TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x –3y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) r r r uuur · (Q) qua A, B vng góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = éë nP , AB ùû = (0; -8; -12) ¹ Þ (Q) : y + 3z - 11 = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + y + 3z + = ĐS: (Q) : x - y + z - = Câu Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm ì x = -1 + t ï A(2;1;3), B(1; -2;1) song song với đường thẳng d : í y = 2t ïỵ z = -3 - 2t uur r · Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; -2) uur ìnr ^ BA r r uur r Gọi n VTPT (P) Þ í r r Þ chọn n = éë BA, u ùû = (-10; 4; -1) ỵn ^ u Þ Phương trình (P): 10 x - y + z - 19 = Câu Câu Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1 ) (d2 ) có phương trình: x -1 y +1 z - x - y -1 z - = = , (d2 ) : = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) (d2 ) (d1 ); · Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = Câu Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z - x + y - z - = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá r véc tơ v = (1;6;2) , vng góc với mặt phẳng (a ) : x + y + z - 11 = tiếp xúc với (S) r · (S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT (a ) n = (1; 4;1) r r r Þ VTPT (P) là: nP = [ n, v ] = (2; -1;2) Þ PT (P) có dạng: x - y + z + m = é m = -21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(P )) = Û ê ëm = Vậy: (P): x - y + z + = (P): x - y + z - 21 = Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) hai đường thẳng x y +1 z x y -1 z - (d1 ) : = = (d2 ) : = = Chứng minh điểm M , d1, d2 -2 -3 nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng r r · d1 qua M1(0; -1;0) có u1 = (1; -2; -3) , d2 qua M2 (0;1; 4) có u2 = (1;2;5) r uuuuuur r r uuuuuur r r éëu1; u2 ùû = (-4; -8; 4) ¹ , M1M2 = (0;2; 4) Þ éëu1; u2 ùû M1M2 = Þ d1, d2 đồng phẳng r Gọi (P) mặt phẳng chứa d1, d2 Þ (P) có VTPT n = (1;2; -1) qua M1 nên có Câu phương trình x + y - z + = Kiểm tra thấy điểm M(1; –1;1) Ỵ (P) Trang PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x -3 y -3 z = = mặt cầu 2 (S): x + y + z2 - x - y - z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) r · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP u = (2;2;1) r r r (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n = [ u , i ] = (0;1; -2) Þ PT (P) có dạng: y - z + D = (P) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,( P )) = R Û Þ (P): y - z + + = 1- + D 12 + 22 éD = + = Û D -3 = Û ê ëD = - (P): y - z + - = Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x - y - = mặt phẳng (P): x + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; -1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) r · (S) có tâm I(–1; 2; 0) bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1; 0;1) Câu PT (Q) qua M có dạng: A( x - 3) + B( y - 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B + C ¹ (Q) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,(Q)) = R Û -4 A + B + C = A2 + B2 + C r r (Q) ^ ( P ) Û nQ nP = Û A + C = Û C = - A (**) (*) Từ (*), (**) Þ B - A = A2 + B Û 8B - A2 + 10 AB = Û A = B Ú A = -4 B · Với A = 2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): x + y - z - = · Với A = -4 B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): x - y - z - = Câu hỏi tương tự: a) Với (S ) : x + y + z2 - x + y - z + = , (P ) : x + y - z + = 0, M (1;1;2) ĐS: (Q) : x + y + z - = (Q) :11x - 10 y + 2z - = Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r = · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính (P) qua tâm I Suy ra: –2a – b = Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = Câu Câu Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x - y + z –1 = ìx - y - = đường thẳng d : í Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu ỵ2 x - z - = (S) theo đường tròn có bán kính r = · (S) có tâm I(-1;1; -1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) Chọn M (2;0; -2), N (3;1;0) Ỵ d Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ì M Ỵ (P) é a = b,2c = -(a + b), d = -3a - b (1) Ta có: ïí N Ỵ (P ) Û ê ë17a = -7b,2c = -(a + b), d = -3a - b (2) 2 ï ỵd ( I ,(P )) = R - r + Với (1) Þ (P): x + y - z - = + Với (2) Þ (P): x - 17y + 5z - = Câu 10 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 : x y -1 z = = , -1 x -1 y z mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + z – = Viết phương trình = = -1 -1 tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng D1 D1 D2 : · (P): y + z + + = (P): y + z + - = Câu 11 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z - x + y - z - 11 = mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn có chu vi 6p · Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D ¹ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (b) h = Do 2.1 + 2(-2) - + D R - r = 52 - 32 = é D = -7 = Û -5 + D = 12 Û ê ë D = 17 (loại) 22 + 22 + (-1)2 Vậy (b) có phương trình 2x + 2y – z – = Trang PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = (với A2 + B + C ¹ ) · Vì (P) ^ (Q) nên: A + 1.B + 1.C = Û C = - A - B (1) A + 2B - C · d ( M ,( P )) = Û = Û ( A + B - C )2 = 2( A2 + B + C ) A2 + B2 + C éB = (3) Từ (1) (2) ta được: AB + 5B = Û ê ë8 A + 5B = (4) · Từ (3): B = Þ C = –A Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = · Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 Þ C = Þ (P): 5x - 8y + 3z = (2) x -1 y - z = = 1 điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d đường thẳng D mặt phẳng (P) Câu 13 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : · Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = ( a2 + b2 + c2 ¹ ) r D qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP u = (1;1;4) ì a + b + 4c = ï ìD P ( P ) ì a = 4c a + 5b Ta có: í Ûí Û í = ( ;( )) = a = c d A P d ỵ ỵ ï 2 ỵ a +b +c · Với a = 4c Chọn a = 4, c = Þ b = -8 Þ Phương trình (P): x - 8y + z - 16 = · Với a = -2c Chọn a = 2, c = -1 Þ b = Þ Phương trình (P): x + y - z + = Câu hỏi tương tự: x y z -1 a) Với D : = = ; M (0;3; -2), d = 1 ĐS: ( P ) : x + y - z - = ( P ) : x - 8y + z + 26 = ìx = t ï Câu 14 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : í y = -1 + 2t điểm ïỵ z = A(-1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) r r · (d) qua điểm M(0; -1;1) có VTCT u = (1;2;0) Gọi n = (a; b; c) với a2 + b2 + c2 ¹ VTPT (P) PT mặt phẳng (P): a( x - 0) + b( y + 1) + c( z - 1) = Û ax + by + cz + b - c = (1) rr Do (P) chứa (d) nên: u.n = Û a + 2b = Û a = -2b (2) - a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P ) ) = Û =3Û = Û 5b + 2c = 5b2 + c2 2 2 a +b +c 5b + c Û 4b2 - 4bc + c2 = Û ( 2b - c ) = Û c = 2b (3) Từ (2) (3), chọn b = -1 Þ a = 2, c = -2 Þ PT mặt phẳng (P): x - y - z + = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian Câu 15 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (-1;1; 0), N (0; 0; -2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khồng cách từ I đến (P) · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) ì M Ỵ (P) é a = - b,2c = a - b, d = a - b (1) ï Ta có: í N Ỵ (P ) Û ê ë5a = 7b,2c = a - b, d = a - b (2) ïỵd ( I ,(P )) = + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x - y + z + = + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): x + 5y + z + = Câu 16 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; -1;2) , B(1;3;0) , C(-3; 4;1) , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) ì A Ỵ (P) ìa - b + 2c + d = ï Ta có: í B Ỵ (P ) Û ïïa + 3b + d = í -3a + 4b + c + d ïỵd (C ,(P )) = d ( D,(P )) a + 2b + c + d = ï ïỵ a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 é b = 2a, c = 4a, d = -7a Û ê ëc = 2a, b = a, d = -4a + Với b = 2a, c = 4a, d = -7a Þ (P): x + y + 4z - = + Với c = 2a, b = a, d = -4a Þ (P): x + y + 2z - = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B(-2;1;3), C (2; -1;1), D(0;3;1) ĐS: ( P ) : x + y + 7z - 15 = ( P ) : x + 3z - = Câu 17 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) , B(0; -1;2) , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( P ) khoảng cách từ C đến ( P ) · Vì O Ỵ (P) nên ( P ) : ax + by + cz = , với a2 + b2 + c2 ¹ Do A Ỵ (P) Þ a + 2b + 3c = (1) d ( B,( P )) = d (C ,( P )) Û - b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) (2) Þ b = c = · Với b = a = -3c Þ (P ) : 3x - z = · Với c = a = -2b Þ ( P ) : x - y = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2; 0), B(0;4;0), C (0;0;3) ĐS: -6 x + 3y + z = x - 3y + z = Câu 18 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương x -2 y -2 z-3 x -1 y - z -1 = = , d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng cách -1 hai đường thẳng d1, d2 r r · Ta có d1 qua A(2;2;3) , có ud1 = (2;1;3) , d2 qua B(1;2;1) có ud = (2; -1; 4) r r r Do (P) cách d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 Þ nP = éëud1, ud ùû = (7; -2; -4) Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: x - y - 4z + d = trình d1 : Trang PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Do (P) cách d1, d2 suy d ( A,( P )) = d (B,(P )) Û 7.2 - 2.2 - 4.3 + d = 7.1 - 2.2 - 4.1 + d Û d - = d -1 Û d = 69 69 Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14 x - y - 8z + = Câu 19 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; -1;2) , B(1; 0;3) tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z + 1)2 = · (S) có tâm I(1;2; -1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) ì A Ỵ (P ) ï é a = - b, c = - a - b, d = 2a + 3b Ta có: í B Ỵ (P ) Û ê ë3a = -8b, c = -a - b, d = 2a + 3b ïỵd ( I ,(P )) = R (1) (2) + Với (1) Þ Phương trình (P): x - y - = + Với (2) Þ Phương trình (P): x - 3y - 5z + = Câu 20 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có x -1 y z -1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn · Gọi H hình chiếu A d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH ³ HI Þ HI lớn A º I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A uuur nhận AH làm VTPT Þ (P): x + y - 5z - 77 = phương trình: Câu 21 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số { x = -2 + t; y = -2t; z = + 2t Gọi D đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa D có khoảng cách đến (d) lớn · Gọi (P) mặt phẳng chứa D, ( P ) P (d ) (P ) É (d ) Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH £ IA IH ^ AH ìd (d ,(P )) = d ( I ,(P )) = IH Mặt khác í ỵH Ỵ (P) Trong (P), IH £ IA ; maxIH = IA Û H º A Lúc (P) vị trí (P0) ^ IA A r uur r Vectơ pháp tuyến (P0) n = IA = ( 6; 0; -3) , phương với v = ( 2;0; -1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2( x - 4) - 1.( z + 1) = x - z - = x -1 y z - = = điểm 2 A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Câu 22 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) r r (P) có VTPT n = (a; b; c) , d qua điểm M(1; 0;2) có VTCP u = (2;1;2) ì M Ỵ (P) ìa + 2c + d = ì2c = -(2a + b) Vì (P) É d nên í r r Þí Þí Xét trường hợp: ỵn.u = ỵ2a + b + 2c = ỵd = a + b Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian TH1: Nếu b = (P): x - z + = Khi đó: d ( A,( P )) = TH2: Nếu b ¹ Chọn b = ta (P): 2ax + y - (2a + 1)z + 2a + = 9 Khi đó: d ( A,( P )) = = £3 2 8a + 4a + ỉ 1ư ç 2a + ÷ + è 2ø 1 Vậy max d ( A,( P )) = Û 2a + = Û a = - Khi đó: (P): x - y + z - = Câu hỏi tương tự: x -1 y +1 z - a) d : , A(5;1;6) = = ĐS: (P ) : x + y - z + = x -1 y + z b) d : = = , A(1; 4;2) ĐS: (P ) : x + 13y - z + 21 = -1 Câu 23 Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; -1;2) N(-1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P) lớn · PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C ( z - 2) = Û Ax + By + Cz + B - 2C = ( A2 + B2 + C ¹ 0) N (-1;1;3) Ỵ ( P ) Û - A + B + 3C + B - 2C = Û A = B + C Þ (P ) : (2 B + C ) x + By + Cz + B - 2C = ; d ( K , ( P )) = B 2 B + 2C + BC · Nếu B = d(K, (P)) = (loại) · Nếu B ¹ d ( K ,(P )) = B = £ 2 ỉC ç + 1÷ + èB ø Dấu “=” xảy B = –C Chọn C = Khi PT (P): x + y – z + = 4B + 2C + 4BC Trang PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 24 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): x -1 y z tạo với mặt phẳng (P) : x - y - z + = góc 600 Tìm tọa độ giao = = -1 -2 điểm M mặt phẳng (a) với trục Oz ur r · () qua điểm A(1;0;0) có VTCP u = (1; -1; -2) (P) có VTPT n¢ = (2; -2; -1) uuuur ur uuur ur Giao điểm M(0;0;m) cho AM = (-1; 0; m) (a) có VTPT n = éë AM , u ùû = (m; m - 2;1) (a) (P): x - y - z + = tạo thành góc 600 nên : 1 r r cos ( n, n¢ ) = Û = Û 2m - 4m + = Û m = - hay m = + 2 2m2 - 4m + Kết luận : M(0; 0;2 - 2) hay M(0; 0;2 + 2) Câu 25 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x - y + 5z - = (Q) : x - y - 8z + 12 = Lập phương trình mặt phẳng ( R) qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc a = 450 · Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) Ta có: ( R) ^ ( P ) Û 5a - 2b + 5c = (1); · cos(( R),(Q)) = cos 450 Û a - 4b - 8c = (2) a2 + b2 + c é a = -c Từ (1) (2) Þ 7a2 + 6ac - c2 = Û ê ëc = 7a · Với a = -c : chọn a = 1, b = 0, c = -1 Þ PT mặt phẳng ( R) : x - z = · Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20, c = Þ PT mặt phẳng ( R) : x + 20 y + 7z = Câu hỏi tương tự: a) Với ( P ) : x - y - z = 0,(Q) º (Oyz), M (2; -3;1),a = 450 ĐS: ( R) : x + y + = ( R) : x - 3y + z - 23 = Câu 26 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2; -3), B(2; -1; -6) mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB tạo với mặt phẳng (P) góc a thoả mãn cos a = · PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) ì A Ỵ (Q) ì- a + 2b - 3c + d = é a = -4b, c = -3b, d = -15b ï Ta có: ï B Ỵ (Q) Û ïï2a - b - 6c + d = Û ê í ë a = -b, c = 0, d = - b í a + 2b + c ïcos a = ï = ïỵ 6 ïỵ a2 + b2 + c + + Þ Phương trình mp(Q): x - y + 3z + 15 = (Q): x - y - = Câu hỏi tương tự: a) A(0;0;1), B(1;1; 0) , (P ) º (Oxy),cos a = ĐS: (Q): x - y + z - = (Q): x - y - z + = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ìx + y + z - = Viết ỵ2 x + y + z - = phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc Câu 27 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í a = 600 · ĐS: (P ) : x + y + z - - = (P ) : x - y - z - + = Câu 28 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: D1 : x -1 y +1 z -1 x y z = = D2 : = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 -2 -1 tạo với D2 góc a = 300 · Đáp số: (P): 5x + 11y + z + = (P): x - y - z - = Câu hỏi tương tự: x y-2 z x -2 y -3 z+5 a) Với D1 : = = , D2 : = = , a = 300 -1 -1 ĐS: (P): x - y - z + = (P): x + y + z - = x -1 y z + x y - z +1 b) D1 : = = , D2 : = = , a = 300 1 1 -2 -1 ĐS: (P): (18 + 114) x + 21y + (15 + 114)z - (3 - 114) = (P): (18 - 114) x + 21y + (15 - 114)z - (3 + 114) = Câu 29 