Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m TITU ANDREESCU DORIN ANDRICA c BÀI TẬP SỐ PHỨC co Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) kh on gb oc uo (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức LỜI GIỚI THIỆU m Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên phủ hầu khắp vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến hình học phức co Người dịch chọn lọc số vấn đề lý thuyết, tập bản, nâng cao số phức để giới thiệu tiếng Việt, phục vụ đối tượng bạn đọc học sinh trung học phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức c Trong khả có thể, người dịch cố gắng dùng thuật ngữ phổ biến Tuy nhiên không dùng thuật ngữ thiếu khó lòng diễn đạt vấn đề số phức kh on gb oc uo Mọi việc dù muốn hay không, gây thiếu, sót (hạn chế sai, lầm) Mong em học sinh, sinh viên quý vị nói cười thoải mái Người dịch Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức kh on gb oc uo c co m Mục lục1 Mục lục Dạng đại số số phức 1.1 Định nghĩa số phức 1.2 Tính chất phép cộng 1.3 Tính chất phép nhân 1.4 Dạng đại số số phức 1.5 Lũy thừa đơn vị ảo i 1.6 Số phức liên hợp 1.7 Môđun số phức 10 1.8 Giải phương trình bậc hai 14 1.9 Bài tập 17 1.10 Đáp số hướng dẫn 22 Biểu diễn hình học số phức 24 2.1 Biểu diễn hình học số phức 24 2.2 Biểu diễn hình học Môđun 25 2.3 Biểu diễn hình học phép toán 25 2.4 Bài tập 28 2.5 Đáp số hướng dẫn 29 Dạng lượng giác số phức 29 3.1 Tọa độ cực số phức 29 3.2 Biểu diễn lượng giác số phức 31 3.2 Các phép toán dạng lượng giác số phức 36 3.4 Biểu diễn hình học tích hai số phức 38 3.5 Bài tập 39 3.6 Đáp số hướng dẫn 42 Căn bậc n đơn vị 43 4.1 Định nghĩa bậc n số phức 43 4.2 Căn bậc n đơn vị 45 4.3 Phương trình nhị thức 49 4.4 Bài tập 50 4.5 Đáp số hướng dẫn 51 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức Dạng đại số số phức x1 x2 y1 y2 co Hai phần tử ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ⇔ m 1.1 Định nghĩa số phức Xét R2 R R {( x, y) | x, y R} gb oc uo c ∀ ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ ℝ2: Tổng z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℝ2 Tích z1.z2 ( x1 , y1 ).( x2 , y2 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) ∈ ℝ2 Phép toán tìm tổng hai số phức gọi phép cộng Phép toán tìm tích hai số phức gọi phép nhân Ví dụ a) z1 ( 5,6), z2 (1, 2) z1 z2 ( 5,6) (1, 2) ( 4, 4) z1 z2 ( 5,6)(1, 2) ( 12,10 6) (7,16) 1 b) z1 ( ,1), z2 ( , ) 1 z1 z2 ( ,1 ) ( , ) 1 1 z1z2 ( , ) ( , ) 3 12 Định nghĩa Tập ℝ2, với phép cộng nhân gọi tập số phức ℂ Phần tử (x,y)∈ℂ gọi số phức kh on 1.2 Tính chất phép cộng (1) Giao hoán: z1 z2 z2 z1, z1, z C (2) Kết hợp: ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C (3) Tồn phần tử không: (0,0) C , z 0 z z , z C z C : z ( z) ( z) z (4) Mọi số có số đối: z C , Số z1 z2 z1 ( z2 ) : hiệu hai số z1 , z2 Phép toán tìm hiệu hai số gọi phép trừ, z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℂ 1.3 Tính chất phép nhân (1) Giao hoán: z1.z2 z2 z1 , z1 , z2 C Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức (2) Kết hợp: ( z1.z2 ).z3 z1.( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C (3) Tồn phần tử đơn vị: (0,1) C , z.1 1.z z, z C gb oc uo c co m (4) Mọi số khác có số nghịch đảo: z C* , z C : z.z z 1.z Giả sử z ( x, y) C* , để tìm z ( x ', y ') , xx yy Giải hệ, cho ta ( x, y).( x ', y ') (1, 0) yx xy x y Vậy x' , y x2 y x2 y x y z1 ( , ) z x y x y2 Thương hai số z1 ( x1 , y1 ), z ( x , y ) ∈ ℂ*là z1 x y x x y y x y y1x z1.z ( x1, y1 ).( , ) ( 12 , 12 ) C 2 z x y x y x y x y2 Phép toán tìm thương hai số phức gọi phép chia Ví dụ a) Nếu z (1,2) 2 z1 ( , ) ( , ) 22 12 22 5 b) Nếu z1 (1,2), z2 (3,4) z1 11 ( , ) ( , ) z2 16 16 25 25 * Lũy thừa số mũ nguyên số phức: z∈ ℂ , z 1; z1 z; z z.z; z n  z.z z , n nguyên dương n z ( z ) n , n nguyên âm n , n nguyên dương (5) Tính phân phối phép nhân với phép cộng: z1.( z2 z3 ) z1.z2 z1.z3 , z1 , z2 , z3 C Những tính chất phép nhân cộng, chứng tỏ ℂ hai phép toán cộng nhân trường kh on n 1.4 Dạng đại số số phức Dạng đại số số phức nghiên cứu sau đây: Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức Xét song ánh2 f :R R {0}, f ( x) ( x,0) Hơn y,0) ; ( x,0).( y ,0) ( xy ,0) m ( x,0) ( y,0) ( x Ta đồng (x,0)=x Đặt i=(0,1) ( x, y ) ( x,0) (0, y ) ( x,0) ( y,0).(0,1) x yi ( x,0) (0,1)( y,0) x iy Định lý Số phức z=(x,y) biểu diễn dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ , i2=-1 Hệ thức i2=-1, suy từ định nghĩa phép nhân : i i.i (0,1).(0,1) ( 1,0) Biểu thức x+yi gọi dạng đại số số phức z=(x,y) Do đó: C {x yi | x R, y R, i 1} x=Re(z): phần thực z y=Im(z): phần ảo z Đơn vị ảo i (1) Tổng hai số phức z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C Tổng hai số phức số phức , mà phần thực ( phần ảo) tổng hai phần thực (phần ảo) hai số cho (2) Tích hai số phức z1.z2 ( x1 y1i ).( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i C (3) Hiệu hai số phức z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C Hiệu hai số phức số phức , mà phần thục ( phần ảo) hiệu hai phần thực(phần ảo) hai số phức cho Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực tương tự quy tắc tính đa thức cần lưu ý i2 đủ Ví dụ 6i, z2 2i a) z1 z1 z2 ( 6i ) (1 2i) 4i z1 z2 ( 6i )(1 2i ) 12 (10 6)i 16i 1 b) z1 i , z2 i kh on gb oc uo c co z f đẳng cấu Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức z1z2 i) ( 1 ( i)( ( 1.5 Lũy thừa đơn vị ảo i i 1; i1 i; i 1 i) 1 i) 1; i3 i i 1 (1 )i i 1 1 ( )i i 3 12 i, m z2 co z1 gb oc uo c i i i 1; i i i i; i i i 1; i i i i Bằng quy nạp : i 4n 1; i 4n i; i 4n 1; i 4n i, ∀ n∈ ℕ* Do i n { 1,1, i, i}, ∀ n∈ ℕ Nếu n nguyên âm , có i n (i ) n ( ) n ( i) n i Ví dụ a) i105 i 23 i 20 i 34 i 4.26 i 4.5 i 4.5 i 4.8 i i 1 b) Giải phương trình : z3 18 26i, z x yi, x, y Z Ta có ( x yi)3 ( x yi)2 ( x yi) ( x2 y 2xyi)( x yi) ( x3 3xy ) (3x2 y y3 )i 18 26i Sử dụng định nghĩa hai số phức nhau, được: x3 3xy 18 y 26 Đặt y=tx, 18(3x2 y y3 ) 26( x3 3xy ) ( cho ta x≠ y≠ 0) ⇒ 18(3t t ) 26(1 3t ) ⇒ (3t 1)(3t 12t 13) Nghiệm hữu tỷ phương trình t=1/3 Do x=3, y=1⇒ z=3+i on 3x y kh 1.6 Số phức liên hợp Cho z=x+yi Số phức z x yi gọi số phức liên hợp z Định lý (1) z z z R, (2) z z , (3) z.z số thực không âm, Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức z2 (5) z1.z2 (2) (3) z1 , z2 C* , z2 z z z z Re( z ) , Im(z)= 2i Chứng minh z z x yi x yi Do 2yi=0⇒ y=0⇒ z=x∈ ℝ z x yi, z x yi z z.z ( x yi)( x yi) x2 y (4) z1 z2 ( x1 (5) z1.z2 ( x1 x2 ) ( y1 y1i) ( x2 ( x1x2 y2 )i ( x1 y2i) z1 y1 y2 ) i( x1 y2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) 1 ( z ) z z tức ( z ) ( z ) x2 ) ( y1 y2 )i z2 x2 y1 ) ( x1x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) z1 z2 z ( ) 1, z gb (6) z co (1) z1 z2 c (8) (z ) , z C* , oc uo (7) z2 , z1.z2 , (6) z z1 m (4) z1 1 z1 ) z1.( ) z1 z2 z2 z2 z2 (8) z z ( x yi ) ( x yi) x z z ( x yi ) ( x yi ) yi z z z z Do đó: Re( z ) , Im(z)= 2i Lưu ý a) Việc tính số nghịch đảo số phức khác 0, tiến hành: z x yi x y i 2 2 z z.z x y x y x y2 b) Tính thương hai số phức: z1 z1.z2 ( x1 y1i )( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) x1 y2 x2 y1 i 2 2 z2 z2 z2 x2 y2 x2 y2 x22 y22 z1 z2 ( z1 kh on (7) Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực tương tự quy tắc tính đa thức cần lưu đủ ý i2 1 10 8i i 41 10 8i 164 82 5i 20 4i 3i (5 5i)(3 4i) z 16i c) Cho z1 , z2 C Chứng tỏ E E 1(10 8i) (10 8i)(10 8i) z1 z2 z1z2 20(4 3i) 35i 16 9i 25 75 25i i 25 z1.z2 z1.z2 số thực z1z2 z1.z2 E gb 1.7 Môđun số phức Số | z | x y gọi Môđun số phức z=x+yi Ví dụ Cho z1 3i, z2 3i, z3 | z1 | 42 32 10 8i 102 82 co (10 8i) oc uo b) Tính z c z m Ví dụ a) Tìm số nghịch đảo z 10 8i 5, | z2 | 02 ( 3)2 E 80 60i 25 R 2, 3, | z3 | 22 kh on Định lý (1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | z (2) | z | 0,| z | (3) | z | | z | | z | (4) z.z z (5) | z1 z2 | | z1 || z2 | (6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | (7) | z | z (8) | | z2 (9) | z1 | | z | , z C* | z1 | , z2 C * | z2 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức a)Ta có lại kết | z1 | z1 | ; | z2 | z2 | z1 ) {argz1 argz2 2k , k Z } ; z2 1 z1 [cos( t ) i sin( t )] ; c)Với z1 1, z2 z , z r d)Công thức De Moivre cho lũy thừa nguyên âm, tức với n nguyên âm, ta có z n r n (cos nt i sin nt ) Bài tập 14 Tính (1 i )10 ( i )5 z ( i 3)10 Lời giải 10 7 (cos i sin )10 25 (cos i sin )5 4 6 z 4 210 (cos i sin )10 3 35 35 5 210 (cos i sin )(cos i sin ) 2 6 40 40 10 (cos i sin ) 3 55 55 cos i sin 3 cos5 i sin 40 40 cos i s in 3 gb oc uo c co m b) Arg ( 3.4 Biểu diễn hình học tích hai số phức kh on Xét số phức z1 r1 (cos i sin ), z2 r2 (cos i sin ) Gọi P1 , P2 giao điểm đường tròn ℭ (0,1) với tia OM , OM Dựng P3 thuộc đường tròn có argument cực , chọn M thuộc tia OP3 , OM OM 1.OM Gọi z3 tọa độ phức M3 Điểm M (r1r2 , ) biểu diễn tích z1 z2 Gọi A điểm biểu diễn z=1 OM OM OM OM   M 2OM AOM1 Suy hai tam giác OM1 OM OA OAM ,OM M đồng dạng Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 