B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON TRN TH HIấN TNH GI LI V BI TON LEVI LUN VN THC S TON HC H Ni - 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON TRN TH HIấN TNH GI LI V BI TON LEVI Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS Lấ TI THU H Ni - 2016 Li cam oan Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca TS Lờ Ti Thu, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti:Tớnh gi li v bi toỏn Levi c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, 05 thỏng 06 nm 2016 Hc viờn Trn Th Hiờn Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n TS Lờ Ti Thu, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc s phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ó c v, ng viờn tụi hon thnh lun ny Do thi gian v kh nng cũn hn ch nờn lun khú trỏnh nhng thiu sút Rt mong c s gúp ý ca thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn H Ni, 05 thỏng 06 nm 2016 Hc viờn Trn Th Hiờn Mc lc Li m u 1 Kin thc chun b 1.1 Hm chnh hỡnh nhiu bin 1.1.1 Khỏi nim hm chnh hỡnh 1.1.2 Cỏc tớnh cht n gin ca hm chnh hỡnh 1.1.3 Min hi t ca chui ly tha 1.2 nh lý Hartogs 13 1.3 Min chnh hỡnh v li chnh hỡnh 18 1.3.1 Min chnh hỡnh 18 1.3.2 Min li chnh hỡnh 22 Tớnh gi li v bi toỏn Levi 2.1 26 Min gi li 26 2.1.1 Hm a iu hũa di 26 2.1.2 Bao a iu hũa di 28 2.2 Bi toỏn Levi gc 31 2.3 a Stein 32 2.4 Tp m Stein a phng 34 2.5 Dóy tng ca m Stein 42 ii 2.6 Bi toỏn Serre 44 2.7 Biờn gi li yu 57 2.8 iu kin ng cong 64 Kt lun 69 Ti liu tham kho 69 iii M u Lớ chn ti Gii tớch phc l mt nhng hng nghiờn cu ca toỏn hc Mt s nh toỏn hc ni ting nghiờn cu lnh vc ny nh Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass v nhiu nh toỏn hc khỏc th k 20 Gii tớch phc hay cũn gi l lý thuyt hm bin phc l mt nhỏnh ca toỏn hc nghiờn cu cỏc hm s mt hay nhiu bin Gii tớch phc cú nhiu ng dng nhiu lnh vc khỏc ca toỏn hc, ú cú lý thuyt s v toỏn ng dng Mt nhng hng nghiờn cu ca gii tớch phc l tớnh gi li v bi toỏn Levi Bi toỏn Levi ó c nghiờn cu khỏ nhiu, nhiờn mt vi dng chung ca bi toỏn Levi cha c gii quyt Vỡ th, tụi ó chn ti TNH GI LI V BI TON LEVI nghiờn cu cho lun thc s ca mỡnh Lun gm chng Chng Kin thc chun b Chng Tớnh gi li v bi toỏn Levi Mc ớch nghiờn cu Lun tỡm hiu sõu v cỏc nh lý, nh ngha v tớnh cht cỏc liờn quan ti tớnh gi li v bi toỏn Levi Nhim v nghiờn cu Nhim v ca lun l tho lun s phỏt trin lý thuyt hm nhiu bin phc phỏt sinh t Levi i tng phm vi nghiờn cu Min chnh hỡnh nhiu bin, gi li, iu kin ng cong, úng gúp ca ti Lun trỡnh by h thng v chnh hỡnh, li chnh hỡnh, tớnh gi li, bi toỏn Levi, Serre v cỏc tớnh cht liờn quan Phng phỏp nghiờn cu p dng