B G I O D C V O TO TR NG HC s PH M H N I N G U Y N TH TH A N H NG A P H ẫ P N H N G TP H T TO N c c VO K H ễ N G G IA N H U H N CHIấU L U N V N TH C s T O N HC C h u yờn ngnh: T oỏn gii tớch M ó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc P G S T S C u n g T h A n h H N I, 2016 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n chõn th n h v sõu sc n PG S.TS Cung Th Anh, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon th n h lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn th n h ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ng nghip ó c v, ng viờn, to iu kin tụi hon th n h lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi N guyn T h T hanh N ga Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca PG S.TS Cung Th Anh, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti:P h ộ p n h ỳ n g t p h ỳ t t o n c c v o k h ụ n g g i a n h u h n c h i u c hon th n h bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn th õn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k th a nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõ n trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi N guyn T h T hanh N ga M c lc M u M t s kin th c chun b 1.1 Tp hỳt ton cc 1.2 nh ngha (cellular set) 1.3 nh ngha s chiu A s s o u a d P h ộ p n h ỳ n g t p h ỳ t to n cc vo k h ụn g gian hu hn ch iu 2.1 P h ỏ t biu kt qu c h ớn h 2.2 Tp l hỳt ton cc ca h phng trỡnh vi phõn 11 2.3 Tp hỳt hu hn chiu chớnh l hỳt ca h hu hn chiu 17 2.4 Phộp nhỳng ng lc trờn vo khụng gian E u c lid 18 2.5 Chng minh nh 22 K t lu n Ti liu th a m kho lớ 1 25 26 M u Lớ chn t i Vic nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim thi gian vụ cựng ca cỏc h ng lc vụ hn chiu sinh bi cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn hm l m t bi toỏn quan trng v cú nhiu ý ngha thc tin Mt nhng cỏch tip cn bi toỏn ny i vi cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca hỳt ton cc, xem cun chuyờn kho [1] ú l mt com pact, bt bin, hỳt cỏc b chn v cha ng nhiu thụng tin v dỏng iu tim cn ca h ang xột C th ta cú th xp x dỏng iu tim cn nghim ca m t qu o bt kỡ ca h ang xột bng cỏc qu o nm trờn hỳt ton cc Bi nh lớ Hụlder-M anộ ci biờn, ta bit rng nu m t hỳt ton cc cú s chiu fractal hu hn thỡ, v nguyờn tc, ta cú th chuyn vic nghiờn cu h ng lc trờn hỳt v nghiờn cu h ng lc khụng gian hu hn chiu Tuy nhiờn, vic xõy dng h ng lc hu hn chiu ny nh th no v mi quan h thc s gia hai h ng lc ny (tc l, gia h gc v h rỳ t gn) nh th no cũn r t ớt kt qu [2] Vỡ vy, chỳng tụi chn ny lm ti nghiờn cu ca lun M c ớch n gh iờn cu Nghiờn cu phộp nhỳng hỳt ton cc ca m t h ng lc tiờu hao vụ hn chiu vo m t khụng gian hu hn chiu N h i m v n gh iờn cu Trỡnh by phộp nhỳng hỳt ton cc ca h ng lc vụ hn chiu vo khụng gian hu hn chiu Cỏch xõy dng h ng lc