ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Đặng Quang Á Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Đặng Quang Á, người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực luận văn Em xin phép gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Toán - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Em xin cảm ơn thầy, cô giáo, anh chị bạn chuyên nghành Toán ứng dụng động viên ý kiến trao đổi quí báu thân em thời gian qua Lời cảm ơn sâu sắc đặc biệt xin gửi đến gia đình người thân điều tốt đẹp dành cho sống, học tập nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế, thế, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2015 Học viên Hoàng Mạnh Tuấn Mục lục LỜI CẢM ƠN Mở đầu Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính 17 1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học 23 1.4 Lược đồ sai phân xác 33 1.5 Lược đồ sai phân khác thường 40 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 2.1 44 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa rời rạc hóa không địa phương 44 2.1.1 Mở đầu 45 2.1.2 Các lược đồ bảo toàn tính chất đơn điệu 46 2.1.3 Xây dựng vài lược đồ sai phân khác thường 49 2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai 2.2 2.3 53 Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có ba điểm bất động 57 2.2.1 Đặt toán 57 2.2.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường 60 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường cách tái chuẩn hóa mẫu số 64 2.3.1 Kết 64 2.3.2 Một số ứng dụng 69 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 3.1 3.2 72 Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều 72 3.1.1 Các kết 73 3.1.2 Thử nghiệm số trường hợp hai chiều 75 3.1.3 Thử nghiệm số trường hợp ba chiều 82 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai 90 3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ xác cấp hai 90 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera 3.2.3 92 Các thử nghiệm số 101 Tài liệu tham khảo 116 Mở đầu Việc nghiên cứu phương pháp giải gần phương trình vi phân vấn đề quan trọng Toán học nói chung Toán học tính toán nói riêng Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết toán học, nhà toán học tìm nhiều phương pháp giải gần phương trình vi phân Một kỹ thuật truyền thống sử dụng rộng rãi việc giải gần phương trình vi phân, đặc biệt phương trình vi phân đạo hàm riêng sử dụng lược đồ sai phân bình thường (Standard Difference Scheme) Các lược đồ sai phân bình thường xây dựng dựa việc rời rạc hóa đạo hàm xuất phương trình vi phân công thức sai phân Tuy nhiên, nhiều trường hợp hạn chế lược đồ sai phân bình thường không bảo toàn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng Hiện tượng nghiệm phương trình sai phân (thu từ lược đồ sai phân) không phản ánh xác, hay xác không bảo toàn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng gọi chung tượng không ổn định số (Numerical Instabilities, xem [13, 16]) Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số x (t) = −y(t), x(0) = r, y (t) = x(t), y(0) = Trong trường hợp này, ta dễ dàng nghiệm hệ có tính chất x2 (t) + y (t) = r2 , ∀t, tức là, quỹ đạo tương ứng với đường tròn tâm O(0, 0), bán kính r2 Nếu sử dụng lược đồ sai phân bình thường lược đồ thu từ phương pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thấy rằng: Phương pháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương pháp Euler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào Chỉ có phương pháp hình thang bảo toàn tính chất bất biến toán Đây ví dụ đơn giản cho tượng bất ổn định số Các phân tích cho thấy rằng, tượng không ổn định số xảy ta sử dụng kỹ thuật tinh vi để xây dựng lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương pháp Taylor phương pháp Runge - Kutta Nhìn chung, lược đồ sai phân bình thường bảo toàn tính chất nghiệm phương trình vi phân ta sử dụng bước lưới h nhỏ Tức là, tượng không ổn định số xảy bước lưới h chọn lớn giá trị h∗ Thông thường giá trị h∗ nhỏ Vì thế, việc sử dụng lược đồ sai phân bình thường lợi giải phương trình vi phân đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn hệ động lực học, thời gian tiến ∞ Các phân tích rằng, tượng không ổn định số xảy phương trình sai phân (rời rạc) không bảo toàn tính chất ổn định tuyến tính cho điểm bất động hay gọi nghiệm điểm cân phương trình vi phân (liên tục) Chẳng hạn, phương trình sai phân phương trình vi phân tập hợp điểm bất động Các phương pháp Runge - Kutta phương pháp Taylor thường sinh thêm điểm bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới) Trong trường hợp phương trình sai phân phương trình vi phân có tập hợp điểm bất động xảy trường hợp y(t) ≡ y¯ điểm ổn định tuyến tính phương trình vi phân yk ≡ y¯ lại điểm ổn định tuyến tính phương trình sai phân tương ứng Tổng quát hơn, tượng bất ổn định số xảy nghiệm phương trình sai phân không thỏa mãn điều kiện mà nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn Các tính chất quan tâm tính chất đơn điệu, tính bị chặn, tính dương, tính tuần hoàn tính chất bất biến Nói chung, sử dụng cỡ bước lớn lược đồ sai phân bình thường không bảo toàn tính chất Trong phần trình bày luận văn, phân tích rõ vấn đề Lược đồ sai phân khác thường được đề xuất R E Mickens vào năm 1980 Lược đồ sai phân khác thường lược đồ sai phân xây dựng dựa quy tắc xác định, quy tắc đưa R E Mickens dựa phân tích tượng không ổn định số xảy sử dụng lược đồ sai phân bình thường Hai quy tắc quan trọng việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường Các đạo hàm xuất phương trình vi phân nên rời rạc hóa công thức phức tạp công thức rời rạc hóa thông thường, chẳng hạn, công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm Các số hạng phi tuyến xuất vế phải phương trình vi phân nên rời rạc hóa không địa phương, tức rời rạc hóa hàm số dựa giá trị hàm số điểm lưới rời rạc thay rời rạc hóa địa phương lược đồ sai phân bình thường Đây khác biệt lớn lược đồ sai phân bình thường lược đồ sai phân khác thường Ưu lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường bảo toàn tính chất nghiệm toán với cỡ bước h > Tuy nhiên, nhược điểm lược đồ khác thường khó đưa lược đồ có cấp xác cao lược đồ bình thường thời gian thực tính toán lâu đạo hàm hàm vế phải rời rạc hóa phức tạp Vì thế, việc sử dụng lược đồ khác thường có lợi giải toán đoạn tìm nghiệm lớn cần bảo toàn xác tính chất nghiệm toán Hiện nay, lược đồ sai phân khác thường nhà toán học xây dựng sử dụng rộng rãi cho phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình đạo hàm thường toán biên Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn, chủ yếu tập trung vào việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Nội dung luận văn hệ thống lại kết tiêu biểu tác giả nước vòng 20 năm trở lại Cấu trúc luận văn bao gồm ba chương Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường Trong chương này, nhắc lại số kiến thức phương trình vi phân phương pháp số giải phương trình vi phân Trên sở kết hợp việc phân tích tượng không ổn định số xảy sử dụng lược đồ sai phân bình thường việc xây dựng lược đồ sai phân xác (exact scheme) đưa quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ sai phân khác thường Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân Chương đề cập việc xây dựng lược đồ sai phân giải số phương trình vi phân trường hợp chiều Các lược đồ xây dựng dựa hai cách rời rạc hóa không địa phương lựa chọn cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân Chương cuối này, dành cho việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất hệ động lực học Các mô hình xét đến mô hình thú - mồi (predator - prey system), mô hình Vắc Xin (Vaccination model) hệ Lotka - Volterra Trong phần trình bày có thử nghiệm số kèm để minh họa cho tính hiệu lược đồ xây dựng Mặc dù thân cố gắng thời gian thực có hạn lực thân nhiều hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Chương Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần trình bày luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần toán giá trị ban đầu phương trình vi phân cấp một, hay gọi toán Cauchy  dy  Dy = = f (t, y), t0 ≤ t ≤ T, dt   y(t0 ) = y0 , y, f ∈ Rn , (1.1) hàm y(t) : [t0 , T ] → Rn hàm số cần xác