BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ĐÌNH HÙNG DÀN THỜI GIAN - TẦN SỐ GARBOR VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ĐÌNH HÙNG DÀN THỜI GIAN - TẦN SỐ GABOR VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN QUỲNH NGA Hà Nội, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Phạm Đình Hùng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng bảo hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Phạm Đình Hùng Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert 1.2 Một số không gian 1.3 Phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier 1.4 Khung tổng quát không gian Hilbert 1.5 Khung Gabor 19 Dàn thời gian – tần số Gabor đồng thức Wexler – Raz 27 2.1 Hàm đối ngẫu khung 27 2.2 Đồng thức Wexler-Raz 2.3 Hàm đối ngẫu Wexler – Raz đồng với hàm đối ngẫu 31 khung 45 2.4 Một chứng minh độc lập 51 Kết luận Tài liệu tham khảo 54 55 Mở đầu Lí chọn đề tài Khung R.J Duffin A.C Schaeffer [5] đưa thức vào năm 1952 Tuy nhiên, phải đến năm 1986, sau báo I Daubechies, A Grossmann Y.Meyer [3] khung nhà khoa học quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén liệu, lý thuyết mẫu, lí thuyết mật mã, lí thuyết lượng tử, Một khung xem sở trực chuẩn suy rộng Nó cho phép biểu diễn vectơ không gian thành tổ hợp tuyến tính vô hạn vectơ khung, nhiên hệ số biểu diễn không Chính nhờ tính chất mà khung có nhiều ứng dụng quan trọng xử lý tín hiệu hình ảnh cho tính bền vững: chất lượng tín hiệu bị ảnh hưởng có nhiễu tiếng ồn tín hiệu khôi phục lại từ mẫu có độ xác thấp (xem [1]) D Gabor, nhà vật lí kĩ sư điện người Hungary, người nhận giải Nobel vật lý, năm 1946 [6] đưa ý tưởng khai triển hàm f thành chuỗi hàm bản, đươc xây dựng từ hàm L2 (R) phép tịnh tiến biến điệu Cụ thể hơn, ông đề xuất khai triển hàm f thành chuỗi f= cm,n gmα,nβ m,n∈Z (1) hàm gmα,nβ định nghĩa gmα,nβ (t) = g (t − nβ) e−2πimαt , m, n ∈ Z (2) với hàm cố định g tham số dịch chuyển thời gian, tần số α, β > Các hàm gmα,nβ (2) nhận nhờ dịch chuyển g dọc theo dàn Λ = β Z × αZ mặt phẳng thời gian – tần số Các dàn thời gian – tần số Gabor{gmα,nβ }m,n∈Z xác định (2) công cụ tiềm để phân tích xử lý tín hiệu giọng nói âm nhạc Với mong muốn hiểu biết nhiều lý thuyết khung nói chung dàn thời gian - tần số Gabor nói riêng, đồng ý hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga, định chọn: “Dàn thời gian - tần số Gabor Đồng thức Wexler - Raz” làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan sở lý thuyết khung dàn thời gian – tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz Nhiệm vụ nghiên cứu Nắm vững kiến thức sở bao gồm