rỳt gn trờn khụng gian hu hn chiu i t n g v p h m v i n gh iờn cu i tng nghiờn cu: Tp hỳt ton cc ca h ng lc tiờu hao vụ hn chiu Phm vi nghiờn cu: Phộp nhỳng hỳt ton cc vo khụng gian hu hn chiu P h n g p h ỏp n gh iờn cu S dng cỏc phng phỏp ca lớ thuyt h ng lc tiờu hao vụ hn chiu K t qu trỡn h by c a lun Lun ó trỡnh by c phộp nhỳng hỳt ton cc ca h ng lc vụ hn chiu vo khụng gian hu hn chiu v cỏch xõy dng h ng lc rỳ t gn trờn khụng gian hu hn chiu ú Chng M t s kin th c chun b Chng ny trỡnh by m t s khỏi nim c bn v hỳt ton cc, s tn ti hỳt ton cc i vi h ng lc vụ hn chiu, nh ngha khi, s chiu Assouad 1.1 Tp hỳt to n cc Mc ny c vit da trờn cỏc ti liu [1], [2] K h ỏ i n i m n a n h ú m liờ n t c n h n g h a 1.1.1 Gi s H l m t khụng gian Hilbert Mt h cỏc ỏnh x liờn tc S{t ) : H H , t > 0, gi l m t na nhúm liờn tc trờn H nu nú tha m ón cỏc iu kin sau: (0 ) = Id2 S ( t + s) = S ( t ) S ( s ) , vi mi t , s > 0; Vi mi Xo e H , ỏnh x 1 > S ( t ) x e ((0 ; + o o ), H ); V i m i t > 0, ỏ n h x Xo s ( t)Xo liờ n t c tr n H K h ỏ i n i m t p h ỳ t to n c c n h n gh a 1 Tp khỏc rng A c H gi l hỳt ton cc ca na nhúm (S'(ớ) nu: A l compact; A l bt bin i vi na nhúm S ( t ) , tc l S ( t ) A = A , vi mi t > 0; A hỳt mi b chn B c H , tc l vi mi Ê > 0, tn ti T T (e, B ) cho S (t) B c N (.4, e ) , vi mi t > T ( s , B ) , õy J\ớ (A , ố) l e-lõn cn ca A H T ớnh cht hỳt tng ng vi iu kin sau õy: Vi mi b chn B CH, dist (s (t) B , A ) >0 t > + 00, ú dist(X,Y) l na khong cỏch Hausdorff gia hai X , Y c H , xỏc nh bi dist (X , Y ) := sup inf IIa: y II xex y^Y T nh ngha suy hỳt ton cc A ca na nhúm s (ớ), nu tn ti, l nht K h ỏ i n i m t p h p th n h n gh a 1.1.3 Tp b chn B c H gi l m t hp th ca na nhúm s (t ) nu vi b t kỡ b chn B c H , tn ti thi im T = T (B) cho S (t) B c B vi mi t > T (B) K h ỏ i n i m t p c-gii h n n h n gh a 1.1 Gi s A c H Tp o-gii hn ca c nh ngha bi Lỳ w = ns>0 Li>u S ( t ) A H ú S ( t ) A = {v = S ( t ) u : u G A } v [X]H l bao úng ca X H n h lớ v s t n t i t p h ỳ t to n c c s (t ) H liờn tc v cú m t hp B q Khi ú na nhúm s (t ) cú m t hỳt ton cc A v Lỳ-gii hn ca B Hn na, A l liờn thụng n h lớ 1.1.1 Gi s na nhúm th compact A = L ( B ), 1.2 n h n gh a t p k hi (cellu lar set) nh ngha c tham kho t ti liu [12] c gi l m-khi (m-cell) nu tn ti m t phộp ng phụi t lờn c, ú -5Rm (l) l hỡnh cu n v úng tõm ti gc ta Mt -BRm (l) ca ]Rm Mt X c R m l R m nu tn ti m t dóy cỏc i vi X , ú l dóy c Mm gm cỏc m -khi l lõn cn ca X n C = X Tc l, X l nu cho trc lõn cn u b t k ca X, tn ti m -khi c c u l lõn cn ca X cho mt ieN 1.3 n h n gh a s ch iu A sso u a d nh ngha s chiu Assouad c tham kho t ti liu [12] Khụng gian m etric ( X , d) c gi l thun nht (M , s) (hay n gin l th u n nht) nu mi hỡnh cu bỏn kớnh r cú th c ph bi nhiu nht M ( r / p hỡnh cu nh hn cú bỏn kớnh p , vi M > v s > S chiu Assouad ca X , d i m ^ x ) l cn di ỳng ca s cho (X , d) l thun nht (M, s ), vi M > (nu X khụng phi l thun nht (M , s ) vi mi M v s thỡ ta xỏc nh d im ^ ( x ) = oo) 12 cho X = V ( x ) (2.5) cú X l hỳt ton cc Hn na, ỏnh x cú th c chn cho tha món: {x) = ^ G X , l thc s; tc l, _1([s,ớ]) l compact vi mi K G l Nu B 2.2.1 tha m ón ú V (z ) = X X vỡ khụng im ca V (x ) chớnh l im cõn bng ca (2.5), khụng cú khụng im no nm bờn ngoi X Ngc li, nu : ]Rm+1 > [0, oo) l m t ỏnh x thuc lp cr cho V (x ) = ỹ I v 4>{x) = ^ i G l , th ỡ theo nh lớ Lyapunov, X l hỳt ton cc ca phng trỡn h X = X ( x ) Do ú, ta ch cn xõy dng , trc ht l trờn R m\ x v sau ú m rng lờn R m Vic chng minh b cú m t chỳt phc vỡ tớnh l m t khỏi nim thun tụpụ nhng ta cn m t ỏnh x kh vi ging nh m t tỏc ng Do ú, ta s bt u vi kt qu v tụpụ sau õy v m rng nú th n h m t ỏnh x kh vi Mnh 2.2.2 Tp Đm_1 l hỡnh cu n v Km, tc l s -1 = { x e l ffl: ||x|| = 1} M n h 2 Cho X l mt ca Km Khi ú, tn ti mt ng cu h : M m\x hi t dn v > sm _1 X ( , + o o ) cho ta th hai ca h(x) X > X Chng minh Cho Q l hỡnh cu R m cú tõm ti gc ta v ln cho X nm hon ton bờn Q Theo nh lớ [3] thỡ tn ti m t ỏnh x liờn tc c : Q > Q l song ỏnh, va l n ỏnh trờn Q \ x , co X th n h m t im p bờn Q, va l ỏnh x ng nht biờn ca 13 Q Ta d dng xõy dng ng cu t Q lờn chớnh nú v ly p th n h v ng nht biờn ca nú, nờn ta cú th gi s p = T tớnh cht ca c suy X c |q \ x > X th ỡ c ( x ) > M rng : Q \ x > Khi ú tn ti ỏnh x ) : \ X Vip (x) vi mi p(x) > X X (0, + oo) thuc lp c cho G Rm \ X , > X , p l thc s Chng minh Xột ỏnh x h thu c Mnh 2.2.1 Ta s a ớĂ) th n h ta th hai ca h nhng cỏch chn ny núi chung l khụng kh vi Vỡ th, u tiờn ta cú h trn Cho l cu trỳc kh vi m R m \ X nh l m t m R m, v bin i theo h thu c cu trỳc mi kh vi h lờn Đm_1 X (0, + oo); rừ rng bng cỏch xõy dng h : (Mm \ X ) s > (sm _1 X (0, +oo))/jÊ l m t vi ng cu Theo [9, t r 31] 14 tn ti m t vi ng cu g : (Đm_1 X (0,T oo))hx; > (Đm-1)CT X (0 ,+ o o ), ú cr l m t cu trỳc kh vi phự hp trờn sm_1 (ta cn gi thit m > lm vic vi nh lớ ny) Theo Chỳ ý [9, tr.31], chỳng ta cú th a yờu cu ú l dist(y, g ( y )) < vi mi y G Đm_1 ú dist l khong cỏch ln nht gia X (0, + oo), sm_1 v (0, Too) Phộp chiu lờn th n h phn th hai p r : (Đ7n_1) X (0, + oo) > (0, Too) hin nhiờn l m t ỏnh x thuc lp c (theo nh ngha tớch cu trỳc kh vi) v o hm nú khụng bao gi bng Khi ú, xỏc nh p : = p r O g O h v to biu sau õy giao hoỏn: (n r \X)S - * (S-1 X (0 ,+co))fcÊ (S - 1), X (0, + 0 ) (0, Too) Rừ rng ỡp l c vỡ nú l hp ca cỏc ỏnh x c Bõy gi ta s kim tra xem ý tha m ón cỏc tớnh cht phỏt biu ca m nh khụng D thy V p(x) ^ vỡ g v h l cỏc vi ng phụi (o hm ca chỳng kh nghch) v p r tha m ón V p r 2{x) ^ Cho s < t, ly dóy (a;)ieN ầ ^ -1 ([s,ớ]) v ký hiu (gi, Z) := goh(x) Theo gi thit ((yi, Z))ief ỗ Đm X [s, ớ], l m t com pact nờn dóy {{Viỡ zi))ieN phi cú m t dóy hi t Tin nh ca dóy qua ng cu g o h l m t dóy hi t (^j)jN- iu ny chng t ,0 -1 ([s,ớ]) l com pact v 1ĂJ l thc s Cho (a;)eN l m t dóy Mm+1 \ X hi t ti X u tiờn ta s ch (ip(xi))i(z hi t hoc ti hoc ti + 00 Nu khụng, nú cú m t dóy (^(ớCj.