Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tứ diện kinh điển, nguồn gốc - cách hoá giải D’ oc u A' C' oc c om (Cẩm nang ôn thi đại học) TG: Ngô Viết Văn “Toán học đường dành riêng cho vua chúa”- câu nói nhà toán học Hy Nạp cổ xưa nhắc nhở muốn lĩnh hội toán học tự thân phải cố gắng học tập, cách khác Tôi muốn nhắc lại điều có nhiều bạn muốn giỏi hình học không gian (một phần khó quan trọng toán) lại muốn bỏ thời gian công sức Tất nhiên học tập phương pháp, chắn gặt hái nhiều kết đến không ngờ ! Khi ngồi giảng đường đại học thầy thường nhận định: Những khó khăn nhất, mạnh mẽ nhất, lớn lao nhất, thiêng liêng nhất, thông thường gần với dễ dàng, yếu đuối, nhỏ bé, giản dị đơn sơ Cái khó ta nhìn hay không! Chính lúc ta nhắm mắt lại, không bám víu đôi tay cho bước thực công việc Đó tìm phương pháp Hình khối có hình dạng khác nhau, lạ kỳ người ta chia nhỏ khối cuối toàn hình tứ diện-hình khối đơn giản Để vẽ tứ diện chẳng có khó Ta vẽ y hệt tứ giác đường chéo nét liền, đường chéo nét đứt, nét đứt để cạnh bị mặt khác che khuất mắt ta Các bạn dùng sáu que tăm xếp lại bốn tam giác bốn mặt tứ diện (hình dưới) Ta quan tâm đến tứ diện “kinh điển” thứ I) TỨ DIỆN VUÔNG B' D C B gb A B kh on Như tứ diện vuông góc hình hộp chữ nhật Từ người ta bắt vẽ tứ diện vuông với ngôn từ sau: Cho tam giác ABD vuông A, đường thẳng d qua A vuông góc với (ABD), d lấy điểm A’ … Mấu chốt tứ diện (1) cạnh bên vuông góc đáy, (2) đáy tam giác vuông, (3) cạnh bên vuông góc với đáy góc vuông đáy, đặc trưng quan trọng việc tưởng tượng hình đọc đầu Mặt (A’BD) gọi mặt huyền ba mặt lại gọi mặt vuông Phải nghịch đảo bình phương đường cao ứng với mặt huyền (đường qua A vuông góc (A’BD)) tổng bình phương nghịch đảo cạnh góc vuông Chân đường cao nằm đâu mặt huyền? ta xét tập sau: Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b, OC=c Ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Chứng minh tứ diện vuông tứ diện trực tâm (Tức tứ diện có cặp cạnh đối vuông góc) Điều ngược lại có không? Chứng minh OH vuông góc với (ABC) H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC nhọn chân đường cao nằm mặt huyền (mặt (ABC)) Chứng minh (AB+BC+CA)2  6(OA2+OB2+OC2) 1 1 Chứng minh    , với h đường cao tứ diện ứng với mặt huyền h a b c Chứng minh diện tích mặt vuông (mặt chứa O) tích diện tích mặt huyền diện tích hình chiếu nên mặt huyền Bạn tải tài liệu trang : www.k2pi.net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác oc c om Chứng minh định lý Pytago tứ diện vuông Chứng minh a tan A  b tan B  c tan C với A, B, C ba góc mặt huyền Chứng minh đẳng thức sau: 1 a    a b c h b S1  S  S  h với S1, S2, S3 diện tích ba mặt vuông ab bc ca c    3h c a b 10 Chứng minh rằng: a VOABC  abc 2 2 2 b S ABC  a b b c  c a abc c h  2 a b b c  c a Khi cạnh bên vuông góc với đáy góc vuông cho tứ diện vuông cạnh bên vuông góc với đáy góc nhọn hình nào? (xem hình vẽ) II) TỨ DIỆN BỐN MẶT VUÔNG D’ C’ D oc u B' A' C A B kh on gb Ta thấy ba mặt A’AC,A’AB, ABC ba tam giác vuông, mặt thứ tư BCA’ ? thấy đường nối từ mặt trước tới mặt sau vuông góc với mặt trước hình hộp, vuông góc với (ABA’) phần mặt trước, nên tam giác BCA’ vuông B Tóm lại tứ diện bốn mặt vuông Hình vẽ ta tưởng tượng đầu cho tứ diện có đáy tam giác vuông cạnh bên vuông góc với đáy vị trí góc nhọn Từ cách nhìn tứ diện bốn mặt vuông tổng thể hình hộp chữ nhật