TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG  xyz CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8)  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG HAI HAY NHIỀU ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ CƠ BẢN  ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ ĐỐI XỨNG – GẦN ĐỐI XỨNG  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống không mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngoài phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (còn gọi phương trình vô tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu sắc Chương trình Toán Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác xuyên suốt chương trình Toán THPT Sự đa dạng hình thức lớp toán thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vô tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phép sử dụng ẩn phụ phương pháp nhằm mục đích đó, toán trở nên gọn gàng, sáng sủa giúp định hình hướng cách ổn định Đôi phương pháp tối ưu cho nhiều toán cồng kềnh Tiếp theo lý thuyết sử dụng ẩn phụ thức (các phần đến 7), chủ đạo dùng hai nhiều ẩn phụ đưa phương trình cho trước hệ phương trình, bao gồm hệ bản, hệ đối xứng gần đối xứng, phương án hữu tỷ hóa phương trình chứa căn, giảm thiểu đại phận cồng kềnh sai sót tính toán Kỹ đồng hành việc giải hệ phương trình hữu tỷ đồng bậc – đẳng cấp, hệ phương trình chứa quy đẳng cấp, ngày nâng cao kỹ giải phương trình – hệ phương trình cho bạn học sinh Lý tài liệu có sử dụng kiến thức hệ phương trình nên đòi hỏi vốn tảng định bạn đọc, thiết nghĩ phù hợp với bạn học sinh lớp THCS ôn thi vào lớp 10 THPT đại trà, lớp 10 hệ THPT Chuyên, bạn chuẩn bị bước vào kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp dự thi kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán toàn quốc, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn trẻ yêu Toán khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Nắm vững phép biến đổi đại số (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức) Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Nắm vững kiến thức đa thức đồng bậc, thao tác với phương trình ẩn phụ Bước đầu thực hành giải biện luận toán phương trình bậc hai, bậc cao với tham số, giải hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2; hệ phương trình đồng bậc; hệ phương trình đa ẩn Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi toán phổ thông CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ II MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài toán Giải phương trình x   x   x   Lời giải Điều kiện x  Đặt x   a; x  b  a  0; b    x   a ; x  b  a  2b  1 Mặt khác phương trình cho trở thành a  b  Ta có hệ phương trình a  b  a   b a   b a      2 b  a  2b  1 b  4b   2b  1 b  4b   a  2 x   Với    x  Vậy Phương trình cho có nghiệm x  b  x  a  (Loại)  b  5 Bài toán Giải phương trình 3x   x    x   Lời giải Điều kiện x  Đặt 3x   a; x   b  a  0; b    a  x  2; b  x   2a  3b  1 Mặt khác phương trình cho tương đương với 2a  b  Ta có hệ phương trình 2a  b  b  a  b  2a       2 2 2a  3b  1 2a   4a  4a  1  1 10a  12a   b  2a  1 3    a; b   1;1 ,  ;   5 5  a  1 5a  1  1 3 Loại trường hợp  a; b    ;   Với a  b   x   x    x  5 5 Phương trình cho có nghiệm Lời giải 2 Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 3x   x    12 x   x  2 x   x   x  4   x  x     x 1 5 25 x  40 x  16  x   25 x  42 x  17    Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x  Nhận xét Bài toán bạn giải đơn giản theo phương pháp biến đổi tương đương – nâng lũy thừa lời giải Với cách nhìn toán mắt "hệ phương trình", lời giải độc đáo gọn gàng Các