TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN Chủ biên: Hoàng Hữu Vinh Biên soạn: Nguyễn Quang Hiển – Nguyễn Văn Hòa Trần Minh Quang – Trần Minh Thònh HÌNH HỌC DÀNH CHO HỌC SINH 10–11–12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC LƯU HÀNH NỘI BỘ Thuvientailieu.net.vn Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn Lời nói đầu Các em học sinh thân mến! Chúng nhóm giáo viên Toán Trung tâm luyện thi Vónh Viễn có nhiều kinh nghiệm việc giảng dạy biên soạn sách tham khảo Nhằm mục đích giúp em học sinh tự học, nâng cao tập lớp 10, 11, 12 em thi vào Đại học, biên soạn Toán gồm ba Quyển 1: Hình học Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phức Quyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợp Mỗi sách gồm:  Tóm tắt lý thuyết cách có hệ thống đầy đủ  Phân loại dạng toán với cách giải dễ hiểu Nhiều tập mẫu từ dễ đến khó, có nhiều giải nhiều cách khác  Rất nhiều tập để học sinh tự luyện soạn công phu, theo sát đề thi tuyển sinh Đại học (có Đáp số Hướng dẫn) Chúng hy vọng sách giúp em thích thú, nâng cao học lực thành công kì thi tuyển sinh Đại học đến Dù cố gắng nhiều, chắn nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến em học sinh độc giả Nhóm biên soạn Hình học Thuvientailieu.net.vn PHẦN HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) Biên soạn: NGUYỄN QUANG HIỂN TRẦN MINH QUANG HOÀNG HỮU VINH Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn BÀI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy gồm hai trục vuông góc x’Ox y’Oy với hai vectơ đơn vò i j mà: i = (1, 0), j = (0, 1) y u M2 Gọi x’Ox: trục hoành i y’Oy: trục tung x' O i O: gốc tọa độ u1 x y' I TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ Đối với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ: u  (u1; u2 ) v  (v1; v2 ) Ta có: u  v1 u  v   u  v2 u  v  (u  v 1; u  v 2) k.u  (k.u1; k.u2 ) (k  R) u v phương  k  R: u  kv  u1 u =0 v1 v Tích vô hướng u.v  u v cos(u, v) u.v  u1.v1  u2 v2 Hệ quả: u  v  u.v  Độ dài vectơ: |u|  u12  u 22 y II TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Cho hệ tọa độ Oxy điểm M tùy ý Tọa độ (x; y) vectơ OM gọi tọa độ điểm M ký hiệu là: M(x; y) x: hoành độ, y: tung độ Q i x' O M i P x y' Cho hai điểm A(x A; yA) B(x B; yB) Hình học Thuvientailieu.net.vn AB  (xB  x A ; yB  y A ) AB  (xB  x A )2  (yB  y A )2 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: xI  x A  xB y  yB ; yI  A 2 x A  x B  xC   x G  G trọng tâm ABC:  y  y A  yB  yC  G B BÀI TẬP MẪU Bài Cho tam giác ABC với: A(1; 0), B(5; 0), C(2; 3) Tìm điểm sau tam giác: a) Trọng tâm G b) Trực tâm H c) Chân A’ đường cao hạ từ A xuống cạnh BC d) Tâm I đường tròn ngoại tiếp Giải a) G trọng tâm tam giác ABC nên: x  x B  xC y  y B  yC xG  A  ; yG  A 1 3 Vậy: G( ; ) b) H(x, y) trực tâm tam giác ABC: AH.BC      BH.AC  Mà: AH  (x  1; y) ; BC  ( 3; 3) ; BH  (x  5; y) ; AC  (1; 3) Nên điều kiện thành: 3(x  1)  3y    1(x  5)  3y  3x  3y  x     x  3y  y  Vậy: H(2; 1) c) A'(x, y) chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn   AA '.BC     BA ' BC phương Mà: AA'  (x  1; y); BC  (3; 3); BA'  (x  5; y) Nên điều kiện thành: 3(x  1)  3y    3(x  5)  3y  x  y  x     x  y  y  Vậy: A’(3; 2) d) I(x, y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 2 2 2   IA  IB (x  1)  y  (x  5)  y    2 2   IA  IC (x  1)  y  (x  2)  (y  3) 8x  24  x     x  3y  y  Vậy: I(3; 1) Bài Cho ba điểm: A(–3; 3), B(–5; 2), C(1; 1) a) Chứng tỏ A, B, C ba đỉnh tam giác ˆ b) Chứng tỏ BAC góc tù c) Tính diện tích tam giác ABC d) Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác ABC Giải a) Ta có: AB  (2;  1), AC  (4;  2) 2  = (2).