Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Kiến thức bản: Định lý: * f / ( x) > 0∀x ∈ D ⇒ f ( x) đồng biến D * f / ( x) < 0∀x ∈ D ⇒ f ( x) nghịch biến D Định lý mở rộng: * f / ( x) ≥ 0∀x ∈ D f / ( x) = số hữu hạn điểm ⇒ f (x) đồng biến D * f / ( x) ≤ 0∀x ∈ D f / ( x) = số hữu hạn điểm ⇒ f (x) nghịch biến D Chú ý: * f / ( x) > ∀x ∈ (a; b ) f(x) liên tục [a; b ] ⇒ f (x) đồng biến [a; b ] * f / ( x) < ∀x ∈ (a; b ) f(x) liên tục [a; b ] ⇒ f (x) nghịch biến [a; b ] Điều kiện không đổi dấu R: Cho f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > * f ( x) ≥ 0∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ a > * f ( x) > 0∀x ∈ R ⇔  ∆ < a < * f ( x) ≤ 0∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ a < * f ( x) < 0∀x ∈ R ⇔  ∆ < II Các dạng toán: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng, đoạn cho trước: Ví dụ Cho hàm số y = x − (m + 1)x + (2m + 1)x + a Xác định m để hàm số đồng biến R b Xác định m để hàm số đồng biến (2; + ∞ ) c Xác định m để hàm số nghịch biến [− 3;1] Giải: a Tập xác định: D = R y / = x − 2(m + 1)x + 2m + a > 1 > m ∈ R ⇔ ⇔ ⇔m=0 m = ∆ ≤ m ≤ Hàm số đồng biến R ⇔ y / ≥ ∀x ∈ R ⇔  / b Tập xác định: D = R y / = x − 2(m + 1)x + 2m + x = y / = ⇔ x − 2(m + 1)x + 2m + = ⇔   x = 2m + LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam * Trường hợp 1: 2m + = ⇔ m = Ta có bảng biến thiên: x −∞ y/ + +∞ + +∞ y −∞ Suy hàm số đồng biến R nên đồng biến (2; + ∞ ) Do m = thỏa mãn * Trường hợp : 2m + > ⇔ m > Ta có bảng biến thiên: 2m+1 x −∞ +∞ y/ + - + y(1) +∞ y −∞ y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (2; + ∞ ) ( thỏa đk m>0) * Trường hợp : 2m + < ⇔ m < ⇔ 2m + > ⇔ m > Ta có bảng biến thiên: 2m+1 x −∞ y/ + - +∞ + y(2m+1) y −∞ +∞ y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị m để hàm số đồng biến (2; + ∞ ) Vậy hàm số đồng biến R nên đồng biến (2; + ∞ ) m = m > c Tập xác định: D = R y / = x − 2(m + 1)x + 2m + x = y / = ⇔ x − 2(m + 1)x + 2m + = ⇔   x = 2m + LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam * Trường hợp 1: 2m + = ⇔ m = Ta có bảng biến thiên: x −∞ y/ + +∞ + +∞ y −∞ Suy hàm số đồng biến R nên không nghịch biến [− 3;1] Do m = không thỏa mãn * Trường hợp : 2m + > ⇔ m > Ta có bảng biến thiên: 2m+1 x −∞ +∞ y/ + - + y(1) +∞ y(2m+1) y −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị m để hàm số nghịch biến [− 3;1] * Trường hợp : 2m + < ⇔ m < Ta có bảng biến thiên: x −∞ 2m+1 y/ + - +∞ + y(2m+1) +∞ y −∞ y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến [− 3;1] ⇔ 2m + ≤ −3 ⇔ m ≤ −2 ( Thỏa mãn điều kiện m 1 > m ∈ R ⇔ y / ≥ ∀x ∈ R ⇔  / ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ −4 4 + m ≤ m ≤ −4 ∆ ≤ b * Tập xác định: D = R y / = x + 4x − m * Hàm số đồng biến [0; + ∞ ) ⇔ y / ≥ ∀x ∈ [0; + ∞ ) ⇔ x + x − m ≥ ∀x ∈ [0; + ∞ ) ⇔ x + x ≥ m ∀x ∈ [0; + ∞ ) * Xét hàm số f ( x) = x + x [0; + ∞ ) Ta có f / ( x) = x + f / ( x) = ⇔ x = −2 (loại) Ta có bảng biến thiên: x +∞ f/(x) + +∞ f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT ⇔ m ≤ Vậy m ≤ hàm số đồng biến [0; + ∞ ) c * Tập xác định: D = R y / = x + 4x − m * Hàm số đồng biến (− ∞;1) ⇔ y / ≥ ∀x ∈ (− ∞;1) ⇔ x + x − m ≥ ∀x ∈ (− ∞;1) ⇔ x + x ≥ m ∀x ∈ (− ∞;1) * Xét hàm số f ( x) = x + x (− ∞;1) Ta có f / ( x) = x + f / ( x) = ⇔ x = −2 ( nhận ) Ta có bảng biến thiên: x f/(x) f(x) -2 −∞ +∞ LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số + -4 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT ⇔ m ≤ −4 d * Tập xác định: D = R y / = x + 4x − m Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ phương trình ý = có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho x1 − x = ∆/ > ⇔  x1 − x 2 4 + m >  m > −4 ⇔ ⇔ 2 =  x1 + x − x1 x = (x1 + x ) − x1 x = m > −4 m > −4  ⇔ ⇔  ⇔m=− (− ) − 4(−m) = m = − thỏa mãn điều kiện toán Ví dụ Cho hàm số y = x − mx + 12 x − Vậy m = − a Xác định m để hàm số đồng biến R b Xác định m để hàm số đồng biến (1;+∞ ) c Xác định m để hàm số nghịch biến (1; 2) d Xác định m để hàm số nghich biến đoạn có độ dài Giải: a Tập xác định: D = R y / = x − 2mx + 12 Hàm số đồng biến R a > 3 > m ∈ R ⇔ y / ≥ ∀x ∈ R ⇔  / ⇔ ⇔ ⇔ −6 ≤ m ≤ − ≤ m ≤ ∆ ≤ m − 36 ≤ b Tập xác định: D = R y / = x − 2mx + 12 * Hàm số đồng biến (1;+∞ ) ⇔ y / ≥ ∀x ∈ (1;+∞ ) ⇔ x − 2mx + 12 ≥ ∀x ∈ (1;+∞ ) ⇔ 2m ≤ x + 12 ∀x ∈ (1;+∞ ) x x + 12 (1;+∞ ) x x − 12 Ta có f / ( x) = x2  x = ( n) x − 12 f / ( x) = ⇔ =0⇔ x  x = −2 (l ) Xét hàm số f ( x) = Ta có bảng biến thiên: x f/(x) - 15 + +∞ f(x) 12 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số +∞ Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT ⇔ 2m ≤ 12 ⇔ m ≤ Vậy m ≤ thỏa mãn điều kiện toán c Tập xác định: D = R y / = x − 2mx + 12 * Hàm số nghịch biến (1;2) ⇔ y / ≤ ∀x ∈ (1;2) ⇔ x − 2mx + 12 ≤ ∀x ∈ (1;2 ) ⇔ 2m ≤ x + 12 ∀x ∈ (1;2 ) x x + 12 (1; ) x x − 12 Ta có f / ( x) = x2 x = ( l) x − 12 f / ( x) = ⇔ =0⇔ x  x = −2 (l ) Xét hàm số f ( x) = Bảng biến thiên: x f/(x) 15 f(x) 12 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT ⇔ 2m ≤ 12 ⇔ m ≤ Vậy m ≤ thỏa mãn điều kiện toán d * Tập xác định: D = R y / = x − 2mx + 12 Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ phương trình ý = có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho x1 − x = ∆/ > m − 36 > m ∈ (− ∞; − ) ∪ (6; + ∞ ) ⇔ ⇔ ⇔   2  x1 + x 2 − x1 x =  x1 − x = ( x1 + x ) − x1 x = m ∈ (− ∞; − ) ∪ (6; + ∞ ) m ∈ (− ∞; − ) ∪ (6; + ∞ )   ⇔  2m  ⇔  m = ⇔ m ∈φ  − 4.4 =  m = −6    Vậy giá trị m thỏa điều kiện toán LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Ví dụ Cho hàm số y = mx + x+m a Xác định m để hàm số nghịch biến khoảng xác định b Xác định m để hàm số đồng biến (2; + ∞ ) c Xác định m để hàm số nghịch biến (− ∞; − 1) Giải: a TXĐ: D = R \ {− m} y/ = m2 − ( x + m )2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y / > ∀x ≠ −m ⇔ m − > ⇔ m ∈ (− 3; 3) Vậy: m ∈ (− 3; 3) thỏa điều kiện toán b TXĐ: D = R \ {− m} y/ = m2 − ( x + m )2 Hàm số đồng biến ⇔ y / > ∀x ∈ (2; + ∞ ) x ≠ − m m − > m ∈ (− ∞; − 3) ∪ (3; + ∞ ) m ∈ (− ∞; − 3) ∪ (3; + ∞ ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m>3 − m ≤ m ≥ −2 − m ∉ (2; + ∞ ) Vậy: m > thỏa điều kiện toán c TXĐ: D = R \ {− m} y/ = m2 − ( x + m )2 Hàm số nghịch biến (− ∞; − 1) ⇔ y / < ∀x ∈ (− ∞; − 1) x ≠ − m m − < m ∈ (− 3; 3) m ∈ (− 3; 3) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −3 < m ≤ − m ≥ −1 m ≤ − m ∉ (− ∞; − 1) Vậy: − < m ≤ thỏa điều kiện toán Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ Chứng minh rằng: π a sinx < x ∀x ∈  0;   2 π b x < tan x ∀x ∈  0;   Giải: a Ta có: sinx < x ⇔ x − sin x > π Xét f ( x) = x − sin x Với ∀x ∈ 0;   2 x π Ta có f / ( x) = − cos x = sin ≥ ∀x ∈ 0;   2 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 c x − x ≤ ∀x ∈ [− 1;1] Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam f / ( x) = ⇔ sin x x  π = ⇔ = kπ ⇔ x = k 2π ⇔ x = ( Do x ∈ 0;  ) 2  2 π Suy ra, f (x) đồng biến 0;   2 π Do đó, ∀x ∈  0;   2 Ta có < x ⇒ f (0) < f ( x) ⇔ < x − sin x ⇔ sin x < x π Vậy: sinx < x ∀x ∈  0;   2 b Ta có: x < tan x ⇔ x − tan x < Xét hàm số f ( x) = x − tan x 0;   2 π Ta có f / ( x) = −  π = − tan x ≤ ∀x ∈ 0;  cos x  2  π f / ( x) = ⇔ tan x = ⇔ x = kπ ⇔ x = ( Do x ∈ 0;  )  2 π Suy ra, f (x) nghịch biến 0;   2 π Do đó, ∀x ∈  0;   2 Ta có < x ⇒ f (0) > f ( x) ⇔ > x − tan x ⇔ x < tan x π Vậy x < tan x ∀x ∈  0;   2 c x − x ≤ ∀x ∈ [− 1;1] Xét hàm số f ( x) = x − x với x ∈ [− 1;1] Ta có f / ( x) = x − x x = f ( x) = ⇔ x − x = ⇔ x(x − 1) = ⇔  x =  x = −1 / Bảng biến thiên: x -1 f/(x) + 0 f(x) -1 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x) = x − x ≤ ∀x ∈ [− 1;1] (đpcm) LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai điểm: Cách ( Thường dùng cho hàm đa thức )  y / ( x0 ) = * f(x) đạt cực trị x = x0 ⇔   y // ( x0 ) ≠ /  y ( x0 ) = * f(x) đạt cực đại x = x0 ⇔  //  y ( x0 ) < y / (x ) = * f(x) đạt cực tiểu x = x0 ⇔  //  y ( x0 ) > Cách ( Thường dùng cho hàm phân thức ) * Nếu f(x) đạt cực trị x = x0 y / ( x0 ) = * Giải phương trình y / ( x0 ) = tìm m, thay m vừa tìm vào hàm số * Lập bảng biến thiên kết luận Ví dụ Cho hàm số y = x − (m − 1)x + (m − 3m + 2)x + a Tìm m để hàm số đạt cực trị x = b Tìm m để hàm số đạt cực đại x = c Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Giải: a TXĐ: D = R y / = x − 2(m − 1)x + m − 3m + y // = x − 2(m − 1)  m =  y / (0) = m − 3m + =  Hàm số đạt cực trị x = ⇔  // ⇔ ⇔ m = ⇔ m =  y (0) ≠ − 2(m − 1) ≠ m ≠  Vậy Hàm số đạt cực trị x = b TXĐ: D = R y / = x − 2(m − 1)x + m − 3m + y // = x − 2(m − 1) Hàm số đạt cực đại x =  5+  m =   y / (1) = m − 5m + = 5+ ⇔  // ⇔  ⇔ 5− ⇔ m =  y (1) < 4 − m <  m =  m > c TXĐ: D = R y / = x − 2(m − 1)x + m − 3m + y // = x − 2(m − 1) Hàm số đạt cực tiểu x = LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam  y / (3) = m − 9m + 17 = m ∈ φ ⇔  // ⇔ ⇔ ⇔ m ∈φ  y (3) > m < 8 − 2m > Vậy giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = 3 Ví dụ Cho hàm số y = − x + ax + bx + Xác định a b để hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại điểm Giải: * TXĐ: D = R * y / = − x + ax + b y // = −2 x + a Hàm số đạt cực đại x = giá trị cực đại điểm   y / (1) = − + a + b = a = −2  // a = −2   ⇔  y (1) < ⇔ − + a < ⇔ b = ⇔  b =  y (1) = 1 a <    a+b = 2 a = −  Vậy  thỏa mãn điều kiện toán b = Ví