Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940 Page Ứng dụng giải tích chứng minh bất đẳng thức I Kiến thức Định nghĩa giới hạn : Dãy số un  dần tiến tới vô cực với số dương M cho trước tồn số tự nhiên N cho n  N un  M Ký hiệu : lim un   hay un   Ngoài cách phát biểu , ta phát biểu định nghĩa giới hạn sau : ta nói dãy un  dần tới vô cực un làm lớn tùy ý chọn n đủ lớn Định nghĩa đạo hàm : Cho hàm số f x  xác định a,b  , ta nói f x  có đạo hàm x  a,b  tồn giới hạn hữu hạn xlim x    Giới hạn f x  f x0 x  x0 gọi đạo hàm f x  x Định lý Lagrange : Nếu hàm số f x  liên tục đoạn a,b  có đạo hàm khoảng a,b  tồn c  a,b  cho f b   f a   f ' c b  a  II Một số toán bất đẳng thức Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức : sin x    x , x   0,    2 Lời giải   Xét hàm số f x   sin x  x đoạn 0,    Ta có : f ' x   cos x     liên tục đoạn 0,    2      2  2  2  2 f ' f '                  , nên x   0,  cho f ' x        2 2     Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940   Page Hay cos x     cos x     Mặt khác, f '' x    sin x  0, x   0,  nên đạo hàm f ' x  nghịch biến      0,  Từ suy ,  2 + Với  x  x  cos x  + Với x  x   2   cos x    cos x    cos x      f x đồng biến    f x nghịch biến Bảng biến thiên :  x0 x  f x   f' x  2   Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x   sin x  x   sin x  x Bài toán : Cho số thực a,b, c  0,1 Chứng minh : a b c    a b c  b c 1 a c 1 a b 1     Lời giải x b c     x  b  c , x  0,1 b c 1 x c 1 x b 1 b c     b  c , x  0,1 Ta có : f ' x  2 b c 1 x c 1 x b 1 Xét hàm số f x      f '' x   2b    2c x  c  1 x  b  1 3             0, x  0,1 Do f ' x đồng biến 0,1 Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940 Page      + Nếu f '  0  hàm số f x  đồng biến khoảng  0,1 , x   0,1  f '  f ' x  f ' , x  0,1   b  c1   c b  b c  b  c1   b  bc   b  cc   + Nếu f ' 1  hàm số f x  nghịch biến khoảng  0,1 , x   0,1  f x f  b c 1    c b  b c  1  b 1  c   babc bbcc11  bc bc  b  c  + Nếu f ' 1  f '    x   0,1 cho f ' x   2  f x f  0 Bảng biến thiên : x0 x   f x   f ' x0    Dựa vào bảng biến thiên ta có : f x   Max f x   Max f  0 , f 1  0,1   f a 1 a b c     a  b  c  b c 1 a c 1 a b 1     Bài toán : Cho tam giác ABC với cạnh a,b, c thỏa a  b  c a Chứng minh : a b  c   b c  a   c a  b   b Chứng minh thay số vế phải bất đẳng thức số nhỏ Lời giải a Ta có : a b  c   b c  a   c a  b           a b  c b  c  a b  c  b 2c b  c    0  b  c  a b a  c   a c a  c   b a  c        b  c  a  c  a b  a c  b a  b c      b  c a b  a c  a b  a bc  a c  b c 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940 Page               b  c a  c ab a  b  c a  b a  b    a  b b  c a  c ab  bc  ca  Điều với a  b  c b Giả sử  số nhỏ thỏa a b  c   b b  c   c c  a    n b rõ ràng a  b  c, n  N * n Xét tam giác ABC với cạnh a  ,b  ,c         12 15 20  94   2 n n  n    n Khi : a b2  c2   b b2  c2   c c2  a             n n n  94  94  nên theo định nghĩa  làm nhỏ tùy ý  n  n  Vì lim   chọn n đủ lớn Thật vậy, giả sử 94 94 94 94 *           n   n  n n  ( bước ta sử dụng bất đẳng thức 94 94  ) n n5 Bất đẳng thức  *  mẫu thuẫn với điều ta giả sử , không tồn số   thỏa bất đẳng thức câu a Bài toán : Cho số thực dương a,b, c thỏa mãn a  b  c   a b c     2 b  b c  c a  a  Chứng minh : ab  bc  ca   Lời giải 1 a b c a     Ta có :  b b c c a a  x b     dx   x  a  b c  x  c   2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có : a  b  c x  b  x  c  x  a  2  a b c      x b x c x a  Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có : Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940 Page   a b c a b c     x b x c x a a  b  c x  ab  bc  ca x  ab  bc  ca   a b   c x  b  x  c  x  a   a     x b  b   x  ab  bc  ca   dx dx     x  ab  bc  ca x  a  c  x  c   2     ab  bc  ca ab  bc  ca       a b c   ab  bc  ca       b  b c  c a  a  ab  bc  ca    ( Bước cuối sử dụng bất đẳng thức ab  bc  ca   a  b  c  ) The end Ngô Minh Ngọc Bảo Hotline : 0963074940 Page