định, giá trị ban đầu y0 ∈ Rn hàm vế phải f : [t0 , T ] × Rn → Rn cho trước Ta giả thiết thời gian ban đầu t0 hữu hạn, thời gian T tiến đến vô hệ động lực học Để đơn giản, ta giả sử t0 = Trong trường hợp f = f (y) phương trình gọi dừng (autonomous) Không tính tổng quát ta giả thiết phương trình dừng Vì phương trình không dạng dừng ta đưa thêm biến phụ yn+1 = t đặt yˆ = (y1 , y2 , , yn+1 ) Khi phương trình viết lại dạng T yˆ = fˆ(ˆ y ), fˆ(ˆ y ) = f (y), (1.2) Các kết liên quan đến toán giá trị ban đầu (1.1) tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu ban đầu trình bày hầu hết giáo trình phương trình vi phân (xem [3, 9, 10]) nên không trình bày lại Từ hết phần Tài liệu tham khảo [1] R Anguelov, J M -S Lubuma, ”Nonstandard finite difference method by nonlocal approximations”, Mathematics and Computers in Simulation, 61 (2003), pp 465 − 475 [2] A J Arenas, G G Parra, M B Chen - Charpentier, ” A nonstandard numerical scheme of predictor - corrector type for epidemic models”, Computers and Mathematics with Applications, 59 (2010), pp 3740 − 3749 [3] U M Ascher, L R Petzold, ”Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations”, (1998) Philadelphia [4] F Brauer , C Castillo - Chavez, ”Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology”, (2001) Springer, New York [5] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Stability - Preserving Finite - Difference Methods For General Multi - Dimensional Autonomous Dynamical Systems”, International Journal Of Numerical Analysis And Modeling, Volume 4, Number 2, pp 280 − 290 [6] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Nonstandard finite difference schemes for general two - dimensional autonomous dynamical systems”, Applied Mathematics Letters, 18(2005), pp 769 − 774 [7] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Positive and elementary stable nonstandard numerical methods with applications to predator - prey models”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 189(2006), pp 98 − 108 116 [8] K F Gurski, ”A simple construction of nonstandard finite - difference schemes for small nonlinear systems applied to SIR models”, Computers and Mathematics with Applications, 66(2013), pp 2165 − 2177 [9] E Hairer, G Wanner, ”Solving Ordinary Differential Equation I, Nonstiff Problems”, (1991) Springer-Verlag, Berlin [10] E Hairer, P S Norsett, Wanner G, ”Solving Ordinary Differential Equation II, Stiff and Differential - Algebraic-Problems”, (1991) SpringerVerlag, Berlin [11] H Kojouharov , B Welfert, ” A nonstandard Euler schemes for y + g(y)y + f (y)y = 0, Journal Computational and Applied Mathematics, 151(2003), pp.335 − 353 [12] R E Mickens, ” Difference Equations; Theory ans Applications”, (1990) New York [13] R E Mickens, ”Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equations”, (1994) World Scientific, Singapore [14] R E Mickens, ” Finite - Difference Schemes Having the Correct Linear Stability Properties for All Finite Step - Sizes III ”, Computers Math Applic ”, Vol 27(1994), No 4, pp 77 − 84 [15] R E Mickens, ” Discretizations of nonlinear differential equations using explicit nonstandard methods ”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 110(1999), pp 181 − 185 [16] R E Mickens, ”Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes”, (2000) World Scientific, Singapore [17] R E Mickens, ” Numerical Study Of A Non - Standard Finite - Difference Scheme For The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2000)250(5), pp 955 − 963 117 [18] R E Mickens, ” Analytical And Numerical Study Of A Non - Standard Finite Difference Scheme For The Unplugged Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2001)245(4), pp 757 − 761 [19] R E Mickens, ” Step - Size Dependence Of The Period For A Forward - Euler Scheme Of The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2002)258(1), pp 199 − 202 [20] R E Mickens, ” A nonstandard finite - difference scheme for the Lotka Volterra system”, Journal of Sound and Vabration, (2003)45, pp 309 − 314 [21] R E Mickens, ” A numerical