GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Dấu nhò thức bậc nhất:  Dạng f(x) = ax+b (a0) Nghiệm nhò thức nghiệm phương trình ax+b=0  Bảng xét dấu nhò thức bậc f(x) = ax + b (a  0): x ax + b b a - - trái dấu với a + dấu với a Dấu tam thức bậc hai:  Dạng f(x) = ax2+bx + c (a  0) Nghiệm tam thức nghiệm phương trình ax2 +bx+c =  Tính  = b2 - 4ac  Nếu  < thì: phương trình f(x) = vô nghiệm x f(x) - + dấu với a  Nếu  = thì: phương trình f(x) = có nghiệm kép x = x f(x) - dấu với a - b 2a b 2a + dấu với a  Nếu  > thì: phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2 (x1 < x2) x - x1 x2 + f(x) dấu với a trái dấu với a dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' hệ số b chẵn Xét dấu biểu thức giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai hệ bất phương trình ẩn: Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhò thức bậc tam thức bậc hai Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai hệ bất phương trình ẩn NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (*) ( = b2 - 4ac) Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu (x1 0) ( x )'  (x > 0) x 1 ( )'   x x (x  0) (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (tanx)' = (cotx)' = cos x - sin x (x   Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) ( u )'  u' (u > 0) u u' ( )'   (u u u  0) (sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u'  k , k  Z) (x  k, k  Z) (tanu)' = (cotu)' = u'  (u   k , k  Z) 2 cos u u' - (u  k, k  Z) sin u c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt: ad  bc (cx  d )  ( ax  b )' cx  d  ( ax  bx  c adx  2aex  be  dc )'  dx  e (dx  e)  ( ax  bx  c (ae  bd ) x  2(af  dc) x  bf  ec )'  dx  ex  f (dx  ex  f ) = d) Ý nghóa hình học đạo hàm: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x0; y0) thuộc đồ thò hàm số y = f(x) f'(x0) phương trình tiếp tuyến M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x-x0) 10 Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thò hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):  Yêu cầu lập bảng biến thiên vẽ đồ thò hàm số bậc hàm số bậc hai 11 Tìm tọa độ giao điểm hai đường:  Yêu cầu tìm tọa độ giao điểm hai đường có phương trình cho trước NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh K (K = (a; b) K = [a; b) K = (a; b] K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K Hàm số y = f(x) nghòch biến (giảm) K với cặp x1, x2 thuộc K cho: với cặp x1, x2 thuộc K cho: x1 < x2  f(x1) < f(x2) x1 < x2  f(x1) > f(x2) y y Bảng biến thiên: x Bảng biến thiên: a b x lim a b lim xb xa y y lim lim x a  x b  x O a x b Đồ thò hàm số đồng biến đường lên từ trái sang phải O a b Đồ thò hàm số nghòch biến đường xuống từ trái sang phải 2) Tính đơn điệu dấu đạo hàm: Đònh lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K a) Nếu f'(x) > x  K hàm số f(x) đồng biến K b) Nếu f'(x) < x  K hàm số f(x) nghòch biến K * Hàm số y = f(x) đồng biến (nghòch biến) K gọi chung đơn điệu K, K gọi chung khoảng đơn điệu hàm số y = f(x) Đònh lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f'(x)  (f'(x)  0), x  K f'(x) = số hữu hạn điểm x0 hàm số đồng biến (nghòch biến) K  Nếu f'(x) = x  K f(x) không đổi K (hay hàm số y = f(x) hàm y = c K) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f(x)  Trình bày  Tìm tập xác đònh D hàm số (D = {x  R  f(x) có nghóa})  Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm điểm xi (i = 1, 2, , n) mà đạo hàm không xác đònh  Lập bảng biến thiên (lưu ý xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần bảng biến thiên)  Kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghòch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghòch biến khoảng I f(x)  0, x  I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f(x) 0, xI (f(x)=0 số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f(x)0, xI (f(x)=0 số hữu hạn điểm) f nghòch biến I c) Nếu f(x)=0, xI f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác đònh hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghòch biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) Cho hàm số y  f ( x , m) , m tham số, có tập xác đònh D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghòch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y '  ax  bx  c thì:   a  b   c  y '  0, x  R     a       a  b   c  y '  0, x  R     a     3) Đònh lí dấu tam thức bậc hai g( x)  ax  bx  c :  Nếu  < g(x) dấu với a  Nếu  = g(x) dấu với a (trừ x =  b ) 2a  Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x)  ax  bx  c với số 0:     x1  x2    P  S       x1  x2   P  S   x1   x2  P  5) Để hàm số y  ax3  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau:  Tính y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghòch biến:  Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  x1x2  d a     (1) (2)  Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:  Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc cho f(x) < f(x0) với x  (x0 - h; x0 + h) x  x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x0) với x  (x0 - h; x0 + h) x  x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 * Chú ý: a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f(x0) gọi giá trò cực đại (giá trò cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), điểm