tính chất toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert, lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert Nghiên cứu dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz Phạm vi nghiên cứu: Các báo, tài liệu nước liên quan đến dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng góp luận văn Luận văn hy vọng tài liệu tổng quan dàn thời gian - tần số Gabor đồng thức Wexler - Raz Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại vài khái niệm, kết dùng chương sau Các kết tham khảo từ tài liệu [1], [3], [5], [8], [10] 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tục bị chặn, nghĩa tồn số c > cho T x ≤ c x , với x ∈ H (1.1) Ký hiệu B(H, K) tập tất toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K B(H, K) ký hiệu đơn giản B(H) Chuẩn T ∈ B(H, K) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương, T = sup { T x : x ∈ H, x ≤ 1} = sup { T x : x ∈ H, x = 1} Mệnh đề 1.1.1 Giả sử H, L , K không gian Hilbert Nếu T ∈ B (H, K) tồn phần tử T ∗ ∈ B (K, H) cho T ∗ x, y = x, T y , (x ∈ K, y ∈ H) Hơn nữa, i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ iii) (T ∗ )∗ = T iv) I ∗ = I ∗ v) Nếu T khả nghịch T ∗ khả nghịch (T −1 ) = (T ∗ )−1 , S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) a, b ∈ C Toán tử T ∗ Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T Mệnh đề 1.1.2 Giả sử T ∈ B(H, K) S ∈ B(K, L) Khi i) T x ≤ T x , ∀x ∈ H ii) ST ≤ S T iii) T = T ∗ iv) T T ∗ = T Cho T ∈ B(H) T gọi toán tử tự liên hợp T ∗ = T , unita T ∗ T = T T ∗ = I T gọi dương (ký hiệu T ≥ 0) T x, x ≥ với x ∈ H Chú ý với T ∈ B(H) T ∗ T x, x = T x, T x ≥ với x ∈ H Do T ∗ T dương Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ B(H) Khi i) T tự liên hợp T x, x thực với x ∈ H Đặc biệt, toán tử dương tự liên hợp ii) T unita T ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H Mệnh đề 1.1.4 Nếu U ∈ B (H) toán tử tự liên hợp U = sup | Uf, f | f =1 42 Từ suy TW (k /β ,l /α )ϕj ;α,β g¯ m,n −k −l W , β α = 2πikl /αβ 2πikl /αβ =e =e W ∗ g¯, W (mα, nβ) ϕj k l , g¯, W (mα, nβ) ϕj β α Tϕj ;α,β g k /β ,l /α Từ ta có αTϕ∗j ;α,β Rαβ Tg;α,β Tϕ∗j ;1 /β ,1 /α R1 /αβ ek,l = α Tϕ∗j ;α,β Tϕj ;α,β g¯k /β ,l /α Lấy tổng theo j dẫn đến( sử dụng (2.17)) J−1 Tϕ∗j ;α,β Rαβ Tg;α,β Tϕ∗j ;1 /β ,1 /α R1 /αβ ek,l = g¯k /β ,l /α α j=0 = Tg¯∗;1 /β ,1 /α ek,l Điều phải chứng minh Vì Tg;1 /β ,1 /α hiển nhiên bị chặn Tg¯;1 /β ,1 /α bị chặn, điều ta bỏ qua điều kiện bổ sung Tg;1 /β ,1 /α bị chặn phát biểu Bổ đề 2.2.4 Điều hoàn thành chứng minh Định lí 2.2.1 Giả sử g b hàm đối ngẫu cho khung {gmα,nβ }m,n∈Z theo nghĩa Tgb ;α,β bị chặn Tg∗b ;α,β Tgb ;α,β = Id, hay nói cách khác với f ∈ L2 (R) b f, gmα,nβ gmα,nβ f= m,n Hàm khung đối ngẫu g˜ xây dựng bên ( (2.7)) ví dụ g b điều nghĩa Lấy liên hợp hai vế ta thu Tg∗b ;α,β Tg;α,β = Id (2.21) 43 Chọn h cho |h (x)| ≤ K(1 + |x|)−1−ε với K > tác động hai vế (2.21) vào h sau sử dụng đồng thức Wexler - Raz (2.8) ta αβTg∗b ;α,β Tg;α,β h = αβh, Th;∗ /β ,1 /α Tg;1 /β ,1 /α g b = αβh Điều có nghĩa dãy c = Tg;1 /β ,1 /α g b m cm,n e−2πi( m,n /β )x thỏa mãn h x− n = αβh (x) α với h thuộc tập trù mật L2 (R) Ta cần chọn h (x) = χ[0;β] (x) để thấy điều khả thi cm,n = αβδm,0 δn,0 (Chú ý αβ ≤ ta giả thiết {gmα,nβ }m,n∈Z khung) Lập luận chứng minh phần kết sau Mệnh đề 2.2.8 Giả sử {gmα,nβ }m,n∈Z khung Khi hàm g b với Tgb ;α,β bị chặn thỏa mãn ∗ Tg;α,β Tgb ;α,β = Id = Tg∗b ;α,β Tg;α,β (2.22) Tg;1 /β ,1 /α g b = αβe0,0 = Tgb ;1 /β ,1 /α g (2.23) Chứng minh ∗ Ta từ Tg;α,β Tgb ;α,β = Id suy Tgb ;1 /β ,1 /α g = αβe0,0 Bằng cách tương tự ta suy Tgb ;1 /β ,1 /α g = αβe0,0 Để chứng minh điều ngược lại, chọn h hàm cho |h (x)| ≤ K(1 + |x|)−1−ε với K > 0, ε > 44 Từ (2.23) suy Th;∗ /β ,1 /α Tg,1 /β ,1 /α g b = Th;∗ /β ,1 /α (αβe0,0 ) = αβTh;∗ /β ,1 /α (e0,0 ) = αβ e0,0 , hm /β ,n /α = αβh Sử dụng đồng thức Wexler – Raz ta suy Tg∗b ;α,β Tg,α,β h = h với h chọn Do tập h làm thành tập trù mật L2 (R) nên ta có Tg∗b ;α,β Tg,α,β = Id Lấy liên hợp hai vế ta suy ∗ Tg;α,β Tgb ;α,β = Id Chú ý (2.23) suy Tg;1 /β ,1 /α gkb/β ,l /α m,n k l gb , β α m,n k l m n = W , gb, W , g β α β α m n k l ∗ b W , g = g ,W , β α β α k m−k n−l = e−2πi( /αβ )(l−m) g b ,W , g β α = αβδk,m δl,n = αβ e(k,l) m,n = Tg;1 /β ,1 /α W Từ suy Tg;1 /β ,1 /α Tg∗b ;1 /β ,1 /α c = αβc với tập trù mật gồm tất c l2 với hữu hạn thành phần khác Do Tg;1 /β ,1 /α Tg∗b ;1 /β ,1 /α = αβId = Tgb ;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α (2.24) Ta ý với αβ ≤ 1, số nguyên J Bổ đề 2.2.5 2.2.6 từ (2.17) (2.18) suy ϕ0 tự đối ngẫu theo nghĩa Tϕ0 ;1 /β ,1 /α Tϕ∗0 ;1 /β ,1 /α = βId , Tϕ∗0 ;α,β Tϕ0 ;α,β = Id α 45 Thực tế (2.20) ϕ0 thay hàm tổng quát h mà {hmα,nβ }m,n∈Z khung Nếu hb đối ngẫu với h theo nghĩa (2.22), ta có Tg¯∗;1 /β ,1 /α = Thb ;α,β Rαβ Tg;α,β Th;∗ /β ,1 /α R1 /αβ 2.3 (2.25) Hàm đối ngẫu Wexler – Raz đồng với hàm đối ngẫu khung Mệnh đề 2.2.8 đặc trưng tất hàm g b đối ngẫu với gmα,nβ theo nghĩa (2.22) nghịch ảnh αβe0,0 ánh xạ Tg;1 /β ,1 /α Trong số tất hàm đối ngẫu g b , ta cần chọn hàm có chuẩn nhỏ nhất, ta gọi hàm đối ngẫu Wexler – Raz kí hiệu g # Ta tìm công thức cho g # lập luận tương tự với lập luận dẫn đến (2.7) cho g˜ Nghiệm có chuẩn nhỏ Tg;1 /β ,1 /α g b = αβe0,0 xuất tách riêng N Tg;1 /β ,1 /α cách lấy hình chiếu trực giao nghiệm tùy ý g b lên N Tg;1 /β ,1 /α ⊥ = R Tg;∗ /β ,1 /α Ở miền giá trị Tg;∗ /β ;1 /α tập đóng; điều suy từ (2.24) với hàm đối ngẫu g b , ta có c = 1 Tgb ;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α c ≤ Tgb ;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α c αβ αβ (2.26) Giả sử fn ∈ R Tg;∗ /β ,1 /α fn → f Đặt fn = Tg;∗ /β ,1 /α yn Khi T b1 αβ g ; /β , /α = T b1 αβ g ; /β , /α yn − ym ≤ Tg;∗ /β ,1 /α (yn − ym ) fn − fm Do fn → f nên fn − fm → n, m đủ lớn Từ yn − ym → n, m đủ lớn hay yn → y 46 Từ fn → Tg;∗ /β ,1 /α y hay nói cách khác f = Tg;∗ /β ,1 /α y Từ R Tg;∗ /β ,1 /α đóng Để tìm hình chiếu g b lên R Tg;∗ /β ,1 /α ta phải tìm c l2 Z2 để g b − Tg;∗ /β ,1 /α c⊥R Tg;∗ /β ,1 /α hay nói cách khác Tg;1 /β ,1 /α g b − Tg;∗ /β ,1 /α c = Điều tương đương với Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α c = αβe0,0 Vì Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α có nghịch đảo bị chặn (2.26) nên c = αβ T g;1 / β , /α Hình chiếu g b lên N Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α c = αβTg;∗ /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α ⊥ T −1 e0,0 g;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α −1 e0,0 Mệnh đề sau tóm tắt kết vừa trình bày Mệnh đề 2.3.1 Giả sử gmα,nβ thiết lập khung.Hàm g b thỏa mãn Tg;1 /β ,1 /α g b = αβe0,0 phần tử g # + N Tg;1 /β ,1 /α với g # = αβTg;∗ /β ,1 /α Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α −1 e0,0 (2.27) g # nghiệm với chuẩn L2 nhỏ Mặc dù g˜ v` a g # nghiệm toán cực trị khác nhau, diễn giải mang tính hình học chúng kết phép chiếu c nghiệm (2.3) g b nghiệm (2.23) dẫn đến kết sau Mệnh đề 2.3.2 Giả sử gmα,nβ thiết lập khung Hàm đối ngẫu khung g˜ định nghĩa (2.7) hàm đối ngẫu Wexler – Raz g # định nghĩa (2.27) 47 Chứng minh Từ định nghĩa g˜ ta có ∗ g˜ = Tg;α,β Tg;α,β −1 g (2.28) hay nói cách khác ∗ g = Tg;α,β Tg;α,β g˜ ∗ Do W (mα, nβ) giao hoán với Tg;α,β Tg;α,β nên ∗ W (mα, nβ) g = W (mα, nβ) Tg;α,β Tg;α,β g˜ ∗ = Tg;α,β Tg;α,β W (mα, nβ) g˜ ∗ Tg;α,β g˜mα,nβ Với c ∈ l2 Z2 hay nói cách khác gmα,nβ = Tg;α,β ∗ c= Tg;α,β ∗ cm,n gmα,nβ Tg;α,β c= ∗ Tg;α,β c= cm,n gmα,nβ nên ∗ cm,n Tg;α,β Tg;α,β gmα,nβ m,n ∗ = Tg;α,β Tg;α,β = cm,n gmα,nβ m,n ∗ ∗ Tg;α,β Tg;α,β Tg;α,β c Từ ∗ ∗ ∗ Tg;α,β = Tg;α,β Tg;α,β Tg;α,β (2.29) Lấy liên hợp hai vế ta ∗ Tg;α,β = Tg;α,β Tg;α,β Tg;α,β Vì ∗ ∗ ∗ Tg;α,β Tg;α,β = Tg;α,β Tg;α,β Tg˜∗;α,β Tg˜;α,β Tg;α,β Tg;α,β hay nói cách khác ∗ Tg;α,β Tg;α,β −1 = Tg˜∗;α,β Tg˜;α,β (2.30) 48 Điều có nghĩa là, (2.28) g˜ = Tg˜∗;α,β Tg˜;α,β g (2.31) Vì Tg˜;α,β bị chặn (2.30), ta áp dụng đồng thức Wexler – Raz cho (2.31) thu g˜ = ∗ T 1 Tg˜;1 /β ,1 /α g˜ αβ g; /β , /α (2.32) Điều suy g˜ thành phần R Tg;∗ /β ,1 /α Hình chiếu lên R Tg;∗ /β ,1 /α cho g˜ Mặt khác, g˜ hàm đối ngẫu cho gmα,nβ với nghĩa (2.22) nên nghiệm (2.23) Do mệnh đề (2.3.1), hình chiếu lên R Tg;∗ /β ,1 /α g # Từ suy điều cần chứng minh g # = g˜ Từ phân tích bên ta thấy gmα,nβ thiết lập khung Tg;1 /β ,1 /α bị chặn (2.33) Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α khả nghịch có nghịch đảo bị chặn (2.34) g˜ = αβTg;∗ /β ,1 /α Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α −1 e0,0 (2.35) Chú ý cách xây dựng Wexler – Raz hàm đối ngẫu g # thực (2.33) – (2.35) đúng, không cần giả thiết trước gmα,nβ thiết lập khung Để thiết lập tương đương hoàn toàn hàm đối ngẫu khung hàm đối ngẫu Wexler – Raz, cần (2.33) – (2.35) suy gmα,nβ thiết lập khung Điều suy từ kết chứng minh mục 2.2 Ta biết Tg;α,β bị chặn Tg;1 /β ,1 /α bị chặn ( Bổ đề 2.2.7) Ta cần chứng minh Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α có nghịch đảo bị chặn, 49 ∗ ( cần thiết để có (2.35)), Tg;α,β Tg;α,β có nghịch đảo bị chặn Bằng cách 1 β, α hoán đổi vai trò (α, β) v` a Bổ đề 2.2.5 ta xây dựng K ≥ hàm ψk , k = 0, , K − để K−1 Tψ∗k ;1 /β ,1 /α Tψk ;1 /β ,1 /α = βIdL2 (R) k=0 K−1 Idl2 (Z2 ) α (2.36) ∗ T 1 R1 / Tψ αβ g˜; /β , /α αβ k;1 /β ,1 /α (2.37) Tψ∗k ;α,β Tψk ;α,β = k=0 Do (2.16) ta có Tψ∗k ;α,β Rαβ Tg;α,β = ∗ = Rαβ , R1∗/αβ = R1 /αβ , Lấy liên hợp hai vế (2.37), với ý Rαβ ta ∗ T 1 R Tg;α,β (2.38) αβ ψk ; /β , /α αβ Nhân vế (2.38) (2.37), sau lấy tổng theo k với ý ∗ Tg;α,β Rαβ Tψk ;α,β = = Id , R12/αβ = Id (2.36) ta Rαβ ∗ Tg;α,β Tg;α,β = αβ K−1 Tψ∗k ;1 /β ,1 /α R1 /αβ Tg˜;1 /β ,1 /α Tg˜∗;1 /β ,1 /α R1 /αβ Tψk ;1 /β ,1 /α k=0 Với f ∈ l2 (R) ta có K−1 Tg;α,β f Tg˜∗;1 /β ,1 /α R1 /αβ Tψk ;1 /β ,1 /α f = αβ k=0 (2.39) Nếu với c ∈ l2 (Z2 ) A c 2 ≤ Tg˜∗;1 /β ,1 /α c ≤B c với A > 0, B < ∞ (có nghĩa rằng, Tg;1 /β ,1 /α bị chặn Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α có nghịch đảo bị chặn) (2.39) suy A f αβ ≤ Tg;α,β f ≤ B f αβ 50 Ở ta sử dụng K−1 k=0 Tψk ;1 /β ,1 /α f = β f (2.36) Định lý tóm tắt tất kết Định lý 2.3.3 Với g ∈ L2 (R) , α, β > toán tử Tg;α,β định nghĩa (2.1) bị chặn từ L2 (R) → l2 Z2 Tg;1 /β ,1 /α bị chặn ∗ Hơn nữa, Tg;α,β Tg;α,β có nghịch đảo bị chặn Tg;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α có nghịch đảo bị chặn hàm đối ngẫu khung g˜ hàm đối ngẫu Wexler – Raz g # trùng nhau, tức −1 ∗ Tg;α,β Tg;α,β g = αβTg;∗ /β ,1 /α T g;1 /β ,1 /α Tg;∗ /β ,1 /α −1 e0,0 {e0,0 } ∈ l2 (Z2 ) dãy (e0,0 )k,l = δk,0 δl,0 Ý nghĩa thực tiễn kết dẫn đến việc xây dựng đơn giản hàm