^jgN nni m t khong com pact v Ip l thc s nờn (a^j.)jN nm m t com pact no ú ca iu ny m õu thun vi s hi t ca (Xi) ti X \ X 15 Ta chn g cho d ist((7 o h(x), h(x)) < v nh ngha dist l khong cỏch ln nh t gia Đm_1 v (0, + oo), dn n dist (p(xi),pr2 o h(xi)) = d ist(p r2 o g o h ( x ) :p r o h (x i)) < c xỏc nh Vỡ i){xỡ) hi t ti hoc hoc + oo v p r 2oh (x) nh phỏt biu Mnh 2.2.1 nờn ta cú Ip(x) > C h n g m in h B 2.2.1 Chng minh Ta s xõy dng dóy cỏc ỏnh x pk bng phng phỏp quy ck, np, tpa thuc lp cho := pk tha m ón b vi r = k Nh l bc u tiờn m rng ỏnh x p cho trc theo Mnh 2.2.2 vo R m bng cỏch gi s giỏ tr ca nú l trờn X , v gi l po- nh x pQ ny liờn tc nhng khụng kh vi xung quanh X , v bõy gi ta s dng khng nh [6] bin po th n h p í tng ny l cho pi := b o Ipj ú b : [0, + oo) > [0, + oo) l vi ng phụi no ú thuc lp gn nh qua tớnh xung quanh X Thc t, vi gp khỳc ca C/X v c1m o hm X G Km \ X , o ý Q)(x) = ( o V>o)(aOy^(z) 'ỡpX ằX (v kộo theo t = '(x) > 0), ta cn (t) hi t ti nhanh p hn tc ụ ca (x) Bõy gi ta s ch lm th no tỡm b X Xi Vi mi t e (0, T oo), cho F := {:r G M{t) m ax xeF d ỡp o dxi \ X : /jo(x) = t } v d o {x ) x mi (x) ỡ Vỡ mi F l com pact, vỡ Ip l thc s nờn M (t ) xỏc nh t t iu kin tp(x) 7^ vi X G R \ X suy M (t) > vi mi t > v rừ rng bng 16 cỏch xõy dng M(i)(x) > dp {x) vi mụi dxi X \ X v < Gi s bõy gi ta cn tỡm m t vi ng cu cho b'(t) < t > Khi ú, ta cú vi < , w X ,1 ,,, < M (ớ) < m vi mi m, , X/ , d i >0 fk (x ) d ỡp o = (6 ^ ){x)d-Sx) - J m h d Ê {x) - M x ) ' t {i tin n > X Nờn -01 := 0-00 thuc lp c trờn Mm, v gradient X ca nú trờn X bng D thy nú chớnh quy trờn ]Rm \ X v tin dn n X > X nờn ỡpi tha m ón b vi r Nu t / M ( t ) liờn tc, ta cú th ly b(t) l nguyờn hm ca t / M ( t ) vi 6(0) = u tiờn ch M ( t ) l na liờn tc trờn, tc l vi mi s G E , { t E (0 ,+ o o ) : M ( t ) < 5} l m kt thỳc, ta c nh t e 1R v s e M cho M ( t ) < s Ta ó chng , minh vi t gn 0; M t ) < s Ti mi im Tp u := u Ux l m t G F0, ta cú d ỡp o {x) < s dxi vi mi < < m nờn theo tớnh liờn tc, tn ti m t lõn cn Ux ca -00 X R m \ X cho ^(2/) < s vi mi y Ux v < < m X X lõn cn ca F \ X Rừ rng F = x e F t0 n F [to_Êt+e], ú F [t_Sto+s] := {y e Rm\x : (y) G [t0- Ê , t 0+Ê]} e> Cng vỡ p l thc s nờn mi Fto_sto+Êj l com pact, tn ti Ê > cho F[ớo_eớo+e] c u Nhng ú vi t E [to Ê,0 + Ê] ta cú M ( ớ0) < s nh yờu cu Bõy gi ta cú th tỡm Vỡ M ( t ) l na liờn tc trờn nờn M ( t ) / t cng vy, dn n t / M ( t ) l na liờn tc di Theo [5, nh lớ 4, tr.222] suy tn ti m t ỏnh x liờn tc < c(t) < t / M ( t ) Ly b(t) l nguyờn hm