FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 x 4 a) y   x  x  b) y  d) y  x3  x  x  e) y  (4  x)( x  1)2 f) y  x3  3x  x  1 h) y   x  x  i) y  k) y  2x 1 x5 l) y  n) x  x  26 x2 o) g) y  x  x  y c) y  x  x  x 1 2 x x  x 2 10 10 m) y   y  x   1 x p) y 1 x x  15 x  3x Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y  6 x  8x3  3x  b) y  d) y  2x 1 e) y  x2 g) y  x    x    x2  c) y  x2  x x2  x  f) y  x   2  x x  3x  h) y  x  x i) y  x  x     x2  x   k) y  sin x    x   l) y  sin x  x    x   2 2  VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghòch biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) nó: a) y  x3  5x  13 d) x2  2x  y x 1 b) y  x3  3x  x  e) y  x  sin(3 x  1) c) y  f) 2x 1 x2 x  2mx  y xm Chứng minh hàm số sau nghòch biến khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) nó: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả a) y  5 x  cot( x  1) b) y  cos x  x c) y  sin x  cos x  2 x Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) nó: a) y  x3  3mx  (m  2)x  m d) b) y  mx  y xm e) x mx   2x  c) y  x  2mx  y xm f) xm xm x  2mx  3m y x  2m Tìm m để hàm số: a) y  x3  3x  mx  m nghòch biến khoảng có độ dài 1 b) y  x  mx  2mx  3m  nghòch biến khoảng có độ dài 3 c) y   x  (m  1) x  (m  3) x  đồng biến khoảng có độ dài Tìm m để hàm số: a) y  x3  (m  1) x  (m  1) x  đồng biến khoảng (1; +) b) y  x3  3(2m  1)x  (12m  5)x  đồng biến khoảng (2; +) c) y  mx  (m  2) xm d) y  xm xm e) y  x  2mx  3m x  2m f) y  2 x  x  m 2x  đồng biến khoảng (1; +) đồng biến khoảng (–1; +) đồng biến khoảng (1; +)     nghòch biến khoảng   ;   VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức sau: a) x3 x  sin x  x , với x  c) x  tan x, với  x  b)   sin x  tan x  x , với  x  3 d) sin x  tan x  x, với  x   Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan a a   , với  a  b  tan b b b) a  sin a  b  sin b, với  a  b  c) a  tan a  b  tan b, với  a  b    Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x  2x  , với  x   b) x  c) x sin x  cos x  1, với  x  x3 x3 x5  sin x  x   , với x  6 120  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả Chứng minh bất đẳng thức sau: a) e x   x, với x  b) ln(1  x )  x, với x  c) ln(1  x )  ln x  d)  x ln  x   x    x , với x  1 x Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan 550  1,4 b)  sin 200  20 c) log2  log3 HD: a) tan 550  tan(450  100 ) Xét hàm số f ( x )  1 x 1 x b) Xét hàm số f ( x)  3x  x3  1  2 f(x) đồng biến khoảng   ;  ,sin 200 ,     1;1  20  2 c) Xét hàm số f ( x )  log x ( x  1) với x > VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Giải phương trình sau: a) b) x  x   3x   x  x 5  c) x  x   x   x  16  14 d) x  15  3x   x  Giải phương trình sau: a) x   x   x   b) ln( x  4)   x c) 3x  x  5x d) x  3x  5x  38 Giải bất phương trình sau: a) x   5x   x   13x   b) x  x  x   x  x  35 Giải hệ phương trình sau: a) 2 x   y  y  y   y   z3  z  z 2 z   x  x  x  tan x  tan y  y  x  5 d) 2 x  3y        x , y   2  cot x  cot y  x  y  g) 5 x  y  2   x , y   b)  x  y3  y  y    y  z3  z  z  z  x3  x  x   e) sin x  sin y  x  3y   x  y    x , y  HD: a, b) Xét hàm số f (t)  t3  t  t c) f)  y  x  12 x    z  y  12 y   x  z2  12 z   sin x  y  sin y  x 2 x  3y    0  x, y    c) Xét hàm số f (t)  6t2  12t  d) Xét hàm số f(t) = tant + t NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò hàm số Tìm cực trò hàm số sau: a) y  3x  x d) y  g) x4  x2   x  3x  y x2 b) y  x3  x  x  c) y   x  x  15x e) y  x  x  f) y   h) 3x  x  y x 1 i) x4  x2  2 x  x  15 y x 3 Tìm cực trò hàm số sau: 4x2  2x 1 a) y  ( x  2)3 ( x  1)4 b) y  d) y  x x  e) y  x  x  c) y  2x2  x  3x  x  x2  x  f) y  x  x  x Tìm cực trò hàm số sau: x2 2x  a) y  x  b) y  d) y  x  5x   ln x e) y  x  4sin2 x c) y  e x  4e x f) y  x  ln(1  x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò Chứng minh hàm số sau có cực đại, cực tiểu: a) y  x3  3mx  3(m2  1)x  m3 b) y  x3  3(2m  1)x  6m(m  1)x  c) y  x  m(m  1) x  m  xm d) y  x  mx  m  x  m 1 Tìm m để hàm số: a) y  (m  2)x3  3x  mx  