bạn ý đặt ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn so sánh với điều kiện xác định ban đầu lời giải xác Bài toán Giải phương trình Lời giải 3x   x   x   x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ Điều kiện x   Đặt 3x   a; x   b  a  0; b   suy a  b  x  Mặt khác phương trình cho tương đương với a  b  x  Ta có hệ phương trình x   a  b  x   x  1 a  b    x  1  x  1 a  b    a  b        a  b  a  b  x  a  b  x  a  b  x    a  b  x   Xét x  nghiệm phương trình cho  x   a  b  x    Với   2a  x   x   x     a  b  x  12 x   x  x   x    Kết luận tập nghiệm phương trình S  1;5  7;5    Bài toán Giải phương trình x   x  x   x   Lời giải Điều kiện x  Đặt x   a; x  b  a  0; b   thu hệ phương trình a  b  x  a  b  a  b  a  b   a  b  a  b  1     a  b  a  b  x  1  x  a  b  x  x    Kết hợp   2a  x  x   x    x  a  b  4 x  x      Xét a  b  x   x  x  1  Đối chiếu với điều kiện ta có kết luận nghiệm S   ;1 4  Nhận xét Hai toán lời giải giải phép nhân lượng liên hợp – hệ tạm thời Phần trình bày phía đặc điểm tên gọi "hệ tạm thời" phổ biến nhiều tài liệu tham khảo; tức kết hợp phương trình hệ thu phương trình ban đầu, sử dụng phép – cộng đại số để làm giảm số lượng biểu thức, giảm thiểu cồng kềnh biến đổi Đối với hai toán toán tương tự, giải đẳng thức liên hợp hay hệ phương trình chung chất làm xuất nhân tử, khác phép đặt ẩn phụ Bài toán Giải phương trình x  x   x  x    x   Lời giải Điều kiện x  x  Phương trình cho tương đương với  x  x    x  x   x2  x    x  5x      x  x   x  x   25  10 x  x   x  x   x   x2  x    x2  5x      x  6 Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S  6;1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ Lời giải Điều kiện x  x  x  x   a; x  x   b  a  0; b   ta thu hệ phương trình Đặt a  b  a  b  a   x  x       x  x    x  6;1  2 a b b    a b       x  x   Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S  6;1 Lời giải Điều kiện x  x  Nhận xét: x  x   x  x  x   nên phương trình cho tương đương với   x  x   x  x   (*) 2 x  x   x  5x  Kết hợp đẳng thức (*) phương trình cho x  x   x  x   thu x  x    x  x    x  x    x  x    x  6;1 Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S  6;1 Nhận xét  Ba lời giải không thông qua điều kiện phức tạp mà sử dụng phép thử lại nghiệm  Lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương nâng lũy thừa túy, với hệ điều kiện hệ không "mượt mà" Bằng cách sử dụng phương châm "khoan thư sức dân, sâu gốc bền   rễ", tạm thời chưa giải điều kiện chi tiết x  x   ; tránh việc đối chiếu nghiệm phức tạp Lời giải sử dụng phép đặt hai ẩn phụ đẳng thức hiệu hai bình phương quen thuộc AB Lời giải sử dụng đẳng thức liên hợp, với ý A  B   A  B  , sử dụng hệ A B phương trình tạm thời thu phương trình f  x   g  x  , may mắn g  x  lại số Như trình bày trên, chất hai lời giải một, có hình thức khác Bài toán Giải phương trình x  x   x  x   x Lời giải Từ phương trình suy điều kiện có nghiệm x  Đặt x  x   a; x  3x   b  x    a  0; b  0 Ta thu hệ phương trình a  b  x  a  b  a  b   a  b  a  b  1   a  b   2 a  b  x  x  1 a  b  x 7  10 Kết hợp   2a  x   x  x   x    x a  b  4 x  16 x   x  x  So sánh với điều kiện x  , kết luận phương trình cho vô nghiệm Bài toán Giải phương trình Lời giải Điều kiện x   x  3 Đặt x2  x   x2  3x   x x  x   a; x  x  b  x    a  0; b   ta thu hệ phương trình CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ a  b   x a  b  a  b  a  b   a  b  a  b  1     a  b  a  b   x Xét hai trường hợp xảy  a  b  x  x   x  3x  x  (thỏa mãn điều kiện x   x  3 )  Kết hợp  8  19 8  19  x  a  b   2a   x  x  x    x    x ;   3   a  b   x 3x  16 x    