ca c(t) vi 6(0) = 0, v ta ó xong Khng nh ny cú th phự hp lp tc a bc lp cỏch xõy dng ipk+ t pk- Ta li t ỡpk+ := o ỡp vi m t vi ng phụi 17 phự hp ck+1 l b : [0,+ o o ) > [0, + oo), nhng bõy gi cú cỏc iu kin c thay i trờn t l vi b ^ ( t ) > t > vi mi < < k + T h t vy, vi mi a ch s OL tha m ón a = k + ta cú trờn ~Km\ X , ú p l a thc o hm riờng ca pk vi bc < k v o hm ca b cú bc l < k + Nờn ta cn chn vi iu kin X > X Vi vic chn u tiờn ta d dng thc hin c cũn sau ú, ta c li chng minh t vic b t u t Kt hp cỏc kt qu ny li, ta thu c m t c trng ca nhng m cú th l hỳt ton cc ca h phng trỡnh vi phõn khụng gian hu hn chiu 2.3 Tp h ỳ t hu hn ch iu ch ớn h l t p hỳt c a h hu hn ch iu Trong mc ny, ta s chng minh nu A l hỳt hu hn chiu khụng gian Hilbert H , thỡ tn ti m t phộp nhỳng tuyn tớnh L' : H ]Rm+1 (vi mi m ) cho L ' A l m t R m+1; t ú suy L ' A cú th c to th n h t hỳt ca h phng trỡnh vi phõn hu hn chiu M n h 2.3 Cho A l hỳt ton cc H v L : H ằR m l mt phộp nhỳng tuyn tớnh Khi ú, ỏnh x L' : H Mm+1 c xỏc nh 18 bi u = (Lu, 0) l mt phộp nhỳng tuyn tớnh m nh A l R m+1, vi m > Chng minh Theo nh lớ 3.6 [8], A cú hỡnh dng ging nh H õy l tiờu chun kt lun H cú kiu ng phụi im vỡ ỏnh x H X [0,1] (u, t) > (1 t) u E H a m t ng luõn gia ỏnh x ng nht id : H -3 H v ỏnh x hng : H > H Do ú, H cú hỡnh dng im v A cng vy Vỡ hỡnh dng l b t bin qua ng cu nờn L A cng cú dng im Vỡ th, theo [4], L A m > Nhng L A 2.4 X X {0} l IRm+1 vi {0} li chớnh l A P h ộ p n h ỳ n g n g lc trờn E u clid A vo k h ụn g gian Bõy gi ta xột bi toỏn nhỳng A vo R m cho (2.4) cú th mụ phng li ng lc trờn A Do ú, ta yờu cu v phi f ( x ) ca phng trỡnh (2.4) cú tớnh cht m t quan h gn vi Q trờn nh L A ca A: im ct yu nú cn l L Q L ~ l m bo tớnh nht nghim ca phng trỡn h (2.4), m t vi tớnh chớnh quy c cho l cn thit cho L Q L ~l , m t tiờu chun ú l liờn tc Lipschitz, nhng iu kin ny cú th yu hn th n h liờn tc l-log-Lipschitz Vỡ Q ó c gi thit l liờn tc a-log-Lipschitz, nờn ch cú L v L cn phi xem xột cn thn R t nhiu cỏc kt qu gn õy v phộp nhỳng a ỏnh x tuyn tớnh L :H l m t phộp nhỳng cho ỏnh x l Lipschitz, nờn chớnh õy l tớnh chớnh quy ca L ~ l Gi s hin ti L ~ l cng yờu cu Lipschitz hn ch trờn L A , cho L l song Lipschitz Khi ú, s tn ti hng s c> cho u V II < IL(ự) L(v)\ < c\\u V vi u , v A, 19 ú . kớ hiu cho chun no ú ]Rm S chiu Assouad dim ^ l bt bin di ỏnh x song Lipschitz v hu hn vi ca khụng gian Euclid Do ú, nu A c nhỳng vo IRm theo cỏch song Lipschitz, ta s cú dim J4(v) < 00 nh lớ sau õy ó ch ra, nu dim J4(v4 .) < 00, thỡ tn ti m t phộp nhỳng song Lipschitz logarithm t A vo khụng gian Euclid n h lớ ([12, nh lớ l , tr 3506]) Cho A l mt compact ca khụng gian Hilbert thc H cho d im ^ A A ) < s < m Nu 2+ m ( 6) > 2(m s) thỡ tn ti mt ph bin (prevalent set) cỏc ỏnh x tuyn tớnh L : H Km l n ỏnh trờn A v -hu ht song Lipschitz, tc l tn ti I > 0, C l > cho \\u u|| C L ( - l o g \\u - v||)Tf < IL i u ) L(v ) I < C l \\u 1?