Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin MỘT SỐ CÁCH GIẢI TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Lý Thuyết: Giả sử A biểu thức đại số ( biến nhiều biến) Số m gọi giá trị nhỏ A : i ) A ≥ m với giá trị biến thuộc tập xác định A ii ) Tồn giá trị biến để A nhận giá trị m Kí hiệu: MinA = m Bài 1:(Trích tập 12 chủ đề tự chọn nâng cao SGV lớp10) Cho số dương x, y , z thảo mãn xyz = + x + y3 + y3 + z3 + z + x3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = + + xy yz zx Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cauchy cho ba số không âm a+b+c ≥ a.b.c Đẳng thức xảy a = b = c Với a, b, c không âm ta có (I) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 1, x , y ta có: + x + y ≥ 3 x3 y = xy + x3 + y 3 xy ⇔ ≥ = xy xy Tương tự: + y3 + z3 yz ≥ = yz yz + z + x3 xz ≥ = xz xz Do đó: S = xy (1) yz (2) xz (3)  1 + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 1  + + ≥ 3 + + ÷  xy xy yz xz yz xz ÷   ≥ 3 = 3 (4) xyz = 2 x y z Vậy MinS = 3 đạt (1), (2), (3) (4) xảy dấu ⇔ x = y = z = Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức vectơ v v uu v v v uv r v v uu Với ba vectơ u , v, w ta có: u + v + w ≥ u + v + w v v uu v Đẳng thức xảy u , v, w hướng (II) Ta có: S= + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + xy yz xz Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ biểu thức” - Giáo viên thực : Đỗ Văn Sơn -1- Trường THPT Vinh Xuân = Tổ Toán - Tin x y + 2+ + x y y x y z z x + 2+ + 2+ 2+ y z z y x z x z 2 v  x y v  ; ;v =  ; Chọn ba vectơ: u =  ; ÷ ÷  yz xy y x    v v v  y 1 x + + Suy u + v + u =  + + ; xy yz zy y z  Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được: x y y z S= + 2+ + + 2+ + 2 2 x y y x y z z y v  y z  uu z x ; ; w =  ; ; ÷ ÷ z y ÷ xz x z ÷    y z z x ; + + ÷ x x y z ÷  z x + 2+ 2 z y x z 2 2 y  1 1  x z  y z x (1) ≥  + + ÷ + + + + + + ÷ ÷  x ÷ z x ÷ y z  xy yz zx   y    2   xyz   xyz  3  ÷  ÷ = + + = 3 (2) xyz = + + ÷ ÷  ÷  ÷ xyz xyz      Vậy MinS = 3 đạt (1) (2) đồng thời xảy dấu r r uu r x = y = z u = v = w ⇔ ⇔ ⇔ x = y = z =  xyz =  xyz =  ≥  3 2 x y z  Bài 2: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 + y 2 y2 + z2 z + x2 + + xy yz zx Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức vectơ Ta có: P = x2 + y 2 y2 + z2 z + x2 + + = xy yz zx 2 + + 2+ + 2+ 2 y x z y x z v   v   uu v  1 ; ÷ , v = ; , w Chọn ba vectơ : u =   ÷ ÷  z y ÷ =  x ; z ÷ ÷ y x       v v v  2 1 1 + + ; + + ÷ Suy u + v + u =  y z x x y z÷   Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được: x2 + y 2 y2 + z2 2z + x2 P= + + = xy yz zx 2 2 + + 2+ + 2+ 2 y x z y x z  1 1  yz + zx + xy  2  1 1 ≥  + + +  + + ÷ =  + + ÷ =  ÷ ÷= ÷ z x  x y z xyz x y z    y xy + yz + zx = xyz r r uu r u = kv = l w (k > 0, l > 0) Vậy MinP = đạt   xy + yz + zx = xyz Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ biểu thức” - Giáo viên thực : Đỗ Văn Sơn -2- Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin  k l 1+ k + l y = z = x = x+ y+z  1 1 1 k l 1+ k + l  = = ⇔ = = = ⇔ x y z ⇔ x= y= z=3 x y z x+ y + z  xy + yz + zx = xyz   xy + yz + zx = xyz   Cách2: Sử dụng bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức biết Với ba số dương a, b, c ta có: a + b ≥ 2ab, b + c ≥ 2bc, c + a ≥ 2ca 2 2 2 Suy ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) + 2ab + 2bc + 2ca ( a + b + c) Đẳng thức xảy a = b = c ⇔ a + b2 + c ≥ (III) với x >, y > Áp dụng bất đẳng thức (III) 2 2 2       1 1  1  ta có + =  ÷ +  ÷  ÷ ≥  + + ÷ =  + ÷ y x  y   y   x  3 y y x  3 y x  32 1 ⇔ + ≥  + ÷ (1) y x  y x Tương tự: 32 1 + ≥  + ÷ (2) z y z y 32 1 + ≥  + ÷ (3) x z x z Cộng vế theo vế ta được:  xz + yz + xy  2 3 3 3 P= + + 2+ + 2+ ≥  + + ÷ =  ÷ = (4) y x z y x z y x z xyz   Vậy MinP = đạt (1),(2),(3) (4) đồng thời xảy dấu 1 1  = = ⇔ x y z ⇔ x= y= z=3  xy + yz + zx = xyz  Bài 3: (Trích đề thi ĐH năm 2007) Cho x, y , z ba số thực dương thay đổi x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷  zx   xy   yz  Cách1: Sử dụng đạo hàm x2 y z x y z x2 y2 z2 x2 + y2 + z + + + + = + + + Ta có: T = + 2 yz zx xy 2 xyz Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ biểu thức” - Giáo viên thực : Đỗ Văn Sơn -3- Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin x y  x z  + ÷+  + 2   2 x y z = + + + 2 xyz 2 2 2  y z  ÷+  + ÷   2 2 x y z xy + xz + yz  x   y   z  + + + =  + ÷+  + ÷+  + ÷ 2 xyz  x  y  z t Xét hàm số: f (t ) = + với t > t ( t − 1) ( t + t + 1) Ta có f '(t ) = t − 12 = t t2 f '(t ) = ⇔ t = t + t + > ∀t > T≥ Bảng biến thiên: t f '(t ) − +∞ +∞ + +∞ f (t ) Từ bảng biến thiên suy f (t ) ≥ ∀t > 3 Do vai trò x, y , z nên ta được: T ≥ + + = 2 2 Vậy MinT = đạt ⇔ x = y = z = Cách2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy x  x y2 y z2 z y  z  x T = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷ = + + + + +  zx   xy  yz xz xy  yz   x2 y z   y2 x z   z2 y x  = + + + + ÷+  + ÷+  + ÷  2 xz xy   2 yz xy   2 xz yz  x yz y xz z xy 3 3 ≥ + + = + + = x yz xy z xyz 2 2 Vậy MinT = đạt ⇔ x = y = z = Bài 4: Cho x, y , z ba số dương thỏa mãn x + y + z = 1 + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z y + 2z + x z + 2x + y Cách1: Sử dụng bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức biết 1 1 Với ba số dương a, b, c ta chứng minh ( a + b + c )  + + ÷ ≥ a b c Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ biểu thức” - Giáo viên thực : Đỗ Văn Sơn -4- Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin 1 + + ≥ a b c a+b+c (IV) Đẳng thức xảy a = b = c Áp dụng bất đẳng thức (IV) ta được: 1 9 A= + + ≥ = = x + y + z y + 2z + x z + 2x + y 4x + y + 4z ( x + y + z ) Suy ra: Vậy MinA = x + y + z = x + y + z = 2 ⇔x= y=z= đạt ⇔   x + y + z = y + 2z + x = z + 2x + y Bài 5: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thỏa mãn thỏa mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = ( x + xy ) + xy + y Cách 1: Sử dụng phương pháp tìm miền giá trị hàm số ( x + xy ) ( x + xy ) Ta có: B = x + y = = 2 + xy + y x + xy + y y = tx Đặt điều kiện t ≠ ( + 6t ) Khi đó: B = ⇔ B ( + 2t + 3t ) = + 12t + 2t + 3t ⇔ 3Bt + ( B − ) t + B − = ( ∗) B = B =   Phương trình ( ∗) có nghiệm ⇔   B ≠ ⇔   B ≠  ( B − ) − 3B ( B − ) ≥  ∆ ≥   B =  ⇔  B ≠ ⇔ −6 ≤ B ≤    B + 3B − 18 ≤    t = − x = ; y = −   13 13 Vậy MinB = −6 đạt ⇔  x + y = ⇔  −3   y = tx x= ;y=   13 13   Cách2: Sử dụng đạo hàm ( x + xy ) ( x + xy ) Ta có: B = x + y = = 2 + xy + y x + xy + y Đặt y = tx điều kiện t ≠ ( + 6t ) Khi B= + 2t + 3t −36t − 12t + Suy B '(t ) = ( + 2t + 3t ) Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ biểu thức” - Giáo viên thực : Đỗ Văn Sơn -5- Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán - Tin  t = B ' ( t ) = ⇔ −36t − 12t + = ⇔  t = −  Bảng biến thiên: t −∞ − +∞ 3 − − B '(t ) + 0 B −6   t = − x =  2 Vậy MinB = −6 đạt ⇔  x + y = ⇔    y = tx x =    ;y=− 13 13 −3 ;y= 13 13 Bài tập1:(Trích đề ĐH năm 2008) Cho x, y hai số thực không âm thay đổi ( x − y ) ( − xy ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2 ( 1+ x) ( 1+ y) Bài tập2: Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ x + y = x y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = y +1 x +1 Bài tập3: Cho x, y , z ba số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + 1 + y2 + + z2 + 2 x y z Bài tập4: Cho x, y , z ba số dương thỏa mãn x + y + z = − 1 + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x + y + z y + 2z + x z + 2x + y Bài tập5: Cho x, y , z ba số thực thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( MinQ = ) Q = + x + + y + + 4z Kết luận: Bài toán“tìm giá trị nhỏ biểu thức” dạng toán khó chương trình phổ thông Trên số cách giải nhằm giúp cho học sinh cuối cấp THPT có thêm số cách giải để chuẩn bị cho kỳ thi ĐH&CĐ Rất mong góp ý chân tình đồng nghiệp để chuyên đề lần sau tốt Xin chân thành cám ơn ! Hết -Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ biểu thức” - Giáo viên thực : Đỗ Văn Sơn -6-