Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f (x) đồng biến K f '(x)  với x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x)  với x  K  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) khơng đổi K] [ f '(x)  với x  K ] 2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) khơng đổi K  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax3  bx  cx  d  a  0 , ta có f '  x   3ax  2bx  c a) Hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d  a   đồng biến  f '  x   3ax  2bx  c  x  b) Hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d  a   nghịch biến  f '  x   3ax  2bx  c  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax2 bx c (a 0) ta có:  f ( x) x  f ( x) x a 0 a 0 B Phương pháp giải tốn Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập hợp X cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: y đồng biến X y' 0, x X y nghịch biến X y' 0, x X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện dấu xảy phương trình y' có hữu hạn nghiệm, phương trình y ' có vơ hạn nghiệm điều kiện khơng có dấu CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m2  m)x  2mx  3x  Tìm m để hàm số ln đồng biến Bài giải: ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  m) x2  4mx  ♣ Hàm số ln đồng biến  y '  x  m  m  ♥ Trường hợp 1: Xét m2  m    + Với m  , ta có y '   0, x  , suy m  thỏa + Với m  1, ta có y '  x    x   , suy m  khơng thỏa NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 m  , đó: m  ♥ Trường hợp 2: Xét m2  m    ♣ y '  x   3  m   '  m  3m       3  m  m   m  m  m     ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm 3  m   Ví dụ Cho hàm số y  x3  3mx  3(m2  1)x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;2  Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x2  6mx  3(m2 1) ♣ Hàm số nghịch biến khoảng 1;2   y '  x  1;  Ta có  '  9m2  9(m2 1)   0, m Suy y ' ln có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  ( x1  x2 ) x  m   Do đó: y '  x  1;   x1    x2      1 m  x  m     ♦ Vậy giá trị m cần tìm  m   Bài tập tương tự Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  2;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  0;   Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x2  x  m ♣ Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  , x   0;   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (có dấu bằng) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số  3x  x  m  , x   0;   FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  3x2  x  m , x   0;   (*) ♣ Xét hàm số f ( x) 3x2 x , x   0;   , ta có: f '( x) 6x ; f '( x) x Bảng biến thiên: x f '( x) f ( x) ♣ Từ BBT ta suy ra: (*) ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3  Bài tập tương tự Cho hàm số y   x  3x  3mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng  0;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  mx  7m  xm Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định Bài giải ♦ Tập xác định: D  \ m ♦ Đạo hàm: y '  m2  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m2  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng xác định y '  , x  D (khơng có dấu bằng)  m2  m   m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m 1. NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y  mx  7m  Tìm m xm để hàm số đồng biến khoảng 3; Bài giải ♦ Tập xác định: D  \ m ♦ Đạo hàm: y '  m2  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m2  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng 3; y '  , x   3;   m2  m    m  (khơng có dấu bằng) m m m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Xác định m để hàm số sau đồng biến khoảng (0; +∞): y xm x2  + TXĐ: D = R + y’ = mx  ( x  1) x  Hàm số ĐB (0; +∞) y’ ≥ x  (0; +∞) -mx + ≥ x  (0; +∞) (1) m = (1) m > : -mx + ≥ x ≤ 1/m Vậy (1) khơng thỏa mãn m < 0: -mx + ≥ x ≥ 1/m Khi (1) 1/m ≤ t/m Giá trị cần tìm là: m ≤ Câu Tìm m để hàm số ln nghịch biến: y   x3  (3  m) x2  2mx  12 + Tập xác định: D  + Đạo hàm: y '  3x2  2(3  m) x  2m + Để hàm số ln nghịch biến y '  x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 3  a     '  9  m  6m  (3)(2m)   m  12m     3  m   3 Câu Tìm m để hàm số ln nghịch biến x : y  mx3  3x2  3x  + Tập xác định: D  + Đạo hàm: y '  3mx2  x  + Để hàm số ln nghịch biến x y '  x  3mx2  x   x 1 + TH1 : m  (1)  6 x    x  3 x ( khơng thỏa x ) + TH : m  a  3m  m  m      m  1 (1)     9  9m  9m  9 m  1 + Vậy m  1 hàm số thỏa đề NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 ) 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a; x