Đang tải... (xem toàn văn)
• 2X Điểm X G X thỏa mãn X E T x th ì X gọi điểm bất động ánh xạ đa trị T tập hợp X Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình th àn h nên lý thuyết điểm bất động, gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Brouwer, Banach, Shauder, K akutani, Ky F a n , Năm 1976, Định lý điểm bất động Caristi[l] công bố Sau nhiều nhà toán học mỏ rộng kết theo nhiều hướng khác Năm 2006, hai nhà toán học người Trung Quốc Y Feng s Liu công bố kết điểm b ất động ánh xạ kiểu Caristi [4] Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc H L Guang z Xian giới thiệu khái niệm metric nón, cách thay tập số thực R định nghĩa metric bỏi không gian Banach thực [5] Từ nhiều kết điểm bất động cho lớp không gian công bố Năm 2012, nhà toán học người Hàn Quốc J s Bae K s s H Cho, Na mỏ rộng kết Y Feng s Liu sang không gian metric nón, kết công bố báo Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces [3] Định lý điểm bất động ánh xạ co đa trị ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Đây kết điểm bất động Với mong muốn tìm hiểu sâu điểm b ất động, điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: “Đ iể m b ấ t đ ộ n g c ủ a n h x k iể u C a r is ti đ a tr ị tr o n g k h ô n g g ia n m e tr ic n ó n ” M ụ c đ ích n g h iê n u Nghiên cứu điểm b ất động ánh xạ ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón N h iệ m v ụ n g h iê n cứu Nghiên cứu không gian metric nón ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Đ ố i tư ợ n g p h m v i n g h iê n u Nghiên cứu "Điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón" dựa ba báo: Fixed point theorem for multi-valued contractive mappings and multi-valued Caristi type mappings Y Feng, s Liu [4] Cone metric spaces ang fixed point theorems of contractive mappings H L Guang, z Xian [5] Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces H Cho, J s Bae and K s Na s [3], P h n g p h p n g h iê n u Phương pháp phân tích tổng hợp, vận dụng kiến thức giải tích hàm để phục vụ cho mục đích nghiên cứu D ự k iến đ ó n g g ó p củ a lu ậ n văn Luận văn trìn h bày cách hệ thống điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Luận văn gồm chương nội dung: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức không gian metric, không gian metric Hausdorff Sau khái niệm đưa ví dụ để minh họa Tiếp theo trìn h bày chi tiết định lý điểm bất động Caristi Cuối trìn h bày kết điểm b ất động ánh xạ kiểu Caristi Chương Điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Trong chương trình bày số kiến thức không gian metric nón ví dụ minh họa Sau trìn h bày định lý điểm bất động kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Kết K s Na công bố năm s H Cho, J B Bae 2012 Hầ Nội, tháng 06 nẫm 2016 Tác giả Đ iệp T hị H ồng Sinh Chứng minh Giả sử { x n} dãy X lim x n = X G X n — > 00 Với £ > 0, ta chọn c G E cho N Vì p nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên ta có Il dp [xnì æ)|| < K IMI < £ ì \fn > N Khi lim dp ( x n, x) = E n —>00 Ngược lại, giả sử E ta có lim dp ( xn, x) = Khi Vc G E n — >00 mà cho ||a;||
xác định trên, tồn số tự nhiên N cho Il dp ( xn, æ)||
N Suy c — dp {xn, X ) G in t ( p ) Khi dp {xnì x) N , tức lim x n = X n —>00 □ Đ ịn h lý [5] Cho (X , dp) không gian metric nón dẫy X Nếu { av } hội tụ tới X { x n} dãy Cauchy Chứng minh Với c G E m V ra, n > N, d p (xnì x) c, tồn N G N* cho ^ dp {xm, x) 43 Do {íCn } dãy Cauchy □ Đ ịn h lý [5] Cho (x , d p ) không gian metric nón, p nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {íCn} dãy X Khi {Xn} dẫy Cauchy khỉ lim dp (xn, x m) = n— >00 Chứng minh Giả sử { x n} dãy Cauchy X Gọi K số chuẩn tắc p Với £ > 0, chọn c thuộc E cho N , hay < £, V n, m > N Vậy lim n,m —>00 Ngược lại, giả sử lim n,m —>00 dp ( x n, x m) = dp (x n: x m) = Ta có, với c G E mà cho ||a;||
xác định tồn số tự nhiên N cho I K ( x n ì x m)\\
N Suy ra, c - dp ( xnĩ x m) G in t ( p ) Ta nhận dp (xn, x m) N , tức lim 71,771—> 0 dp ( xn, x m) = Do { x n} dãy Cauchy X □ Đ ịn h lý 2.1.5 [5] Cho (x,dp) không gian metric nón, p nón chuẩn tắc vói số chuẩn tắc K { x n} , {t/n} dẫy X Nếu lim x n = X, lim yn = y n —>00 n —>00 lim dp ( Xn, y rj) n —>00 dp ( X , y ) Chứng minh Với £ > 0, ta chọn c thuộc E cho « p C INI < Từ lim x n = x : lim y n = y , tồn số tự nhiên N cho 71— > 0 71— > 0 dp ( x n, x) c dp (y n, ỳ) c, với n > N Ta có dp {xnì y n)