( 2)  ( 1).4   2 Nên AB AC không phương, tức ba điểm A, B, C không thẳng hàng Do A, B, C ba đỉnh tam giác ˆ (2).(4)  (1).(2) 3   Ta có: cosBAC  cos AB, AC)  2 2 (2)  (1) (4)  (2) ˆ Nên BAC góc tù b) Diện tích tam giác ABC: ˆ ˆ 1 S  AB.AC.sinBAC  AB.AC  cos2 BAC 2  20   4(đvdt) 25  c) Ta có: S = pr Hình học Thuvientailieu.net.vn 1 Mà: p  (AB  BC  CA)  (  37  5)  (3  37) 2 S   37 r= p Bài Tuyển sinh Đại Học khối B/2011 Cho : x – y – = 0, d: 2x – y – = Tìm N thuộc d cho đường thẳng ON cắt  M thỏa OM.ON = Giải y Gọi M(m, m – 4)   N(n, 2n – 2)  d Ta có: O, M, N thẳng hàng   m m4 =0 n 2n   m(2n – 2) = n(m – 4)  mn – 2m = –4n O  (4 + m)n = 2m 2m n= 4m  4m2 4(m  4)2   [m2 + (m – 4)2]  = 64  (m  4)2   (4  m)  [m2 + (m – 4)2][m2 + (m – 4)2] = 16(m + 4)2  (2m2 – 8m + 16)2 = [4(m + 4)]2 2m2  8m  16  4(m  4)   2m  8m  16  4(m  4) 2m2  12m    2m  4m  32  (vô nghiệm) m=0  m=6 6 2 Vậy M1(0; –4), N1(0, –2) hay M1(6, 2) N2  ,  5 5 Bài Tuyển sinh Đại Học khối B/2007 Cho A(2, 2) Tìm B d1: x + y – = Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn x N -4 Ta có: OM2.ON2 = 64 d M C d2: x + y – = cho ABC vuông cân A Giải Gọi B(b, – b)  d1 C(c, – c)  d2 Ta có:  AB  (b  2,  b)  AC  (c  2,  c) ABC  cân A    AB  AC (b  2)(c  2)  b(6  c)    2 2 (b  2)  b  (c  2)  (6  c) Đặt X = b – Y = c – ta hệ (X  1)(Y  2)  (X  1)(2  Y)  2 2 (X  1)  (X  1)  (Y  2)  (2  Y) Do  XY    2 2X   2Y   Y    X X  Y     Y  X   X    X2  Y    X  X  3X     Y    X  X  1 (loại)  X    X   X  2     Y   Y  1 b  X   b   b  1 nên    c  Y  c  c  Vậy B1(3, –1), C1(5, 3) B2(–1, 3), C2(3, 5) Bài Cho ABC có trọng tâm G(0, 4), C(–2, –4) Biết trung điểm M BC nằm d: x + y – = Tìm M để độ dài AB ngắn Giải Hình học Thuvientailieu.net.vn Gọi M(m, – m)  d Do M trung điểm BC nên  xB  2x M  xC  2m    y B  2y M  yC  2(2  m)  Vậy B(2m + 2, – 2m) Do G trọng tâm ABC nên  x A  3xG  xB  xC  2m   y A  3y G  y B  y C   2m Vậy A(-2m, + 2m) Ta có AB2 = (4m + 2)2 + (–4m)2   = 32m2 + 16m + = 32  m2  m  +   2  1 1 1  = 32  m       32  m      16  4   Vậy ABmin =  m =   9  M ,   4 Bài Chứng minh bất đẳng thức: a) 4cos2 x.cos2 y  sin2 (x  y)  4sin2 x.sin2 y  sin2 (x  y)  2, x, y b) x2  xy  y2  x2  xz  z2  y2  yz  z2 , x, y, z Giải a/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với x, y xét hai vectơ: a  (2cosx.cosy; sin(x  y)); b  (2sinx.siny; sin(x  y)) Ta có: a  b  (2cos(x  y); 2sin(x  y)) Và: |a|  |b|  |a  b| Nên: 4cos2 xcos2 y  sin2 (x  y)  4sin2 xsin2 y  sin2 (x  y)  2; x, y b/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với x, y, z, xét hai vectơ:  y y z z 3 a  (x  ; ); b   x  ;   2  2  y z y z  ) Ta có: a  b  (  ; 2 2 10 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn Bài 51 Cho đường thẳng (d): x 1 y 1 z  mặt phẳng   (P):x – y – z – = Viết phương trình tắc (d) qua A(1, 1, –2) song song với mặt phẳng (P) vuông góc với (d) Đáp số: x 1 y 1 z    2 5 Bài 52 Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) phương trình hai trung tuyến x  y  z 1 x  y 2 z 2 ; Viết phương trình tắc     2 1 4 cạnh tam giác Bài 53 Cho tứ điện ABCD với A(1; 0; 2), B(1; 1; 0), C(0; 0; 1) D(1; 1; 1) a) Tính thể tích tứ điện b) Viết phương trình đường cao DH tứ điện Đáp số: x 1 y 1 z 1   1 c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ điện A Đáp số: –x + y + 3z – = Bi 54 ĐH/B02 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N Bài 55 ĐH/D05 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(0; 1; –3), điểm N(2; 3; 1) a) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua N vuông góc với MN b) Viết phương trình tổng quát mặt cầu (S) qua điểm M, điểm N tiếp xúc với mặt phẳng (P) Bài 56 Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng d1 giao tuyến mặt