mt s phng phỏp gii tớch phc, dng cỏc kt qu ca hỡnh hc gii tớch, gii tớch phc nhiu bin H Ni, ngy 05/06/2016 Hc viờn TRN TH HIấN Chng Kin thc chun b 1.1 Hm chnh hỡnh nhiu bin 1.1.1 Khỏi nim hm chnh hỡnh nh ngha 1.1.1 Hm l : Cn C gi l R - tuyn tớnh (tng ng C - tuyn tớnh) nu (a) l(z + z ) = l(z ) + l(z ), z , z Cn , (b) l(z) = (z), R (tng ng C Hin nhiờn hm l : Cn C, R - tuyn tớnh l C tuyn tớnh nu l(iz) = i(lz), z Cn Trong trng hp l(z) = (z) ta núi C - phn tuyn tớnh nh ngha 1.1.2 Hm f : C, l m Cn , gi l R kh vi (tng ng C - kh vi) ti z nu f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h) (1.1) õy l l R - tuyn tớnh (tng ng C - tuyn tớnh) v 0(h) h h Hm l (nu tn ti l nht) gi l R - o hm (tng ng C - o hm ca f ti z) kớ hiu l f (z) hay df (z) Bng cỏch vit zj = xj + iyj ; z j = xj iyj , j = 1, n Ta cú dzj + dz j ã dzj dz j dz j = dxj idyj dyj = ã 2i dzj = dxj + idyj dxj = Do n df = j1 Ta cú n df = j1 õy f zj = f xj f i y j v f f dxj + dy ã xj y j j f f dzj + dz j zj z j f z j = f xj (1.2) f + i y , j = 1, n j Nu tng th v phi ca (1.2) kớ hiu l f cũn tng th kớ hiu l f thỡ df = f + f (1.3) nh lý 1.1.1 Hm R - kh vi ti z Cn - kh vi v ch f = (1.4) ú B n (r) l hỡnh cu Cn vi bỏn kớnh r v tõm Cho r l s dng ln cho B n ( r) cha bao li chnh hỡnh ca j gj (B n (r)) Cn Khi ú, vỡ MV0 (r, w0 ) l hm tng cht ca r V0 khỏc hng s , nờn r r2 vi r ln Mõu thun t ng cu gj xon thay i dng ca B n (r) Chng hn, n = 2, N = 8, gj (z1 , z2 ) = (z1 , z2 exp(j , z1 )), gj+4 (z1 , z2 ) = (z1 exp(j , z2 ), z2 ), j 1, ú j l nghim th ca n v 2.7 Biờn gi li yu Mt cõu hi t l: Mt vi biờn gi li trn l gi li cht ti ớt nht mt im biờn cú l li chnh hỡnh khụng? Ta a vớ d di õy a cõu tr li ph nh cho cõu hi ny Vớ d 2.7.1 Cho R l a i s x nh compact vi H (R, O) = Cho G l phõn th ng thng chnh hỡnh õm trờn R Cho Y G l tit din giao vi G Bng cỏch thờm vo hu hn im vo mi th ca G, ta thu c phõn th chnh hỡnh : X R vi P1 nh mt th Cho : X X l ỏnh x xung Y ti mt im X l khụng gian i s x nh Cho L l phõn th thng chnh hỡnh õm trờn X Ta cú th cho L mt metric Hermitan m dng ng cong l õm cht Cho P l phõn th thng chnh hỡnh trờn R cho P l topo tm thng nhng ly tha tensor ca P l tm thng chnh hỡnh (Vớ d R l hỡnh xuyn, P l im bin i Picard m phộp nhõn tớch phõn khỏc 0) Do ú hm chuyn ca P cú th chn l hm hng ca giỏ tr tuyt i Nờn ta cú th trang b cho P mt metric Hermitan m dng ng cong l ng nht bng 57 Cho : F X l phõn th ng thng chnh hỡnh (L) (P ), mang mt metric Hermitian c cm sinh bi L v P Cho l cỏc vecto ca F vi chun nh hn Khi ú biờn ca l gi li hu khp ni v l gi li cht ti cỏc im ca (Y ) Ta cn ch (Y ) khụng nhn hm chnh hỡnh khỏc hng