CÁC CHỦ ĐỀ TỐN GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định D, với D khoảng, đoạn nửa khoảng 1.Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến D ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) 2.Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến D ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến D f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ D 2.Nếu hàm số y = f ( x) nghịch biến D f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ D III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: 1.Định lý Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a, b ] có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c ∈ (a, b) cho: f (b) − f (a )= f '(c)(b − a ) 2.Định lý Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng D 1.Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ D f '( x) = số hữu hạn điểm thuộc D hàm số đồng biến D 2.Nếu f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ D f '( x) = số hữu hạn điểm thuộc D hàm số nghịch biến D 3.Nếu f '( x) = 0, ∀x ∈ D hàm số khơng đổi D PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1.Xét chiều biến thiên hàm số y = f ( x) *Phương pháp : Xét chiều biến thiên hàm số y = f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số y = f ( x) 2.Tính y ' = f '( x) xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = ) 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Ví dụ : Xét tính biến thiên hàm số sau: −3 x + 1.y = -x3+3x2-3x+1 y= 2x −1 x2 + 2x + 2 y= 2x4 +5x2 -2 y = x +1 x − 2x − 3 y= (x+2)2(x-2)2 y = x − 10 y = x − x + 10 9.y= x + + − x y = x2 − x + 2x +1 10.y=2x + x − Dạng Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước Ví dụ: 1.Tìm m để hàm số y= 2x3-3mx2+2(m+5)x-1 đồng biến R x2 + x + m 2.Tìm m để hàm số y= đồng biến khoảng xác định mx + 3.Tìm m để hàm số y= 3mx+ x + đồng biến R 4.Tìm m để hàm số y = f ( x) = mx3 − x + (m − 2) x + nghịch biến R Trang Tìm m để hàm số y =f ( x) = − x3 + (m + 1) x − (m + 2) x + m nghịch biến R 1− m  Tìm m để hàm số y = f ( x) =   x − ( − m ) x + ( − m ) x + nghịch biến R   Tìm m để hàm số y = f ( x) = ( m − 1) x3 + mx + ( 3m − ) x tăng R 8.Tìm m để hàm số y= 3x3-2x2+mx-4 tăng (-1; +∞ ) 9.Tìm m để hàm số y= 4mx3-6x2+(2m-1)x+1 tăng (0;2) mx + x − 10.Tìm m để hàm số y= giảm (1; +∞ ) x+2 11.Tìm m để hàm số y=mx4 -4x2+2m-1 giảm (0;3) 12.Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m+1)x+4m giảm (-1;1) −2 x − x + m 13.Tìm m để hàm số y= giảm ( − ; +∞ ) 2x +1 2 x − mx + 2m − 14.Cho hàm số y= x+2 Tìm m để hàm số tăng khoảng xác định 15.Tìm giá trị tham số m để hàm số sau nghịch biến đoạn có độ dài y = f ( x) = x3 + x + mx + m 16 Tìm m để hàm số y = f ( x) = − x3 + ( m − 1) x + ( m + 3) x − tăng ( 0,3) 3 17 Tìm m để hàm số y = f ( x) = x + x + ( m + 1) x + 4m giảm ( −1,1) mx + giảm khoảng ( −∞,1) x+m 19 Tìm m để hàm số y= f ( x)= mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + tăng ( 2, +∞ ) 3 2 x + ( m + 1) x + 4m − 4m − = y f= ( x) 20 Tìm m để hàm số đồng biến ( 0, +∞ ) x − ( m − 1) 18 Tìm m để hàm số = y f= ( x) Dạng Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT Ví dụ: 1.Giải phương trình x3 + x = − x − x + ( ĐK x3+3x ≥ ⇔ x ≥ ) 2.Giải phương trình x5+x3- − 3x +4=0 3.Giải phương trình x −1 − x − x = ( x − 1) Giải phương trình sinx =x 5.Tìm m để phương trình có nghiệm x + x + = m 6.Tìm để phương trình có nghiệm m x + - x = x2 x2 7.Chứng minh ∀x > :1 − < cos x (HD xét hàm số y =f ( x) =− − cos x ) 2 x2 x2 8.Chứng minh ∀x > : e x > + x + (HD xét hàm số y = f ( x) = e x − − x − ) 2 π x 9.Chứng minh ∀x ∈ (0; ) : tan x > x + 10.Chứng minh : Nếu x + y = x + y ≥ ( HD xét hàm số y = f ( x) = x + (1 − x) ) Trang 2 x + = y + y + y  11.Giải hệ phương trình  y + = z + z + z  z + = x3 + x + x  HD Xét hàm đặc trưng y = f ( x) = t + t + t , t ∈  Chứng minh hàm số tăng R  x= y= z= ĐS   x = y = z = −1  x =   12.Giải hệ phương trình = y   z =  y3 + sin y z3 + sin z x3 + sin x Chủ đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định D ⊂ R x0 ∈ D x0 gọi điểm cực đại hàm số y = f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b) ⊂ D f ( x) < f ( x0 ), ∀x ∈ (a, b) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi già trị cực đại hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại hàm số x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f ( x) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho (a, b) ⊂ D f ( x) > f ( x0 ), ∀x ∈ (a, b) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi già trị cực tiểu hàm số M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực tiểu hàm số 3.Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị hàm số II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y = f ( x) có cực trị x0 Khi đó, y = f ( x) có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) = III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : 1.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục khoảng (a,b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a, x0 ) ( x0 , b) Khi : + Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại x0 2.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số ) Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng (a,b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) = f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: + Nếu f ''( x0 ) < hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''( x0 ) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm cực trị hàm số *Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị hàm số y = f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x) = tìm nghiệm thuộc tập xác định Trang 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Ví dụ1: Dùng quy tắc tìm cực trị hàm số 1 y = x3+x2-3x+2 3x − y = 2x + y= 2x2 − x + y = + x + − x 2.y = x4+2x2-3 4.y = x − 3x + x −1 y=(2x+1) − x 2x + y= x2 + x + −2 x + x + y = 10 y = x − x + x + 25 2x +1 12 y = 15 x5 − 15 x3 + 11 y =+ ( x 2) ( x − 2) *Phương pháp (Quy tắc 2)Tìm cực trị hàm số y = f ( x) 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2,3 ) thuộc tập xác định 3.Tính f ''( x) f ''( xi ) 4.Kết luận +Nếu f ''( xi ) < hàm số đạt cực đại điểm xi +Nếu f ''( xi ) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị hàm số 1.y= 3x5-20x3+1 3.y = cos23x 5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx = y x − x2 = y x3 − 3x y = x − x + x x y = sin − cos 2 y= sin3x + cos3x ( ≤ x ≤ 2π ) x3 y = x2 − y s inx + cos x, x ∈ [ −π , π ] 10.