phẳng x – az – a = y – z + = 0; d2 giao tuyến mặt phẳng ax + 3y – = x + 3z – = a) Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 cắt b) Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 284 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn song song với đường thẳng d1.Tính khoảng cách d1 d2 a = Bài 57 DBA/04 Trong không guan với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; ) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A1, B, C viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng B1, D1 mặt phẳng (P) b) Gọi (Q) mặt phẳng qua A vuông góc với A1 C Tính điện tích thiết điện hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q) Bài 58 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(5; 2; –3) mặt phẳng (P): 2x + 2y –z + = a) Gọi M1 hình chiếu M lên mặt phẳng (P) Xác đònh toạ độ điểm M1 tính độ dài đoạn MM1 b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M chứa đường thẳng: x 1 y 1 z 5   Bài 59 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) a) Tìm toạ độ điểm A1, B1 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, A, B, O1 b) Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A cắt OA N, K Tính độ dài đoạn KN Bài 60 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) a) Xác đònh toạ độ điểm lại hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M trung điểm BC Chứng minh hai mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) vuông góc b) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N khoảng cách A) tới hai mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) không phụ thuộc vào vò trí điểm N Bài 61 Cho bốn điểm A(2; –1; 6), B(–3; –1; –4), C(5; –1; 0), D(1; 2; 1) a) Chứng minh ABC tam giác vuông Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác b) Tính thể tích tứ điện ABCD c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABCD Hình học Thuvientailieu.net.vn 285 Bài 62 Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Tâm I = (1; 0; –1), đường kính b) Đường kính AB với A(–1; 2; 1), B(0; 2; 3) c) Tâm O(0; 0; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm (3; –2; 4) bán kính d) Tâm I(3; –2; 4) qua A(7; 2; 1) e) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oxy) f) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oxz) g) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) Bài 63 a) Cho phương trình: x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = Tìm m để phương trình mặt cầu tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ b) Cho phương trình: x2 + y2 + z2 + 2xcos – 2ysin – 4z – (4 + sin2) = Tìm  để phương trình phương trình mặt cầu tìm  để bán kính mặt cầu nhỏ Bài 64 a) Cho mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = điểm M(4; 3; 0) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(–2; 1; 1) tiếp xúc với mặt phẳng (): x + 2y – 2z + = c) Cho bốn điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1),D(–1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) có tâm I nằm mặt phẳng x + y + z – = Bài 65 Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu: (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = đường thẳng  x  7  3t x  y  z  13  ; d :  y  1  2t d:   3 z   a) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) vuông góc với d b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) song song với d, d 286 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn Bài 66 Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm A(–2; 1; 4), B(0; 4; 1), x  y  11 z  C(5; 1; –5), D(–2; 8; –5) đường thẳng d:   4 a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ điện b) Tính thể tích khối tứ điện ABCD