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) tạo với trục Ox, Oy góc tương ứng 450 , 30 r r r · Gọi n = (a; b; c) VTPT (P) Các VTCP trục Ox, Oy i = (1;0; 0), j = (0;1; 0) ì ïïsin(Ox ,(P )) = ì Û ía = b Ta có: í ỵc = b ïsin(Oy,( P )) = ïỵ PT mặt phẳng (P): 2( x - 1) + ( y - 2) ± ( z - 3) = - 2( x - 1) + ( y - 2) ± (z - 3) = Câu 30 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + y - z + = đường x +1 y +1 z - = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo 1 với mặt phẳng (Q) góc nhỏ thẳng d : · · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) Gọi a = (( P ),(Q)) ì M Ỵ ( P ) ìc = - a - b Chọn hai điểm M (-1; -1;3), N (1;0; 4) Ỵ d Ta có: í Þí ỵ N Ỵ (P) ỵd = 7a + 4b a+b Þ (P): ax + by + (-2a - b)z + 7a + 4b = Þ cos a = 5a2 + 4ab + 2b2 TH1: Nếu a = cos a = b 2b2 = Þ a = 300 Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian Vậy S = 3.88 - = 259 M(4;7; -2) Câu 20 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), B(-1;1;0) mặt phẳng (P): x - y + z = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho DMAB vng cân B uur uuur · Giả sử M ( x; y; z) Ỵ ( P ) BA = (1;0;2), MB = ( x + 1; y - 1; z) ì ì -1 - 10 -4 + 10 ïx = ïx = 3 ï ï ì uur M Ỵ (P) ì x + + 2z = ï ï ï uuur -4 + 10 -2 + 10 ï Ta có: í BA.BM = Û í x - y + z = Û íy = Ú íy = 6 ï ï ïỵ BA = BM 2 ïỵ( x + 1) + ( y - 1) + z = ï ï -2 - 10 -2 + 10 ïz = ïz = 6 ỵ ỵ Câu 21 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B(-1; 3; 0) , C(1; 3; 0) , M (0; 0; a) với a > Trên trục Oz lấy điểm N cho mặt phẳng (NBC) vng góc với mặt phẳng (MBC) Tìm a để thể tích khối chóp BCMN nhỏ · VBCMN = VMOBC + VNOBC = 3ỉ 3ư ç a + ÷ đạt nhỏ Û a = Û a = è a Trang 47 PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng ì x = -2t ï Câu 22 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í y = t mặt phẳng ïỵ z = -1 - 2t (P): x + y - z + = Gọi d ¢ hình chiếu d mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc d ¢ cho H cách điểm K(1;1;4) khoảng ì x = + 7t ï · Gọi A = d Ç (P) Þ A(4; -2;3) PT hình chiếu d¢ d (P): í y = -2 - 2t ïỵ z = + 5t Giả sử H (4 + 7t; -2 - 2t;3 + 5t ) Ỵ d ¢ KH = 25 Û t = -11 ± 238 Þ H 39 Câu 23 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) đường x -1 y + z = = Tìm toạ độ điểm M D cho: MA2 + MB = 28 -1 ìx = - t ï · PTTS D : í y = -2 + t M Ỵ D Þ M (1 - t; -2 + t;2t ) ïỵ z = 2t thẳng D : Ta có: MA2 + MB2 = 28 Û 12t - 48t + 48 = Û t = Þ M(-1;0; 4) Câu 24 Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C (-2;3;1) đường x -1 y + z - = = Tìm điểm M d để thể tích tứ diện MABC 2 -1 ì x = + 2t uuur uuur r ï · d : í y = -2 - t Giả sử M (1 + 2t; - - t; + 2t ) Ỵ d n = - éë AB; AC ùû = (1; 2; - 2) ïỵ z = + 2t thẳng d : -4t - 11 PT mặt phẳng (ABC): x + y - z - = h = d ( M ,( ABC ) = 4t + 11 17 VMABC = = Û t = - t = 3 4 ỉ ỉ 15 11 1ư Þ M ç - ; - ; ÷ M ç - ; ; ÷ 2ø è è 2ø Þ S ABC = Câu 25 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) đường thẳng d: x -1 y z - = = Tìm d hai điểm A, B cho tam giác ABM 1 · Gọi H hình chiếu M d Ta có: MH = d ( M , d ) = Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = MH ìx -2 y z-3 ï =1= Do đó, toạ độ A, B nghiệm hệ: í ï( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = ỵ Trang 48 = Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ỉ 2 2ư ỉ 2 2ư Giải hệ ta tìm được: A ç + ; ;3 + ;;3 ÷, Bç2 ÷ 3 ø è 3 ø è Câu hỏi tương tự: ìx = t ỉ + 76 10 + 76 ỉ - 76 - 76 ï a) Với M(1; 0; -1) , d : í y = 2t ĐS: A ç ; ;1÷ , B ç ; ;1÷ 15 15 15 15 è ø è ø ïỵ z = ỉ - 76 10 - 76 ỉ + 76 + 76 A ç ; ;1÷ , B ç ; ;1÷ 15 15 è 15 ø è 15 ø Câu 26 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d: ìx = 1- t ï í y = + 2t Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC ïỵ z = r · d có VTCP ud = (-1;2;0) Gọi H hình chiếu vng góc A d uuuur Giả sử H (1 - t; + 2t;3) Þ AH = (1 - t;1 + 2t;0 ) uuur r ỉ6 Mà AH ^ d nên AH ^ ud Þ -1(1 - t ) + (1 + 2t ) = Û t = - Þ H ç ; ;3 ÷ è5 ø Þ AH = AH 15 Mà DABC nên BC = = hay BH = 5 15 ỉ ỉ2 15 Giả sử B(1 - s;2 + 2s;3) ç - - s ÷ + ç + 2s ÷ = 25 è ø è5 ø -1 ± ỉ 6+ 8-2 ư ;3 ÷ C ç ; ;3 ÷ ø è ø ỉ 6- 8+2 ư ;3 ÷ C ç ; ;3 ÷ ø è ø Û 25s2 + 10s - = Û s = ỉ 6- 8+ Vậy: B ç ; è ỉ 6+ 8-2 B ç ; è Câu 27 Trong khơng gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x -1 y z + = = mặt phẳng (P) : x – y – z = 2 · Gọi A(a; 0; 0) Ỵ Ox Þ d ( A; (P )) = d(A; (P)) = d(A; d) Û 2a = 2a 22 + 12 + 22 = 8a2 - 24a + 36 2a ; d ( A; d ) = 3 8a2 - 24a + 36 Û 4a2 - 24a + 36 = Û 4(a - 3) = Û a = Vậy có điểm A(3; 0; 0) Câu 28 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y + z –1 = hai x +1 y z + x -1 y - z +1 = = ; D2 : = = Xác định tọa độ điểm M 1 -2 thuộc đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) đường thẳng D1 : Trang 49 PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng r · M (–1 + t; t; –9 + 6t) ỴD1; D2 qua A (1; 3; –1) có véctơ phương a = (2; 1; –2) uuur