có cực đại, cực tiểu b) y  x3  3(m  1)x  (2m2  3m  2)x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu c) y  x3  3mx  (m2  1)x  đạt cực đại x = 2 d) y  mx  2(m  2)x  m  có cực đại x  e) x  2mx  y xm f) y  đạt cực tiểu x = x  (m  1) x  m  4m  x 1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 có cực đại, cực tiểu SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả g) y  x2  x  m x 1 có giá trò cực đại Tìm m để hàm số sau cực trò: a) y  x3  3x  3mx  3m  c) y  b) y  mx3  3mx2  (m  1)x   x  mx  x 3 d) y  x  (m  1) x  m  4m  x 1 Tìm a, b, c, d để hàm số: a) y  ax3  bx  cx  d đạt cực tiểu x=0 đạt cực đại 27 x= b) y  ax  bx  c có đồ thò qua gốc toạ độ O đạt cực trò –9 x= c) y  d) x  bx  c x 1 đạt cực trò –6 x = –1 ax  bx  ab y bx  a e) y  ax  x  b x2  đạt cực trò x = x = đạt cực đại x = Tìm m để hàm số : a) y  x3  2(m  1)x  (m2  4m  1)x  2(m2  1) đạt cực trò hai điểm x1, x2 cho: 1   (x  x ) x1 x2 2 1 y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  3 b) y  x  mx  mx  đạt cực trò hai điểm x1, x2 cho: x1  x2  c) đạt cực trò hai điểm x1, x2 cho: x1  x2  Tìm m để hàm số : a) y  b) x  mx  m  x  m 1 có cực đại, cực tiểu giá trò cực đại, cực tiểu dấu x  (m  1) x  m  4m  y x 1 có cực đại, cực tiểu tích giá trò cực đại, cực tiểu đạt giá trò nhỏ c) y   x  3x  m x4 d) y  x  3x  m  x2 có giá trò cực đại M giá trò cực tiểu m thoả M  m  có yCĐ  yCT  12 Tìm m để đồ thò hàm số : a) y   x3  mx  có hai điểm cực trò A, B AB  900m 729 b) y  x  mx  x  m có điểm cực trò A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm c) y  x  mx  m  xm có hai điểm cực trò nằm hai phía trục tung Chứng minh hai điểm cực trò luôn nằm phía trục hoành NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả d) y  x  mx 1 x e) y   x  2mx  x 1 có khoảng cách hai điểm cực trò 10 có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y = 2x x2  2x  m  xm f) y  có hai điểm cực trò khoảng cách chúng nhỏ Tìm m để đồ thò hàm số : a) y  x3  mx  12 x  13 có hai điểm cực trò cách trục tung b) y  x3  3mx  4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y  x3  3mx  4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x  y   x  (2m  1) x  m  x 1 d) y  có hai điểm cực trò nằm hai phía đường thẳng (d): x  3y   Tìm m để đồ thò hàm số : x  (m  1) x  2m  xm a) y  có hai điểm cực trò góc phần tư thứ mặt phẳng toạ độ b) 2mx  (4m2  1) x  32m2  2m y x  2m có điểm cực trò nằm góc phần tư thứ hai điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ mx  (m  1) x  4m  m xm c) y  có điểm cực trò nằm góc phần tư thứ điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ d) y x  (2m  1) x  m  x 1 có hai điểm cực trò nằm hai phía trục hoành (tung) VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò đồ thò hàm số : a) y  x3  x  x  d) 2x2  x  y x 3 b) y  3x  x e c) y  x3  3x  x  x2  x  y x 2 Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò đồ thò hàm số: a) y  x3  3mx  3(m2  1)x  m3 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 b) y  x  mx  xm SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả c) y  x3  3(m  1)x  (2m2  3m  2)x  m(m  1) d) y  x  mx  m  x  m 1 Tìm m để hàm số: a) y  x3  3(m  1)x  6(m  2)x  có đường thẳng qua hai điểm cực trò song song với đường thẳng y = –4x + b) y  x3  3(m  1)x  6m(1  2m)x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thò nằm đường thẳng y = –4x c) y  x3  mx  7x  có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – d) y  x3  3x  m2 x  m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (): y  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y  x  x  b) y  x3  3x c) y  x  x  2 d) y  x  x  e) y  x g) y  x  ( x  0) h) y  x 1 f) y  x2  2x  x2  x  i) y  x2  x  2x2  4x  x2  x4  x2  x3  x ( x  0) Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y  x3  3x  12 x  [–1; 5] b) y  3x  x3 [–2; 3] c) y  x  x  [–3; 2] d) y  x  x  [–2; 2] e) y  3x  x 3 g) y  x2  7x  x2 [0; 2] f) y  [0; 2] h) y  i) y  100  x [–6; 8] x 1 x 1 [0; 4]  x  x2  x  x2 [0; 1] k) y   x   x Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y  