= Dạng 2.Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước VD1: Tìm điều kiện m cho : y= x3-mx2+2(m+1)x-1 đạt cực đại x= -1 x + mx + y= đạt cực tiểu x=2 x+m y= − x − mx − 2m đạt cực đại x= VD2:Cho hàm số y= x3-(7m+1)x2+16x-m Tìm m để a Hàm số có cực đại cực tiểu b Hàm số có điểm cực đại cực tiểu x1,x2 ∈ (1; +∞) VD3:Cho hàm số y= x3-mx2+(m+36)x-5 Tìm m để a Hàm số khơng có cực trị b Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu điểm x1,x2 x1 − x2 = Trang x + mx + 2m − Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu x +1 VD4:Cho hàm số y= 2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 Tìm m để điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y=x+2 VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 Tìm m để a Hàm số có cực đại ,cực tiểu khoảng (0;2) b Hàm số có cực đại ,cự tiểu điểm cực đại ,cực tiểu cách đường thẳng y=x-1 x − (3m + 1) x + 4m VD6:Cho hàm số y = Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường 2x −1 thẳng ∆ : x + y + = VD1: Cho hàm số y= x3+mx2-x a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với m b Xác định m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x x − (3m + 2) x + m + VD2:Cho hàm số y= x −1 a Tìm m để hàm số có CĐ,CT CĐ,CT điểm M(-2;1) thẳng hàng b Tìm m để hàm số có CĐ,CT trung điểm đoạn nối điểm CĐ,CT cách gốc O khoảng VD3.Cho hàm số y =x − x + có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để điểm cực đại điểm cực tiểu (C) hai phía khác đường tròn : x + y − 2mx − 4my + 5m − =0 VD4.Cho hàm số y =x − 2mx + 2m + m Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác x + mx + VD5.Cho hàm số y = Tìm để điểm cực tiểu đồ thị hàm số nằm Parabol (P) x −1 y = x2 + x − VD3:Cho hàm số y= x + (m + 2) x + 3m + VD6.Cho hàm số y = x +1 a Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu 2 b Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu yCĐ , yCT Chứng minh : yCD + yCT > VD7.Cho hàm số y = x − (2m + 1) x + (m − 3m + 2) x + a Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía khác trục tung b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị dấu VD8.Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + a.Chứng minh với giá trị tham số m hàm số đạt cực đại cực tiểu x1 , x2 x2 − x1 không phụ thuộc vào tham số m b.Tìm m để yCD > 1 VD9.Cho hàm số y= f ( x= ) x − mx − x + m + Chứng minh với m hàm số cho ln có cực đại cực tiểu Hãy xác định m để khoảng cách hai điểm cực trị nhỏ x + 2(m + 1) x + m + 4m VD10.Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời = y f= ( x) x+2 điểm cực trị đồ thị hàm số với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ( A – 2007) Trang Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu khoảng cách từ điểm cực x tiểu đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên (A – 2005) VD12.Cho hàm số y =f ( x) = − x3 + x + 3(m − 1) x − 3m − Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị cách gốc tọa độ O ( B – 2007) x + (m + 1) x + m + VD13.Cho hàm số (Cm) CMR với m (Cm) ln có cực đại cực tiểu = y f= ( x) x +1 khoảng cách hai điểm cực trị 20 ( B – 2005) VD14.Cho hàm số y = f ( x) = x3 − (2m − 1) x + (2 − m) x + Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị có hồnh độ dương ( CĐ – D – 2009) VD15 Cho hàm số y =x − 2(m + 1) x + m (1) m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C cho OA=BC; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B,C hai điểm cực trị lại (B – 2011) VD11.Cho hàm số = ) mx + y f ( x= Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định D ⊆ R 1.Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho f ( x) ≤ f ( x0 ), ∀x ∈ D số M = f ( x0 ) gọi giá trị lớn hàm số f(x) D, ký hiệu M = Max f ( x) x∈D  ∀x ∈ D, f ( x) ≤ M Như= M Max f ( x) ⇔  x∈D M ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho f ( x) ≥ f ( x0 ), ∀x ∈ D số m = f ( x0 ) gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D, ký hiệu m = Min f ( x) x∈D  ∀x ∈ D, f ( x) ≥ m Như m Min f ( x) ⇔  = x∈D m ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN hàm số : Cho hàm số y = f ( x) xác định D ⊆ R Bài tốn 1.Nếu D = (a, b) ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x) = tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận Bài toán Nếu D = [ a, b ] ta tìm GTLN,GTNN hàm số sau: 1.Tìm tập xác định hàm số 2.Tính f '( x) giải phương trình f '( x) = tìm nghiệm x1 , x2 thuộc tập xác định 3.Tính f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ) f (b) 4.Kết luận: Số lớn M = Max f ( x) số nhỏ m = Min f ( x) x∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ] Bài toán 3.Sử dụng bất đẳng thức thơng dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki, … Bài tốn 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình, tập giá trị hàm số PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Tìm GTLN, GTNN hàm số Trang Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( có ) hàm số sau: y =f ( x) =x + − x (B-2003) y f= = ( x) x +1 x2 + 3x − [ 0; 2] x −3 ln x y f= 1, e3  (B-2004) = ( x) x x + 10 x + 20 y f= = ( x) x2 + 2x + y f= = ( x) = y f ( x= ) x4 − x2 [ −1, 2] (D-2003) (SPTPHCM2000)  π π y f= ( x) 5cos x − cos5x  − ,  =  4 y = f ( x) = + s inx + + cosx 11 y = − x + + x − − x2 + x + 2x + x +1 (−1, +∞) x +1 15 = y x − x [ −2, 4] 13 y = y = f ( x) = + 3sin x + cos x 10 y = f ( x) = −2 cos x + cosx-3 12 y 2sin x.cos x + sin x − cos x =  13  14 y = x − x + + x − đoạn 0,   4 16 y = sin x + cos3 x + 3sin x Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN hàm số có chứa tham số VD1 Cho hàm số y = x + x + a − Tìm a để giá trị lớn hàm số [ −2,1] đạt GTLN VD2 Cho hàm số y = f ( x) =sin x + cos x + m sin x.cos x Tìm m cho giá trị lớn hàm số k cos x + VD3 Cho hàm số y = Tìm k để giá trị nhỏ hàm số nhỏ -1 cos x + ax +b VD4 Tìm giá trị tham số a,b cho hàm số có giá trị lớn giá trị ( x) = y f= x2 + nhỏ -1 VD5.Cho hàm số y = f ( x) = x + x − 2a + với −3 ≤ x ≤ Xác định a để giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Dạng 3.