Phòng GD&ĐT Yên Định Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Tr ờng THCS Định Tiến năm học 2006-2007 Môn: Toán - (Thời gian 120 phút) Giáo viên ra đề : Lê Văn Yên Bài 1(2 điểm) : Cho biểu thức: ( ) ( )( ) yx xy xyx y yyx x P + ++ + = 111))1)(( a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2. Bài 2(2 điểm): Cho parabol (P) : y = -x 2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2) . a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung. Bài 3(2 điểm): Giải hệ phơng trình : =++ =++ =++ 27 1 111 9 zxyzxy zyx zyx Bài 4(2điểm): Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn );( BCAC . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ- ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân . b). Khi MB = MQ , tính BC theo R. Bài 5(2điểm): Cho Rzyx ,, thỏa mãn : zyxzyx ++ =++ 1111 Hãy tính giá trị của biểu thức : M = 4 3 + (x 8 y 8 )(y 9 + z 9 )(z 10 x 10 ) . Đáp án môn toán 9 Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :; 0;1;0;0 + yxyyx . *). Rút gọn P: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) . 1 111 1 11 1111 11 11 )( 11 )1()1( yxyx y yyyyx y xyyyx yx xxyxyxx yxyx xyyxyxyxyx yxyx yxxyyyxxyx yxyx yxxyyyxx P += + = + = + ++++ = ++ +++ = ++ +++ = ++ ++ = Vậy P = .yxyx + b). P = 2 .yxyx + = 2 ( ) ( ) ( )( ) 111 111 =+ =++ yx yyx Để phơng trình có nghiệm nguyên ( )( ) yx + 11 phải là ớc của 1. nghiemVo y x y x y x =+ = = = =+ = 11 11 0 4 11 11 Với (x = 4 ; y = 0) thõa mãn ĐKXĐ của phơng trình, nên (x = 4 ; y = 0) là nghiệm nguyên của phơng trình P = 2. Bài 2: a). Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m 2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình: - x 2 = mx + m 2 x 2 + mx + m 2 = 0 (*) Vì phơng trình (*) có ( ) mmmm >+=+= 04284 2 2 nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b). A và B nằm về hai phía của trục tung phơng trình : x 2 + mx + m 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu m 2 < 0 m < 2. Bài 3 : ( ) ( ) =++ =++ =++ 327 )2(1 111 19 xzyzxy zyx zyx ĐKXĐ : .0,0,0 zyx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyx xz zy yx xz zy yx xzzyyx zxyzxyzyx zxyzxyzyx zyx zxyzxyzyx zxyzxyzyx zyx == = = = = = = =++ =++++ ++=++ =++ ++=++ =+++++ =++ 0)( 0)( 0)( 0)()()( 02)(2 27 281 812 81 2 2 2 222 222 222 222 222 222 2 Thay vào (1) => x = y = z = 3 . Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3. Bài 4: a). Xét ABM và NBM . Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O) nên :AMB = NMB = 90 o . M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => BAN cân đỉnh B. Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB). => MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM). => Tam giác MCN cân đỉnh M b). Xét MCB và MNQ có : MC = MN(theo cm trên MNC cân ) MB = MQ ( theo gt) BMC = MNQ ( vì : MCB = MNC ; MBC = MQN ). => ) .( cgcMNQMCB = => BC = NQ . Xét tam giác vuông ABQ có BQAC AB 2 = BC . BQ = BC(BN + NQ) => AB 2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R 2 = BC( BC + 2R) => BC = R)15( Bài 5: Từ : zyxzyx ++ =++ 1111 => 0 1111 = ++ ++ zyxzyx => ( ) 0 = ++ ++ + + zyxz zzyx xy yx ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0)( 0 )( 0 11 2 =+++ = ++ +++ + = ++ ++ xzzyyx zyxxyz xyzzyzx yx zyxzxy yz Ta có : x 8 y 8 = (x + y)(x-y)(x 2 +y 2 )(x 4 + y 4 ).= y 9 + z 9 = (y + z)(y 8 y 7 z + y 6 z 2 - + z 8 ) z 10 - x 10 = (z + x)(z 4 z 3 x + z 2 x 2 zx 3 + x 4 )(z 5 - x 5 ) Vậy M = 4 3 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 3 . Phòng GD&ĐT Yên Định Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Tr ờng THCS Định Tiến năm học 2006-2007 Môn: Toán - (Thời gian 120 phút) Giáo viên ra đề : Lê. AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân . b). Khi MB = MQ , tính BC theo R. Bài 5(2điểm): Cho Rzyx ,,