dụ Xác định m để hàm số y = x − 2m x + a Hàm số đạt cực tiểu x = - b Hàm số đạt cực tiểu x = - Giải: a TXĐ: D = R y / = x − 4m x y // = 12 x − 4m  m =  y / (−1) = − + 4m =  Hàm số đạt cực tiểu x = - ⇔  // ⇔ ⇔  m = −1  y (−1) > 12 − 4m >  m ∈ − ; m = ⇔  m = −1 ( b TXĐ: D = R y / = x − 4m x y // = 12 x − 4m Hàm số đạt cực đại x = - LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 10 ) Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 19 x3 − x + = (6 x − x)( x − ) + 12 ⇔ x3 − 25 x + 19 x − = ⇔ ( x − 1)(8 x − 17 x + 2) =  x = ⇔ k =  ⇔  x = ⇔ k = 12  21 x = ⇔ k = − 32  Vậy phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (C) là: y=4 y=12x - 15 y=− 21 645 x+ 32 128 x+2 ( C) x−2 Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến qua điểm A ( −6;5 ) Ví dụ 2: Cho hàm số y = Giải: Phương trình đường thẳng qua A ( −6;5) ( d ) : y = k ( x + ) + (d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm : x+2  x+2  − ⋅ x + 6) + = k x + + = ( ( )   x−2 x−2   ( x − 2) ⇔  4 k = − k = − 2   ( x − 2) ( x − 2)  Suy −4 ( x + ) + ( x − )2 = ( x + )( x − ) 4x − 24x =  x = 0;k = −1   ⇔ ⇔ ⇔ k = −  x = 6;k = − k = − 2   ( x − 2)  ( x − 2)   x có tiếp tuyến : ( d1 ) : y = − x − 1; ( d ) : y = − + − x +1 (C) 2x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận trục Ox Giải : Ví dụ :Cho hàm số : y =  Giao điểm tiệm cận đứng với trục Ox A − ,0   Phương trình tiếp tuyến (∆) qua A có dạng y = k x +   LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 56 2 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam  −x + 1   2x + = k  x +    (∆) tiếp xúc với (C) ⇔  / − x +    = k coù nghieäm  2x +  − x + 1   2x + = k x +  (1)    ⇔  −3 = k ( 2)  (2x + 1)2 Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm 1  3 x +  −x + 2 =−  2x + ( 2x + 1) ⇔x= ⇔(x−1)(2x+1) =3(x+ ) x ≠ − ⇔x−1= 2 Do k = − 12 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − 1 1 x +  12  2 Ví dụ Xác định m để đồ thị hàm số y = x − x − (m − 1) x + m tiếp xúc với trục hoành Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành: y = 3 x − x − m + = (1) ⇔ có nghiệm  x − x − ( m − 1) x + m = (2) x = Từ (1) ⇒ m = 3x − x + thay vào (2) ta được: x − x + x − = ⇔  x =  * Với x = ⇒ m = 1 * Với x = ⇒ m = − Vậy m = 0; m = − thỏa điều kiện toán Ví dụ Cho (C): y = x2 − x +1 (P): y = x + a x −1 Xác định a để (C) tiếp xúc với (P) Giải:  x − 2x = x (1)   ( x − 1) Đồ thị (C) tiếp xúc với (P) ⇔ hệ sau có nghiệm:   x − x + = x + a (2)  x − LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 57 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam x ≠ Ta có (1) ⇔  2 x − x + x = ⇔ x = thay vào (2) ta a = - Vậy a = - thỏa điều kiện toán Ví dụ 6: Cho hàm số y=-x3+3x2-2 (C) Tìm đường thẳng (d): y = điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C ) Giải: Gọi M ∈ (d) ⇒ M(m;2) Gọi ∆ đường thẳng qua điểm M có hệ số góc k ⇒ PTĐT ∆ có dạng : y=k(x-m)+2 ĐT ∆ tiếp tuyến (C ) hệ PT sau có nghiệm − x + 3x − = k( x − m) + (1) (I)  (2)  −3x + x = k Thay (2) (1) được: 2x3 -3(m+1)x2+6mx-4=0 ⇔ (x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0 