uuur r AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8) Þ éë AM ; a ùû = (14 – 8t; 14t – 20; – t) 261t - 792t + 612 = 11t - 20 Ta có : d (M, D2) = d (M, (P)) Û 53 Vậy M (0; 1; –3) hay M 35 Û 35t2 – 88t + 53 = Û t = hay t = ỉ 18 53 ç ; ; ÷ è 35 35 35 ø Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x + y + z - = , D1 : x -3 y -5 z x -1 - y z - , D2 : = = = = 1 -1 1 ĐS: M(2;4;1) , M(-1;1;4) Câu 29 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 : x -1 y z + = = -1 x +1 y -1 z - = = Đường vng góc chung D1 D2 cắt D1 A, cắt D2 B -1 Tình diện tích DOAB r r · D1 có VTCP u1 = (2; -1;1) , D2 có VTCP u2 = (1;7; -1) D2 : Giả sử A(1 + 2t1; -t1; -2 + t1 ) Ỵ D1 , B(-1 + t2 ;1 + 7t2 ;3 - t2 ) Ỵ D2 uuur ìï AB.ur = ìt = Þ A(1;0; -2) uuur uuur Ta có: í uuur r1 Ûí1 Þ SOAB = éëOA, OB ùû = 2 ỵt2 = Þ B(-1;1;3) ỵï AB.u2 = Câu 30 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = đường thẳng d1 : x -1 = y-3 -3 = z ; d2 : x-5 = y = z+5 -5 Tìm điểm M Ỵ d1 , N Ỵ d cho MN // (P) cách (P) khoảng ì x = + 2t ï · PTTS d1 là: í y = - 3t M Ỵ d1 nên tọa độ M (1 + 2t;3 - 3t;2t ) ïỵ z = 2t + 2t - 2(3 - 3t ) + 4t - 12t - ét = Theo đề: d ( M ;( P )) = =2Û =2Ûê ët = 12 + (-2)2 + 22 + Với t = ta M1 ( 3;0;2 ) ; + Với t = ta M2 (1;3;0 ) · Ứng với M1, điểm N1 Ỵ d2 cần tìm phải giao d2 với mp qua M1 // (P), gọi mp (1) (Q1) PT (Q1) là: ( x - 3) - y + 2( z - 2) = Û x - y + z - = ì x = + 6t ï PTTS d2 là: í y = 4t (2) ïỵ z = -5 - 5t Thay (2) vào (1), ta được: t = –1 Điểm N1 cần tìm N1(–1;–4;0) · Ứng với M2, tương tự tìm N2(5;0;–5) Câu 31 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = đường thẳng d1 : x -1 = y -3 = z -2 , d2 : x-5 = y cho AB // (P) AB cách (P) khoảng Trang 50 = z+5 Tìm điểm A Ỵ d1 , B Ỵ d Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian · Giả sử: A(2t1 + 1, t1 + 3, -2t1) Ỵ d1 , B(3t2 + 5,4t2 ,2t2 - 5) Ỵ d2 uuur AB = (3t - 2t1 + 4,4t2 - t1 - 3,2t2 + 2t1 - 5) uuur r AB.nP = Û 2(3t2 - 2t1 + 4) - 4t2 + t1 + + 2(2t2 + 2t1 - 5) = Û 6t2 + t1 + = AB P (P ) Þ d ( AB,( P )) = d ( A,( P )) = · Với t1 = -5 Þ t2 = · Với t1 = Þ t2 = 4t1 + - t1 - - 4t1 - = t1 + é t = -5 =1 Û ê ë t1 = ỉ -11 Þ A(-9; -2;10), B ç 7; ; ÷ è 3 ø ỉ -4 -17 -1 Þ A(3; 4; -2), B ç 4; ; ÷ è 3 ø Câu 32 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ ìx = 1- t uuur ï · Ta có AB = (-1; -4; -3) Phương trình đường thẳng AB: í y = - 4t ïỵ z = - 3t uuur Gọi D(1 - a;5 - 4a; - 3a) Ỵ AB Þ DC = (a; 4a - 3;3a - 3) uuur uuur Độ dài đoạn CD ngắn Û D hình chiếu vng góc C cạnh AB Û AB ^ DC ỉ 49 41 21 Û - a - 16a + 12 - 9a + = Û a = Vậy: D ç ; ; ÷ 26 è 26 26 26 ø Câu 33 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x +1 y z -1 = = -2 1 x y z = = Tìm điểm M thuộc d1 , N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song 1 với mặt phẳng (P): x - y + z + 2012 = độ dài đoạn MN uuuur ìï MN nr = ì MN P ( P ) ỉ 5ư P · Lấy M Ỵ d1, N Ỵ d2 Ta có í Û M (0; 0;0), N ç - ; - ; ÷ Ûí è 7 7ø ỵ MN = ïỵ MN = x y + z -1 = = 1 -1 điểm A(1; 0;0), B(0;1;1), C (0;0;2) Tìm điểm M thuộc d cho góc hai mặt phẳng Câu 34 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : (MAB) (CAB) a = 300 · ĐS: M(0; -2;1) Câu 35 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: ìx = + t x - y -1 z ï (D1) : í y = -1 - t (D2 ) : = = Xác định điểm A D1 điểm B D2 ïỵ z = cho đoạn AB có độ dài nhỏ uuur · Giả sử A(t+1; –t –1; 2)Ỵ D1, B( t'+3; 2t' +1; t')Ỵ D2 Þ AB = (-t '- t + 2;2t '+ t + 2; t '- 2) Vì đoạn AB có độ dài nhỏ Û AB đoạn vng góc chung (D1) (D2) Trang 51 PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng uuur r uuur r ìï AB ^ u1 ìï AB.u1 = ì2t + 3t ' = Þ í uuur r Û í uuur r Ûí Û t = t ' = Þ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0) ỵ3t + 6t ' = ïỵ AB ^ u2 ïỵ AB.u2 = Câu 36 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) đường ì x = + 4t ï thẳng d : í y = -6t Tìm điểm I đường thẳng d cho IA + IB đạt giá trị nhỏ ïỵ z = -1 - 8t uuur · AB = (2; -3; -4) Þ AB // d Gọi A1 điểm đối xứng A qua d Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B Do IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi A1, I, B thẳng hàng Þ I giao điểm A1B d Vì AB // d nên I trung điểm A1B ỉ 36 33 15 Gọi H hình chiếu A lên d Tìm H ç ; ; ÷ A’ đối xứng với A qua H nên è 29 29 29 ø ỉ 43 95 28 ỉ 65 -21 -43 A’ ç ; ; - ÷ I trung điểm A’B suy I ç ; ; ÷ è 29 29 29 ø è 29 58 29 ø Câu hỏi tương tự: ỉ 64 45 x - y z +1 = = ĐS: I ç ; - ; - ÷ a) Với A(1; -1;2), B(3; -4; -2) , d : -6 -8 è 29 29 29 ø x -2 y z-4 b) Với A(1;2; –1), B(7; –2;3) , d : = = ĐS: I (2;0; 4) -2 Câu 37 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường x +1 y -1 z = = Tìm toạ độ điểm M D cho DMAB có diện tích nhỏ -1 ì x = -1 + 2t ï · PTTS D: í y = - t Gọi M (-1 + 2t;1 - t;2t ) Ỵ D ïỵ z = 2t uuur uuur Diện tích DMAB S = éë AM , AB ùû = 18t - 36t + 216 = 18(t - 1)2 + 198 ≥ 198 thẳng D: Vậy Min