điều kiện, ta được:   x  1 Vậy: nghiệm BPT cho   x  Câu Giải bất phương trình sau:  log x  log  x    log NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 6  x SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ĐK:  x  BPT  log2  x  x   log2   x  2 Hay: BPT  x2  x    x 2  x2  16 x  36  Vậy: x  18 hay  x So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT  x  Câu Giải bất phương trình log  x  1  log  x    - ĐK: x  - Khi bất phương trình có dạng: log  x  1  log  x     log  x  1 x      5  x  x   x  0;   2 - Kết hợp điều kiện ta có: x   2;   2 Câu Giải bất phương trình sau: log3 log  x    3log 25 4.log log log  x     3log 25 4.log  log log  x     log 3 log  x       x  10 log  x  3  Câu Giải bất phương trình sau : log ( x  1)  log ( x  1) ĐK: x >1 BPT log ( x  1)  log ( x  1)  log ( x  1)  log ( x  1)   ( x  1)( x  1)   x3  x  x    x( x  x  1)   x 1 (do x >1) 1   ;     Vậy tập nghiệm BPT S=  x Câu Giải bất phương trình log 22 x  log  x Giải bất phương trình log 22 x  log  (1) Điều kiện bất phương trình (1) là: x  (*) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Với điều kiện (*), (1)  log 22 x  log x  log   log 22 x  log x    (log x  2)(log x  1)   x4  log x    0  x  log x     Kết hợp với điều kiện (*), ta có tập nghiệm bất phương trình (1) S   0;    4;    2  x3   32  Câu 10 Giải bất phương trình log x  log    9log    4log 21 x x  8 2 Điều kiện x > Bất phương trình  log 42 ( x)  log x3  log 8  log 32  log x2   4log 22 ( x)  log 42 ( x)  3log x  3  5  2log x  4log 22 ( x) Đặt t = log2(x), bất phương trình tương đương với   1 3  log x  2 3  t  2 x    t - 13t + 36 <   t      2t 3   log x    4 x8  2 1 Vậy bất phương trình có nghiệm  ,    4,8    1 2   Câu 11 Giải bất phương trình log (4 x  x  1)  x   ( x  2)log   x   1  x   x0 x      x ĐK:  2 4 x  x   (2 x  1)  x      * Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: 2log (1  x)  x   ( x  2) log (1  x)  1  x log (1  x)  1   x   x   x      log (1  x)   log 2(1  x)  2(1  x)   x          x   x   x      x   log (1  x)    log 2(1  x)   2(1  x)  1 Kết hợp với điều kiện (*) ta có:  x  x < Câu 12 Giải bất phương trình: log2 (x  1)  log (x  3)  Điều kiện: x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BPT  log2 (x  1)  log2 (x  3)   log2 (x  2x  3)   x2  2x  35   7  x  Kết hợp điều kiện ta được:  x  nghiệm bất phương trình Vậy nghiệm bất phương trình cho là:  x  Câu 13 Giải bất phương trình: log 2 ( x  1)  log ( x  x  1)   log 22 ( x  1)  log ( x  x  1)    log 2 ( x  1)  2log ( x  1)   Đặt t = log2(x+1) ta : t2 – 2t – > t < -1 t > 1   1  x   log ( x  1)  1 0  x   2 Vậy: log ( x  1)     x 1  x  Câu 14 Giải bất phương trình sau: log (4 x  3)  log (4 x  3)  log3 (4 x  3)   x   32  x  12  x  Điều kiện x    x  Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm S   ;3  4  Câu 15 Giải bất phương trình sau: log0,5 ( x2  5x  6)  1 log0,5 ( x2  5x  6)  1 x  x  Điều kiện x  x     log0,5 ( x2  5x  6)  1  x  5x    0,5  x  5x     x  1 Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm S  1;2    3;4 Câu 16 Giải bất phương trình sau: log (2 x  4)  log ( x  x  6) 3 log (2 x  4)  log ( x  x  6) 3  x  2 2 x       x  2  x  Điều kiện:  x  x    x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 log (2 x  4)  log ( x  x  6)  x   x  x  3  x  3x  10   2  x  Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm S   3;5 l o g(7 x  1)  l o g(10 x  11x  1) Câu 17 Giải bất phương trình sau:  x     7 x    1  Điều kiện:     x   ;   1;    10  10 x  11x     x  10   x  l o g(7 x  1)  l o g(10 x  11x  1)  x   10 x  11x   10 x  18 x    x  Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm S  0;   9   1;  10    Câu 18 Giải bất phương trình: log3 x  x   log x   log  x  3 Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương: 1 log3  x  x    log 31  x    log 31  x  3 2 1  log3  x  x    log3  x     log  x  3 2  log  x   x  3   log  x    log  x  3 x2  x2  log  x   x  3   log     x   x  3  x3  x3  x   10  x2      x  10 Giao với điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x  10 Câu 19 Giải bất phương trình: log log5   x   x  log3 log  x2   x  Đk: x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số mũ – hàm số logarit 1  log3 log   x   x  log log 5   log  log   log 52  *)  log   x   x log    x2   x    x2   x    x2   x    log *) log5   FB: http://www.facebook.com/VanLuc168    x2   x   x2   x  x   x   x   x   x   x    x   x  12 12 Vậy BPT có nghiệm x   0;   5 Câu 20 Giải bất phương trình x(3log x  2)  9log x  Điều kiện: x  Bất phương trình  3( x  3) log x  2( x  1) Nhận thấy x=3 không nghiệm bất phương trình TH1 Nếu x  BPT  log x  Xét hàm số: f ( x)  log x x 1 x 3 đồng biến khoảng  0;  khoảng  3;   *Với x  :Ta có g ( x)  x 1 x 3 nghịch biến f ( x)  f (4)  3   Bpt có nghiệm x  * Với g ( x)  g (4)   f ( x)  f (4)  3   Bpt vô nghiệm g ( x)  g (4)   x 1 TH 2:Nếu  x  BPT  log x  f ( x)  log x đồng biến  0;  ; x 3 f ( x)  f (1)  0 x 1 nghịch biến  0;3 *Với x  :Ta có g ( x)    Bpt vô g ( x)  g (1)   x 3 x  :Ta có nghiệm  Với x  1:Ta có f ( x)  f (1)  0   Bpt có nghiệm  x  g ( x)  g (1)   x  Vậy bất phương trình có nghiệm  0  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