Ứng dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số VD1 Một tơn hình vng cạnh a Người ta phải cắt bỏ bốn hình vng bốn góc để gị thành bể chứa hình hộp chữ nhật khơng nắp, cạnh hình vng cắt bể a tích lớn ĐS Cạnh hình vng cắt VD2 Tìm kích thước hình chữ nhật có diện tích lớn nội tiếp đường trịn bán kính R cho trước ĐS.Các kích thước hình chữ nhật R (hình vng) VD3 Trong khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định khối trụ tích lớn h2 2R bán kính đáy = r R2 − 2 VD4 Cho đường (C) có phương trình x + y =.Hãy tìm điểm H (C) cho tiếp tuyến R cắt hai trục tọa độ A B có độ dài đoạn AB nhỏ VD5 Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ ngoại tiếp đường trịn bán kính R cho trước ĐS.Hình trụ có chiều cao h = Trang VD6 Cho x + y = Tìm Max, Min biểu thức P = 2( xy + y ) xy + x + 2+ 2− = , MinP 2 x y VD7.Cho x, y > x + y = = P + Tìm Min biểu thức 1− x 1− y ĐS MaxP = VD8.Cho hai số thực thay đổi x, y thõa mãn x + y = Tìm GTLN, GTNN biểu thức 3 P = 2( x + y ) − xy ( CĐ Khối A – 2008) VD9 Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn x + y = Tìm GTLN, GTNN biểu thức P= 2( x + xy ) + xy + y ( ĐH Khối B – 2008) VD10.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi thõa điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = (4 x + y )(4 y + x) + 25 xy ( ĐH Khối D – 2009) Chủ đề ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Đường tiệm cận đứng Đường thẳng (d): x = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y = f ( x) lim− f ( x) = +∞ lim+ f ( x) = +∞ x → x0 Hoặc x → x0 lim f ( x) = −∞ lim+ f ( x) = −∞ x → x0− x → x0 x →+∞ x →−∞ 2.Đường tiệm cận ngang Đường thẳng (d): y = y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị (C) hàm số y = f ( x) lim f ( x) = y0 lim f ( x) = y0 3.Đường tiệm cận xiên Đường thẳng (d) y =ax + b(a ≠ 0) gọi tiệm cận xiên đồ thị (C) đồ thị hàm số y = f ( x) lim [ f ( x) − (ax + b) ] = lim [ f ( x) − (ax + b) ] = x →+∞ x →−∞ Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f ( x) Đường thẳng (d) y =ax + b(a ≠ 0) tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f ( x) f ( x) f ( x) ; b lim [ f ( x) − ax= ; b lim [ f ( x) − ax ] a lim= = = ] a xlim x →+∞ x →+∞ x →−∞ →−∞ x x PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Tìm tiệm cận đồ thị hàm số Ví dụ Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: x2 + 2x + 2x + y f= y f= = ( x) = ( x) x2 − x +1 3x y f= y f= = ( x) = ( x) x + 27 5− x Trang Ví dụ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: y = f ( x)= x + + x +1 x + 5x2 −1 y f= = ( x) x2 − x + Ví dụ 3.Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: y f= = ( x) 2x2 + 2x −1 −3 x + x − 3x + −2 x + x − y f= = ( x) 2x − y f= ( x) = y f= = ( x) −2 x − x2 + x + y = f ( x) = x − x − x + y= f ( x)= x − x + Ví dụ 1.Tìm giá trị tham số m cho: x + 2m − 1.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1) y f= ( x) = x+m x + 3mx − m + 2.Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam = y f= ( x) x −1 giác có diện tích Ví dụ Cho đường cong (Cm): y =f ( x) =− x + + đường thẳng (dm) y = mx − m + Xác mx − định m biết (Cm) có cực đại cực tiểu tiệm cận xiên tạo với đường thẳng (dm)một góc α có cosα = 2x + m Ví dụ Cho hàm số Tìm m cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang = y f= ( x) mx − tiệm cận với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bắng 3x − Ví dụ Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M ∈ (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai ( x) y f= = x−2 tiệm cận (C) nhỏ ? x −1 Ví dụ Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M ∈ (C ) để khoảng cách từ M đến giao điểm hai = y f= ( x) x +1 tiệm cận nhỏ ? Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) điểm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có dang : y = − y0 f '( x0 )( x − x0 ) Trong f '( x0 ) gọi hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M ( x0 , y0 ) 2.Bài toán Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước 1.Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến, ta có M ∈ (C ) ⇒ y0 = f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng y − f ( x0 )= f '( x0 )( x − x0 ) 2.Vì hệ số góc tiếp tuyến k nên f '( x0 ) = k , giải PT f '( x0 ) = k tìm x0 ⇒ y0 3.Kết luận Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song hai hệ số góc Nếu hai đường thẳng vng góc tích hai hệ số góc -1 3.Bài tốn Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) qua điểm A( x A , y A ) 1.Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A với hệ số góc k d: y = k ( x − x A ) + y A (1) 2.d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương tình có nghiệm Trang  f ( x) = k ( x − x A ) + y A (I)   f '( x) = k 3.Giải hệ (I) tìm k Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = x3 − x + x − có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến (C) A có hồnh độ b.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) x − y − =0 c.Chứng minh (C) không tồn hai tiếp tuyến vng góc với x−2 Ví dụ 2.Cho hàm số có đồ thị (C) ( x) y f= = x −1 a.Viết phương trình tiếp tuyến (C) M có tung độ b.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với góc phần tư thứ hai c.