S = 198 t = hay M(1; 0; 2) Câu hỏi tương tự: x -1 y + z - a) Với A(0;1;0), B(2;2;2) , D : = = 2 -1 x y - z +1 = = -1 x -1 y - z -1 c) Với A(0;1; -2), B(2; -1;1), D : = = -1 ìx + y - z -1 = d) Với A(2; -1;1), B(1; -1;0), D : í ỵ2 x - y - = x -1 y - z e) Với A(1; 4;2), B(-1;2;4), D : = = -1 b) Với A(2; -1;1), B(0;1; -2), D : ĐS: M(-3;0;1) , S = 2 ĐS: M (-5;8; -11),min S = 34 ĐS: M (-2;5; -5),min S = 22 ỉ1 3ư ĐS: M ç ; - ; - ÷ è6 2ø ỉ 12 38 ĐS: M ç - ; ; ÷ è 7 ø Câu 38 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; -11) , B(3;5; -4) , C(2;1; -6) đường thẳng d : x -1 y - z -1 = = Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d 1 Trang 52 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian uuur uuur uuur cho MA - MB - MC đạt giá trị nhỏ uuur uuur uuur · Giả sử M (2t + 1;2t + 2; t + 1) Ỵ d Þ MA - MB - MC = (-2t - 1; -2t - 4; -t ) uuur uuur uuur MA - MB - MC = ỉ 10 53 53 ³ (2t + 1) + (2t + 4) + t = ç t + ÷ + 9ø è ỉ 11 10 Dấu "=" xảy Û t = Þ M ç - ;- ;- ÷ è 9 9ø 2 Câu 39 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( P ) : x + y - z + = điểm A( –2; 3; 4) x+3 = y + = z - Gọi D đường thẳng nằm (P) qua giao điểm (d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm D điểm M cho khoảng cách AM ngắn ì x = 2t - ï · PTTS d: í y = t - Gọi I giao điểm (d) (P) Þ I(-1;0;4) ïỵ z = t + r r r r (d) có VTCP a = (2;1;1) , (P) có VTPT n = (1;2; -1) Þ [ a, n ] = (-3;3;3) đường thẳng (d ) : ìx = - u r r ï Gọi u vectơ phương D Þ u = (-1;1;1) Þ D : í y = u ïỵ z = + u uuur Vì M Ỵ D Þ M (-1 - u; u;4 + u) , Þ AM = (1 - u; u - 3; u) uuur r AM ngắn Û AM ^ D Û AM u = Û -1(1 - u) + 1(u - 3) + 1.u = Û u = ỉ -7 16 Vậy M ç ; ; ÷ è 3 3ø Câu 40 Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y - z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi D giao tuyến (P) (Q) Tìm điểm M thuộc D cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ ỉ -3 -3 uuur · Gọi I trung điểm AB Þ I ç ; ; ÷ ; AB = (-1; -1; -1) è 2 2ø Þ PT (Q): x + y + z + = ì D giao tuyến (P) (Q) Þ PTTS D: í x = - + 2t; y = -t; z = - t 4 ỵ ỉ 15 25 Giả sử M ç - + 2t; -t; - t ÷ Ỵ D; OM = 6t - t + è 4 ø ỉ 3ư OM nhỏ t = Þ M ç - ; - ; - ÷ è 8ø Câu 41 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): Trang 53 x - y z +1 = = , (d2): 1 -2 PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng x-2 y+2 z = = Một đường thẳng (D) qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) -1 điểm B cắt đường thẳng (d2) điểm C Chứng minh điểm B trung điểm đoạn thẳng AC uuur uuur · Lấy B Ỵ (d1), C Ỵ (d2) Từ : AB = k AC Þ k = Þ B trung điểm đoạn thẳng AC Ta tính B(2; –1; 1), C(3; –4; –1) Câu 42 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E (2;1;5), F (4; 3; ) Gọi D giao tuyến hai mặt phẳng (P ): 2x + y - z + = (Q) : x - y + z - = Tìm điểm I thuộc D cho: IE - IF lớn ìx = + t ì x = + t¢ ï ï · PTTS D: í y = -5t PTTS EF: í y = + t¢ ïỵ z = - 3t ïỵ z = + 2t¢ ì1 + t = + t¢ ï ìt = Xét hệ: í-5t = + t¢ Þ EF cắt D A(1;0;3) Ûí ỵt¢ = -1 ïỵ3 - 3t = + 2t¢ Trong mp( D ,EF) điểm I Ỵ D ta có IE - IF £ EF (hiệu cạnh tam giác nhỏ cạnh thứ 3) Dấu "=" xảy Û I, E, F thẳng hàng, từ suy I trùng A Vậy điểm I(1;0;3) Câu 43 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : A(0; 0;3) , B(0;3;3) Tìm điểm M Ỵ d cho: b) MA2 + MB nhỏ a) MA + MB nhỏ ìx = t ï · a) PTTS d: í y = t Gọi M (t; t; t ) Ỵ d Ta có: P = ïỵ z = t Xét hàm số f (t ) = (t - 1)2 + + (t - 2)2 + Þ f ¢(t ) = f ¢(t ) = Û t -1 (t - 1) + =- t-2 (t - 2) + Û t -1 (t - 1) + ( x y z = = hai điểm 1 uuur uuur c) MA - 3MB nhỏ (t - 1)2 + + (t - 2)2 + t -1 (t - 1)2 + = ) t-2 + (t - 2)2 + -(t - 2) [ -(t - 2)] (*) +2 ỉ u ÷ Ta có g¢(u) = ç u2 + - u = >0 ç ÷ u2 + 2 2 u +2 u +2 ø (u + 2) è nên hàm số g đồng biến ¡ Do từ (*), ta có g(t - 1) = g [ -(t - 2)] Û t - = -t + Û t = ỉ3ư Dựa vào BBT hàm số f ta suy f (t ) = f ç ÷ = è2ø Xét hàm số g(u) = u Vậy min( MA + MB) = 3 đạt t = ỉ3 3ư , tức M ç ; ; ÷ è2 2ø b) Tương tự câu 1), ta tính Q = MA2 + MB = 9t - 30t + 45 = (3t - 5)2 + 20 Trang 54 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ỉ5 5ư Þ Q = 20 t = , tức M ç ; ; ÷ è 2 øuuur uuur c) Theo câu 1) , ta có MA = (-t; -t;3 - t ) , MB = (-t;3 - t;3 - t ) uuur uuur uuur uuur Suy MA - MB = (t; t - 6; t - 3) Þ MA - MB = 3t - 18t + 45 = 3(t - 3)2 + 18 ³ uuur uuur Vậy MA - MB = t = , tức M(3;3;3) Trang 55 PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu Câu 44 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x – y + m = đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P): x – y – z + = , (Q): x + y – 2z – = Tìm m để (S) cắt (d) điểm M, N cho độ dài MN = · (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 - m = IM (m < 13) Gọi H trung điểm MN Þ MH= Þ IH = d(I; d) = -m - r uur r éëu; AI ùû (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) Þ d(I; d) = = r u Vậy : -m - =3 Û m = –12 Câu 45 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình (S ) : x + y + z2 - x + y - z + = 0, ( P ) : x + y - z + 16 = Điểm M di động (S) điểm N di động (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Xác định vị trí M, N tương ứng · Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) có bán kính R = 2.2 + 2.