s no v ú khụng th li chnh hỡnh Vi cm sinh mt ỏnh x song chnh hỡnh t (Y ) vo m D ca P cha tt c cỏc vecto cú chun nh hn P Nu cú mt hm chnh hỡnh khỏc hng s trờn (Y ) thỡ cú mt hm chnh hỡnh f khỏc hng s trờn D Bõy gi ta m rng f chui ly tha ti cỏc th ca P H s fk th k chui ly tha l tit din giao chnh hỡnh ca P k trờn R Do lp Chern ca P k = v P k l tm thng khụng chnh hỡnh vi k = 0, suy fk ng nht bng vi k = 0, mõu thun vi f khỏc hng s nh lý 2.7.1 Cho l m Stein a phng ca mt a thun nht X Nu biờn ca ti ớt nht mt im b l trn v gi li cht thỡ l Stein Chng minh Gi s khụng l Stein Theo kt qu ca Hirschowwitz, cú mt ng cong tớch phõn Ta ni mt im a vi b bi mt ng cong trn : [0, 1] X cho (t) vi t < Ta cú th tỡm mt ng cong trn : [0, 1] G cho (0) l phn t n v ca G v (t) l nh ca (t)a ca a di (t) Ta cn chng minh (t) vi t < Tc l chng minh rng nu t 58 tin ti t [0, 1) t bờn phi cho mi (t ) thỡ (t ) Theo kt qu ca Hirschowitz ta cú th xõy dng hm khong cỏch d ti X cho log d l a iu hũa di trờn Cho c l cn di ỳng ca (t ) Do (t ) l nh chnh hỡnh compact tng i ca C nờn hm a iu hũa di log d l hng s trờn mi (t ) v (t ) {d c} Do ú (t ) Nú c suy t 0t Do ú ta m rng chui ly tha ca g ti z cú dng g(z) = az p + 0(|z|p+1 ) vi p v a = D dng th li trc tip (z, g(z)) l õm ti mt vi ni trờn bt kỡ lõn cn m ca 0, mõu thun vi s ri ca {f = 1} v Thc t, khụng cú hm giỏ chnh hỡnh f trờn bt kỡ lõn cn m U ca C theo ngha, h(0) = v U l ri vi {h = 0} Bng cỏch iu chnh vớ d ca Kohn - Nirenberg, Fornaess ó thu c C xỏc nh bi Re w + |zw|2 + |z|6 + |z|2 Re z < 61 vi biờn gi l li cht ngoi tr ti v khụng nhn bt kỡ hm ti i yu a phng f no khỏc hng s 0, thm nú cũn ch rng f l C trờn lõn cn m U ca v chnh hỡnh trờn U Tuy nhiờn cõu tr li di õy cha c bit nh ngha 2.7.1 Cho l Cn xỏc nh bi r < vi r l lp C v dr = trờn biờn M ca Gi s rng l gi li yu ti mi im ca M Cho T l tt c cỏc trng vecto tip xỳc lp C ca M cú dng n i=1 zi Quy np cho L1 = T + T (T l cỏc phn t liờn hp ca T ) v Là l on Lie [X, Y ] vi X L1 v Y Là1 Mt im P ca M c gi l loi m nu r(P ), X(P ) = 0, X Lm , Y Lm+1 , r(P ), Y (P ) = Theo kt qu ca Bloom - Grahan, iu ny tng ng vi iu kin a phc ca s i chiu mt lõn cn m ca P Cn l tip xỳc ti M ti P ti bc m khụng cú bc no cao hn Núi cỏch khỏc, iu kin ny l h ta a phng cú tõm ti P, r = Re zn + , õy trit tiờu ti P ti bc ln hn hoc bng v bc thp nht ca s hng chui ly tha m rng ca ti P khụng nõng lờn ly tha zn l m + v khụng cú h ta a phng no khỏc ti P chỳng cú th thay th m bng mt s ln hn Gi s gc ca Cn thuc M v r = Re zn + 0(|z|2 ) gn nh lý 2.7.2 (Hakim - Sibony) Nu l m - loi vi m hu hn v tn ti mt hm ti i a phng khỏc hng s l lp C trờn v chnh