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0, -2) Ví dụ 3.Cho hàm số y =f ( x) = − x − x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng = ( Khối D – 2010) y x −1 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = x3 − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm M(-1, -9) ( Khối B – 2008) 3x − Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết : ( x) y f= = x −1 b Tung độ tiếp điểm c Tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : x + y − = d Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ∆ : x − y + 10 = e Tiếp tuyến qua điểm M(2,0) Dạng2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước 1 m Ví dụ Gọi (Cm ) đồ thị hàm số y = f ( x) = x3 − x + ( m tham số ) Gọi M điểm thuộc 3 (Cm ) có hồnh độ -1.Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) M song song với đường thẳng x − y = ( Khối D – 2005) Ví dụ 2.Cho hàm số y = f ( x) = x + x + mx + (Cm ) a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phan biệt A(0,1), B, C b.Tìm m để tiếp tuyến B C vng góc với Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x) = x3 + x − x + (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ x +1 Ví dụ 4.Cho hàm số (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm ( x) = y f= x −1 phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A B song song với 2x Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến (C) ( x) = y f= x +1 M cắt hai trục Ox, Oy A,B tam, giác OAB có diện tích ( Khối D – 2007) Trang 10 Bài tập 7: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Bài tập 8: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a mặt bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy Từ A kẻ đường thẳng AD ⊥ SB , AE ⊥ SC Biết AB = a, BC = b, SA = c a Tính thể tích khối chóp S.ADE b Tính khoảng cách từ E đên mặt phẳng (SAB) Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với đáy AB = a, AD = b, SA = c Lấy điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc đoạn SB, SD cho AB' ⊥ SB , AD' ⊥ SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp Bài tập 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB E, cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Bài tập 12: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C b Mặt phẳng qua A’B’ trọng tâm ∆ABC cắt AB BC E F Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE Bài tập 13: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A ∆ABC a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Chứng minh SC ⊥ (AB'C') c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ Bài tập 14: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, AB = 2a, ∆ABC vuông C  = 300 Gọi H, K hình chiếu vng góc A SC SB BAC a Tính thể tích khối chóp H.ABC b Chứng minh AH ⊥ SB SB ⊥ (AHK) c Tính thể tích khối chóp S.AHK Bài tập 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài tập 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD a Chứng minh AM ⊥ BP b Tính thể tích khối tứ diện CMNP   = BAD = 900 , BA = BC = a, Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, ABC AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến (SCD) Bài tập 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA = AB = a, AD = a SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a Chứng minh (SAC) vng góc với (SMB) b Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài tập 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ⊥ (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A đường thẳng SA SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN Trang 53 Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân, cạnh huyền BC = a, mặt bên SBC tạo với mặt đáy góc α Hai mặt bên cịn lại vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp Bài tập 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, (SAC) vng góc với mặt đáy,  = 900 SA tạo với đáy góc α Tính thể tích khối chóp ASC  = 900 ,ABC  = α, SBC tam giác cạnh a Bài tập 22: Cho hình chóp S.ABC có BAC (SAB) ⊥ (ABC) Tính thể tích khối chóp Bài tập 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao h, góc đỉnh mặt bên 2α Tính thể tích khối chóp Bài tập 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành có diện tích a góc hai đường chéo 600 Biết cạnh bên hình chóp nghiêng mặt đáy góc 450 a Chứng minh ABCD hình chữ nhật b Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài tập 25: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA = x, tất cạnh cịn lại có độ dài a Chứng minh SA ⊥ SC b Tính thể tích khối chóp Bài tập 26: Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD nửa lục giác với AB = BC = CD =a, AD = 2a Hai mặt bên SAB SAD vng góc với đáy, (SBD) tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 450 a Tính thể tích khối chóp b Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) Bài tập 27: Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = AD = BC = BD = CD = a Thể tích khối lăng trụ, khối hộp I Tóm tắt lý thuyết Thể tích khối lăng trụ V = B.h B diện tích mặt đáy, h chiều cao khối lăng trụ (là khoảng cách hai đáy) Lưu ý: Nếu lăng trụ đứng h độ dài cạnh bên Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc Thể tích khối lập phương V = a3 II Bài tập Bài tập Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, đỉnh A cách đỉnh A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ a3 Đs: V = Bài tập Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên  a hợp với đáy góc 600 Đáy hình thoi có góc BAD = 60 AC 2a Mặt chéo ACC’A’ vng góc với đáy Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = a Bài tập Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a,    A = 'AB BAD = A = 'AD 600 Tính thể tích khối hộp Đs: V = a Trang 54  Bài tập Cho khối hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = α , góc AC mặt đáy α Tính thể tích khối hộp α tan α Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2a sin α.cos Đs: V = A KIẾN THỨC CẦN NHỚ   a1 , a , a ) , b ( b1 , b , b3 ) Ta có (=   k.a = ( ka1 ;ka ;ka ) ( a1 ± b1;a ± b ;a ± b3 ) = Tọa độ vectơ: Cho a    a ± b= a1 = b1     a =⇔ b b2 a = a = b    a.b = a1b1 + a b + a 3b3   a= a12 + a 22 + a 32    a phương b ⇔  a1 a a = = b1 b b3   a ⊥ b ⇔ a1b1 + a b + a 3b3 =   ( )  cos a, b = a1b1 + a b + a 3b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 Tọa độ điểm: Cho A(x A; y A ;z A ), B(x B; y B ;z