(-1) - + 16 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d = d I , ( P ) = = 5Þ d > R Do (P) (S) khơng có điểm chung Do vậy, MN = d –R = –3 = Trong trường hợp này, M vị trí M0 N vị trí N0 Dễ thấy N0 hình chiếu vng góc I mặt phẳng (P) M0 giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) Gọi D đường thẳng qua I vng góc với (P), N0 giao điểm D (P) ì x = + 2t r ï Đường thẳng D có VTCP n P = ( 2;2; -1) qua I nên có phương trình í y = -1 + 2t ïỵ z = - t ( ) Tọa độ N0 ứng với t nghiệm phương trình: 2(2 + 2t ) + 2(-1 + 2t ) - (3 - t ) + 16 = Û 9t + 15 = Û t = - uuuur uuur ỉ 13 14 Suy N ç - ; - ; ÷ Ta có IM = IN Suy M0(0;–3;4) è 3 3ø 15 =9 Câu 46 Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; -3), C (-1; -2; -3) mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z2 - x + 2z - = Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn · (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R = PT mp(ABC): x - y + z + = Ta có VABCD = d ( D;( ABC )).S ABC nên VABCD lớn Û d ( D;( ABC )) lớn Gọi D1D2 đường kính (S) vng góc với mp(ABC) Ta thấy với D điểm thuộc (S) d ( D;( ABC )) £ max {d ( D1;( ABC )); d (D2 ;( ABC ))} Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2 r D1D2 qua I(1;0;–1), có VTCP nABC = (2; -2;1) Þ D1D2 : { x = + 2t; y = -2t; z = -1 + t Trang 56 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ì x = + 2t é ï = t ê ï y = -2t Tọa độ D1 D2 thỏa: í Þê = + z t êt = ï ï( x - 1)2 + y + (z + 1)2 = êë ỵ ỉ -4 -1 ỉ -1 -5 Þ D1 ç ; ; ÷ ; D2 ç ; ; ÷ è3 3 ø è 3 ø ỉ 1ư Ta thấy: d ( D1;( ABC )) > d ( D2 ;( ABC )) Vậy điểm D ç ; - ; - ÷ điểm cần tìm è 3 3ø Trang 57 PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Dạng 4: Xác định điểm khơng gian Câu 47 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a): x + y – z + = hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vng góc với mặt phẳng (a), đồng thời K cách gốc tọa độ O (a) x -2 y -2 z · I(2;2;0) PT đường thẳng KI: = = -1 Gọi H hình chiếu I (a): H(–1;0;1) Giả sử K(xo;yo;zo) ì x - y0 - z0 = = ï ỉ 1 3ư -1 Ta có: KH = KO Û í Þ Kç- ; ; ÷ è 4ø ï ( x + 1)2 + y + ( z - 1)2 = x + y + z 0 0 0 ỵ Câu 48 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC + MD đạt giá trị nhỏ ỉ 14 · Gọi G trọng tâm ABCD ta có: G ç ; ; ÷ è3 ø Ta có: MA2 + MB2 + MC + MD = MG + GA2 + GB + GC + GD ỉ 14 ³ GA2 + GB2 + GC + GD Dấu xảy M º G ç ; ; ÷ è3 ø Câu 49 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z + = điểm A(0; 1; 2) Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) r · (P) có VTPT n = (1;1;1) Giả sử A¢(x; y; z) ỉ x y +1 z + ; Gọi I trung điểm AA¢ Þ I ç ; ÷ è2 2 ø ì x y -1 z - uuur ì x = -4 ìï AA¢ , nr phương ï1 = = ï A¢ đối xứng với A qua (P) Û í Ûí Û í y = -3 ïỵ I Ỵ (P) ïỵ z = -2 ï x + y +1 + z + + = ỵ2 2 Vậy: A¢(–4; –3; –2) Câu 50 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0;0), B(0;1; 0), C (0;3;2) mặt phẳng (a ) : x + y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (a ) · Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) ì( x - 1)2 + y + z2 = x + ( y - 1)2 + z2 (1) ì MA = MB 0 0 ï 20 ï 2 2 Ta có: í MB = MC Û ï x0 + ( y0 - 1) + z0 = x0 + ( y0 - 3) + ( z0 - 2) (2) í ïỵ MA = d ( M ,(a )) ( x + y0 + 2)2 ï 2 ( x 1) + y + z = (3) ï 0 ỵ é x0 = 1, y0 = 1, z0 = ỉ 23 23 14 Û ê 23 23 14 Þ M(1; 1; 2) M ç ; ; - ÷ ê x0 = , y = , z0 = 3ø è 3 3 ë Trang 58 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian Dạng 5: Xác định điểm đa giác Câu 51 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC · Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A (P) ^ BC; (Q) qua B (Q) ^ AC ỉ 36 18 12 Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng ta trực tâm H ç ; ; ÷ è 49 49 49 ø Câu hỏi tương tự: a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) ĐS: Câu 52 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-1;3;5) , B(-4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC · Ta có: AB = BC = CA = Þ D ABC Do tâm I đường tròn ngoại tiếp ỉ 8ư D ABC trọng tâm Kết luận: I ç - ; ; ÷ è 3 3ø Câu 53 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC uuur uuur · Ta có: AB = (2; 2; -2), AC = (0; 2;2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x + y - z - = 0, y + z - = uuur uuur r VTPT mp(ABC) n = éë AB, AC ùû = (8; -4;4) Suy (ABC): x - y + z + = ì x + y - z -1 = ìx = ï ï Giải hệ: í y + z - = Þ í y = Suy tâm đường tròn I(0; 2; 1) ï2 x - y + z + = ï z = ỵ ỵ Bán kính R = IA = (-1 - 0)2 + (0 - 2)2 + (1 - 1)2 = Câu 54 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B(-1;2; 