c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ điện ABCD d) Tìm giao điểm M, N đường thẳng d với mặt cầu (S) e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M, N Tính góc tạo hai mặt phẳng Bài 67 Cho điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0) a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C, D Xác đònh tâm bán kính b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A Bài 68 Cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + m = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z – 11 = Tìm giá trò m để: a) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) b) Mặ t phẳ ng (P) cắt mặ t cầ u (S) theo mộ t đường trò n có bán kính bằ ng Bài 69 Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = song song với hai đường  x   3t x  y  z  13  thẳng:   ;  y  1  2t 3 z   4x  6y  5z  103   Đáp số: 4x  6y  5z  205  Bài 70 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z + = mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 11 = Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ đến (P) nhỏ Đáp số: M(2, –4, –1) z  2t  Bài 71 Cho hai đường thẳng: (d1):  y  t ; z    x  t  (d2):  y   t Xét M thuộc z   (d1), N thuộc (d2) cho MN vuông góc với (d1) (d2) Viết phương trình mặt cầu đường kính MN Đáp số: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16 Hình học Thuvientailieu.net.vn 287 Bài 72 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4z – = ba điểm A(3; 1; 0), B(2; 2; 4), C(–1; 2; 1) mặt cầu a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  x  2y  z   Bài 73 Cho điểm I(1; 1; 1) đường thẳng (d):  2y  z   a) Xác đònh toạ độ hình chiếu vuông góc H I lên (d) b) Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I cắt (d) hai điểm A, B cho AB = 16 Đáp số: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 81 Bài 74 Cho đường thẳng (d): x y 1 z 1   2 hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 0; (Q): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với (P), (Q) Bài 75 Cho hai điểm A (1, 2, 0), B (0, 1, 3) đường thẳng x  y x 1 Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc   192 d có khoảng cách đến điểm B lớn d: Đáp số: x 1 y  z   10 1 Bài 76 Cho hai điểm A(3, 3, 1), B(0, 2, 1) đường thẳng d: Tìm điểm C d cho ABC có diện tích lớn x y 7 z   3  17 47 34  Đáp số:  ; ;   14 14  Bài 77 Cho điểm M (1, 3, –2) mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 14 a) Chứng tỏ điểm M nằm mặt cầu (S) b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M cắt (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ Đáp số: y + z – = 288 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn Bài 78 Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P): 2x – 5y + 2z + = cho đường thẳng OM tạo với trục tọa độ góc x  t  Bài 79 Cho đường thẳng d:  y   t điểm A (–5, 3, 4) z   t  Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc d hợp với mặt phẳng (Oyz) góc 45o x  5  t  Đáp số: y   t z   Bài 80 Cho hai mặt phẳng : x + 2y + 3z – = 0; : 3x – 2y – z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến ,  cắt trục Ox, Oz A,B cho OA = OB 5x  6y  5z   Đáp số:  5x  2y  5z  11  Bài 81 Cho hai đường thẳng d: x 1 y 1 z 1 x y 1 z 3 ; d :     2 1 2 điểm điểm M(0, –1,2) a) Chứng minh d, d M nằm mặt phẳng b) Gọi I giao điểm d d Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d, d A, B cho ABI cân A Đáp số: x y 1 z2   14 22 x   t  Bài 82 Cho đường thẳng d:  y  4 mặt phẳng z   2t  : x – y + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1, 0, – 2), song song d hợp với  góc 45o Đáp số: y = 0, –8x + y + 4z + 16 = Bài 83 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(–2, 0, 1), cắt trục Oy tạo với trục