integration technique for conservative oscillators combining nonstandard finite - difference methods with a Hamilton’ s principle ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)285, pp 477 − 482 [22] R E Mickens, ” Exact finite difference scheme for second - order, linear ODEs having constant coefficients ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)287, pp 1052 − 1056 [23] S M Moghadas, M E Alexander, B D Corbett, ” A nonstandard numerical scheme for a generalized Gauss - type predator - prey model”, PHYSICA D, 188(2004), pp.134 − 151 [24] B Nuriyev, T Ergenc, ” Exact solution of two - dimensional Lotka Volterra equations, Department of Mathematics, METU, 06531, Ankara, Turkey [25] L -I W Roeger, ” Exact nonstandard finite-difference methods for a linear system—the case of centers ”, Journal of Difference Equations and Applications, 14(2008), pp 381 − 389 [26] L -I W Roeger, ” Exact finite - difference schemes for two - dimensional linear systems with constant coefficients”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, 219(2008), pp 102 − 109 118 [27] L -I W Roeger, ” General nonstandard finite - difference schemes for differential equations with three fixed - points”, Computers and Mathematics with Applications, 57(2009), pp 379 − 383 [28] L -I W Roeger, ”Nonstandard finite difference schemes for differential equations with n + distinct fixed - points”, Journal of Difference Equations and Applications, 15(2009), pp 133 − 151 [29] L -I W Roeger, ” Dynamically Consistent Discrete - Time Lotka Volterra Competition Models”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, (2009), pp 650 − 658 [30] A M Stuart, A R Humphries ” Dynamical Systems and Numerical Analysis”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, (1998), Cambridge University Press, New York [31] J F Solis, B C Charpentier, ” Nonstandard Discrete Approximations Preserving Stability Properties of Continuous Mathematical Models”, Mathematical and Computer Modeling, 40(2004), pp.481 − 490 119 [...]... nonlinear systems applied to SIR models”, Computers and Mathematics with Applications, 66(2013), pp 2165 − 2177 [9] E Hairer, G Wanner, ”Solving Ordinary Differential Equation I, Nonstiff Problems”, (1991) Springer-Verlag, Berlin [10] E Hairer, P S Norsett, Wanner G, ”Solving Ordinary Differential Equation II, Stiff and Differential - Algebraic-Problems”, (1991) SpringerVerlag, Berlin [11] H Kojouharov ,... Equations”, (1998) Philadelphia [4] F Brauer , C Castillo - Chavez, ”Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology”, (2001) Springer, New York [5] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Stability - Preserving Finite - Difference Methods For General Multi - Dimensional Autonomous Dynamical Systems”, International Journal Of Numerical Analysis And Modeling, Volume 4, Number 2, pp 280 − 290 [6] T D Dimitrov,... Applications”, (1990) New York [13] R E Mickens, ”Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equations”, (1994) World Scientific, Singapore [14] R E Mickens, ” Finite - Difference Schemes Having the Correct Linear Stability Properties for All Finite Step - Sizes III ”, Computers Math Applic ”, Vol 27(1994), No 4, pp 77 − 84 [15] R E Mickens, ” Discretizations of nonlinear differential equations... finite - difference methods with a Hamilton’ s principle ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)285, pp 477 − 482 [22] R E Mickens, ” Exact finite difference scheme for second - order, linear ODEs having constant coefficients ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)287, pp 1052 − 1056 [23] S M Moghadas, M E Alexander, B D Corbett, ” A nonstandard numerical scheme for a generalized Gauss - type predator... Systems and Numerical Analysis”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, (1998), Cambridge University Press, New York [31] J F Solis, B C Charpentier, ” Nonstandard Discrete Approximations Preserving Stability Properties of Continuous Mathematical Models”, Mathematical and Computer Modeling, 40(2004), pp.481 − 490 119