38 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác co m Bài tập số phức z3 M1 z2 c Để xây dựng biểu diễn hình học thương, lưu ý điểm tương ứng oc uo 3.5 Bài tập Dựa vào tọa độ vuông góc ,tìm tọa độ cực điểm a) M ( 3,3) gb b) M ( 3, 4) c) M (0, 5) d) M ( 2, 1) e) M (4, 2) Dựa vào tọa độ cực ,tìm tọa độ vuông góc điểm a) P1 (2, ) b) P2 (4,2 arcsin ) on c) P3 (2, ) d) P4 (3, ) kh e) P5 (1, ) f) P6 (4, ) Biểu diễn arg( z ) arg( z ) qua arg(z) Biểu diễn hình học số phức z: a) | z | ; b) | z i | ; Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 39 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức c) | z i | ; ; argz f) arg z m ; ; oc uo g) arg( z ) ( , ) |z i| h) argz Viết số sau dạng cực a) z1 6i 3; co e) arg z c d) i ; 4 c) z3 i ; 2 d) z4 9i 3; e) z5 2i; 4i f) z6 Viết số sau dạng cực a) z1 cos a i sin a, a [0, ) , b) z2 sin a i (1 cos a), a [0,2 ) , c) z3 cos a sin a i (sin a cos a), a [0,2 ) , d) z4 cos a i sin a, a [0,2 ) Sử dụng dạng cực số phức để tính tích sau i )( 3i)(2 2i); a) ( 2 (1 i )( 2i)i ; b) kh on gb b) z2 c) 2i( 4 3i)(3 3i) ; d) 3(1 i )( 5i) Mô tả kết dạng đại số Tìm | z |,arg z, Argz, arg z ,arg( z ) Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 40 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức a) z (1 i)(6 6i ) ; kh on gb oc uo c c) z (1 i 3)n (1 i 3)n 10 Chứng tỏ công thức Moivre với số nguyên âm 11 Tính a) (1 cos a i sin a)n , a [0,2 ), n N , 1 , z b) z n n z z co m b) z (7 3i)( i) Tìm |z| argument cực z: (2 2i )8 (1 i) a) z , (1 i )6 (2 2i )8 ( i)4 b) z , ( i)10 (2 2i) Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 41 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức kh on gb oc uo c co m 3.6 Đáp số hướng dẫn Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 42 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức Căn bậc n đơn vị n r, n oc uo c co m 4.1 Định nghĩa bậc n số phức Xét số nguyên n≥ số phức w Như trường số thực ℝ , phương trình zn w dùng định nghĩa bậc n số w Ta gọi nghiệm z phương trình bậc n w i sin ) số phức với r>0 θ∈ [0,2π) Định lý Cho w r (cos Căn bậc n w gồm n số phân biệt, cho 2k 2k zk n r (cos i sin ), k 0,1, , n n n Chứng minh Biểu diễn số phức z dạng lượng giác, tức z (cos i sin ) n Theo định nghĩa, ta có z w , nên n (cos n i sin n ) r (cos i sin ) Do 2k , k Z n r, k n k n kh on gb Vậy nghiệm phương trình có dạng zk n r (cos k i sin k ), k Z Do k , k {0,1, , n 1} argument cực Lưu ý 0 n Bởi tính tọa độ cực, Ta có n nghiệm phân biệt phương trình z0 , z1 , , zn Đến ta chứng minh phương trình có n nghiệm phân biệt Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q số dư r, tức k=nq+r, q∈ Z, r∈{0,1,2,…,n-1} 2 (nq r ) r 2q 2q k r n n n n Rõ ràng zk zr Do {zk , k Z } {z0 , z1 , , zn 1} Nói cách khác phương trình có n nghiệm phân biệt Biểu diễn hình học bậc n w≠ (n≥ 3) đỉnh n giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n r , r=|w| Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 43 