Trong năm gần đây, đề thi Đại học chia làm nội dung phương pháp chính: Đó đặt ẩn x,y cho điểm từ quan hệ độ dài, song song để tìm x,y (như kA,kB 2014) liên quan đến yếu tố cạnh vuông góc để từ yếu tố giải tìm điểm, phương trình (như 2013,2012 ) Trong viết anh xin đề cập đến hướng giải thứ yếu tố vuông gócvà đưa số toán kiểu hình học túy hồi cấp mà không gắn tọa độ vào Khi người ta đề gắn tọa độ vào để bắt tìm pt cạnh, tìm điểm mấu chốt em phải tìm cạnh vuông góc với nhau! để biết nhanh cạnh vuông góc với để chứng minh áp dụng nó? Anh nói em nhanh dạy dựa vào đề em nhận ngay, bạn chưa thể nhìn dựa vào đề vẽ thật hình, độ dàu tỉ lệ cạnh từ hình ta nhìn thôi! Sau anh xin nêu số toán kiểu em chưa vội xem giảng vội, thử vẽ hình tìm nó, chứng minh Và điều có ích cho em thi hsg12 hay hhp đề thi ĐH nay! sau số toán kiểu đó! ˆ =D ˆ = 900 ) có CD = 2AB Gọi H Bài : Cho hình thang vuông ABCD ( A chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC M trung điểm HC Chứng minh đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM Bài giải Hạ BE ⊥ DC , E ∈ DC Theo ta có ME đường trung bình VDEC ⇒ ME // DH ⇒ ˆ = 900 ME ⊥ AC ⇒ AME ˆ = 900 (theo cách dựng) Mặt khác : ABE _A _B _H M _ _D _C _E ˆ = BEA ˆ ( chắn ¼ ⇒ ◊ ABME tứ giác nội tiếp ⇒ AMB AB ) (1) ˆ = 900 (giả thiết ) Mặt khác : ADB ˆ = AMD ˆ (vì chắn ¼ ⇒ ◊ ADEM tứ giác nội tiếp ⇒ AED AD ) (2) ˆ = AMD ˆ + AMB ˆ = AED ˆ + BEA ˆ = 900 Từ (1) (2) ⇒ DMB Hay DM ⊥ BM M (điều phải chứng minh) Nhận xét : Cách sử dụng phương pháp dụng định nghĩa để chứng minh hai đường thẳng vuông góc tức chứng minh góc tạo thành hai đường thẳng 900 Khai thác toán : Nếu ta tìm cách tạo đường đường thẳng song song với hai đường thẳng cần chứng minh chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng lại ta có cách làm thư hai toán Cách làm thứ trình bày sau: Cách 2: Dựa vào tính chất đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song Kẻ MI // AB (1) ⇒ MI ⊥ AD (vì AB ⊥ AD) (2) _B _A H _ M _ _I _D _C Lại có DH ⊥ AC(giả thiết ) ⇒ DI ⊥ AM (3) Từ (2) (3) ⇒ I trực tâm VADM ⇒ AI ⊥ DM (*)  MI / / DC (vì / / AB) ⇒ MI đường Mặt khác : Trong V DHC có :   MH = MC ( gt ) trung bình ⇒ MI = CD hay MI = AB (4) Từ (1) (4) ⇒ ABMI hình bình hành ⇒ BM // AI (**) Từ (*) , (**) suy BM ⊥ DM (điều phải chứng minh) Nhận xét : Cách sử dụng phương pháp thứ để chứng minh hai đường thẳng vuông góc.Như toán ta linh hoạt vẽ them đường phụ để thuận lợi áp dụng cách chứng minh dễ dàng Ngoài ta áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông để giải toán Cách làm sau : Cách : Vận dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông Kẻ BE ⊥ DC E Dễ dàng chứng minh ABDE hình chữ nhật ⇒ AB = DE = EC _A _B H _ M _ _O _ E D _ Trong V _C  ED = EC ⇒ DHC có :   MH = MC EM đường