hỡnh trờn , thỡ tn ti mt a thc chnh hỡnh g(z1 , , zn1 ) 62 trờn Cn1 cho a thc (gii tớch thc) thun nht khỏc u tiờn chui ly tha m rng ca r(z, , zn1 , g) l khụng õm hu khp ni trờn Cn1 nh lý 2.7.3 Nu cú mt a phc ca mt lõn cn m s i chiu lõn cn m ca Cn giao vi ch ti 0, thỡ tn ti mt hm ti i (mnh) liờn tc ca Theo Behnke - Thullen, cú mt Stein b chn m bao úng topo khụng cú mt c s lõn cn Stein Mt vớ d n gin l |z| < |w| < C2 , vỡ bt kỡ Stein cha nú v cha gc phi cha mt song a Nú l mt cõu hi m cho ti Diederich Fornaess ó xõy dng c vớ d quan m ú bao úng topo ca Stein b chn Cn vi biờn trn nhn mt c s lõn cn Stein Trong vớ d ca h, C xỏc nh bi |w + exp(i log |z|2 )|2 + (|z|2 1) + (|z|2 r2 ) < õy r l s ln v l hm khụng õm trn trờn R cho (x) = vi x < , (x) > vi x > v l li trờn {x > 0} Mi Stein cha cha {e < |z| < e2 , |w| < 2} khụng cha iu ny xy vỡ vi a [1, e ], sau {|z| = a, |w + exp(ia2 )| 1}, {|z| = ae2 , |w + exp(ia2 )| 1}, {a |z| ae2 , w = 0} 63 u cha Hp ca ny l "khung" ca du hiu Hartog Do ú bt kỡ hm chnh hỡnh trờn mt lõn cn m ca ny u cú th m rng ti mt hm chnh hỡnh trờn mt lõn cn m ca Ka := {a |z| ae2 , |w + exp(ia2 )| 1} Tp {e < |z| < e2 , |w| < 2} cha {Ka |1 a e } nh lý 2.7.4 Bao úng topo ca mt Stein b chn Cn vi biờn gii tớch thc trn cú mt c s lõn cn Stein 2.8 iu kin ng cong im chớnh ca bi toỏn Levi l chng minh tớnh Stein di gi thit ca tớnh Stein a phng hoc tớnh gi li biờn hoc s tn ti ca hm vột cn a iu hũa di Di õy ta ta s chng minh tớnh Stein t iu kin hỡnh hc vi phõn, chớnh l iu kin ng cong nh lý 2.8.1 Gi s l mt ca (hoc mt khong trờn) Cn vi biờn gii tớch thc Nu nhn mt metric Kăahler y thỡ l Stein nh lý ny khụng cũn ỳng nu khụng cú iu kin tớnh trn trờn biờn ca Grauert ó xõy dng metric Kăahler y trờn Cn nh sau t x f (x) = x + v (z) = f (|z|2 ) Khi ú d (à 1)2 dà à(log à)2 i,j zi z j dzi dz j 64 l metric Kăahler cn tỡm Chng minh Ta s chng minh tớnh Stein ca bng cỏch ch rng log ca khong cỏch Euclidean ti biờn ca l a iu hũa di Bng cỏch s dng tớnh gii tớch thc ca biờn ca , rỳt gn chng minh ta cú phỏt biu sau "Nu R1 (z1 ), R2 (z1 ) l hm lp C trờn {|z1 | < 1} vi R1 (z1 ) < |z2 | < R2 (z1 ) v nu D lp C c xỏc nh bi |z1 | < 1, R1 (z1 ) < z2 < R2 (z1 ) mang mt metric Kăahler y thỡ log R2 (z1 ) l iu hũa di trờn {|z1 | < 1}" Ta s chng minh phỏt biu ny bng phn chng Gi s Laplacian ca log R2 (z1 ) l õm ti z10 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s z10 = Bng cỏch ly trung bỡnh metric Kăahler trờn nhúm tỏc ng T : (z1 , z2 ) (z1 , z2 ei ), ( R), khụng mt tớnh tng quỏt, gi s metric Kăahler bt bin di T Xột ng G lp C2 (vi ta w1 , w2 = u + iv) xỏc nh bi |w1 | < v log