Oy góc 45o Đáp số: x2 y z 1   1 Hình học Thuvientailieu.net.vn 289 Bài 84 Cho hai điểm A(–2, 1, 3), B(1, 0, 4) Tìm điểm C mặt phẳng (Oxy) để ABC có chu vi nhỏ  5  Đáp số: C  ; ; 0 7  x 1 y z1 hai điểm A(3, 0, 2),   2 B(1, 2, 1) Tìm điểm I  d để vectơ IA  IB có độ dài nhỏ Bài 85 Cho đường thẳng d:  14 5 13  Đáp số: I  ; ;  9  Bài 86 Cho mặt phẳng : x + y + z + = hai điểm A(3, –1, 1), B(–2, 0, –3) Tìm điểm M  để:   a) MA + MB nhỏ Đáp số:   ;  ;  2  4   5  b) MA – MB lớn Đáp số:   ; ;  3  2    c) MA  MB nhỏ Đáp số:   ;  ;  2  6  Bài 87 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (–1, 2, 3) cho (P) cắt trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C độ dài đường cao OH tứ điện OABC lớn (O gốc tọa độ) Đáp số: x – 2y – 3z + 14 = x 1 y 1 z   mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2 2x – 4y – 6z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d cắt (S)  theo đường tròn có điện tích Bài 88 Cho đường thẳng d: x  z   Đáp số:  53x  48y  43z  101  Bài 89 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A (1, 0, 0), B (0, 2, 1) thỏa điều kiện: a) Tiếp xúc mặt cầu (S) (x – 1)2 + y2 + (z + 1)2 = Đáp số: x + z – = 0,3x + 4y – 5z – = b) Cắt trục Oz điểm D cho OD = 290 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn Đáp số: 4x + y + 2z – = 0, 4x + 3y – 2z – = c) Hợp với mặt phẳng (P): x – y + 10 = góc 60o Đáp số: x + z – = d) Cách gốc O khoảng lớn Đáp số: 5x + 2y + z – = e) Hợp với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ Đáp số: x – 2y + 5z – = Bài 90 Cho ba điểm A (1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (ABC) cho M cách ba mặt phẳng tọa độ Bài 91 (CĐ.08) Cho điểm A (1, 1, 3) đường thẳng d: x y z 1   1 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc d b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho MOA cân O Bài 92 ĐHB/2010 Cho ba điểm A (1, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) (b > 0, c > 0) mặt phẳng (P): y – z + = Xác đònh b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc mặt phẳng (P) khoảng cách từ gốc đến mặt phẳng (ABC) x y 1 z Cho đường thẳng :   Xác đònh tọa độ điểm M trục Ox 2 cho d(M, ) = OM Bài 93 ĐH/D2010 Cho mặt phẳng (P): x + y + z – = (Q): x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ gốc O đến (R) Bài 94 Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 đường thẳng x  y  z  10 d: Tìm tọa độ điểm M  (S) cho đường thẳng   2 OM vuông góc đường thẳng d OM = 11 (O gốc tọa độ)  13 9 17  Đáp số: (1, –3, 1);  ; ;  7 7  Hình học Thuvientailieu.net.vn 291 x  m  Bài 95 Cho đường thẳng 1:  y  m  (t tham số) hai mặt phẳng: z  1  t  (P): mx + y – mz – = 0; (Q): x – my + z – m = a) Tìm m để hai mặt phẳng (P) (Q) cắt b) Gọi 2 giao tuyến (P) (Q) Viết phương trình tham số đường thẳng 2 c) Tìm m để d(Oz, 1) = d(Oz, 2) Đáp số: m = Bài 96 Cho hai đường thẳng: d1 giao tuyến hai mặt phẳng: mx + 3y – = 0; x + 3z – = d2 giao tuyến hai mặt phẳng: x – mz – m = 0; y – z + = Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt điểm I cho OI = (O gốc tọa độ) Đáp số: m = 107 x   m y  2m z 1   m2 2 m3 (m  –2 m  –3) Chứng minh m thay đổi, (dm) nằm mặt phẳng cố đònh Đáp số: 2x – y – 2z + = x 1 y 2 z 3 Bài 98 Cho đường thẳng d1: hai điểm   A(5, 4, 3), B(6, 7, 2) a) Viết phương trình đường thẳng d2 qua hai điểm A, B Chứng minh d1 d2 chéo Bài 97 Cho đường thẳng (dm): b) Tìm điểm C  d1 cho ABC có điện tích nhỏ Tính giá trò nhỏ Đáp số: C(3, 5, 4), 66 Bài 99 Cho đường thẳng d: x y 1 z  ba điểm A(1, 0, –1),   1 2 B(2, 3, –1), C (1, 3, 1) a) Tìm điểm D d cho tứ điện ABCD tích b) Viết phương trình đường thẳng qua trực tâm H ABC vuông góc mặt phẳng (ABC) 292 