8  19 8  19  So sánh với điều kiện x   x  3 ; kết luận nghiệm phương trình S   ;3;  3   Bài toán Giải phương trình Lời giải  x   x2  5x   x  x   x  Đặt x  x   a; x  x   b  a  0; b    a  b  x  Ta thu hệ phương trình a  b  x  a  b  a  b  a  b   a  b  a  b  1     a  b  a  b  x  Xét hai trường hợp xảy  a  b  x    x   (Loại)   a  b  x   x    2a  x      Kết hợp  a  b  x  4  x  x  1  81x  72 x  16 65 x  52 x  20      Hệ điều kiện (*) vô nghiệm phương trình 65 x  52 x  20  vô nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài toán Giải phương trình x   x  10  x   x  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với  x   x  11  x  11x  10  x   x  x  10  x  11x  10   x  x  10  x  11x  14  x  11x  10  x  x  10  x  11x  10   x   x    x  1    x  1  x  11x  10  x  x   x  1 So sánh với điều kiện x  1 thu nghiệm S  1 Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x  10  x   x   x  Đặt x  10  a; x   b  a  0; b   ta thu hệ phương trình CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 8   x   x 1 a  b  a  b  x   x 1   3a  b  x   2a  2b  x   x  a  b  x   x      x  10  x   x   x  90  17 x  82  x  x  10 x    x   x  x  10    x  1  x  x   x  x  10 So sánh với điều kiện x  1 thu nghiệm S  1 Nhận xét  Lời giải toán hoàn toàn sử dụng biến đổi tương đương nâng lũy thừa bản, xuất phát đặc tính đặc biệt: Sau bình phương hai thức số, hệ số x hai nên bậc tối đa x sau bình phương  Lời giải sử dụng hệ phương trình tạm thời, không thoát khỏi đẳng thức liên hợp x   x 1  x   x 1     Về bản, lời giải trở nên phức tạp so với lời giải 1, nhiên đổi lại mở hướng nhiều toán khác Bài toán 10 Giải phương trình x   x   x   x   Lời giải Điều kiện x  1 Đặt x   a; x   b,  a  0; b   ta có a  b  x  Phương trình cho trở thành a  b  x  Vậy ta thu hệ phương trình  x  2  a  b  a  b   x    x   a  b   x     a  b  a  b  x   Dễ thấy x  2 không thỏa mãn phương trình ban đầu  Kết hợp a  b  a  b  x  ta có  x  3  x  3  x  1   2a  x   2 x   x     2 x  8 x  12  x  x   x  2x   Đối chiếu điều kiện đến đáp số x  Bài toán 11 Giải phương trình 3x   x   x  x   Lời giải Điều kiện x   Đặt 3x   a; x   b,  a  0; b   ta có a  b2  x Phương trình cho trở thành a  b  x  a  b  a  b   x a  b  x x    x  a  b   x  x  a  b  1    Ta thu hệ  a  b  a  b  x a  b  x  x  thỏa mãn phương trình ban đầu 2 x   a  b     2a  x   3x   x    a  b  x 12 x   x  x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 2x   42 42 ;x    x 4    x x  42 42 Đối chiếu điều kiện x  0; x  ;x  4 Bài toán 12 Giải phương trình x   x   x   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   a; x   b,  a  0; b   ta có a  b  x  Suy thu hệ  a  b  x  x    x  1 a  b   x    x  1 a  b  1     a  b  x  b 1 a   o Rõ ràng x  thỏa mãn phương trình đề x  12  61 o Kết hợp a  b  a  b  x   2a  x  x   x   x 25 25  24   x x  12  61 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  25 Bài toán 13 Giải phương trình x   x   x    x  x   Lời giải Điều kiện  x  Đặt x   a; x   b; x   c;  x  d  a  b  c  d Phương trình cho trở thành a  b  c  d  a  2ab  b  c  2cd  d  ab  cd  3x  10 x   5 x  26 x   x  16 x     x  1   x  Thử lại nghiệm thấy thỏa mãn, tập nghiệm S  1 Bài toán 14 Giải phương trình x   x   x   x   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   a; x   b; x   c; x   d  a  b  c  d Phương trình cho trở thành a  b  c  d  a  2ab  b  c  2cd  d  ab  cd x   3x  10 x   x  x   x  x    x  Thử lại nghiệm trực tiếp ta có nghiệm x  0; x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 10 Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực 3x   x   5x   x  x  x   2x  10 x   x   3x  x   3x   3x  2x   