R1 (w1 ) < u < log R2 (w2 ) G l ph topo ca D qua ỏnh x z1 = w1 , z2 = ew2 Do ú ta cú metric Kăahler hà dwà dw trờn G vi hà c lp vi v Chn hm lp C2 R(w1 ) trờn |w1 | < vi R1 < R < R2 Ta cn ch cú mt hm th ton b trờn G vi metric Kăahler cho u >0 trờn {|w1 | < 12 , log R(w1 ) < u < log R2 (w2 )} iu kin Kăahler ch rng dng w = h1,2 dw1 + h2,1 dw1 + 2h2,2 du l úng Chn w0 G v xỏc nh (w) = T iu kin Kăahler, suy w1 w1 w w0 w + C ( õy C = const) h1,1 khụng ph thuc vo w2 Vỡ 65 vy ta cú th tỡm f trờn G cho 2f = h1,1 w1 w1 w1 w1 Do h2,2 > suy ta cú th chn C ln = f tha iu kin cn tỡm Vi r (0, 21 ), Laplacian ca log R2 (w1 ) l õm trờn {|w1 | < r} t (w1 ) l hm trn trờn {|w1 | < r} cho trờn {|w1 | 2r } v (w1 ) < trờn { 2r < |w1 | < 1} Cho = log R2 , ú Laplacian ca (w1 ) l dng trờn {|w1 | < s} vi s > 2r Cho H l ng lp C2 xỏc nh bi {|w1 | < s} v log R(w1 ) (w1 ) < u < log R2 (w1 ) (w1 ) Cho (w1 , w2 ) = (w1 , w2 (w1 )) Ta cú th th li d dng rng, tớnh dng ca w1 w1 v u , ( wà w )dwà dw l metric Kăahler trờn H Hn na, i vi metric ny cỏc im biờn ca H vi |w1 | < s v u = log R2 (w1 ) (w1 ) l khong cỏch vụ hn ti mt im bt kỡ ca H Ly r < < s v mt s dng nh cho log R(w1 ) (w1 ) < vi |w1 | < p dng nh lý Stoke vi o hm ngoi dng Kăahler ca H v vi {|w1 | < , u t, v = 0} vi < t < 0, ta thu c rng vi < t < ca t := {|w1 | < , w = t} 66 l b chn bi tng cỏc ca s v {|w1 | = , u 0, v = 0} l mt s hu hn iu ny l mõu thun ta cho t tin ti t bờn phi, vỡ mi im ca m {|w1 | 2r , w2 = 0} ca l mt im biờn ca H m cú khong cỏch vụ hn t mt im bt kỡ ca H Do vi tng quỏt Cn , s tn ti ca metric Kăahler y khụng m bo tớnh Stein nờn ta cn thờm mt iu kin ú l iu kin ng cong Do ng cong tit din chnh hỡnh (cng nh song tit din) ca a phc l nh hn hoc bng ng cong tit din chnh hỡnh ca cỏc a xung quanh v a Stein l a phc ca khụng gian Euclidean phc, nờn ta s s dng tớnh õm ca ng cong nh l mt iu kin nh lý 2.8.2 (Griffiths-Shiffman) Gi s M l a Hermitian y vi ng cong tit din chnh hỡnh khụng dng v l khong trờn Cn Khi ú bt kỡ ỏnh x chnh hỡnh t ti M u cú th m rng ti mt ỏnh x chnh hỡnh t bao chnh hỡnh ca ti M Tng ng, mt khong trờn Cn l Stein nu v ch nu nú nhn mt metric Hermitian y ca ng cong tit din chnh hỡnh khụng dng nh lý 2.8.3 (Greene-Wu) Cho M l a Kăahler y Khi ú M l a Stien nu v ch nu nú tha mt cỏc iu kin sau: 67 (i) M l liờn thụng n v ng cong tit din nh hn hoc bng (ii) M khụng compact, ng cong tit din ln hn hoc bng v hn na nú ln hn ngoi mt compact (iii) M khụng compact, ng cong tit din ln hn hoc bng v ng cong song tit din chnh hỡnh ln hn (iv) M khụng compact, ng cong Ricci ln hn 0, ng cong tit din ln hn hoc bng v phõn th chớnh