0) ,C(1;1; -2) Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC · H ( x; y; z) trực tâm DABC Û BH ^ AC , CH ^ AB, H Ỵ ( ABC ) uuur uuur ì BH AC = ï uuur uuur ì ỉ 29 29 Û íCH Û íx = ; y = ; z = Þ H ç ; ;- ÷ uuur.AB uuur= 0uuur 15 15 è 15 15 ø ỵ ï éë AB, AC ùû AH = ỵ I ( x; y; z) tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Û AI = BI = CI , I Ỵ ( ABC ) ì AI = BI ï ì ỉ 14 61 14 61 Û íCIuuu2r =uuu Û íx = ; y = ; z = - Þ I ç ; ; - ÷ BI r uur 15 30 ỵ è 15 30 ø ï éë AB, AC ùû AI = ỵ Câu 55 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;0;1), B(1;2; - 1), C (-1;2;3) I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) · Phương trình ( ABC ) : x - y + z + = Gọi I ( x; y; z) IA = IB = IC Þ x + y - z - = 0, y + z - = (1) ; I Ỵ ( ABC ) Þ x - y + z + = (2) Từ (1) (2) Þ I (0; 2; 1) Bán kính mặt cầu R = d ( I ,(Oxz)) = Þ (S): x + ( y - 2)2 + ( z - 1)2 = Trang 59 PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng Câu 56 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm mặt phẳng (Oxy) C nằm trục Oz Tìm toạ độ điểm B, C cho điểm H(2;1;1) trực tâm tam giác ABC · Giả sử B( x; y;0) Ỵ (Oxy), C (0;0; z) Ỵ Oz uuur uuur uuur uuur ì AH BC = ì AH ^ BC ï uuur uuur ï uuur uuur H trực tâm DABC Û íCH ^ AB Û íCH uuur uuur uuur uuur.AB uuur= 0uuur ï AB, AC , AH đồng phẳng ï é AB, AH ù AC = û ỵ ỵë é -3 - 177 17 + 177 3+ ìx + z = ;y = ;z = êx = ï Û í2 x + y - = Û ê 17 - 177 3-3 + 177 ê ïỵ3 x - 3y + yz - z = ;y = ;z = êë x = ỉ -3 - 177 17 + 177 ỉ + 177 Þ Bç ; ;0 ÷ , C ç 0;0; ÷ 4 è ø è ø ỉ -3 + 177 17 - 177 ỉ - 177 B ç ; ;0 ÷ , C ç 0;0; ÷ è ø è ø 177 177 Câu 57 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A ( 3; -1; -2 ) , B (1;5;1) , C ( 2;3;3) , AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D · Do ABCD hình thang cân nên AD = BC = Gọi D đường thẳng qua C song song với AB, (S) mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm giao điểm D (S) ì x = - 2t uuur ï Đường thẳng D có vectơ phương AB = ( -2;6;3 ) nên có phương trình: í y = + 6t ïỵ z = + 3t Phương trình mặt cầu (S ) : ( x - 3)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: ì x = - 2t ét = -1 ï y = + 6t ï Þ 49t + 82t + 33 = Û ê 33 í z = + 3t êt = ï 2 49 ë ïỵ( x - 3) + ( y + 1) + ( z + ) = · Với t = – 1, D(4; – 3; 0) : khơng thoả AB = CD = ỉ 164 51 48 33 · Với t = - Þ D ç ; - ; ÷ (nhận) 49 49 49 ø è 49 Câu 58 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, A(1;0; 0) , C(-1;2; 0) , D(-1; 0;0) , S(0; 0; 3) Gọi M, N trung điểm đoạn SB CD Chứng minh hai đường thẳng AM BN vng góc với xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB uuur uuur · AB = DC Þ B(1; 2; 0) M trung điểm SB, N trung điểm CD ỉ1 3ư Þ M ç ;1; ÷ , N(–1; 1; 0) Þ AM ^ BN Vì DONB nằm mp(Oxy) nên tâm I ç2 ÷ è ø Trang 60 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian đường tròn ngoại tiếp DONB thuộc mp(Oxy) ỉ1 ì IO = IN Gọi I ( x; y; 0) Ta có: í Þ I ç ; ;0 ÷ ỵ IO = IB è6 ø Câu 59 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M(5;3; - 1) , P(2;3; - 4) Tìm toạ độ đỉnh ( R) : x + y - z - = Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng uuur ỉ7 5ư · Gọi I tâm hình vng Þ I ç ;3; - ÷ Gọi N (a; b; c) Ỵ ( R) MP = (-3; 0; -3) è2 2ø uur ỉ 5ư IN = ç a - ; b - 3; c + ÷ ; MP = Þ IN = è 2ø ìa + b - c - = ì uur N Ỵ ( Ruuur ) ï ỉ 7ư ỉ 5ư é a = 2, b = 3, c = -1 Ta có: ïï IN ^ MP Û ï-3 ç a - ÷ - ç c + ÷ = Û ê í 2ø è 2ø í è ë a = 3, b = 1, c = -2 2 ï IN = ïỉ ỉ 7ư 5ư ïỵ ïç a - ÷ + (b - 3)2 + ç c + ÷ = è 2ø 2ø ỵè · Nếu N(2;3 - 1) Q(5;3; - 4) · Nếu N(3;1; - 2) Q(4;5; - 3) Câu 60 Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) hai đường thẳng có phương trình x -2 y -3 z-3 x -1 y - z - = = d2 : = = Chứng minh đường thẳng d1, d2 1 -2 -2 điểm A nằm mặt phẳng Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC r r · d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP a = (1;1; -2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP b = (1; -2;1) urr r r r uuuuuur Ta có éë a,b ùû ¹ , éë a, b ùû M1M2 = Þ d1, d2 cắt d1 : Phương trình mặt phẳng chứa d1, d2 : x + y + z – = A Ỵ mp(d1, d2 ) ỉt+5 t+5 Giả sử B(2 + t;3 + t;3 - 2t )Ỵ d1 Þ trung điểm AB M ç ; ;3 - t ÷ è ø M Ỵ d2 Þ t = -1 Þ M (2;2;4) Þ B(1;2;5) uuur r Giả sử C (1 + t; - 2t;3 + t ) Ỵ d2 AC ^ a Þ t = Þ C(1;4;2) Câu 61 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, biết B(3;0;8) , D(-5; -4; 0) đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độ điểm C · Ta có trung điểm BD I(–1;–2; 4), BD = 12 điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0) ì AB = AD 2 2 2 ì ï Û ï(a - 3) + b + = (a + 5) + (b + 4) ABCD hình vng Þ í í 2 2 ỉ1 ïỵ(a + 1) + (b + 2) + = 36 ï AI = ç BD ÷ è2 ø ỵ ì 17 a= ï ì b = - 2a ìa = Þ A(1; 2; 0) A ỉ 17 ; -14 ;0 Ûí í Ûí ç ÷ 2 ỵb = è 5 ø ỵ(a + 1) + (6 - 2a) = 20 ïb = -14 ỵ ỉ 17 -14 ỉ -27 -6 · Với A(1; 2; 0) Þ C(–3;–6; 8) · Với A ç ; ;0 ÷ Þ C ç ; ;8 ÷ è 5 ø è 5 ø Trang 61