x  x  5x   x   3x  x   x   8x  x 1  x  6x 10 x   x   x  11 x   x   x  12 x2  x   x  x   x  13 14 17 x   3x   x  3x   x   x   x  3x   x   2x   x   x  9x   x  8x  18 x2  x   x   x2  3x  19 x  x   x    x  x  1 20 x  x   x  3x  x 21 x  x   x   x  3x  22 x2   x   x  x  23 5x  x  5x  x   x  24 x2  x   x   x  x  25 x2  x   x   x  x  26 x2  x   x   x  x  27 x3  x   x  x   28 x2  x   x  x   3x 29 x3   x  3x   3x 30 x  x  x   x3  x   x  31 x3  x   x  x   x  x  32 x3  x   x3  x   3x  x  33 x3  x  x   x  x   x  x  34 x  3x  x3  x   x  3x  15 16 35  x3  x   x  x3  x  x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 11 Bài toán 15 Giải phương trình x   x    x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   a; x   b ta thu hệ phương trình  a  b 3  3ab  a  b    a3  b3  ab      a; b    0; 2  ,  2;    a b   a b   a  b     Xét hai trường hợp xảy  a   x    x  7  a   x    x  Thử lại hai giá trị nghiệm phương trình Kết luận nghiệm S  7;1 Bài toán 16 Giải phương trình 3x    3x   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt 3x   a;  3x  b  a  b3  Ta có hệ phương trình a   a   a3  b3  27  3ab.3  ab   a  b   3ab  a  b        a  b  a  b  b   a a  b  a  b  a   a  3a     a  1 a      a  Xét hai trường hợp xảy  a   3x    3x    x   3  a   x    3x    x    Thử lại thấy nghiệm phương trình ban đầu Kết luận nghiệm S   ;1   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x    x  3 x   x   3x    x  27  3 x   3x  18     x    x    x  x    x   ;1     Thử lại hai giá trị thấy nghiệm phương trình ban đầu Kết luận nghiệm S   ;1   Bài toán 17 Giải phương trình x   x    x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   a; x   b ta thu hệ phương trình  a  1  2a  7a  20   a    a 3  7 2a  9a  27a  20  a3  b3  7        b   a a  b  b   a b   a  x   a  5 x       x 1 b  5 x    x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 118 1   u  v  x     v  x2  x 1   v   x     2 x  x  x 1  u  v  x   x2  x     4 x x x  x 1  x  2x  x  x 1  x   x  x     x     2 x  x  x   2  x  1  x  x  1   x  1  x  x    Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 165 Giải phương trình 2   4  x3  x    x2      2  x x x   x x  x   Lời giải 4    x  4x   Điều kiện  x x  x  Phương trình cho tương đương với 2 2     x    x  x  x    x     x    x    x  x  x  x x x x     2 2 2        x    x  x  x    x     x    x    x  x  x  x x x x      4  u;   x  x   v,  v   ta thu hệ phương trình x x x   2  u  v u  x  x  x    x  x   v     2  2  u  v   x    v  u     u  v  x    x     v  x  x  x   x   u  x    x   Xét trường hợp sau xảy Đặt x    1  u  v  x     v  x  x    v   x     (Vô nghiệm) 2 x  x  4   x2  x    u  v  x  x x x x  4x   x  4x  4x  4x   x  x     x  4 x  x    x  1  x  x    Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 166 Giải phương trình 1    x    x2      2x  2 x x   x x  x   Lời giải   x   0; x  x x2 Phương trình cho tương đương với Điều kiện CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 119 1    1  x    x2     x2     x  x x x    x Đặt 1  1  u;  x     x   v,  v   ta thu hệ phương trình x x  x    u  v u  x    x  x   v      2  u  v   x    v  u     u  v  x    x     v  x   x   u  x    x   Xét hai trường hợp x  1  x   uv    2x      x 1   x   x x x x    x   x  x      u  v  x     v  x  2 (Vô nghiệm) x Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Bài toán 167 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình  2x  2   x    x   1 x    2 x x  x x  Lời giải 2  2 x     Điều kiện  x x  x  Phương trình cho tương đương với  x    1          x    x   1  x   1    x  x   x  x   x  2  u; x     v ta thu hệ phương trình x x x    u  v u  x    