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức Để chứng minh điều này, ký hiệu M ( z0 ), M ( z1 ), , M n ( zn ) Bởi OM k | zk | n r , k {0,1, , n 1}  M M k Mk C(0, n r ) Mặt khác , số đo cung k argzk 2(k 1) ( 2k ) z 2(cos Các bậc ba z i sin ) 2 2[cos( k ) i sin( k )], k 12 12 oc uo zk c co m , k {0,1, , n 2} n n 2  ⇒M (n 1) n 1M n n   ,M  M n Bởi cung M M1 , M1M , n 1M nên đa giác M M Ví dụ 16 Tìm bậc ba z=1+i biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức Dạng lượng giác z arg zk ⇒ z0 ), 12 3 z1 (cos i sin ), 4 17 17 z2 2(cos i sin ), 12 12 Dùng tọa độ cực, điểm biểu diễn z0 , z1 , z2 17 M ( 2, ) , M ( 2, ) , M ( 2, ) 12 12 Tam giác biểu diễn kết hình 2.6 12 i sin kh on gb 2(cos 0,1,2 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 44 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài tập số phức gb oc uo c co m 4.2 Căn bậc n đơn vị Một nghiệm phương trình z n gọi bậc n đơn vị Biểu diễn dạng lượng giác , cos0 i sin 0, từ công thức tìm bậc n số phức, ta có bậc n đơn vị 2k 2k , k {0,1, , n 1} cos i sin k n n ⇒ cos0 i sin , 2 2 (đặt ) cos i sin cos i sin n n n n 4 , cos i sin n n 2(n 1) 2(n 1) n cos i sin n n n 2 Ký hiệu Un {1, , , , n 1} ,cũng cần nhắc lại cos i sin n n Như phần trước đề cập, Biểu diễn hình học bậc n đơn vị (n≥ 3) điểm tạo thành n giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính Chẳng hạn i) Với n=2, hai bậc hai 1(nghiệm phương trình z ) -1,1 ii) Với n=3, bậc ba 1( nghiệm phương trình z )cho 2k 2k , k∈ {0,1,2}, cos i sin k n n ⇒ 1, 2 , i sin i 3 2 4 cos i sin i 3 2 Biểu diễn lên mặt phẳng phức tam giác nội tiếp đường tròn ℭ (O,1) cos kh on Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 45 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác c i sin 2k , k {0,1, 2, 3} oc uo iii) Với n=4, bậc bốn 2k cos k Ta có co m Bài tập số phức cos0 i sin , cos i sin i, cos i sin 1, 3 cos i sin i 2 Tức U4 {1, i, i , i3} {1, i, 1, i} Biểu diễn hình học chúng hình vuông nội tiếp đường tròn ℭ (O,1) kh on gb Số m k k U n gọi nguyên thủy bậc n đơn vị , số nguyên dương m[...]... Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z=x+yi với v OM , M(x,y) Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 24 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác co m Bài tập số phức oc uo c 2.2 Biểu diễn hình học của Môđun z x yi OM x 2 y 2 | z | Khoảng cách từ M(z) đến O là Môđun của số phức z Lưu ý a) Với số thực dương r, tập các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường... 2 | z1 z3 |2 co có điều phải chứng minh 2 Biểu diễn hình học của số phức on gb oc uo c 2.1 Biểu diễn hình học của số phức Định nghĩa Điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z=x+yi Số phức z=x+yi gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y) ta dùng ký hiệu M(z) để chỉ tọa độ phức của M là z Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức kh Các điểm... luôn có phân tích nhân tử az 2 bz c a( z z1 )( z z2 ) Bài tập 8 Giải phương