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn Đáp số: x 1 y  z 1   2 Bài 100 Cho ba điểm A(1, –2, –5), B(1, –1, 0), C(3, –2, 2) a) Gọi E điểm đối xứng A qua đường thẳng BC; F điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oxz) Viết phương trình tham số đường thẳng EF b) Tìm m để mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y + – 2m = tiếp xúc đường thẳng EF Tính khoảng cách từ E đến tiếp điểm (S) đường thẳng EF Bài 101 Cho hai điểm A(6, 2, –5), B(–4, 0, 7) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) điểm A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Q): 5x + y – 6z + = cho đường thẳng qua M, vuông góc (Q) cắt (S) hai điểm, đồng thời khoảng cách hai điểm lớn  x   2t  Bài 102 Cho mặt cầu (S): x + y + z = đường thẳng d:  y   t z  2  2t  2 Tìm tọa độ điểm M d cho đường thẳng  qua M, vuông góc mặt phẳng (P): x – 2z + = cắt (S) điểm A, B thỏa AB = Bài 103 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 10z – 19 = 0, đường x  y  z 1 thẳng d: điểm A(–2, 1, 2), B(0, 4, 1) Tìm tọa   1 độ điểm M d cho đường thẳng  qua M, song song đường thẳng AB cắt (S) điểm C, D thỏa CD = 14 Bài 104 Cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = mặt phẳng (P): –6x + 2y – 2z + 15 = Tìm tọa độ điểm M  (S) cho tiếp tuyến M với (S) qua gốc tọa độ O vuông góc mặt phẳng (P) x   t  Bài 105 Cho mặt phẳng (P): y – 3z + = đường thẳng d:  y   t z  3  2t  Tìm điểm A (P) điểm B d cho đường thẳng AB vuông góc mặt phẳng (P) AB = 10 Bài 106 Cho mặt phẳng (P): 6x + 2y – 5z – 25 = hai đường thẳng Hình học Thuvientailieu.net.vn 293 x   t  d1:  y  2t ; d z  4  t  x   t  : y  3t   z  t  Tìm điểm A d1 điểm B d2 cho đường thẳng AB song song mặt phẳng (P) AB = 26 x 1 y  z  Tìm điểm M  d   1 điểm N  Oy cho MN = khoảng cách từ N đến mặt phẳng (Oxz) Bài 107 Cho đường thẳng d:  x  2  t  Bài 108 Cho đường thẳng d:  y   3t z   2t  ba điểm A(0, 2, 0), B(1, 3, –1), C(1, 1, –3) a) Tìm điểm M d để thể tích tứ điện ABCM 11 b) Tìm điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết điểm S d mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng đáy góc 60o Bài 109 Cho khối chóp S.ABC có A(1, 2, 0), B(–2, 2, 0), C(–5, 1, 0) đỉnh thuộc trục Oz cho mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng đáy góc 30o Tính thể tích khối chóp Bài 110 Cho hai điểm A(–3, 1, –2), B(1, –1, 2) mặt phẳng (P): x – (2m + 1)z – m2 + m – = Gọi A điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oyz); B điểm đối xứng B qua trục Oz a) Tìm m để đường thẳng AB song song mặt phẳng (P) b) Tìm m để mặt phẳng (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB c) Tìm m để đường thẳng AB tạo với mặt phẳng (P) góc 45o Bài 111 Cho ba điểm A(1, –2, 0), B(–2, 1, 3), C(4, –2, –3) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x – 2z + = cho: a) MA  MB  MC nhỏ b) 4MA  MB  MC nhỏ 294 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn c) MA  2MB  MC nhỏ x  t  Bài 112 Cho đường thẳng d:  y   t ; d: z   2t   x   2t   y   t z   2t   5  điểm I  , ,  2  Chứng minh d, d I nằm mặt phẳng Gọi A giao điểm d d;  đường thẳng qua I cắt d, d hai điểm M, N (khác A) Viết phương trình đường thẳng  biết: a) I trung điểm MN b) IMN vuông M c) Khoảng cách từ A đến  lớn d) AM  Xác đònh tọa độ hai điểm M, N AN x  t  x   2t    Bài 113 Cho hai đường thẳng d:  y   2t d:  y   t z   4t  z  t   a) Chứng minh d d không cắt vuông góc b) Viết phương trình đường thẳng d1 song song trục Oz cắt hai đường thẳng d, d c) Viết phương trình đường thẳng d2 vuông góc mặt phẳng (Oxz) cắt hai đường thẳng d, d d) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc hai đường thẳng d, d 2 16   34   10   Đáp số:  x     y    z    21   