đối ngẫu g˜ so với xây dựng theo đệ quy trình bày [2] Trong trường hợp g (x) = π A 1.600, B −1 /4 e −x2 /2 , α = 0.25, β = 2.0, ví dụ, ta có 2.425 hàm đối ngẫu khung g˜ tính sau ∞ 2 Tg;∗ /4 ,2 Tg;1 /4 ,2 g˜ = Id − A + B k=0 A+B Ở g K = A+B K k=0 Id − ∗ A+B Tg;1 /4 ,2 Tg; /4 ,2 k g = lim g K K→∞ k g định nghĩa truy hồi g K+1 = 2 g + gK − A+B A+B g K , gm /4 ,2n gm /4 ,2n m,n g0 = g A+B Nếu viết gK = λK m,n gm /4 ,2n m,n 51 điều dẫn đến tính toán đệ quy λK m,n , hội tụ theo tốc độ hàm số mũ theo K, g˜ − g B−A ≤ c B+A K K c(0.2)K Tính toán g # thực mẹo với Tg;1 /2 ,4 Tg;∗ /2 ,4 ∞ −1 e0,0 4 = Id − Tg;1 /2 ,4 Tg;∗ /2 ,4 A + B k=0 A+B k e0,0 = lim eK , K→∞ A+B e0,0 # e0 = dẫn đến g eK = A+B e0,0 + ek − A+B Tg;1 /2 ,4 Tg;∗ /2 ,4 eK Điều K m,n µm,n gm /2 ,4n giới hạn µK m,n tuân theo đệ quy tương tự λK m,n Để có độ xác ta cần tính K số lượng µK m,n (khoảng /4 số lượng λm,n ) đệ quy sử dụng ma trận nhỏ gm /2 ,4n , g phân rã nhanh theo m, n gm /4 ,2n , g 2.4 Một chứng minh độc lập Trong mục chứng minh hai hàm đối ngẫu g˜ v` a g # cách trực tiếp, không dựa vào công thức Wexler - Raz Theo đó, ta giả sử {gmα,nβ }m,n∈Z khung (2.7) định nghĩa ∗ g˜ = Tg;α,β Tg;α,β −1 g Tính chất cực trị g˜ chỗ hệ số cm,n = f, gmα,nβ (2.40) tạo hệ số khai triển f= cm,n gmα,nβ m,n (2.41) 52 có chuẩn l2 nhỏ Kết hợp (2.40) (2.41) ta thấy g˜ thỏa mãn ∗ Tg;α,β Tg˜;α,β = I Tuy nhiên, phương trình ∗ Tg;α,β Tgb ;α,β = I (2.42) có nghiệm khác g b ta ký hiệu g # nghiệm có chuẩn L2 nhỏ Giả sử g b1 g b2 nghiệm (2.42) Khi ∗ ∗ Tg;α,β Tgb1 ;α,β = I = Tg;α,β Tgb2 ;α,β = ∗ ∗ Tgb1 −gb2 ;α,β = hay nói cách Tgb1 ;α,β − Tgb2 ;α,β = hay Tg;α,β Từ Tg;α,β khác, hai g b (2.42) khác u mà ∗ Tg;α,β Tu;α,β = Nói cách tương đương (Tu;α,β p, Tg;α,β q) = với p, q ∈ L2 (R) Do, ta thấy, có ánh xạ Unita Tu;α,β p Tp¯;α;β u, điều ∗ kéo theo Tp;α,β u, Tq;α,β g = hay nói cách khác u, Tp;α,β Tq;α,β g = Chúng ta kết luận g # hình chiếu g b lên không gian mà u trực giao với, nghĩa nghiệm (2.42) nằm ∗ không gian G tạo hàm Tp,α,β Tq,α,β g Nhưng (2.30) ∗ Tg;α,β Tg;α,β −1 = Tg˜∗;α,β Tg˜;α,β 53 Do g˜ = Tg˜∗;α,β Tg˜;α,β g ∈ G Do g # = g˜ Ta suy điều phải chứng minh 54 Kết luận Luận văn trình bày lại cách hệ thống bổ sung số chứng minh chi tiết số kết báo [4] dàn thời gian – tần số Gabor đồng thức Wexler – Raz Cụ thể luận văn nhắc lại chương số định nghĩa tính chất toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert, phép biến đổi Fourier chuỗi Fourier, khung tổng quát không gian Hilbert khung Gabor L2 (R) Chương nghiên cứu hàm đối ngẫu khung, hàm đối ngẫu Wexler – Raz chứng minh chúng dựa vào đồng thức Wexler – Raz theo cách chứng minh độc lập khác 55 Tài liệu tham khảo [1] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston [2] I Daubechies (1990), "The wavelet transform, time - frequency localization and signal analysis", IEEE Trans Inform Theory, Vol.35, 961 - 1005 [3] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys , Vol 72, 1271 – 1283 [4] I Daubechies, H.J Landau and Z Landau (1995), “Gabor time frequency lattices and the Wexler – Raz identity”, J Fourier Anal Appl , 437 – 478 [5] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc , Vol 72, 341 – 366 [6] D Gabor (1946), “Theory of communications”, J.IEE, London, Vol 93, No 3, 429 - 475 [7] A J E M Jansen (1995), “Duality and biorthogonality for Weyl Heisenberg frames”, J Fourier Anal Appl., Vol 1, No.4, 403 - 436 [8] R Kadison and R Ringrose (1983), Fundamentals of the Theory of operator algebras, Vol 1, Academic Press, New York 56 [9] J Wexler and S Raz (1990), "Discrete Gabor expasions", Signal Processing, Vol.21, 207 - 220 [10] R Young (1980),An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press, New York [...]... chuẩn là e χ[0,1] (x − n) m∈Z m,n∈Z 27 Chương 2 Dàn thời gian – tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler – Raz Trong chương này chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu mối liên hệ giữa dàn thời gian – tần số Gabor {gmα,nβ }m,n∈Z và dàn thời gian – tần số Gabor g mβ , αn m,n∈Z tương ứng với dàn đối ngẫu m n β,α và các tính chất của chúng nhờ đồng nhất thức Wexler – Raz Nội dung của chương này được tham khảo từ... ý khi nói về khung Gabor, ta hàm ý là khung cho toàn bộ L2 (R), nghĩa là, ta sẽ không làm việc với các khung cho các không gian con Hệ Gabor {gmα,nβ }m,n∈Z chỉ bao gồm các tịnh tiến với tham số nβ, n ∈ Z và biến điệu với tham số mα, m ∈ Z Điểm {(mα, nβ)}m,n∈Z tạo thành một dàn trong R2 và vì lý do này {gmα,nβ }m,n∈Z cũng được gọi là dàn thời gian – tần số Gabor hay dàn Gabor Dàn Gabor là công cụ tiềm... Tg˜;α,β f + N Tg;α,β với Tg˜;α,β f là nghiệm có chuẩn l2 nhỏ nhất 2.2 Đồng nhất thức Wexler- Raz Các kết quả của Wexler- Raz trong [9] dựa trên một đồng nhất thức kết nối toán tử Tg;α,β với Tg;1 /β ,1 /α ( tương ứng với tham số dàn đối ngẫu β1 , α1 ) Đầu tiên ta sẽ phát biểu và chứng minh đồng nhất thức này Định lý 2.2.1 Giả sử f, g, h ∈ L2 (R) và α, β > 0 để Tf ;α,β , Tg;α,β , Th;1 /β ,1 /α là bị chặn... chuỗi Fourier của f và {ck }k∈Z được gọi là các hệ số Fourier 9 Bổ đề 1.3.2 Cho f, g ∈ L2 0, 1b với b > 0 và xét các chuỗi Fourier dk ek ck ek , g = f= k∈Z k∈Z trong đó ek cho bởi (1.3) Khi đó ck dk f, g = k∈Z 