ta dự đoán tính chất: cạnh A’C (cạnh huyền) ứng với đường chéo hình hộp chữ nhật có bình phương tổng bình phương ba kích cỡ AA’, AB, AC Tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, mặt phẳng qua A vuông góc với đường chéo hình hộp A’C xác định nào? Bài tập 2) Cho tứ diện ABCD có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh bên AD vuông góc với đáy biết AD=a, AB=b, BC=c Chứng minh rằng: bốn mặt tứ diện tam giác vuông Chứng minh rằng: CD2=DA2+AB2+BC2 Tình thể tích diện tích toàn phần tứ diện Gọi (P) mp qua A vuông góc với DC K, cắt DB H a Chứng minh rằng: Tam giác AKH tam giác vuông H b Chứng minh rằng: Tứ diện DAHK có mặt tam giác vuông Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện DAKH Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH Nếu đáy tam giác không vuông (như hình vẽ) tứ diện có tính chất gì? Bạn tải tài liệu trang : www.k2pi.net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác III) TỨ DIỆN CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY VÀ ĐÁY LÀ TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG S K B H om A A’ kh on gb oc u oc c C Ta chẳng dại không tự cho ABC tam giác để dễ dàng dự đoán tính chất, là: Hai đường cao mặt đáy “mặt nghiêng” tương ứng gặp điểm A’ a Hai cạnh bên nằm mặt “nghiêng ” SC, SB vuông góc với hai mặt “kẹp giữa” tương ứng (HCK) (KEH) b Cạnh đáy “giữa” BC vuông góc với mặt “kẹp giữa” tương ứng (SAA’) c Đường nối hai trọng tâm HK vuông góc với “ mặt nghiêng” (SBC) d Đường nối hai trọng tâm kết hợp hai đường nối chân đường cao nằm mặt kẹp giữa, gặp điểm nằm cạnh bên vuông góc SA tạo đoạn tỉ lệ Bài tập 3) Cho S thuộc tia At, với At  (ABC) Gọi I, K trực tâm tam giác SBC, ABC I Chứng minh rằng: (BME)  (SAC); (CNF)  (SAB); (APS)  (SBC) KI  (SBC) EM, FN, IK, SA đồng quy Q Tứ diện SQBC có cặp cạnh đối diện vuông góc với SA.AQ=AK.AP=AN.AB=AM.AC Tứ giác BCJH nội tiếp C/m: A, B, C, H, J thuộc mặt cầu Nếu tam giác ABC không cân JH qua điểm cố định S  St Gọi điểm cố định T C/m: góc TAB= góc TCA II Giả sử tam giác ABC cạnh a Tìm S  At để SQ VSQBC nhỏ IS Biết  Tính SQ theo a IP Biết SA=h Tính khoảng cách từ A đến (SAC) Khi S  At Chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp SQBC thuộc đường thẳng cố định Lời kết: Tóm lại viết đề cập đến loại tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy với đáy tam giác vuông tam giác không vuông, đáy tam giác vuông lại chia làm hai dạng cạnh bên vuông góc vuông góc nhọn Học từ tứ diện ta dễ dàng thấy ứng dụng định lý chương vuông góc Chúng ta tiếp cận với tư kỹ thuật chứng minh vuông góc Đồng thời cho ta cách tưởng tượng thấy hình đọc đầu nhờ việc tìm nguồn cội tứ diện Một nhóm tứ diện khác cạnh bên không vuông góc với đáy hy vọng trình bày số báo tới Bạn tải tài liệu trang : www.k2pi.net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác HƯỚNG DẪN BÀI TẬP Bài tập 1: C A1 B om c H b C1 O c a oc u oc A CO  (OAB) nên CO  AB, AO  (OBC) nên AO  BC, OB  (OAC) nên OB  AC Điều ngược lại không ví dụ tứ diện tứ diện trực tâm không tứ diện vuông a Giả sử OH  (ABC) chứng minh H trực tâm, tức H giao hai đường cao hay AH  BC CH  AB BC  OH Có   BC  AH … BC  OA b Giả sử H trực tâm tức AH  BC CH  AB chứng minh OH  (ABC) tức OH  AB OH  BC Thật  AB  CH  AB  OH …   AB  OC 1 1 1      2 2 h OC OC1 OC OB OA2 on 5) gb 3) AB  AC  BC  2a   cos A  nên góc A nhọn, tương