21   21   Bài 114 Cho ba điểm A(1, –2, 3), B(–1, 2, –3), C(1, 3, –4) a) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC Tìm tọa độ tiếp điểm b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng BC qua điểm A, B c) Viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A, B có tâm thuộc trục Ox Hình học Thuvientailieu.net.vn 295 d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy) e) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm cách mặt phẳng (ABC) đoạn f) Viết phương trình mặt cầu tâm A chắn trục Ox đoạn thẳng có độ dài độ dài đoạn BC Bài 115 Cho ba điểm A(2,0, –1), B(–1,3, –3), C(5, –3, –5) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho: a) Khoảng cách từ M đến trọng tâm ABC nhỏ Đáp số: M(2, 0, 0) b) Độ dài vectơ 2MA  5MB  5MC nhỏ Đáp số: M(2, 0, 0) c) Thể tích tứ điện MABC lớn biết OM = (O gốc tọa độ)  3  ; ; 0 Đáp số: M     Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (P): x – 2y – z + = cho độ dài vectơ NA + NB + NC nhỏ  11 13 29  Đáp số: N  ; ;   12 12  x  t  Bài 116 Cho mặt cầu (S): x + y + z = đường thẳng d:  y   t z   t  2 a) Tìm tâm bán kính đường tròn (C) giao tuyến mặt phẳng (P): z –1 = mặt cầu (S) b) Viết phương trình mặt cầu (S1) chứa (C) chắn đường thẳng d 14 đoạn có độ dài Đáp số: x2 + y2 + (z + 3)2 = 25 c) Viết phương trình mặt cầu (S ) chứa (C) chắn đường thẳng d đoạn có độ dài nhỏ Đáp số: x2 + y2 + (z – 2)2 = 10 296 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn x  x y 1 z 1  Bài 117 Cho hai đường thẳng: d: d:  y  t   1 z   t  a) Chứng minh d d chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song d Đáp số: x – y + z – = c) Điểm M di động d, hai điểm A B di động d cho AB = Tính giá trò nhỏ diện tích tam giác MAB Đáp số: Bài 118 Cho ba điểm A(4, –1, 2), B(1, 2, 2), C(1, –1, 5) a) Tính thể tích khối tứ điện giới hạn mặt phẳng (ABC) ba mặt 125 phẳng tọa độ Đáp số: b) Viết phương trình trục dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x   t  Đáp số: y  t z   t  c) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD tứ điện Đáp số: D(4, 2, 5); (0, –2, 1)  Giải tập sau phương pháp tọa độ: Bài 119 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC có chiều cao h Biết AB vuông góc BC Tính thể tích khối lăng trụ theo h Bài 120 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 121 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Tìm điểm I thuộc cạnh AA cho mặt phẳng (BDI) cắt hình lặp phương theo thiết điện có điện tích nhỏ Bài 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 60o, a SA = SB = AD = a) Tính thể tích khối chóp b) Tính góc hai đường thẳng SB AD Bài 123 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a; BAD = 60o, đường cao SO hình chóp a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Hình học Thuvientailieu.net.vn 297 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Phần 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) Bài PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) Bài ĐƯỜNG THẲNG 15 Bài ĐƯỜNG TRÒN 38 Bài ELIP 58 Bài HYPERBOL 66 Bài PARABOL 71 Phần 2: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 78 Bài QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC 79 Bài QUAN HỆ VUÔNG GÓC 82 Bài CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH 99 Phần 3: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (Oxyz) 298 155 Bài HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 156 Bài MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 175 Bài MẶT CẦU 191 Bài ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 198 BÀI TẬP ÔN TỔNG HP 254 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN Thuvientailieu.net.vn