B ),C(x C; y C ;z C )   AB = ( x B − x A ; y B − y A ;z B − z A )   AB = AB = ( x B − x A ) + ( yB − yA ) + ( zB − zA ) 2  x A + x B yA + yB zA + zB  ; ;  2    x + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + zC   G trọng tâm tam giác ABC ⇔ M  A ; ;  3     = a1 , a , a ) , b ( b1 , b , b3 ) Tích có hướng hai vectơ: a (=  M trung điểm AB ⇔ M       a a a a1 a1 a     b b ; b b ; b b   3 1 2       - Điều kiện để vectơ đồng phẳng: a, b,c đồng phẳng ⇔ a, b  c =        - a phương b ⇔ a, b  =     - Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD =  AB, AD        - Diện tích tam giác ABC : SABC =  AB, AC   2    - Thể tích tứ diện ABCD : VABCD =  AB, AC  AD  6    - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA '   Tích có hướng hai vec tơ a b vectơ, k/h: a, b  =  B BÀI TẬP Bài Cho tam giác ABC, biết A(2; 0; 1), B(1; -1; 2), C(2; 3; 1) a) Tam giác ABC có góc A nhọn hay tù? Trang 55 b) Tính chu vi tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm M trục tung cho tam giác MBC vuông M Bài Cho tam giác ABC biết A(3;4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4) Tính độ dài cạnh tam giác ABC Tính cosin góc A, B, C diện tích tam giác ABC Bài Cho điểm A(3 ; ; -1), B(-2 ; ; 3), C(0 ; ; 2) a Xác định tọa độ trọng tâm G trực tâm H tam giác ABC b Xác định tọa độ điểm A' chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A c Gọi I điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Cho điểm A(a ; ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; ; b), D(a ; a; b) với < a ≤ b a Chứng minh AB vng góc với CD b Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh IJ đoạn vng góc chung AB CD Bài Cho điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(0; 2; -1) D(1; 4; 0) Chứng minh ABCD tứ diện Tính thể tích Bài Cho A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) D ∈ Oy Biết thể tích tứ diện ABCD Tìm tọa độ D Tìm tọa độ hình chiếu H O lên mp(ABC) Bài Cho hình chóp S.ABC, biết A(1; 2; -1), B(5; 0; 3), C(7; 2; 2), SA ⊥ (ABC) , S ∈ (Oyz ) Tìm tọa độ điểm S Bài Cho điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; ; 1) điểm di động M(m ; ; 0), N(0 ; n ; 0) (m, n ∈ R *+ ) a) Tìm quan hệ m, n để OA ⊥ MN b) Tính thể tích hình chóp B.OMAN c) M, N di động cho m.n = Tính m, n để VB.OMAN nhỏ Bài Cho điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) D(3 ; ; 2) a Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng b Cho E(1 ; ; 3) Chứng minh EA ⊥ (ABC) Tính thể tích tứ diện E.ABC c Tính khoảng cách từ B đến (ACE) Bài 10 Cho điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; ; -2), C(-1 ; ; 3) D(0 ; m ; p) Xác định m p để điểm A, B, C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành Bài 11 Cho điểm A(-2 ; ; 2) B(1 ; -2 ; 2) a Chứng minh OAB tam giác vng cân b Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB góc vng c Tìm tập hợp điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB góc vng BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: → → → * n ≠ VTPT mp( α ) nếu: n ⊥ (α ) → → → →  Chú ý Hai vectơ khơng phương a , b có giá chứa song song với ( α ) Khí đó:  a , b    vectơ pháp tuyến ( α ) Nhận xét: Một mp có vơ số VTPT phương với 2) Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 ≠ ) Trang 56 → + Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = có VTPT: n = (A; B; C) → + Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) có VTPT n = (A; B; C) có pt: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz điểm (a ; ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là: x y z + + = (phương trình theo đọan chắn) a b c + MpOxy: z = + Mp(Oyz): x = + Mp(Ozx): y = 3) Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến (P) tính theo cơng thức : d ( M ;( P) ) = Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng): Ax+By + Cz +D = A'x+B'y+ C'z + D'=0 m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = (m, n không đồng thời 0) B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I Phương pháp: Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta thường tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( P)  VTPT n = ( A; B; C ) mặt phẳng (P): (P): A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Nhận xét 1: Để tìm VTPT mp ta thường sử dụng ý Nhận xét Cho (P): Ax + By + Cz + D = Nếu (P)//(Q) (Q): Ax + By + Cz + D’ = ( D ' ≠ D ) II Bài tập Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) song song với mp (Q): x - 3y + 4z + = Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) trường hợp sau: a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; ; 0) C(-2 ; ; 2) b) (P) Là mặt trung trực AB c) Qua C vng góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = (R): x - z + = Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; ; 1) C(0 ; ; 5) a) Viết phương trình mp(ABC) b) Viết phương trình mp qua O, A vng góc với (Q): x + y + z = c) Viết phương trình mặt phẳng chứa Oz qua điểm P(2 ; -3 ; 5) Bài Trong không gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) A( ; ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, A cắt Oy, Oz B C cho OB = + OC (B, C khác O) Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng: (Q): x - y + 2z - = (T): 2x - y - 3z = Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua E(3 ; ; 1) vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng:(R): 19x - 6y - 4z + 27 = (K): 42x - 8y + 3z + 11 = Bài Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0, (Q): 3x - 2y + z - 3= vng góc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + = Bài Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + = a) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua giao tuyến (P), (Q) song song với Ox b) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến xOy (Q) tạo với mặt phẳng tọa độ tứ diện tích 125 36 Bài (ĐH- 2010D Phần riêng chương trình chuẩn) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – = ; (Q) : x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O tới (R) Bài 10 