x  x  1 v      2  u  v   x   1  v  u     u  v  x    x   v  x    x    u  x   x    u  v  x     v  x  2 (Vô nghiệm) x  1   2  x  u  v    2x      x x x 1    x     x x x x2   1   1    x  x   4 x  x  x   x  1  x  x  x  1    Đặt  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 120 Dễ thấy x3  x  x   với số nguyên dương x nên hệ (*) có nghiệm x  nguyên dương Vậy toán có nghiệm x  Bài toán 168 Giải phương trình x   x3   3   x   x  2x2  x  1 2 x x x   x   Lời giải  x  2x  x 1   Điều kiện  x  x  Phương trình cho biến đổi x3  x  x    x5  x  x  x  x   x2 x x2   x  x  3x  x   x  x   x   x  x  x  x  x  x  x  x  x    x2 x x2 x2  1  1   1      x      x       x    x   x     x    x  x x x  x  x x x     u; x3  x  x    v ta thu hệ phương trình x x     1 u  v u   x  x  x     x  x  v       1 2  u  v   x   v  u     u  v  x   x  v   x       x   u  x     x x2 x     Xét trường hợp  u  v  x    v  x  1 (Vô nghiệm) x  x   u  v  x    x3  x  x     2 x x  x  x  1  x  x  x  x   x   1   x     x    2;  x  x  x   x  x  x  x  x           Đặt x   1    Kết luận phương trình cho có nghiệm x   2;    Bài toán 169 Giải phương trình x  3x  x  x  x4  x3  x  x   2x2  x   Lời giải Điều kiện x  x  x  x   Phương trình cho tương đương với x  x  x  x    x  x  1   x  1 x  x3  x  x   x  x    x  x  1   x3  x  1   x  1 2x  1 x  x  1  x  x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 121 Đặt x  x   u; x  x3  x  x   v,  u  0; v   ta thu hệ phương trình u   x3  x  1   x  1 v u  v   u  v   x  1  v  u     2 2 u  v  x   v   x  x  1   x  1 u Xét trường hợp xảy  u  v  x    u  v  x  1 (Vô nghiệm)  u  v  x  x   x  x  x  x   x  x3  x  x   x  x  x  x  2  3  3   ;  x  x  x  x     x  1  x  x  1   x  1;  2    3  3   ; Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  1;  2   Bài toán 170 Giải phương trình x4  x3  x   x2  x  x  x  x  3x   x   Lời giải Điều kiện x  3x  x  x   Phương trình cho tương đương với x  x    x  x  x  3   x  x  1 x  x  x  x    x     x  x  x  3   x  x  1 x  x  1 x     x  x  x  3 Đặt x   u; x  3x  x  3x   v,  u  0; v   , ta thu hệ phương trình u   x  x  x  3   x  x  1 v u  v   u  v   x  x  1  v  u     2 2 u  v  x  x   v   x  x  x  3   x  x  1 u Xét trường hợp xảy 1   u  v  x  x    u  v   x     (Vô nghiệm) 2   u  v  x   x  x3  x  3x   x  x   x  x  x  x   3x  x  x     x  1  2 x3  x    x  x   1 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x   1 Bài toán 171 Giải phương trình x4  x3  x  x   x2  x  x  x  x  3x  x   Lời giải Điều kiện x  x  x  3x  Phương trình cho tương đương với x  x    x  x  x  x  1   x  x  1 x  x  1 x  1  x  x  x  x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 122   x  1   x  x  x  x  1   x  x  1 x  x  1 x  1  x  x  x  x  Đặt x   u; x  x3  x  x  v,  u  0; v   ta thu hệ phương trình 2  u  v u   x  x  x  x  1   x  x  1 v  u  v   x  x  1  v  u     2 2 u  v  x  x   v   x  x  x  x  1   x  x  1 u Xét trường hợp sau xảy o o 1  u  v  x  x    u  v   x     (Vô nghiệm) 2  4 u  v  x  x   x  x  x  3x  x3  3x  x    x3  3x  x   3x   x  1  3x  x    x 3  x  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  Bài toán 172 Giải phương trình 1 3 x4  x3  x  x x 1 3  x  1 x  x3  x  3x  1  x   Lời giải  x  3x  x  3x   Điều kiện   x  x   Phương trình cho tương đương với x  x    x  3x  x  1   x  x  1 x  x3  x  x    x  3x  x  1   x  1   x3  x  x  1   x  x  1 x  x  1 x  1   x  3x  x  1 Đặt x   u; x  x3  x  x   v,  u  0; v   ta thu hệ phương trình 2  u  v u   x  x  x  1   x  x  1 v  u  v   x  x  1  v  u     2 2 u  v  x  x   v   x  x  x  1   x  x  1 u Xét trường hợp xảy x  (Loại)  u  v  x  x    v  x  x    v   x  1    v  u  v  x   x  