tc l tm thng 68 Kt lun Lun ca em ó trỡnh by mt cỏch h thng nhng kin thc v hm chnh hỡnh nhiu bin, tớnh gi li, bi toỏn Levi, bi toỏn Serre v iu kin ng cong Rt mong c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn Em xin chõn thnh cỏm n! 69 Ti liu tham kho [1] Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi (2001), Hm bin phc, Nh xut bn i hc quc gia H Ni [2] A Andreotti and R Narasimhan (1964), Okas Heftungslemma and the Levi problem for complex spaces, Trans Amer Math Soc 111, [345-366] [3] Andreotti and E Vesentini (1965), Carleman estimates for the Laplacian-Beltrami equation on complex manifolds, Inst Hautes Etudes Sci Publ Math 25, [91-130] [4] E Bedford and J E Fornaess (1978), A construction of peak functions on weakly pseudiconvex domains,Ann Of Math [5] H Behnke and K Stein (1939), Konvergent Folgen von Regularitatsbereich und die Meromophiekonvexitat, Math Ann 116, [204-216] [6] J Nocedal, S J Wright (1999), Numerical Optimization, Springer-Verlag, New York 70 [7] Yum-Tong Siu (1978), "Pseudoconvexity and the problem of Levi", American Mathematical society, Volume 84, Number 4, July 71 [...]... KΩ là compact trong Ω 25 Chương 2 Tính giả lồi và bài toán Levi Trong chương này, từ trang [31 - 76] tôi có tham khảo và chọn lọc một số nội dung cần thiết trong tài liệu số [7] phần Tài liệu tham khảo 2.1 2.1.1 Miền giả lồi Hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 2.1.1 Hàm nửa liên tục trên ϕ : Ω −→ [−∞, +∞) với Ω là mở trong Cn gọi là đa điều hòa dưới nếu với mọi z ∈ Ω và ω ∈ Cn , ω = 0 hàm τ → ϕ(z + τ ω)... ) ≤ C j−1 Vậy thì λξ + µη ∈ B ∗ là lồi Do D∗ = int B ∗ thì D∗ đồng thời là lồi Định lý sau đây cho mối liên hệ giữa miền hội tụ của (1.10) và miền Reinhardt Định lý 1.1.12 Giả sử Ω ⊂ Cn là miền Rienhardt liên thông bao hàm gốc tọa độ và giả sử f ∈ H(Ω) Khi đó tồn tại (duy nhất) chuỗi lũy thừa (1.10) sao cho cα z α f (z) = α mà nó hội tụ chuẩn tắc tới f Chứng minh Tính duy nhất là hiển nhiên, vì bằng... chọn f (z) = 1 z − ξ đối với mọi ξ ∈ ∂Ω (c) Giả sử Ω là một miền lồi trong Cn Khi đó mọi điểm biên của Ω là điểm chướng ngại Thật vậy, cho ξ ∈ Ω Do Ω là lồi, tồn tại phiếm hàm C - tuyến tính l trên Cn sao cho Re l(z) < 1, ∀z ∈ Ω và Re l(ξ) = 1 l Khi đó hàm f (z) = e l(z)−1 chỉnh hình trên Ω và lim |f (z)| = +∞ z→ξ Ta có định lý cơ bản sau Định lý 1.3.1 Giả sử Ω là miền trong Cn sao cho ∂Ω có tập đếm... , eξn ) ∈ D} và tương tự B ∗ = {ξ ∈ Rn : eξ ∈ B} Định lý 1.1.11 D∗ là tập lồi mở trong Rn và nếu ξ ∈ D∗ thì η ∈ D∗ nếu ηj ≤ ξj , j = 1, n Ngoài ra z ∈ D nếu và chỉ nếu |zj | ≤ eξj , j = 1, n, với ξ nào đó thuộc D∗ Chứng minh Từ Định lý 1.1.10 suy ra D∗ = int B ∗ Bây giờ giả sử ξ, η ∈ B ∗ Chọn C > 0 để n |aα | exp αj ξj ≤ C j−1 10 và n |aα | exp αj ηj ≤ C, ∀α j−1 Nếu λ, µ ≥ 0 và λ + µ = 1 thì... Nếu f ∈ H(Ω) thì |f | và log |f | là hàm đa điều hòa dưới Định lý 2.1.1 Giả sử ϕ là hàm lớp C2 trên mở Ω ⊂ Cn Khi đó ϕ 26 là hàm điều hòa dưới nếu và chỉ nếu n ∂ 2ϕ Lϕ (z, ω) = (z)ωj ω j ≥ 0, ∀z ∈ Ω và ω ∈ Cn ∂zj ∂z j i,j=1 Định lý nhận được từ đẳng thức sau n ∂ 2u ∂ 2ϕ (z) = ωj ωj , ∀z ∈ Ω và ω ∈ Cn ∂τ ∂τ ∂zj ∂z j i,j=1 ở đây u(τ ) = ϕ(z + τ ω) Định lý 2.1.2 Giả sử Ω ⊂ Cn và Ω ⊂ Cm là các tập mở,... tính liên tục của f theo z các tập Am là đóng trong D Ngoài ra do tính liên tục của f theo zn và tính compact của Dn suy ra D = ∪∞ µ=1 Am Bởi định lý Baire tồn tại m0 ≥ 1 sao cho W = int Am0 = ∅ Khi đó f bị chặn trên W × Dn bởi m0 15 Để chứng minh tính bị chặn địa phương của f tại mọi điểm thuộc Ω ta áp dụng tính chỉnh hình phân biệt và bổ đề Hartogs về dãy hàm điều hòa dưới Để phát biểu bổ đề ta đưa... f chỉnh hình tại z thì ∂f ∂zj chính là đạo hàm riêng của z theo biến zj 1.1.2 Các tính chất đơn giản của hàm chỉnh hình Giả sử P = P (a, r) = {z ∈ Cn : |zj − aj | < rj , ∀j = 1, n} là đa đĩa tâm a, bán kính r = (r1 , , rn ) và Γ = {z ∈ Cn : |zj − aj | = rj , ∀j = 1, n} Định lý 1.1.2 Nếu f là hàm liên tục trên P và chỉnh hình trong P thì f (z) = 1 2πi n f (ξ)df ξ1 df ξn , z ∈ P Γ (ξ1 − z1 ) ... đề sau Bổ đề 1.2.3 Giả sử D = D × Dn (ở đây D và Dn là các tập mở bị chặn trong Cn−1 và C) Nếu hàm f ( z, zn ) liên tục theo z ∈ D với mọi zn ∈ Dn cố định và liên tục theo zn ∈ Dn với z ∈ D cố định thì tồn tại tập mở W = W × Dn = ∅ trên đó f bị chặn Chứng minh Với mỗi z ∈ W đặt M ( z) = sup{|f ( z, zn )| : zn ∈ Dn } < +∞ Xét các tập Am = { z ∈ D : M ( z) ≤ m} Dễ dàng kiểm tra lại do tính liên tục của... phần ta có Cα = 1 α ∂ f (0) α! Để chứng minh sự tồn tại của chuỗi lũy thừa yêu cầu, với mọi ε > 0 xác định Ωε = {z ∈ Ω : ρ(ζ, ∂Ω) > ε z } Ta có 0 ∈ Ωε và Ωε là mở Giả sử Ωε là thành phần liên thông của 11 Ωε bao hàm 0 Hiển nhiên Ωε ↑ khi ε ↓ 0 và do tính liên thông của Ω ta có Ω = ∪ Ωε Khi x ∈ Ωε ta đặt 1 2πi g(z) = n ∂0 Tε f (t1 z1 , , tn zn ) dt1 tn (t1 − 1) (tn − 1) ở đây Tε = {t : |tj... Dn cố định và chỉnh hình theo z ∈ W thì f chỉnh hình theo V Chứng minh Có thể coi a = 0 Với mỗi zn ∈ Dn cố định do f ( z, zn ) chỉnh hình trên đa đĩa V có thể khai triển nó thành chuỗi lũy thừa của z (hệ số phụ thuộc vào zn ) ∞ cα (zn ) z α f (z) = (1.12) |α|=0 ở đây α = (α1 , , αn−1 ) và 1 ∂α cα (zn ) = f ( 0, zn ) α! ∂ z α Bởi vì f chỉnh hình trên W , cα (zn ) chỉnh hình theo zn ∈ Dn Và do đó