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G(-2 ; ; 5) cắt Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tam giác ABC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ) DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Trang 57 I Phương pháp: Cho hai mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = Khi đó: A B C D - (P)//(Q) ⇔ = = ≠ A' B ' C ' D ' A B C D - ( P) ≡ (Q) ⇔ = = = A' B ' C ' D ' A B B C A C - (P) cắt (Q) ⇔ hoặc ≠ ≠ ≠ A' B ' B' C' A' C ' Chú ý ( P) ⊥ (Q) ⇔ AA '+ BB '+ CC ' = II Bài tập Bài Xét vị trí tương đối mặt phẳng cho phương trình sau : 1) ( P) :2 x − y += z − 0;(Q) : x − y += z −5 2) ( P) : x − y + z= − 0;(Q) : −2 x + y − z= +3 3) ( P) : x − y + z − = 10 0;(Q) : − x + y − z −= 2 Bài Cho hai mặt phẳng ( P) : mx + (10m − ) y − z + = ; (Q) : x + m y − z − = Tìm m để b) (P) cắt (Q) a) ( P) / /(Q) DẠNG3.CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG CƠNG THỨC KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Bài Tính khoảng cách từ điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng (α) : 2x –2y + z – = Bài Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 1; -2) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Bài Cho (P): 2x + y – z – = 0, (Q): -4x – 2y + 2z + = a) Tính khoảng cách (P) (Q) b) Viết phương trình mp(R) song song cách mặt phẳng (P) (Q) Bài (ĐH- 2010B) Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) b, c dương mặt phẳng (P): y – z +1 = Xác định b c, biết mp(ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ O đến (ABC) BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Các dạng phương trình đường thẳng: x x + a1 t =   -Phương trình tham số: = y y + a t , với a = (a1 ; a ; a ) vectơ phương đường thẳng = z z + a t x − x y − y0 z − z0 -Phương trình tắc: = ( a1.a2 a3 ≠ ) = a1 a2 a3 2) Vị trí tương đối, tìm giao điểm hai đường thẳng:  Cho đường thẳng ∆1 qua điểm M ( x1 ; y1 ; z1 ) có VTCP u1 = ( a1 ; a2 ; a3 ) đường thẳng ∆ qua điểm  M ( x2 ; y2 ; z2 ) có VTCP u2 = ( b1 ; b2 ; b3 ) Khi đó:    - ∆1 ∆ đồng phẳng ⇔ u1 ; u2  M 1M = Trang 58     x1 + a1t = x2 + b1t '  u1 ; u2  M 1M =    - ∆1 ∆ cắt ⇔  y1 + a2t = y2 + b2t ' có nghiệm (t0 ; t0 ')       ; u u ≠  z + a t =z + b t '     Khi để tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng thay t0 phương trình ∆1 thay t0' vào phương trình ∆     u1 ; u2  =    - ∆1 / / ∆ ⇔ u1 ; u2 phương M ∉ ∆    M ∉ ∆     u1 ; u2  =    - ∆1 ≡ ∆ ⇔ u1 ; u2 phương M ∈ ∆    M ∈ ∆  x1 + a1t = x2 + b1t '    - ∆1 ∆ chéo ⇔ u1 ; u2 không phương hệ  y1 + a2t = y2 + b2t ' vô nghiệm  z + a t =z + b t '     u1 ; u2  M 1M ≠   B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Lập phương trình tắc đường thẳng d qua M(2; 3; -6) song song với đường thẳng x −1 y + z d1 : = = 1 Bài 2: Cho A(2; 3; 5) mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = a) Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với (P) b) Tìm giao điểm d với trục Oz  x= + t x −1 y z +  Bài Cho (d1) :  y =−1 − t ; (d ) : điểm A(1 ; ; -3) Viết phương trình đường = = 13 11 −  z= + 4t  thẳng (d) qua A vng góc với (d1) (d2) x +1 y −1 z − , mặt phẳng ( P) : x − y − z − = Bài Cho điểm A(2 ;1 ; -2), đường thẳng (d) : = = Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A, song song với (P) vng góc với đường thẳng (d)  x = + 2t  Bài Cho M(1 ; ; -3) đường thẳng (d ) :  y= − t Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M  z= + 3t  vuông góc cắt (d)  x= − t x −1 y z +  Bài Cho (P) : x - 2y + z – = 0, đường thẳng ( d1 ) :  y =−1 + t ;(d ) : Viết phương = =  z= + 2t  trình đường thẳng (∆) chứa mp(P) cắt (d1), (d2) Trang 59 1− t 2k x = x =   Bài Cho A(2 ; -1 ; -1) đường thẳng ( d1 ) :  y = t ; (d ) :  y = + k Viết phương trình đường thẳng z = z = −1 k   (d) qua A vng góc với (d1) cắt (d2)  x =−1 + 2t  Bài Cho (P): x - y + z – = 0, đường thẳng (d ) :  y= − t Viết phương trình đường thẳng (∆)  z =−1 + 2t  Chứa (P) vuông góc với (d) qua giao điểm (P) với (d) Bài Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x −1 − y + z + song song với = = x = + t  đường thẳng d':  y= + t z = + 2t  x = + t  Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d:  y= + t vng góc với mp(Q): 2x - y - z = z = + 2t  Bài 11 Lập phương trình tắc đường thẳng d qua điểm A(0;1;1), vng góc với đường thẳng x = + t x −1 y + z  cắt đường thẳng:  y= + t d1 : = = 1 z = + 2t  Bài 12 Lập phương trình đường thẳng d: a) d qua A(1 ; ; 3) cắt hai đường thẳng: d1: x +1 y −1 z − x y+2 z−2 d2: = = = = −1 −3 −1 b) d vng góc với (P): x - y - z - = cắt hai đường thẳng: x y +1 z − x −1 y + z − d2: = = = = −2 1 x −1 y + z c) d hình chiếu d1 : = = xuống măt phẳng: (P): x - y - z + = 1 d1: Bài 13 Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox song song với mp(P): x + 5y - 6z = Bài 14 Tìm tọa độ hình chiếu điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = Bài 15 Lập phương trình tham số đường thẳng d cắt hai đường thẳng: x −1 y − z x +1 y z − x − y −1 z = = = = ; ∆2 : = =và song song với đường thẳng: d': 2 −1 −2 −2 Bài 16 Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng: ∆1 : x = −6 t x = − 4t   d1 :  y = −2 + t ; d :  y = + t z = + t z = −1 + t   Trang 60 Bài 17 Lập phương trình đường thẳng d qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt vng góc với đường thẳng: x + y −1 z +1 d': = = −1 Bài 18 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: x +1 y z − x − y −1 z ∆1 : = = ; ∆2 : = = 2 −1 −2 a) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆1 song song với ∆ b) Cho điểm M(2 ; ; 4) Tìm tọa độ điểm H ∈ ∆ cho độ dài MH nhỏ Bài 19 Trong không gian cho hai điểm A(2 ; ; 0), B(0 ; - ; 0) đường thẳng d: x y +1 z − = = 1 −2 a) Lập phương trình mp(P) qua A vng góc với d b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - = cho NA + NB nhỏ Dạng VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Vị trí tương đối hai đường thẳng: Tìm M0(x0 ;y0 ;z0) đường thẳng (d) VTCP (d’) VTCP  u ' = ( a’; b’; c’) (d’)    ’ '  u = ( a; b; c) (d) Tìm