3x  x  x   x  x   x  3x  x  3x   3x  x  x     x  1  2 x3  x    x  x   1 Kết luận phương trình cho có nghiệm x   1  Bài toán 173 Giải phương trình x4  x3  x   2 x  3x  x  x 1  x   Lời giải CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 123 2 x  3x  x   Đều kiện   x  1 Phương trình cho biến đổi dạng x  x  x  x   3x  x  3x    x  1 x  x  3x  x   x  3x  x  2   x  x  1  x  3x  x    x  1  x  1  x2  x  1  x3  3x  x  Đặt x  x   u; 2 x  x  x   v,  u  0; v   ta thu hệ phương trình u  v u  3x  x  x    x  1 v 2  u  v  x  v  u      u  v  x    v  x  x  x    x  1 u Xét trường hợp  u  v  x    v  x  2 (Vô nghiệm)  u  v  x  x  x  x   2 x  x  x   x  x   2  x  x    x  x   x  x      x  1   x  1  6 (Vô nghiệm) Kết luận phương trình đề vô nghiệm Bài toán 174 Giải phương trình x2   2 x  x  x  10 x   x  x  16 x 1  x   Lời giải Điều kiện  x  x  x  10 x   64 Phương trình cho tương đương với  x  1  x2  x  16    x  3  x  x  x  10 x     x3  15 x  16   x     x  3 x  x  x  10 x   x3  x  15 x    x  3 x  x  x  10 x   x  x  x  x    x  x  x  13x     x  3 x  x  x  x    x  x  x  13x     x  x  1   x  x  x  13 x     x  3 x  3 x  x  1   x  x  x  13x   Đặt x  x   u; x  x  x  10 x   v,  u  0; v   ta thu hệ phương trình 2  u  v u   x  x  x  13x     x  3 v  u  v   x  3  v  u     2 2 u  v  x   v   x  x  x  13 x     x  3 u Xét trường hợp o u  v   x  x  1  x  x  x  10 x   x  x  3x  x   x  x3  x  10 x   x  x  12 x    x  x   x  12 x    x  1   x  1  x2  x     24 6  24  x ;x  2  x  x    CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ o 124 u  v  x    u  v  x  3 (Vô nghiệm) Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm x   24 6  2 ;x  2 x2  x   x  x  20 x  11x   15 x  x  3x  22 Bài toán 175 Giải phương trình  x   Lời giải  x  x3  20 x  11x   Điều kiện   x  3x  x  22  Phương trình cho tương đương với x  3x  x  22    x  x3  20 x  11x   15  x  x  1  x  3x  15 x  12 x    x  x  1 x  20 x  x  11x   x  x  x  x    x  20 x  x  11   x  x  1 x  x    x  20 x  x  11   x  x     x  20 x  x  11   x  x  1 x  x  1 x  x     x  20 x  x  11 Đặt x  x   u; x  x  20 x  11x   v,  u  0; v   ta thu hệ phương trình 2  u  v u   x  20 x  x  11   x  x  1 v  u  v   x  x  1  v  u     2 2 u  v  x  x   v   x  20 x  x  11   x  x  1 u Xét trường hợp sau xảy  u  v   x  x    x  x  11x   x  x  x  x   x  x3  20 x  11x   3x  15 x  15 x     x3  x  3x  1  x   x  1  3 x  x 1  x  x  5 235  u  v  x  x    v  x  1 (Vô nghiệm) Kết luận phương trình cho có nghiệm x  235 x  3x  x  Bài toán 176 Giải phương trình  x2  11x  10 x  x  x    x   Lời giải Điều kiện  11x  10 x3  x  x   25 Phương trình cho tương đương với x  3x  x    x  3  11x  10 x  x  x     x  3x  x  x    x  3 11x  10 x  x  x   x  x3  x   x  x3  x  x  1   x  3 x  x  x  x   x  x  x  x  1   3x  x    x  x  x  x  1   x  3 3x  x  x  3   x  x3  x  x  1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 125 Đặt x  x  u; 11x  10 x3  x  x   v,  v   ta thu hệ phương trình 2  u  v u   x  x  x  x  1   x  3 v  u  v   x  3  v  u     2 2 u  v  x   v   x  x  x  x  1   x  3 u Xét trường hợp sau xảy 1 47   u  v  x    v  4x  x    v   x     (Vô nghiệm) 8 16  2  u  v  x  x  11x  10 x  x  x   x  x  x  11x  10 x  x  x   x  x  x  x     x  x  3x  x  1   x  x  1  2x2     x  x  1   x  1   2x2   2    3 x   x   1 2 2 Phương trình (2) vô nghiệm; (1) có nghiệm x  Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x  Bài toán 177 Giải phương trình 3x4  x  x  5 2 30   3 2   3 2 ;x  ;x    3 2   3 2  x    2x  x4  x  x  7x  Lời giải Điều kiện x  x  x   Phương trình cho tương đương với x  x  x    x  x  1 x5  x  x   x  x    3x  x  12 x     x  x  1 x  x  x    x  