sin x  sin x  b) y  d) y  cos x  sin x  1 c) y  2sin2 x  cos x  cos x  cos x  e) y  sin3 x  cos3 x f) y  x2  x4  x2  g) y  x  x   x  x  h) y   x  x  x  x  VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Giả sử D  ( x; y; z) / x  0, y  0, z  0, x  y  z  1 Tìm giá trò lớn biểu thức: P  x y z   x 1 y 1 z 1  1      x 1 y 1 z 1 HD: P     1    9  x 1 y 1 z 1 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( x  1)  ( y  1)  (z  1)  P Dấu “=” xảy  x = y = z =   Vậy P  D 5 4 Cho D = ( x; y) / x  0, y  0, x  y   Tìm giá trò nhỏ biểu thức: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả S  x 4y 1 x x x x HD:  x  x  x  x  y          25 4y   S  Dấu “=” xảy  x = 1, y =  4  4( x  y)     25  x 4y  Vậy minS = Cho D = ( x; y) / x  0, y  0, x  y  1 Tìm giá trò nhỏ biểu thức: P HD: P  (1  x )  x2 y2  xy 1 x 1 y xy x2 y2  (1  y)   2 1 x 1 y x  y = 1   2 1 x 1 y x  y  1    9  1 x 1 y x  y  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: (1  x )  (1  y)  ( x  y)   1    1 x 1 y x  y P Dấu “=” xảy  x = y = Vậy minP = Cho D = ( x; y) / x  0, y  0, x  y  4 Tìm giá trò nhỏ biểu thức: P 3x   y2  4x y2 x  HD: P     x y  y y xy   8 Theo bất đẳng thức Cô–si: y2 P Dấu  (1) x x   1 x x y y y y   33  8 y2 8 (2) (3) “=” xảy  x = y = Vậy minP = VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trò Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ hàm số sau: a) y  c) x  x 1 x2  x  sin x  cos x  y sin x  cos x  b) y  d) x  x  23 x  x  10 2sin x  cos x  y cos x  sin x  VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giải phương trình sau: a) x   4  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 b) 3x  5x  x  c) x  (1  x )5  16 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x  x   m b)  x   x  (2  x )(2  x )  m c)  x   x  (3  x )(6  x )  m a) d)  x   x  (7  x )(2  x )  m Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  R: b) m x   x  m c) mx  x  m  x  2x2   m Cho bất phương trình: x3  x  x   m  a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2] Tìm m để bất phương trình sau: a) mx  x   m  có nghiệm b) (m  2) x  m  x  có nghiệm x  [0; 2] c) m( x  x  1)  x  x  nghiệm với x  [0; 1] NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả §4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN Tìm tiệm cận đồ thò hàm số sau: a) y  d) 2x  x 1 b) y  x2  4x  y x 1 e) 10 x  1 2x c) y  ( x  2)2 y 1 x f) 2x  2 x 7x2  x  y  3x Tìm tiệm cận đồ thò hàm số sau: a) y  d) y  x b) y  x2  4x  x  3x  e) y  x2  x  2 x c) y   x2 x3  x  f) y  x2  x2  4x  x2 1 x4  x  x3  Tìm tiệm cận đồ thò hàm số sau: a) y  x  x b) y  x 1 x 1 d) y  x 4x  c) y  x2  e) y  3x  x x2  4x  x  3x  x 2 f) y  Tìm tiệm cận đồ thò hàm số sau: a) y  2x  b) y  ln x 1 e x  e x c) y  ln( x  5x  6) Tìm m để đồ thò hàm số sau có hai tiệm cận đứng: a) y  d) b) y  x  2(2m  3) x  m2  x 3 y x  2(m  2) x  m  e) y   x2 x  2(m  1) x  x 1 x  2(m  1) x  m  c) y  f) y  x 3 x2  x  m  x  2mx  m  Tìm m để đồ thò hàm số sau có tiệm cận xiên: a) y  x  (3m  2) x  2m  x5 b) y  mx  (2m  1) x  m  x2 Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thò hàm số sau chắn hai trục toạ độ: a) y  3x  x  x 1 b) y  3 x  x  x2 c) y  x2  x  x 3 Tìm m để tiệm cận xiên đồ thò hàm số sau tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S ra: a) x  mx  y ; x 1 c) y  S=8 x  2(2m  1) x  4m  ; x 1 b) S = 16 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x  (2m  1) x  2m  y ; x 1 d) y  x  mx  ; x 1 S=8 S=4 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ả §5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số: a) y  x3  3x  9x  b) y  x3  3x  3x  c) y   x3  3x  d) y  ( x  1)2 (4  x) e) y  x3  x2  3 f) y   x3  3x  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số: x4  3x  2 a) y  x  x  b) y  x  x  c) y  d) y  ( x  1)2 ( x  1)2 e) y   x  x  f) y  2 x  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số: x 1 x2 1 2x y 1 2x 2x  x 1 3x  y x 3 3 x x4 x 2 y 2x  a) y  b) y  c) y  d) e) f) Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