x = ⇔ 2x − (3m − 1) x + = (3) Đặt f(x) = x − (3m − 1) + Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C) ⇔ hệ (I) có nghiệm x phân biệt ⇔ PT(3) có hai nghiệm phân biệt khác   m < −1  ∆ >  ⇔ ⇔  m >  f (2) ≠  m ≠   m < −1  Vậy M(m;2) thuộc (d): y = với m > từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ  m ≠ thị CHUYÊN ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHÉP SUY ĐỒ THỊ A Kiến thức bản: Cho đồ thị (C) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1)  f ( x) f ( x) ≥ − f ( x ) f ( x) < Ta có y = f ( x) =  Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y ≥ (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y < ( phần phía trục Ox) LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 58 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C2)  f ( x) x ≥  f (− x) f ( x) < Ta có y = f ( x ) =  Ta lại có y = f ( x ) hàm số chẵn Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ (phần phía bên phải trục Oy) + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C3)  f ( x) ≥ Ta có y = f ( x) ⇔  y = f ( x)  y = − f ( x)  Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y ≥ (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ B Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 3x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số sau a y = x − 3x + (C1) b y = x − x + (C ) c y = x − 3x + (C3 ) Giải: Tự khảo sát LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 59 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 12 10 10 5 10  x − x + x − x + ≥ a Ta có y = x − 3x + =  ( ) − x − x + x − x + < Nên đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y ≥ (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y < ( phần phía trục Ox) 10 5 -2  x − x + x ≥ b Ta có y = x − x + =  − x + x + x < Ta lại có y = x − x + hàm số chẵn LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 60 10 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Nên đồ thị (C2) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ (phần phía bên phải trục Oy) + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ 10 10 -1 O 10  x − 3x + ≥  c.Ta có: y = x − 3x + ⇔  y = x − 3x +   y = − x − x + ( ) Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y ≥ (phần phía trục Ox) + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa vẽ LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 61 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Ví dụ 2: Cho hàm số y = x+2 x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số sau a y = c y = x+2 x −1 (C1) b y = x +2 x −1 (C ) x+2 (C ) x −1 Giải Tự khảo sát LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 62 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam x+2 x + ≥0  x +  x −1 x −1 a y = = x+2 x −1  x + − x +  x − c y = = x −1  x + − x <  x − Nên đồ thị (C3) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x > + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 64 10 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam 10 I 10 5 O 10 Ví dụ Cho hàm số y = x +1 