M’0(x’0 ;y’0 ;z’0) (d) (d ) đồng phẳng ⇔  u, u ' M M =        u, u ' M M ' =   0 (d) (d’) cắt ⇔       u, u ' ≠      u, u ' =  (d) // (d’) ⇔  M ∉ (d)      u, u ' =  (d) ≡ (d’) ⇔  M ∈ (d)   ' (d) (d’) chéo ⇔  u, u ' M M ≠   Chú ý: dùng cách khác để xét vị trí tương đối đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng (d) qua M(x0 ;y0 ;z0), có VTCP  + D = có VTPT n = (A; B; C)  u = ( a; b; c) mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz  Cách (d) cắt (α ) ⇔ n.u ≠ ⇔ Aa +Bb +Cc ≠   Aa + Bb + Cc =  n ⊥ u ⇔  (d) / /(α) ⇔   Ax + By + Cz ≠  M ∉ (α )   n ⊥ u  ⇔ (d) ⊂ (α) ⇔  M ∈ ( α )   0 Aa + Bb + Cc =  Ax + By + Cz = Trang 61 x x0 + at = =  x y0 + bt Cách Xét hệ phương trình  (*)  x= z0 + ct Ax + By + Cz + D = - Nếu (*) vơ nghiệm (d) / /(α) - Nếu (*) có nghiệm với t (d) ⊂ (α) - Nếu (*) có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) (d) cắt (α ) nghiệm hệ tọa độ giao điểm Một số lưu ý: 1) Khi (d) cắt (α ) để tìm tọa độ giao điểm (d) (α ) ta giải hệ gồm phương trình (d) (α ) 2) Tìm hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng (α) - Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M (∆)⊥ (α) - Tìm giao điểm (∆) với (α) điểm cần tìm 3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α) - Tìm hình chiếu vng góc H M (α) - M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H trung điểm đoạn MM’ 4) Tìm hình chiếu vng góc H M đường đương thẳng (d) - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M (α) ⊥ (d) - Tìm giao điểm (α) với (d) , tọa độ H cần tìm 5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) - Tìm hình chiếu vng góc H M (d) - M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H trung điểm đoạn MM’ B BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau, chúng cắt tìm tọa độ giao điểm :  x = − 2t  x = −1 x −1  a) d: b) d:  y = t = y + = z d’  y = t z =−1 − t x = + t   x−2 y z+3 d’: = = −5 −1 x −7 y −6 z −5 x −1 y − z − = = = = c) d: d’: Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng sau, chúng cắt tìm tọa độ giao điểm chúng: x −1 y − z + = = (α) : 4x + 2y – 8z +2 = −4 x −1 y + z + = = b) d: (α) : 2x + y – z –3 = −1  x = 12 + 4t  c) d:  y = + 3t (α) : 3x + 5y – z – = z = + t  a) d: x = + t  Bài Cho điểm M(2; 1; 4) đường thẳng (d) :  y= + t z = + 2t  a) Tìm hình chiếu vng góc H M (d) Trang 62 b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; ) mặt phẳng (α) : x + 2y – z + = a) Tìm hình chiếu vng góc N mặt phẳng b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α) Bài Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – = đường thẳng (d) : x −1 y z + = = −3 a) Chứng minh (d) cắt (α) b) Tìm tọa độ giao điểm A (d) với (α) c) Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A vng góc với (d) nằm mp(P) x −1 y+2 z+3 , (α) : x +3y – 2z – = Định m để: Bài Cho (d) := = m 2m − a) (d) cắt (α) b) (d) // (α) c) (d) ⊥ (α) x = + t x −1 y + z −  Bài Cho (d1 ) : = = ( d )  y = − t −2  z =−2 + 3t a) Chứng minh hai đường thẳng (d1) (d2) cắt b) Lập phương trình tổng quát mp(P) chứa (d1) (d2)  x= − 4k  x= + 2t   Bài Cho ( d1 )  y = − t ( d )  y =−3 + 2k z = − 2k z= − t   a) Chứng minh hai đường thẳng (d1) (d2) song song b) Lập phương trình tổng quát mp(P) chứa (d1) (d2) x =  x= − 3k   Bài Cho ( d1 )  y =−4 + 2t ( d )  y = + 2k z= + t z = −2   a) Chứng minh (d1) (d2) chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung (d1) (d2) A KIẾN THỨC CẦN NHỚ BÀI KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Ax + By + Cz + D Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mp (α): Ax + By + Cz = là: d ( M ,(α) ) = A + B2 + C     M  1, u   0M  Khoảng cách từ điểm M1 đến đt ∆ qua M0 có vectơ phương u là: d ( M1 , ∆ ) = u Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆ ' đó:   ∆ qua điểm M0 có vectơ phương u , ∆ ' qua điểm M0' có vectơ phương u '     u, u ' M M '   d ( ∆, ∆ ' ) =    u, u '   Trang 63 Góc hai mặt phẳng: Cho ( P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( Q ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Khi   n1.n2   A1 A2 + B1 B2 + C1C2 góc (P) (Q) α xác định bởi:= với n1 , n2 cosα  =  n1 n2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 VTPT (P) (Q) Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 nên dấu giá trị tuyệt đối công thức bắt buộc B BÀI TẬP x+2 y −1 z +1 = = Bài Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng ∆: −3 Bài Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo : x +1 y z −1 x −1 y + z − = = = = (∆1): (∆2): −1 −1 1 −1 Bài Tìm Oz điểm M cách điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 =  x = + 2t  Bài Cho đường thẳng (d):  y= − t mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = z = 3t  Tìm điểm M ∈ (d) cho khoảng cách từ M đến (α) x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − = = = = Bài Cho hai đường thẳng (d1): (d2): −5 3 −2 −1 Tìm hai điểm M, N (d1) (d2) cho độ dài đoạn MN nhỏ  Bài (ĐH 2003-B) Cho A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) điểm C cho AC = (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA x −1 y + z − mp(P): 2x + y -2z + = Bài (ĐH- 2005A) Cho đường thẳng ( d ) : = = −1 a) Tìm điểm I ∈ d cho khoảng cách từ I đến mp(P) b) Tìm A giao điểm mp(P) (d) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm mp(P), biết ∆ qua A vng góc với d Bài (Dự bị ĐH- 2006D) Cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3) a) Viết phương trình đường thẳng d qua O vng góc với mp(ABC) b) Viết phương trình mp(P) chứa OA cho khoảng cách từ B đến mp(P) bẳng khoảng cách từ C đến mp(P) Bài Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 5) song song với mp 2x - y + z – 17 = mặt phẳng (Q) qua điểm B(1; -2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) Tính góc hợp (P) (Q) Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz tạo với ( Q ) : x + y − z = góc 600 BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R: (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 - Phương trình: x2 + y2+ z2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2 + B2 +C2 - D > phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính R = A + B2 + C − D 2) Giao mặt cầu mặt phẳng - Phương trình đường trịn: Cho mặt cầu (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R với tâm I(a ; b; c), bán kính R mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = + d(I, (P)) > R: (P) (S) khơng có điểm chung + d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S) Trang 64 + d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường trịn có tâm H hình chiếu I xuống (P), bán kính = r R − d2 B BÀI TẬP 2x − 2y − z + = Bài 1: Xác định tâm bán kính đường trịn (C):  2  x + y + z − 6x + 4y − 2z − 86 = Bài 2: Cho (S): x2 + y2 + z2 -2mx + 2my -4mz + 5m2 + 2m + = a) Định m để (S) mặt cầu Tìm tập hợp tâm I (S) b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + = làm tiếp diện x = t +  hai điểm A, B cho AB = c) Định m để (S) cắt d:  y = 2t z =− t +  Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz) (P): 2x + y - 2z + = Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1), C(1;6;-1), D(-1;6;2) a CMR: ABCD tứ diện có cặp cạnh đối b Tính khoảng cách AB CD c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài Cho điểm I(1;2;-2) mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + = a Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I cho giao (S) mặt phẳng (P) đường trịn có chu vi 8π b CMR Mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x – 2y = – z c Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (CMN) Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz cho hai đường thẳng (d1) (d2) có  x = 2t x + y − =  phương trình (d1 ) :  y = t (d ) :  4 x + y + z − 12 = z =  a CMR: (d1) (d2) chéo b Tính khoảng cách (d1) (d2) c Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2) Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có phương trình tương ứng là: (P1 ) : x − y + z − = (P2 ) : x − y + z + = Và điểm A(-1;1;1) nằm khoảng hai mặt phẳng Gọi (S) mặt cầu qua A tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) a.CMR: Bán kính hình cầu (S) số tính bán kính b.Gọi I tâm hình cầu (S) CMR: I thuộc đường tròn cố định xác định tâm tính bán kính đường trịn BÀI TẬP TỔNG HỢP x −1 y + z Bài (ĐH-2007D) Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) đường thẳng (d): = = −1 a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mp(OAB) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ cho: MA2 + MB2 nhỏ Bài (ĐH-2007B) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z – = mp (P): 2x – y + 2z – 14 = a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn Trang 65  x =−1 + 2t x y −1 z +  : = Bài (ĐH-2007A) Cho hai đường thẳng d1= d :  y = + t −1  z = a) Chứng minh hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = cắt hai đường thẳng d1, d2 x −1 y z − Bài (ĐH-2008A) Cho A(2;5;3) đường thẳng d: = = 2 a) Tìm tọa độ hình chiếu A d b) Viết phương trình mp (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Bài (ĐH-2005B) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0); C1(0;0;4) a) Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mp(BCC1B1) b) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt A1C1 N Tính độ dài MN Bài (ĐH-2010D) Chương trình Chuẩn: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – =0 (Q): x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (R ) vng góc với (P) (Q) cho khoảng htu72 O đến (R)  x= + t x − y −1 z  d : = = Xác định tọa Chương trình Nâng cao: Cho hai đường thẳng d1 :  y = t 2 z = t  độ điểm M thuộc d1 cho khoảng cách từ M đến d2 Bài (ĐH-2010A) Chương trình Chuẩn: Cho đường thẳng ∆ : x −1 y − z + = = mặt phẳng (P): x – 2y + z = Gọi C giao điểm ∆ (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = Chương trình Nâng cao: Cho A(0;0;-2) đường thẳng ∆ : x +2 y−2 z+3 = = Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3;2;1) cắt vng góc với đường thẳng (Δ) có x y z+3 phương trình: = = z+2 x −1 Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm Bài Cho (P): x + y + z − = (d ) : =y= −3 (d) (P) vuông góc với (d) nằm (P) y + z − = Bài 10 Cho A(2;-1;1) (∆ ) :  2 x − y − z + = a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với (Δ) b) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (Δ) x= 1+ t x−5 y −2 z −6  Bai 11 Cho ( d ) :  y =−9 + 2t (∆ ) : = = =  z 12 − t a) CMR: (d) (Δ) thuộc mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng c Viết phương trình hình chiếu song song (d) theo (Δ) lên mặt phẳng (P) x − y − z − = x − y −1 z −1 x−7 y −3 z −9 Bài 12 Cho (∆ ) : ; (∆ ) : = = = = −7 −1 Trang 66 a) Hãy viết phương trình tắc đường thẳng (Δ3) đối xứng với (Δ2) qua (Δ1) b) Viết phương trình tắc đường phân giác góc A Bài 13 Cho A(0;0;-3), B(2;0;-1) mặt phẳng x − y + z − = a) Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ C ∈ (P ) cho tam giác ABC Bài 14 Cho điểm A(-2;1;0), B(-2;0;1), C(1;-2;-6), D(-1;2;2) a) Chứng minh điểm A, B, C, D lập thành tứ diện b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (BCD) Viết phương trình tham số CD d) Viết phương trình đường thẳng qua d qua A vng góc với (BCD) e) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (BCD) f) Tính khoảng cách AB CD g) Tìm CD điểm I cho I cách (ABC) (ABD) Bài 15 Cho A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C Chứng minh O nằm mặt phẳng (P) b) Chứng minh tứ giác OABC hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật c) Tính thể tích hình chóp S.OABC biết S(9;0;0) Bài 16 Cho A(1;3;-2), B(13;7;-4) (α ) : x − y + z − = a) Gọi H hình chiếu vng góc A α Xác định H b) Cho K(5;-1;1) CMR: A, I, K, H tạo thành tứ diện Tính thể tích tứ diện Bài 17 Cho mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 =0 a) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm gốc toạ độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ tiếp điểm H mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) c) Tìm điểm đối xứng gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P) Trang 67