||, vi mi u , v G A m || i;|| < L Chỳ ý rng vi mi > 1/2, ta cú th chn m ln thu c m t phộp nhỳng -hu ht song Lipschitz lờn R m Tip theo, ta s dng nh lớ 2.4.1 trờn xõy dng h phng trỡnh vi phõn vi nghim nht m mụ phng ng lc trờn A di gi thit ca nh lớ 2.1.1 M n h Di gi thit ca nh lớ 2.1.1 v cỏc ký hiu nh vy, vi mi m> 2{1 + s ( l a )} - 2a (2.7) 20 tn ti h phng trỡnh vi phõn ]Rm X = g{x), (2.8) v ỏnh x tuyn tớnh b chn L : H -rỡ R m cho: Hm s g : l b chn v Lipschitz ngoi tr hiu chnh logarithm, Phng trỡnh vi phõn (2.8) cú nghim nht, Hn ch L \a : A > L A l mt phộp nhỳng m nh ca nú l bt bin vi h ng lc ca (2.8), Vi mi nghim u{t) ca phng trỡnh (2.2) trờn tphỳt Atn ti nht nghim x (t) ca phng trỡnh (2.8) cho u ( t ) = L ~ 1(x(t)) Chng minh T nh lớ 2.4.1 suy tn ti m t ỏnh x tuyn tớnh b chn L t H vo m l n ỏnh trờn A v cú chiu ngc liờn tc Lipschitz trờn L A ngoi tr th n h phn hiu chnh logarithm vi s m logarithm 7Nu x t ) = L u t ) vi u(t) e A , thỡ trng vộct nhỳng trờn L A c cho bi X = gi(x) := L Q L ~ l {x) vi X L A Hm s #1 : L A -rỡ R m b chn v liờn tc vỡ L A com pact nờn nú cng log-Lipschitz T h t vy, cho trc u , v H , nh ngha L u = X v L v = y T nh lớ 2.4.1 suy I _ I IIL-1^ - L - ^ l l ~ CL (lo g (||L -1a; L ~ 1y\\))'y 21 ú, ta tng C l nu cn thit C l > m ax \x y\ Do vy, vỡ x,yÊLA IL u L v I < C l \\u m||, vi mi X, y L A , nờn \L l x L 1y\\ < C L ( - \ o g ( \ \ L l x L y \ \ ) y \ x - y\ < C L ( o g ( T^ ) \ x - y \ \x - y\j J Vỡ ta gi thit Q l liờn tc Qớ-log-Lipschitz, nờn suy è i ( x ) - Êi(y)| < ||L|opC gL |a: - ( y\ ^log M_ JY +J = : U){\x - y\) vi M m ax( Ê, R ) Nờn gi l liờn tc (o; + )-log-Lipschitz M ụun ca tớn h liờn tc Lỳ ca gi l hm li liờn tc; ta cú th m rng nh lớ theo McShane (xem [11]) m rng hm gi th n h hm g : Mm > m cú m ụun liờn tc ging nhau, ls(z) - g ( y )I < C ớv(\x y|), vi c > T (2.9) suy tn ti T > cho bi toỏn giỏ tr ban u dx = g(x), Cể (2.9) z ( 0) = x ( 10) ớt nht m t nghim trờn [0,T] Vỡ m ụun ca tớnh liờn tc U}(r) ca g l liờn tc vi r > 0, li v tha m ón * = r , - w J Lỳ[r) J\nM j , = M ó a (a + ) < 1, ta cú th s dng tiờu chun Osgood (xem [7]) chng minh (2.10) cú nhiu nht m t nghim trờn mi on [0,T] Vỡ g liờn tc v b chn t vo Mm, dn n mi nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u (2.10) tn ti trờn mi thi gian Do ú, nghim ca phng trỡn h (2.10) l Xq = L uq vi Mo Ê cú th c cho nht bi x t ) = Lu (t) 22 Cui cựng, quan sỏt yờu cu a + < cho ta iu kin (2.7) trờn vic s dng (2.6) 2.5 C h ng m in h n h lớ 2.1.1 Trong cỏc mc trc, ta ó nhỳng A vo khụng gian hu hn chiu R m theo ỏnh x tuyn tớnh L : H ằ R m v ó ch rng tn ti phng trỡn h vi phõn (2.8) ]Rm cú nht nghim v mụ phng li ng lc ca A trờn L A Trong mc