x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình x +1 = m x −1 Giải: Tự khảo sát 10 I O 10 -1 LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 65 10 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam b Số nghiệm pt x +1 x +1 / = m số giao điểm đồ thị (C ) y = x −1 x −1 đường thẳng y = m  x +1  x − x ≥ Ta có y = = x −1 − x +1 x <  − x − x +2 Ta lại có y = hàm số chẵn x −1 x +1 Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ y=m m I O 10 -1 10 -1 Dựa vào đồ thị (C/) ta thấy m < −1; m > 1: phương trình có nghiệm m = −1: phương trình có nghiệm −1 < m ≤ 1: phương trình vô nghiệm Ví dụ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x2 − 2x − = Giải: Tự khảo sát Đồ thị LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 66 m x −1 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam y f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 x -8 -6 -4 -2 -5 Ta có x2 − 2x − = x ≠ m ⇔ x −1  x − (x − x − ) = m Do số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C/) hàm số y = ( x − x − 2) x − với x ≠ đường thẳng y = m  x − x + x > Ta có y = ( x − x − 2) x − =  ( ) − x − 3x + x < / Nên đồ thị (C ) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x > + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với x < Dựa vào đồ thị ta có: + m < −2 : Phương trình vô nghiệm; + m = −2 : Phương trình có nghiệm kép ; + −2 < m < : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m ≥ : Phương trình có nghiệm phân biệt LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 67 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Ví dụ Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt?( ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009) Giải: Tự khảo sát (C) y − −1 x −2 Ta có: x2x2 – 2 = m ⇔ 2x2x2 – 2 = 2m (*) (*) phương trình hoành độ giao điểm (C’) : y = 2x2x2 – 2 (d): y = 2m 2 x − x x ≤ − ; x ≥ Ta có y = 2x x – 2  − (2 x − x ) − < x < 2 Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≤ − ; x ≥ + Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ (C) ứng với − < x < y (C’ ) − −1 x Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ < 2m < ⇔ < m < Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x + 12x − Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − x + 12 x = m ( ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006) LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 68 Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam Giải: Tự khảo sát 10 10 O 10 3 Ta có x − x + 12 x = m ⇔ x − x + 12 x − = m − Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị (C/) hàm số y = x − x + 12 x − đường thẳng d: y = m –  x3 − x + 12 x − x ≥ Ta có y = x − x + 12 x − =   −2 x − x − 12 x − x < 3 Ta lại có y = x − x + 12 x − hàm số chẵn, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Nên đồ thị (C/) suy từ đồ thị (C) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥ + Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa vẽ y=m-4 10 -2 -1 O 10 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình cho có nghiêm phân biệt ⇔ < m −