trung bình ⇒ EM ⊥ HC ⇒ V AME tam giác vuông M Gọi O trung điểm AE ⇒ O trung điểm BD ⇒ MO đường trung tuyến tam giác BDM (1) Trong Vvuông AEM có MO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ MO = AE Mà AE = BD (tính chất đường chéo hình chữ nhật) Nên MO = BD (2) Từ (1) (2) suy V BDM tam giác vuông M hay BM ⊥ DM M (điều phải chứng minh) Nhận xét : Với cách ta vừa sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác để giải toán chứng minh.Cách áp dụng dễ dàng áp dụng đưa toán cho học sinh lớp giải Qua ba cách làm toán trên, ta thấy toán ta giải chúng theo nhiều cấp lớp khác phù hợp với trình độ nhận thức học sinh.Với cách thứ áp dụng cho học sinh lớp 9, cách thứ học sinh lớp , cách thứ áp dụng học sinh lớp Như với cách chứng minh hai đường vuông góc ta tạo lí thú đề hình học cho học sinh trung học sở : lớp cao (lớp 8, lớp 9) ta yêu cầu tìm nhiều cách giải có thể.Từ giúp cho học sinh có tư hình học khả khai thác toán hiệu quả, đặc biệt tạo cho học sinh thái độ tích cực, hứng thú môn học Bài : Cho tam giác cân ABC, gọi H trung điểm BC E hình chiếu H AC Gọi O trung điểm đoạn thẳng HE Chứng minh AO vuông góc với BE Bài làm Gọi K trung điểm EC Ta có : HK đường trung bình V BEC nên HK // EB (1) Trong V EHC ta có OK đường trung bình nên OK // HC.(2) Mà AH ⊥ HC (giả thiết ) (3) Từ (2) (3) ta có OK ⊥ AH (*) Lại có HE ⊥ AC (vì E hình chiếu H AC) (**) Từ (*) , (**) suy O trực tâm V AHK ⇒ AO ⊥ HK (4) Từ (1) (4) suy AO ⊥ BE (điều phải chứng minh) Nhận xét : Ta vừa sử dụng phương pháp thứ để giải toán Mấu chốt toán AH vừa đường trung tuyến vừa đường cao VABC Vì tat hay đổi hình dạng tam giác đảm bảo AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến ta toán với cách giải tương tự trên.Chẳng hạn ta có toán sau : Bài 2.1 : Cho tam giác ABC,gọi H trung điểm BC E hình chiếu H AC Gọi O trung điểm đoạn thẳng HE Chứng minh AO vuông góc với BE _A _E B _ _60 _C H _ Cách giải toán hoàn toàn tương tự ˆ = 900) Gọi H trung điểm Bài 2.2 Cho tam giác vuông cân ABC ( A BC E hình chiếu H AC Gọi O trung điểm đoạn thẳng HE Chứng minh AO vuông góc với BE A _ _E _O B _ C _ H _ Cách giải toán hoàn toàn tương tự toán Bài toán chứng minh dựa vào quan hệ song song vuông góc đường thẳng Nếu ta không tạo đường song song HK với BE sao? Bài toán trở thành toán nào? Câu trả lời : Bài toán có đề sau : ˆ = 900 Đường cao HE Gọi O , Bài 2.3.Cho tam giác vuông AHC có H Klần lượt trung điểm EH EC Chứng minh AO vuông góc với HK Bài giải _A _E O _ _K H _ _C Từ giả thiết có OK đường trung bình tam giác EHC ⇒ OK // HC Mặt khác : HC ⊥ AH ⇒ OK ⊥ AH Xét tam giác AHK có HE ⊥ AC, OK ⊥ AH ⇒ O trực tâm tam giác AHK ⇒ AO ⊥ HK Nhận xét : Như toán trường hợp đặc biệt toán Bằng cách cho thêm điểm B đối xứng với điểm C qua H.Ta có toán Hoàn toàn toán với cách phát biểu khác ta có toán 2.4 Bài 2.4.Cho V ABC cân A, đường cao AH Hạ HI ⊥ AC, M trung điểm HI Chứng minh BI vuông góc với AM Tiếp tục phát triển theo hướng tạo đường thẳng song song với AO đường thẳng vuông góc với BE Ta có toán sau : Bài 2.5.