cui ny, ta s hp li cỏc kt qu t trc thu c h phng trỡnh vi phõn (2.4) m mụ phng li trờn L A ng lc ca A v cú hỳt ton cc X gn ging vi L A nh yờu cu C h n g m in h n h lớ 2.1.1 Chng minh S dng Mnh 2.3.1 thay th ỏnh x L thu c Mnh 2.4.1 bi L' : H ằMm+1 vi vic thờm m t tớnh cht na l nh ca nú l cho n gin ký hiu, ta thay L' bi L v m + bi m S dng B 2.2.1 thu c Cr ỏnh x : R m > [0,+ oo) cho L A l hỳt ton cc i vi X = V Vỡ l ỏnh x thc s nờn tn ti > cho p := { x E Km : ( x ) < } ầ B e( L A ) Cui cựng, cho : R m > [0,1] l hm ct thuc lp c cho = trờn L A v = ngoi p Ly ỏnh x g thu c t Mnh 2.4.1 v nhõn vi to giỏ tr bờn ngoi p Ta nh ngha / := 9g; rừ rng X = f ( x ) mụ phng ng lc ca A trờn L A Bõy gi, ta xột phng trỡnh (2.5) v (2.11) X = V ( x ) , X = f(x ) - V(x) (2.11) Quan sỏt v phi ca (2.5) v (2.11) ng thi vi X p Do ú, vỡ w n\ p 23 l b t bin õm vi (2.5), nờn nú cng l b t bin õm vi (2.11) v nú dn n p l b t bin dng vi (2.11) Tp p [t, + oo) l com pact (tp úng ca p ) v gim t tng Vi tiờu chun X := f]P -[t,+ o o ) t>0 l bt bin v hỳt p , tc l, cho trc > 0, tn ti T > cho p [T(5, + oo] ầ B s { X ) (xem [10]) Theo cỏch xõy dng, X nm B e{LA) (1) X l hỳt ton cc C nh b chn B ầ c := sup (x) i v c := v cho inf |V ||2 xeB-P Nhn thy rng c > vỡ V ch b trit tiờu trờn L A , ú p l mt lõn cn Do ú, tn ti T > ln cho c c T < c nh Bõy gi ta a khng nh X [T, + oo) ỗ p vi mi X G B Vỡ p l bt bin dng nờn rừ rng ch cn chng minh X -t G p vi t G [0, T] Ta lp lun bng phn chng, nờn gi s X [0,T] ầ w n\ p Theo nh lớ giỏ tr trung bỡnh ( x T ) = {x) + ^ ( x s ) \a=iT, vi Ê [0, X1] Bõy gi - = -||V>(z - O il2 < -c, ú ta s dng khng nh i( Ê ) = V { x Ê) vỡ xÊ p theo gi thit v \\'S/(x Ê )||2 < c bng cỏch ly tng t Vi phng trỡnh trờn v khng nh (x) < c vỡ X (x -T) < p , ta cú c cT < , 24 iu ny m õu thun vỡ X T p theo nh ngha p Dú ú, ta thy B [T , + oo) ầ p Vỡ cho trc J > tn ti Ts > cho p [T,+oo) ầ B s ( x ) , iu ny suy B [T + T ỏ,+ oo) ầ p p ỏ j+ o o ) ầ B s ( X ) Do ú, vi t > T + Ts ta cú d is t( t, X ) < iu ny suy d is t( ò > t > +00 (2) X cha L A Vỡ V trit tiờu trờn L A v = trờn ú, (2.11) thu gn th n h X g ( x ) X E L A Do ú, L A b t bin vi (2.11) v nú l h qu trc tip ca khng nh L A ầ p v biu din ca X l L A ỗ X (núi cỏch khỏc, vỡ X l b t bin com pact cc i Mm, nờn rừ rng L A ỗ X) 25 K t lun Lun ó trỡnh by cỏc kin thc c bn v hỳt ton cc, s tn ti hỳt ton cc, v s chiu Assouad Lun cng ó chng minh nu com pact A c H l hỳt ton cc tng ng vi phng trỡnh tin húa tiờu hao H cho trng vộct l liờn tc a-log-Lipschitz trờn (ot < 1/2) v dim J4(v4 A ) = d, th ỡ tn ti m t phng trỡnh vi phõn Mk cú nghim nht v mụ phng li ng lc trờn A Hn na, h ng lc sinh bi phng trỡnh vi phõn mi ny cú hỳt ton cc X gn tự y ý vi L A , ú L l ỏnh x tuyn tớnh b chn t H vo v l n ỏnh trờn A 26 Ti liờu th am kho [A] Ti liu T i n g V i t [1] Cung Th Anh (2012), C s lý thuyt h ng lc vụ hn chiu, Nh xut bn i hc S phm , H Ni [2] Cung Th Anh (2015), C s lý thuyt phng trỡnh vi phõn, Nh xut bn i hc S phm , H Ni [B] Ti liu T i n g A n h [3] M Brown (1960), A proof of the generalized Schoenflies theorem , Bull Amer Math Soc., 66,74-76 [4] R J Daverm an (1986), Decomposition of manifolds, Academic Press Inc., London [5] C.H Dowker (1951), On countably paracom pact spaces, Canad J Math., 3,219-224 [6] G unther (1995), C onstruction of differentiable flows with prescribed attracto r, Topology A p p l, 62,87-91 [7] p H artm an (1964), Ordinary Differential Equations, John W iley and Sons [8] L K apitanski and I Rodnianski (2000), Shape and Morse theory of attractors, Comm Pure Appl, Math., 53(2),218-242 [...]...9 Chng 2 P h ộp nhỳng tp hỳt ton cc vo khụng gian hu hn chiu Chng ny trỡnh by ni dung v cỏch chng m inh m t nh lớ quan trng v phộp nhỳng tp hỳt ton cc ca h ng lc tiờu hao vụ hn chiu vo m t khụng gian hu hn chiu Chng ny c vit da trờn ti liu [12] 2.1 P h ỏ t b iu kt q u chớnh n h lớ 2 1 1 Cho H l khụng gian Hilbert v s(t) l na nhúm liờn tc xỏc nh trờn H Gi s S ( t ) cú tp... bt bin di ỏnh x song Lipschitz v hu hn vi tp con ca khụng gian Euclid Do ú, nu A c nhỳng vo IRm theo cỏch song Lipschitz, ta s cú dim J4(v) < 00 nh lớ sau õy ó ch ra, nu dim J4(v4 .) < 00, thỡ tn ti m t phộp nhỳng song Lipschitz logarithm t A vo khụng gian Euclid n h lớ 2 4 1 ([12, nh lớ l , tr 3506]) Cho A l mt tp con compact ca khụng gian Hilbert thc H sao cho d im ^ A A ) < s < m Nu 2+ m (... t vic b t u t Kt hp cỏc kt qu ny li, ta thu c m t c trng ca nhng tp m cú th l tp hỳt ton cc ca h phng trỡnh vi phõn trong khụng gian hu hn chiu 2.3 Tp h ỳ t hu hn ch iu ch ớn h l t p hỳt c a h hu hn ch iu Trong mc ny, ta s chng minh nu A l tp hỳt hu hn chiu trong khụng gian Hilbert H , thỡ tn ti m t phộp nhỳng tuyn tớnh L' : H ]Rm+1 (vi mi m ) sao cho L ' A l m t tp con khi trong R m+1; t ú suy ra... t vo Mm, dn n mi nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u (2.10) tn ti trờn mi thi gian Do ú, nghim ca phng trỡn h (2.10) l Xq = L uq vi Mo Ê cú th c cho duy nht bi x t ) = Lu (t) 22 Cui cựng, quan sỏt yờu cu a + 7 < 1 cho ta iu kin (2.7) trờn vic s dng (2.6) 2.5 C h ng m in h n h lớ 2.1.1 Trong cỏc mc trc, ta ó nhỳng A vo trong khụng gian hu hn chiu R m theo ỏnh x tuyn tớnh L : H ằ R m v ó ch ra rng tn ti... Vỡ hỡnh dng l b t bin qua ng cu nờn L A cng cú dng im Vỡ th, theo [4], tp L A m > 3 Nhng L A 2.4 X X {0} l khi trong IRm+1 vi {0} li chớnh l A P h ộ p n h ỳ n g n g lc trờn E u clid A vo k h ụn g gian Bõy gi ta xột bi toỏn nhỳng A vo R m sao cho (2.4) cú th mụ phng li ng lc trờn A Do ú, ta yờu cu v phi f ( x ) ca phng trỡnh (2.4) cú tớnh cht m t quan h gn vi Q trờn nh L A ca A: im ct yu nú cn