trình hệ số phức z 2 8(1 i) z 63 16i 0 Lời giải (4 4i)2 (63 16i) 63 16i Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức r | 632 162 | 65 Phương trình y2 i oc uo c co ( m 65 63 ) (1 8i) Kéo theo 2 z1,2 4 4i (1 8i) Do đó z1 5 12i, z2 3 4i Ta có thể... giác của số phức Cho số phức z=x+yi ta có thể viết z dạng cực: z r (cos i sin ) , [0;2 ) r=|z|∈ [0,∞), θ là một argument của z và Với z≠ 0, r và θ xác định duy nhất Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 31 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức r (cos i sin ) , đặt 2k , k Z thì z r[cos( 2k ) i sin( 2k )] r (cos i sin ) Tức là , với số phức bất kỳ z có thể... tiểu hàm số kh 1.8 Giải phương trình bậc hai Phương trình bậc hai với hệ số thực ax2 bx c 0, a 0 b 2 4ac âm vẫn có nghiệm phức trong cả trường hợp biệt thức Phân tích vế trái b 2 a[( x ) ] 0 2a 4a 2 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 14 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức b 2 2 ) i ( )2 2a 2a 0 b i b i , x2 2a 2a Rõ ràng hai nghiệm là hai số phức liên... www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức 1 z1 z1 z1 | z1 |2 1, z1 1 z1 1 z2 1 1 1 z1 z2 z1 z2 1 z1 z2 A z1 z2 1 z1 z2 Vậy A là số thực Bài tập 3 Cho a là số thực dương và đặt m 1 , đặt số trên là A, z2 A co Tương tự, z2 oc uo z C * ,| z c 1 | a z Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0 Lời giải 1 2 1 1 z2 z 2 1 2 2 a |z | (z )( z ) |z| 2 z z... x2 3 Dạng lượng giác của số phức 3.1 Tọa độ cực của số phức Trong mặt phẳng Oxy, cho M(x,y) khác gốc tạo độ Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 29 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức gb oc uo c co m x 2 y 2 gọi là bán kính cực của điểm M Số đo θ∈ [0;2π) của góc lượng giác Số thực r   (Ox, OM ) gọi là argument của M Cặp có thứ tự (r,θ) gọi là... Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 22 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức kh on gb oc uo c co m 8 Với mọi số nguyên k không âm, ta có Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 23 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức 37 z2 | | z2 z3 | 2 | z2 ( z1 z2 z3 ) z1 z3 | 2 | z2 | | z1 z2 z3 | 2 | z1 || z3 | 2 | z2 z3... a a2 4 |z| [ ; ] 2 2 a a2 4 a a2 4 max | z | ,min | z | 2 2 z M,z z Bài tập 4 Chứng minh mọi số phức z, 1 , hoặc | z 2 1 | 1 | z 1| 2 Lời giải Phản chứng 1 và | z 2 1 | 1 | z 1| 2 2 2 2 Đặt z=a+bi⇒ z a b 2abi Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài tập số phức 1 , 2 b2 ) 4a 1 0 4a 2b 2 1,(1 a) 2 b2 oc uo c co (a2 b2 )2 2(a2... thuẫn Bài tập 5 Chứng minh 7 7 |1 z | |1 z z 2 | 3 , ∀ z, |z|=1 2 6 Lời giải Đặt t |1 z | [0;2] t2 2 t 2 (1 z )(1 z ) 2 2 Re( z ) Re( z ) 2 Khi đó | 1 z z 2 | | 7 2t 2 | Xét hàm số m (1 a 2 b 2 ) 2 f :[0;2] Được 7 ) 2 7 2 t | 7 2t 2 | | 7 2t 2 | f( 7 7 ) 3 6 6 on gb f( R, f (t ) t Bài tập 6 Xét kh H {z C , z x 1 xi, x R} Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức z H ,| z | | w |, w H Lời giải Đặt