x0 ; b Khi a) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x) với x a; x0 f '( x) với x x0 ; b hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 ) f có đạo hàm cấp hai khác khơng điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 có ba nghiệm phân biệt SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 B Phương pháp giải tốn Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m2  1) x  (m  1)x  3x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2 1) x2  2(m  1) x  y' (m2  1) x2  2(m  1) x   ♣ Hàm số có hai điểm cực trị y'  có hai nghiệm phân biệt m2 ' m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m (m 1) 3(m2 1) m m 1 m m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 1 m 2m 2m  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  9)x  10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị 2 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  2x.(2mx2  m2  9) y' x 0 2mx m2 (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị y'  m có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m( m ' m2 9) m m 0 m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m m m 3  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  (m  1)x  2m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x0 PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x0 y '( x0 ) Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc 2 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x   m2  m   x  (3m2  1)x  m  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  x2   m2  m  2 x  3m2  a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x y '( 2) m2 4m m m b) Điều kiện đủ: ♣ Với m , ta có: y ' x2 x , y ' x Bảng biến thiên x y' y Từ BBT ta suy m khơng thỏa ♣ Với m , ta có: y ' x2 16 x 28 , y ' x x 14 Bảng biến thiên x 14 y' y CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  mx  3x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x Đáp số: m 15 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số : y   x 1 2x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận trục Ox Giao điểm tiệm cận đứng với trục Ox Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng () tiếp xúc với (C)   A  ,0    1  y  k x   2  x  1   2x   k  x      /  x      k có nghiệm  2x    x  1   2x   k x   (1)      3  k (2)  2x  12 Thế (2) vào (1) ta có pt hồnh độ tiếp điểm 1  3 x   x  2   2x   2x  1 1  (x  1)(2x  1)  3(x  ) x    x   2 x Do k   12 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y    x   12  2 Câu Cho hàm số y  2x  x 1 (C ) Cho hai điểm A(1; 0) B(7; 4) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến qua điểm trung diểm I AB Gọi  qua I  3; 2 có hệ số góc Điều kiện  tiếp xúc (C) k   : y  k ( x  3)   2x   k ( x  3)   x   2 k   ( x  1) Giải hệ  x  2  k  2 Vậy phương trình tiếp tuyến :  : y  2 x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho đồ thị (C): y  x  3x  1, viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) Ta có: y '  3x  Gọi M  x0 ; x03  3x0  1 tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 )  3x02  Phương trình tiếp tuyến với (C) M  : y   x03  3x0  1  (3x02  3)( x  x0 )  qua A(-2;-1) nên ta có: 1   x03  3x0  1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  3x02    x0   y0  1  ( x0  1)( x02  x0  4)     x0  2  y0  1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1;  : y  x  17 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VI BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải tốn I KIẾN THỨC CƠ BẢN Cơ sở phương pháp Xét phương trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1):y = f(x) y (C2):y = g(x) (C ) (C ) x x0 Bài tốn: Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình dạng : f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị:  (C ) : y  f ( x ) : (C) đồ thò cố đònh  () : y  m : () đườ ng thẳ ng di độ ng cù ng phương Ox cắ t Oy tạ i M(0;m) Bước 2: Vẽ (C) (  ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm (  ) (C) Từ suy số nghiệm phương trình (*) (C ) : y  f ( x) y Minh họa: m2 x O m1  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (0; m) ym SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số Dạng: f x FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 g m giải tương tự Ví dụ: Cho hàm số y  x3  x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình x3  x2  m  có ba nghiệm phân biệt Bài giải 1) Học sinh tự giải 2) Tìm m để phương trình x3  x2  m  có ba nghiệm phân biệt ♦ Xét phương trình x3  x2  m  (1), ta có: (1) 3 m x  x 5  5 4 (2) ♦ Xem (2) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị C :y :y x x m Khi số nghiệm phương trình (1) số giao điểm C ♦ Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt cắt C ba điểm phân biệt m m 32 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m 32  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số y  x3  x2  x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x  3x  x  m  có 2 nghiệm nhất: TXĐ: D  , y /  3x2 12 x  Hàm số nghịch biến x  y'    x  khoảng(-  ;1) (3;+  ), đồng biến khoảng (1;3) lim y  , lim y   x  x  BBT x y' y  + –  +   -1 Đồ thị : qua điểm (3;-1), (1;3), (2;1), (0;-1) x  3x  x  m   x3  x2  x   2m  (*) 2 Pt : Pt (*) pt hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng d y  2m  (d phương trục Ox) Số nghiệm phương trình số giao điểm (C) d Dựa vào đồ thị (C), để  2m   1 pt có nghiệm :   2m   m    m  Câu Cho hàm số y  x3  6x2  9x  (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm m để phương trình x(x  3)2  m có nghiệm phân biệt y x O -1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b) Ta có: x(x  3)  m  x  6x  9x   m  Phương trình có ba nghiệm phân biệt đường thẳng y = m – cắt (C) điểm phân biệt  1  m     m  Câu Cho hàm số y  x4  x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số cho b) Dựa vào đồ thị  C  tìm tất giá trị tham số k để phương trình sau có bốn nghiệm thực phân biệt x2 1  x2    k + Đưa PT hồnh độ giao điểm: x  x  k 1 + Lập luận được: Số nghiệm PT cho số giao điểm (C) đường thẳng (d): y  k 1 4 + Lập luận được: YCBT    k 1 0 + Giải  k  Câu Cho hàm số y  2x 1 x 1 Tìm k để đường thẳng (d) : y=kx+2k+1 cắt (C) điểm phân biệt Xét pt 2x 1 =kx+k+1 x 1 kx2+(3k-1)x+2k=0(x  -1) kx2+(3k-1)x+2k=0 ( x=-1 khơng phải nghiệm pt với k)  k 0 Do d cắt ( C ) điểm phân biệt      k  6k   k 0      k   2 (*)    k   2 Vậy với k thõa (*) thõa u cầu tốn x 3x (C) Câu Cho hàm số y a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để phương trình x 3x m có nghiệm phân biệt Đồ thị : Cho x = -1  y = , ( -1 ; ) Tâm đối xứng I (1;1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 y y=m-1 O -1 x -1 Tìm m để phương trình x x Ta có x 3 3x 3x 2 m m 3x m x x 3 3x có nghiệm phân biệt 3x 2 m m (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d: y = m – Dựa vào đồ thị (*) có nghiệm phân biệt m m Câu Cho hàm số y  2x  (C) x 1 1* Khảo sát biến thiên vẽ đthị (C) 2* Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x2 + mx + m + = , (x≠ - 1) d cắt (C) điểm phân biệt  PT(1) có nghiệm phân biệt khác -1  m2 - 8m - 16 > m     m   Câu Cho hàm số y  x  x  a*) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b*) Tìm m để phương trình x  x  m  có nghiệm phân biệt Đồ thị (C) hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox điểm (  ; 0) y  1 O x 3 4 b) Ta có x4  2x2  m   x4  2x2   m (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) đường thẳng y  m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Theo đồ thị ta thấy đường thẳng y  m cắt (C) điểm phân biệt   m  3 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt m  (4;3) Câu Cho hàm số y   x4  3x  có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x  3x  m  có nghiệm phân biệt  Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0; 1), (-1; 3), (1; 3) x  3x  m    x4  3x2   m  Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1 Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm phân biệt   m   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 13 0m 4 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VII TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải tốn I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định tập D Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) , tập hợp (C) tất điểm có toạ độ  x; f ( x)  với x  D gọi đồ thị hàm số y  f ( x) Từ định nghĩa ta có: (C)  M / M ( x; y) với x  D y  f(x) M ( x0 ; y0 )  (C )  x0  D y0  f ( x0 ) Phương pháp chung ♦ Đặt M x0 , y0 C với y0 điểm cần tìm; f x0 ♦ Từ điều kiện cho trước ta tìm phương trình chứa x0 ; ♦ Giải phương trình tìm x0 , suy y0 Ví dụ 1: Cho hàm số y 3x x M x0 ; y0 f x0 có đồ thị C Tìm điểm M thuộc đồ thị C cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Bài giải ♦ Đồ thị C có tiệm cận đứng :x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 tiệm cận ngang :y SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Gọi M x0 , y0 với y0 C d M, 3x0 x0 x0 2.d M , y x 1 x 1 từ điểm M đến đường thẳng x0 ♦ Vậy có hai điểm thỏa đề M1 Ví dụ 2: Cho hàm số , ta có: 3 y0 x0 x0 x0 3 3x0 x0 16 x0 16 x0 M 7;5  1;1 có đồ thị C Tìm điểm M  : y  2x 1 x0 C cho khoảng cách Bài giải ♦ Gọi  x 1  M  x0 ;   (C ) x0    Khi ta có: d ( M , )   x0   x0  1 x0  1 2  x0    x0    x02  x0   x0  x0   x0  1  x02  x0   3( x0  1)  x02  x0       x0   x0  x0   3( x0  1)  x0  x0    ♣ Với x0  1 ♣ Với x0  y0 0, ta có M1 (1; 0) y0 3, ta có 1  M  ; 3 2  ♦ Vậy có hai điểm thỏa đề M1 (1; 0) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 1  M  ;   2  SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số y = x 1 x 3 (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị (C)  x 1  Gọi M  x0 ;  , (x0 ≠3) điểm cần tìm, ta có: x 3   Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: y =1 d  x0  x    x0     x0  x0  Với x0  ; ta có M  2; 3 Với x0  ; ta có M  4;5 Vậy điểm M cần tìm M  2; 3 M  4;5 Câu Cho hàm số y  2x  x 1 Tìm điểm M (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng đồ thị (C) khoảng cách từ M đến trục Ox Gọi M  x ; y0  ,  x  1 , y0   x0 1  Với x  2x  , x0 1 Ta có y x -8 -6 -4 -2 -5 2x    x  1  2x  x0 1 x  1 , ta có : x 02  2x   2x    x0  Suy M  0; 1 , M  4;3 1 , ta có pt x 02  2x   2x 1  x 02   (vơ nghiệm) Vậy M  0; 1 , M  4;3 Với x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x 1 x 1 Câu Cho hàm số y  (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm đồ thị hàm số (1) điểm M có hồnh độ âm cho M với hai điểm A 1;0 , B  3;1 tạo thành tam giác có diện tích AB   2;1 , AB  , phương  x 1  M  x;   x 1   S MAB  trình đường thẳng AB: y x -8 -6 -4 -2 -5 điểm cần tìm, ta có SMAB  AB d  M ;( AB)  x2 x 1 1  x2  9x   x2  x 1 x 1  5  x  3 x 1 x  x    (vì x 0) ĐS: M  3;   2 Câu Cho hàm số y  2x 1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm x 1 I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn  Nếu M  x0 ;   y2    (C ) tiếp tuyến M có phương trình x0   3  ( x  x0 ) hay x0  ( x0  1)2 3( x  x0 )  ( x0  1)2 ( y  2)  3( x0  1)  Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến d 3(1  x0 )  3( x0  1)   x0  1  Theo bất đẳng thức Cơsi x0   ( x0  1)   ( x0  1) 2 ( x0  1)  ( x0  1)   , vây d  ( x0  1) Khoảng cách d lớn  ( x0  1)2   x0  1   x0  1  ( x0  1) Vậy có hai điểm M: M 1  3;2  M 1  3;2      NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y  x  3x  m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Với x0   y0  m   M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y  (3x02  x0 )( x  x0 )  m   d: y = -3x + m + - d cắt trục Ox A:  3xA  m   xA  m2  m2  A ; 0   - d cắt trục Oy B: yB  m   B(0 ; m  2) 2 - SOAB   | OA || OB | | OA || OB |  m2 m    (m  2)  m   m     m   3  m  5 Vậy m = m = - Câu Cho hàm số: y  x2 (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi a) Tự làm b) Giả sử M  a;  a2   (C) a 1  PTTT (d) (C) M: y  y (a).( x  a)  a2 3 a  4a   y x  a 1 (a  1) (a  1) a5  , B(2a  1;1)  a 1  Các giao điểm (d) với tiệm cận là: A 1;   6   IA   ; IB  (2a  2;0)  IB  a  IA   0;  a 1  a 1  Diện tích IAB : S IAB = IA.IB = (đvdt)  ĐPCM NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y  2x  x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ  Giả sử M  x0 ;  1 x0    , x0  , y '( x0 )  x0    x0   Phương trình tiếp tuyến () với (C) M: y x0  (x Tọa độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: A  2; x0) 2x x0 2 x0    ; B  x0  2;2  x0     x0  x x y  yB x0  Ta thấy A B   x0  xM , A   yM suy M trung điểm 2 x0  AB Mặt khác I(2; 2) IAB vng I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích   x0      S =  IM   ( x0  2)        ( x0  2)2   2 2 ( x0  2)    x0      x0  1  Dấu “=” xảy ( x0  2)2  x  ( x0  2)2  Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu Cho hàm số y  2x (C ) tìm điểm M  (C ) cho tiếp tuyến đồ thị hàm x 1 số M cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB có diện tích Gọi M ( x0 , y0 )  (C )  y0  x0 , x0  1 y'  ( x  1) Tiếp tuyến M có dạng: x0 x02 2 y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y  ( x  x0 )  y x (d ) ( x0  1)2 x0  ( x0  1) ( x0  1) Gọi A  (d )  ox  tọa độ điểm A nghiệm hệ: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  2x x y  ( x0  1) ( x0  1)  y    x   x02   A( x02 ,0) y  Gọi B  (d )  oy  tọa độ điểm B nghiệm hệ:  x02 y  x   ( x0  1) ( x0  1)  x    x  x02 x02   B(0, ) ( x0  1)  y  ( x0  1) Tam giác OAB vng O ; OA =  x02  x02 ; OB = x02 x02  ( x0  1)2 ( x0  1) Diện tích tam giác OAB: S= x04 1  OA.OB = 2 ( x0  1)   x02  x0   x02  x0   x    y0  2  x  ( x0  1)       x0   x0   x0  1x0  (vn)  x0   y0  2 Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn u cầu tốn: M1 ( ; 2) ; M (1,1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