1.4 Khung tổng quát trong không gian Hilbert Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp... Cho X là không gian Banach Nếu U : X → X bị chặn và I − U < 1 thì U khả nghịch và U U −1 ≤ 1 1− I−U ∞ −1 = (I − U )k Ngoài ra, k=1 Cho T : X → Y Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng các ký hiệu sau: N (T ) = {x ∈ X | T x = 0} và R (T ) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : T x = y} Mệnh đề 1.1.6 Cho T ∈ B (H) Khi đó R (T ∗ ) = N (T )⊥ 1.2 Một số không gian ∞ p Ta ký hiệu L (R) = f : R → C | f đo được và |f (x)|p dx... ∞ Lp (R), 1 ≤ p < ∞, là các không gian Banach với chuẩn ∞ 1 p /p |f (x)| dx f = −∞ Đặc biệt, L2 (R) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định bởi ∞ f, g = ∞ 1 2 /2 |f (x)| f (x)g (x)dx, f = −∞ −∞ Tương tự ta ký hiệu   2 L [a, b] = f : [a, b] → C | f đo được và  b a   2 |f (x)| dx < +∞  L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định bởi 1 b f,... }m,n∈Z là một khung Gabor trong L2 (R) Định lý sau cho ta một ví dụ cụ thể về khung Gabor 2 Định lý 1.5.6 Cho α, β > 0 và hàm g (x) = e−x Khi đó hệ Gabor {gmα,nβ }m,n∈Z là một khung trong L2 (R) khi và chỉ khi αβ < 1 Ta ký hiệu Dc : L2 (R) → L2 (R) , c = 0 xác định bởi Dc g (x) = √1 g |c| x c Mệnh đề 1.5.7 Cho g ∈ L2 (R), α, β, c > 0 cho trước Giả sử rằng {gmα,nβ }m,n∈Z là một khung Gabor Khi đó với... ∀f ∈ H S f, fi fi = i=1 i=1 Do {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel và f, S −1 fk ∞ k=1 ∈ l2 (N), theo Hệ quả 1.4.11, chuỗi hội tụ không điều kiện f, S −1 fk Các hệ số khung ∞ k=1 có chuẩn l2 nhỏ nhất trong số tất cả các dãy biểu diễn f Mệnh đề 1.4.14 Giả sử {fk }∞ k=1 là một khung của H và f ∈ H Nếu f ∞ có biểu diễn f = k=1 ∞ ck fk với các hệ số {ck }∞ k=1 nào đó thì ∞ ∞ 2 −1 |ck | = k=1 f, S fk 2 k=1 ck... là hàm đối ngẫu khung của {gmα,nβ }m,n∈Z −1 Từ (2.6) và (2.7) ta suy ra Sg;α,β gmα,nβ = gmα,nβ hay nói cách khác khung 31 đối ngẫu chính tắc của khung Gabor cũng có cấu trúc Gabor, tức là sinh ra từ một hàm bằng cách sử dụng các phép tịnh tiến và biến điệu Ta có Tg;α,β f = ∗ f, Tg;α,β Tg;α,β −1 gmα,nβ Từ đó dãy các hệ m,n∈Z 2 số c với chuẩn l nhỏ nhất trong (2.2) là Tg;α,β f Mệnh đề dưới đây tổng... e2πib(x−a) f (x − a) và Eb Ta f (x) = Eb (f (x − a)) = e2πibx f (x − a) (1.14) ∞ k=1 20 Từ đó ta có (1.14) Gabor là người e−2πimαx g (x − nβ) g (x) = e −x2 2 đầu m,n∈Z tiên xét dãy các hàm có dạng , trong đó αβ = 1 và g là hàm Gauss, Khá lâu sau này, David và Heller quan sát rằng hệ Ga- bor đặc biệt này dẫn đến khai triển không ổn định và không phù hợp cho hầu hết các ứng dụng về sau David và Heller đề