tự cho góc B C Chân đường cao trực tâm tam giác nhọn nên nằm mặt huyền 4) áp dụng BĐT BNK:  6(OA2+OB2+OC2) 1.AB  1.BC  1.CA2  (12  12  12 )( AB  BC  CD ) Dấu xảy a=b=c  1  2 2 a b c 4 6) S OAB  AB OC12  AB C1C.C1H  S HAB S CAB kh Tương tự cho mặt khác 7) S 2OAB  S 2OAC  S 2OBC  S ABC (S HAB  S HAC  S HBC )  S ABC Có thể tính trực tiếp CC 8) a tan A  AC1 AB  2S ABC , kết cho hai đại lượng lại Nên chúng AC1 1 9) a)    Theo BĐT BNK: a b c h Bạn tải tài liệu trang : www.k2pi.net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 1  1 1 2  1     (1   )     h  a b c a b c  Dấu a=b=c Vậy ta có đpcm b) S1  S  S  h  ab  ac  bc  9h 2 1   (ab  ac  bc)     nhân hai bất đẳng thức Côsi không âm chiếu b c  a Dấu a=b=c om a b  b c  c a a 2b  b c  c a ab bc ca 3    3h  abc abc c a b áp dụng BĐT côsi cho số hai lần nhân với Dấu = a=b=c 1 10) a) VOABC  SOAB OC  abc 2 2 2 b) Từ 7) (pitago diện tích) ta có S ABC  a b b c  c a Hoặc tìm h, thể tích, suy S=3V/h c) Từ 5) suy điều phải c/m tìm S, V, suy h=3V/S Bài tập 3) I) 1) a)(BME)  (SAC)  BM  (SAC)  BM  SA AC b) (CNF)  (SAB)  CN  (SAB)  CN  AB SA c) (APS)  (SBC)  BC  (APS)  BC  AP SA S J oc u oc c c) E H M F gb A C I N K P D on B kh Q T 2) KI  (SBC)  KI  BC KI  SC SC  (MBE) 3) *)IK  SA=Q (trong (SAP): IK  (SBC) SA không vuông góc với (SBC) vuông góc đáy) *) Cần FN “chui” qua Q hay F, N, Q thẳng hàng: nằm hai mp(SAB) (FNC) *) Cần ME “chui” qua Q hay E, M, Q thẳng hàng: thấy M, E, Q thuộc hai mp(SAC) (MBE) nên chúng thẳng hàng 4) a)SQ  BC SQ  (ABC) b) SC  QB  SC  (MBE)  BQ c)SB  QC  SB  (FNC)  CQ 5) *) Do BNKP CMKP nội tiếp nên AK.AP=AN.AB=AM.AC Bạn tải tài liệu trang : www.k2pi.net Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác AS AP   AS AQ  AK AP AK AQ Do chúng theo tính chất bắc cầu 6) Tứ giác BCJH nội tiếp  SH.SB=SJ SC (=SA2 cạnh góc vuông bình phương tích hình chiếu cạnh huyền) 7)A, B, C, H, J thuộc mặt cầu: Vẽ đường tròn ngoại tiếp ABC chọn AD đường kính đó: *) Góc AHD vuông AH  AD  AH  (HBD)  AH  HB AH  BD  BD  AB BD  SA *) Tương tự góc AJD vuông Vậy điểm nằm mặt cầu tâm bán kính trùng tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 8)*)c/m: JH cắt BC T  SH / SB  SJ / SC  SH SB / SB  SJ SC / SC  SA2 / SB  SA2 / SC tam giác không cân Vậy JH  BC  T *) C/m: AT nằm tiếp tuyến cố định: Ta có: SD  (AHJ) AH  (SAD) AJ  (SCD) nên SD  AT Mà AD hình chiếu SD xuống đáy, nên AT  AD Vậy T nằm tiếp tuyến cố định A vuông góc AD Từ hai ý T giao đt cố định, suy đp c/m *) góc TAB= góc TCA: Dễ thấy hai góc góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung AB II) 1) Tìm S  At để SQ VSQBC nhỏ nhất: *) SQ  SA  AQ  SA AQ  AK AP  a (Do tgSAP~tgKIP~tgKAQ  SA.AQ  AK AP ) oc u oc c om *) Do  APS ~  AQK (cùng ~  IPK) nên Dấu SA=AQ= a / *) Thấy VSQBC= VSABC  VQABC  SQ.S ABC kh on gb a2 a3  Nên V nhỏ SQ nhỏ hay SA= a / , lúc V= a 12 IS 2) Biết  (Ta tìm cạnh tgKIP tgSAP~tgKIP IP a2  IP / AP  KP / SP  IP.IS  KP AP  4.IP  a 3a a  IP   IS  , KI  KP  IP  4 12 KP.SI 3a tgSIQ~tgKIP  SQ   KI 3VSABC SA AP.BC  3) d ( A, ( SBC ))  S SBC SP.BC  SA AP  3ah SA  AP 4h  3a 4) Mặt cầu ngoại tiếp SQBC cắt (CSQ) theo đường tròn ngọai tiếp tgCSQ Gọi CA cắt đường tròn a2  const nên C’ cố định Tâm mặt cầu nằm C’ Khi AC '.AC  AS AQ  AK AP  đường thẳng vuông góc (BCC’) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCC’ 2 Bạn tải tài liệu trang : www.k2pi.net