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B AC I N trung điểm AD HC Chứng minh BN vuông góc với IN Bài giải _A _I _H M _ _N _B _C Gọi M trung điểm BH Ta có : AM ⊥ BN (đã chứng minh toán 2.1) (*) Ta chứng minh AM // IN Thật : Do MN đường trung bình V HBC nên MN // BC MN = BC Mặt khác : ABCD hình chữ nhật I trung điểm AD nên AI // BC AI = BC Do AI // MN AI = MN ⇒ MNIA bình hành ⇒ AM // IN (**) Từ (*) (**) suy BN vuông góc với IN Bài toán 2.5 nhiều cách giải Nếu ta kết hợp toán 2.4 2.5 ta toán khó chút xíu Bài toán sau : Bài toán 2.6 Cho V ABC cân A, đường cao AH Dựng hình chữ nhật AHCK, HI vuông góc với AC M , N trung điểm IC AK Chứng minh MN vuông góc với BI Bài làm Hình vẽ : hình 10 Gọi J trung điểm HI Áp dụng toán 2.4 ta có BI ⊥ AJ Mặt khác theo chứng minh 2.5 AJMN hình bình hành AJ // MN Vậy MN ⊥ BI (điều phải chứng minh ) ◊ _N _A _K I_ _J _M _C _H _B Hình 10 Tương tự toán 2.5 (dựng hình chữ nhật ABCD tạo AM // IN ) ta tạo EF // BN để toán sau : Bài toán 2.7 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B AC E , F , M trung điểm AB , DH , BH Chứng minh AM vuông góc với EF Bài làm : Gọi N trung điểm CH Áp dụng chứng minh AJMN hình bình hành (bài 2.5) ta chứng minh ◊ ◊ BEFN hình bình hành ⇒ EF //NB Mặt khác BN ⊥ AM (bài toán 2.3) Vậy ta có AM ⊥ EF (điều phải chứng minh ) _A _D F _ _E _H N _ M _ _B _C Lại kết hợp toán 2.5 toán 2.7 cho ta kết khác Bài toán 2.8 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B lên AC E , F , M , N lầm lượt trung điểm AB , DH , HC , AD Chứng minh EF ⊥ MN 10 Bài làm : _N _A _D _F _E H _ I_ _M _B _C Gọi I trung điểm BH Lần lượt theo toán 2.3 ; 2.5 ; 2.7 ta có kết sau: AI ⊥ BM ; AI // MN ; BM // EF ⇒ EF ⊥ MN (điều phải chứng minh ) Bài toán 2.9: Cũng đề thi Đại học kA năm vừa rồi: Anh xin viết lại đề này: Cho hình vuông ABCD, M trung điểm AB, N điểm thuộc AC cho AN=3NC Biết M(1;2) N(2;-1) Viết pt cạnh CD! (Hình vẽ em tự vẽ nhé) Bài giải: rõ ràng có nhiều cách giải cho toán này! Nhưng điều anh muốn khai thác viết toán yếu tố vuông góc Và toán DN vuông NM Các em chứng minh cách tính cạnh từ pitago suy điều phải chứng minh! Có DN vuông MN em có nhiều hướng để viết CD tìm D viết DC dựa vào cos(DN,DC) hay tìm D, gọi ẩn tọa độ C để tìm C Điều em thắc mắc đoán MN vuông DN? anh nói dựa vào đề em suy đoán em vẽ hình thật thật đẹp giấy xem, nhìn thôi! 11 Hy vọng tài liệu anh copy viết thêm giúp em nhiều toán hhp năm gần đề thi hsg, đề thi thử! Chúc em học tốt! 12