M(x0; f(x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thò hàm số b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trò Giá trò cực đại (giá trò cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trò hàm số c) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) đạt cực trò x0 f'(x0)=0 II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ: Đònh lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 - h; x0 + h) có đạo hàm K K \{x0}, h > a) Nếu f'(x) > khoảng (x0 - h; x0) f'(x) < khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b) Nếu f'(x) < khoảng (x0 - h; x0) f'(x) > khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ: Quy tắc 1: Tìm điểm cực trò hàm số y = f(x)  Tìm tập xác đònh  Tính f'(x) Tìm điểm x cho f'(x) f'(x) không xác đònh  Lập bảng biến thiên NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Từ bảng biến thiên suy điểm cực trò x f'(x ) x0 - h x0 + x0 + h - yCĐ f(x) "Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" x f'(x) x0 - h - x0 x0 + h + f(x) yCT "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" Quy tắc 2: Đònh lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > Khi đó:  f '(x )  0 a) Nếu  x0 điểm cực tiểu  f ' ' ( x0 )   f '(x )  0 b) Nếu  x0 điểm cực đại  f ' ' ( x0 )  Quy tắc 2:  Tìm tập xác đònh  Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = kí hiệu x i (i = 1, 2, ) nghiệm  Tính f''(x) tính f''(xi)  Dựa vào dấu f''(xi) để suy tính chất cực trò điểm xi LÝ THUYẾT & BÀI TẬP I Khái niệm cực trò hàm số Giả sử hàm số f xác đònh tập D (D  R) x0  D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trò cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trò f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trò đồ thò hàm số f NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trò điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trò điểm mà đạo hàm đạo hàm III Điều kiện đủ để hàm số có cực trò Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x 0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí  Tìm f (x)  Tìm điểm xi (i =1,2 ,…) mà đạo hàm đạo hàm  Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trò xi Qui tắc 2: Dùng đònh lí  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …)  Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò điểm x0 f (x0) = x0 đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trò điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý:  Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d có cực trò  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x0) hai cách: + y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d + y( x0 )  Ax0  B , Ax + B phần dư phép chia y cho y  Hàm số y ax  bx  c P( x ) = a' x  b' Q( x ) nghiệm phân biệt khác  (aa 0) có cực trò  Phương trình y = có hai b' a' Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x0) hai cách: y( x0 )  P ( x0 ) Q( x0 ) y( x0 )  P '( x0 ) Q '( x0 )  Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, đònh lí Vi–et VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò 1) Hàm số bậc ba y  f ( x)  ax3  bx  cx  d  Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B  Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trò thì:  y1  f ( x1 )  Ax1  B   y2  f ( x2 )  Ax2  B  Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B 2) Hàm số phân thức y  f ( x )  P( x ) ax  bx  c  Q( x ) dx  e  Giả sử (x0; y0) điểm cực trò y0  P '( x0 ) Q '( x0 )  Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò là: y P '( x ) 2ax  b  Q '( x ) d NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác đònh tập D a) Số M gọi giá trò lớn hàm số y = f(x) tập D f(x)  M với x thuộc D tồn x0  D cho f(x0) = M Kí hiệu M = max f(x) D b) Số m gọi giá trò nhỏ hàm số y = f(x) tập D f(x)  m với x thuộc D tồn x0  D cho f(x0) = m Kí hiệu m = f(x) D II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:  Bài toán: Tìm giá trò lớn (GTLN) giá trò nhỏ (GTNN) hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; b)  Ta lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) khoảng (a; b), từ suy kết luận (Nếu toán không khoảng K ta tìm GTLN, GTNN tập xác đònh) x f'(x) a b x0 + - x f'(x) a b x0 - + GTLN f(x) f(x) GTNN Trong đó: f'(x) = không xác đònh x0 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN: 1/ Đònh lí: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trò lớn giá trò nhỏ đoạn 2/ Quy tắc tìm giá trò lớn nhất, nhỏ hàm số liên tục đoạn:  Tìm điểm x1, x2, , xn khoảng (a; b), f'(xi) = không xác đònh (i = 1, 2, n)  Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)  Tìm số lớn M số nhỏ m {f(a), f(x 1), f(x2), , f(xn), f(b)} Ta có: max f(x) = M, f(x) = m a;b  a;b  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Chú ý:  Nếu hàm số y = f(x) đồng biến [a; b] thì: max y = f(b), y = f(a) [ a ;b ] y y f(b) f(a) maxy [a;b] maxy [a;b] [ a ;b ]  Nếu hàm số y = f(x) nghòch biến [a; b] thì: max y = f(a), y = f(b) [ a ;b ] miny miny [a;b] [a;b] f(a) f(b) x O a a b b x O [ a ;b ] IV ỨNG DỤNG: Ví dụ: Cho nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vuông nhau, gập nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tính cạnh hình vuông bò cắt cho thể tích khối hộp lớn a x LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh miền D (D  R) a) M  max f ( x )   f ( x )  M , x  D D  x0  D : f ( x0 )  M b) m  f ( x )   f ( x )  m, x  D  D x0  D : f ( x0 )  m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max f ( x )  f (b), f ( x )  f (a) [a;b ] [a;b ] b) Nếu hàm số f nghòch biến [a; b] max f ( x )  f (a), f ( x )  f (b) [a;b ] NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 [a;b ] SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có)  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trò vừa tính kết luận M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ) [a;b] m  f ( x)   f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ) [a;b] VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN hàm số  Chứng minh bất đẳng thức  Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trò Xét toán tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) miền D cho trước Gọi y0 giá trò tuỳ ý f(x) D, hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:  f ( x )  y0  x  D (1) (2) Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m  y0  M (3) Vì y0 giá trò f(x) nên từ (3) ta suy được: f ( x )  m; max f ( x )  M D NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 D SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D có f ( x )  m; max f ( x )  M Khi D D đó: 1) Hệ phương trình  f ( x)    x  D 2) Hệ bất phương trình có nghiệm  m    M  f ( x)    x  D có nghiệm  M    f ( x)    x  D 3) Hệ bất phương trình có nghiệm  m   4) Bất phương trình f(x)   với x  m   5) Bất phương trình f(x)   với x  M   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +  ), (-  ; b) (-  ; +  )) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thò hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: xlim f(x) = y0 (hoặc xlim f(x) = y0)     f ( x)  lim f ( x)  l , ta viết chung lim f ( x)  l * Chú ý: Nếu xlim x    x  II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Đònh nghóa: Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thò hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f(x) = +  (hoặc lim f(x)= -  ; lim f(x) = -  ; lim f(x) = +  ) x x0 x x0 x x0 x x0 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Đònh nghóa:  Đường thẳng x  x0 đgl đường tiệm cận đứng đồ thò hàm số y  f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; lim f ( x )   ;    x  x0 x  x0 lim f ( x )   x  x0  x  x0  Đường thẳng y  y0 đgl đường tiệm cận ngang đồ thò hàm số y  f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x )  y0 ; lim f ( x )  y0 x  x  Chú ý: Nếu y  f ( x )  P( x ) Q( x ) hàm số phân thức hữu tỷ  Nếu Q(x) = có nghiệm x0 đồ thò có tiệm cận đứng x  x0  Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) đồ thò có tiệm cận ngang NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I- KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số y = ax + bx + cx + d (a  0)  Tập xác đònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giải phương trình f'(x) =  Tính giới hạn lim y lim y = , x = (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)  Vẽ bảng biến thiên + Kết luận khoảng đơn điệu + Kết luận cực trò hàm số  Điểm đặc biệt: Điểm cực trò (nếu có) Giao điểm với trục tung: x = tìm y Giao điểm với trục hoành: y = giải phương trình f(x) = tìm x x   Khảo sát vẽ đồ thò hàm số y = ax + bx + c (a  0)  Tập xác đònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giải phương trình f'(x) =  Tính giới hạn lim y lim y = , x = (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)  Vẽ bảng biến thiên + Kết luận khoảng đơn điệu + Kết luận điểm cực trò đồ thò hàm số  Điểm đặc biệt: Điểm cực trò; Giao điểm với trục tung: x = tìm y; Giao điểm với trục hoành (nếu có): y = giải phương trình f(x) = tìm x  Đồ thò: đồ thò hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ GIẢI TÍCH 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khảo sát vẽ đồ thò hàm số y =  Tập xác đònh: D = R\{  y' = f'(x)  Tính giới hạn: lim y x   lim y = a a lim y c , x = c lim y   d c ax  b cx  d (c  0, ad - bc  0) }  Tiệm cận ngang y = a c = , x  x  Tiệm cận đứng x=x0 (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)  Vẽ bảng biến thiên Kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số Hàm số cực trò  Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = tìm y Giao điểm với trục hoành: y = giải phương trình f(x) = tìm x  Đồ thò: đồ thò hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng x  x 0 II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1/ Tọa độ giao điểm hai đồ thò: Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm hai đường: (C) y = x2 + 2x - d: y = 2x + 2/ Biện luận đồ thò số nghiệm phương trình f(x) = g(x): LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d (a  0) :  Tập xác đònh D = R  Các dạng đồ thò: a>0 y’ = có nghiệm phân biệt  ’= b2 – 3ac > NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 a0 a 0 y ax  b (c  0, ad  bc  0) : cx  d  d Tập xác đònh D = R \    c d Đồ thò có tiệm cận đứng x   c x Hàm số biến y    a c tiệm cận ngang y  Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thò hàm số  Các dạng đồ thò: y y x ad – bc > NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x ad – bc < SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