3x  12 x     x  3   x  3x  12 x     x  x  1 x  x  1  x  3   3x  x  12 x   Đặt x   u; x  x  x   v,  v   ta thu hệ phương trình 4  u  v u   3x  x  12 x     x  x  1 v  u  v   x  x  1  v  u     4 u  v  x  x   v   x  3x  12 x     x  x  1 u Xét trường hợp sau xảy  u  v  x  x    v  x  x    4v  x  x  16  2  4v  x  x   x  x   14   4v   x  1   x  1  14 (Vô nghiệm)  x  3  x  3 u  v  x   x5  x  x     5  x  x   1  x  6x   x  x  x  5 Nếu x  x  x  x  x  x  Hơn x  (1) nghiệm Trường hợp có nghiệm x  Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 126 Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực x  x3  x   x2  2x  x  3x  5x  x  x  2x2  x    x2 x  3x  x 1 x4  x2  5x  x2  x  2 x  x  3x  x  x  x  x  19    x2  3x  1 3x  x3  x  16 x  x  x3  x  26 x  4  x2  2x 1 x  x  x  25 x  x  x2  x    x  x2 3x  x  x  x   x  x3  x  x   x  x  x  3x   x2 8x  x    x  x2 4 x  3x  x  x  x2  x  3x  x  x   3x  3x  x  x  x4  x2   x  x3  x  x  x x2 x4  x3  x   11 1  x  x  x3  x  x  10 x2  12  2 x x4  x3  x  x   x4  x  x   x4  x3  x2  13 x  x2 x3  x2  1 14  x2  1 x  x3  x  x  15 16 17 18 x  x3  x  x   1 x2 x  x  x  3x  x4  x  x   x2  x   x4  x3  x  x   x  3 x  1 x4  x3  x2  x   x3  x  x  1  x2  x  x3  x  x   x2 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 x4  x3  5x  x  x  x3  x  3x  x  x  x  x  x3  x  2 x4  x3  5x  3x  x  x3  x  x  x  x  x  3x  35 36 37  1 x  1 x  x 1  x 1 3x  x  x  x  x4  x  3 x  x4  x3  3x2   2 x  10 x4  x3  5x  x x3  x  x  3 x  x  3  x  x3  x  x  x4  x3   x4  x3  3x2  3x  x  x  x3  x  x   x 1  x  x  x  11x  x  x  13x  x   x2  x  x  x  x  15 x  3x  x  x  16  x2  x 1  3x  x  3x  14 x  x3  3x  x4  x3  5x  3x  x2  x4  5x3  x2  x   x x  x  11 x  x     x  3x  x  3x  3   x2 x  3x  x  x x  x  11x  33 34 127  x2 1 x  x  x  12 x  x2   x  x  x  12 x  x  x  11x  x2   x4  x3  x2  3x  x  x  x  x  1 x 1  2 x  x3  x2  x  x  x   x  1  x  x   x  1 x  x  x  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 38 39 x3  x  5x    x2 x  2x  6x  x  x  x  18 x  10 128  x2  x x  x  13x  18 x  19 x3  x  x  40  x2  2x 2x  6x  x 1 x3  x2  x  41  x  x  2  x4  x3  x  x  2 x  x  x  x   x4  x3  x  x  42 x  x  2 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 x4  x3  x2  x  x4  x3  x  x3  3x2  x  4  x 2  x  x2  x x  3x  x  3x  x2   x  x3  x  x  xx  x4  x3  x   3x4  x2  x  x x  x  x3  3x2  x   x2  x 3x  x  x  2 x  x  x   x2  x 4x  2x  4x  x  x3  x  13 x  14  x2 x  3x  12 x  11 x  x  11x  11x   x 2 x  x  10 x  x  x3  11x  15 x   x2 x  x3  x  14 x  x4  x  x   x4  x 1 x  x  7x x  x3  x  x  x  x  x  x  x  4x  x  x3  x  x   x4  x 1 x  x  x  5x 3 x  x  x   x4  x  x  x  3x  x  x  x3  x   x4  x 1 2 x  x  3x  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 129 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập toán hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng toán điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi môn Toán; Tập Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 130 22 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 23 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 24 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối đến khối 12 cấp 25 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 26 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 27 Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 28 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 29 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 131 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 132 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM www.DeThiThuDaiHoc.com  D8 E3 F6 QUÂN ĐOÀN BỘ BINH