Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM CÔNG BIÊN NGUỒN ĐỒNG DƯ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM CÔNG BIÊN NGUỒN ĐỒNG DƯ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Hà nội – 2014 Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor i To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Mở đầu Trong chương trình toán Trung học sở, toán chia hết chia có dư phức tạp thường gây khó khăn cho học sinh trình bày cách giải giáo viên hướng dẫn học sinh Chẳng hạn toán sau: “Có số tự nhiên nhỏ 1000 chia cho dư 3?” Vì vậy, sử dụng kiến thức đồng dư mà luận văn đề cập đến nguồn đồng dư giúp em học sinh giáo viên có nhìn trực quan toán dễ dàng giải Đồng thời, tác giả hy vọng luận văn tài liệu hữu ích giúp bạn sinh viên học tốt môn “ Lý thuyết đồng dư” Luận văn trình bày dạng đa đồ thị có hướng gán nhãn Đó nguồn Nguồn với tập nhãn gồm số gọi nguồn sinh số Nguồn với tập nhãn gồm số đồng dư gọi nguồn đồng dư Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương I Trình bày số khái niệm cần sử dụng chương sau; Chương II Trình bày nguồn đồng dư; Chương III Trình bày nguồn đồng dư có nhiều tính chất Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo GS.TS Đặng Huy Ruận, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán- Cơ- Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping ii gia Hà Nội tận tình dạy bảo trình học tập tạo điều kiện tốt thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Do thời gian hạn hẹp đề tài có số nguồn giao phức tạp, nên tránh khỏi sai sót Tác giả mong bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014 Tác giả Phạm Công Biên iii MỤC LỤC Mục lục trang Mở đầu i Mục lục iii Chương I: Một số khái niệm bản…………………………………… §1 Tập xâu ký hiệu số phép toán……………………………… §2 Đa đồ thị có hướng………………………………………………… §3 Nguồn sinh số………………………………………………………… 16 Chương II: Nguồn đồng dư…………………………………………… 21 §1 Nguồn đồng dư vòng đỉnh……………………………………… 21 §2 Nguồn đồng dư hai vòng đỉnh……………………………………… 26 Chương III: Nguồn đồng dư có nhiều tính chất………………………… 35 §1 Thuật toán xây dựng nguồn giao…………………………………… 35 §2 Một số nguồn minh họa……………………………………………… 39 Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………………… 73 CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương trình bày số khái niệm cần thiết cho chương §1 TẬP XÂU KÝ HIỆU VÀ MỘT SỐ PHÉP TOÁN I Bảng chữ Xâu ký hiệu Tập xâu ký hiệu Bảng chữ Tập ∑ ≠  gồm hữu hạn vô hạn đối tượng gọi bảng chữ (hay tự điển) Mỗi phần tử a ∑ gọi ký hiệu chữ (thuộc bảng chữ ∑) Ví dụ: P= 0,1 bảng chữ nhị phân Q= 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 bảng chữ thập phân R= , , , ,  bảng chữ gồm: Hình tam giác, hình vuông, hình tròn, hình chữ nhật, hình thoi Xâu ký hiệu Giả sử có bảng chữ ∑= a1,a , ,a n  Dãy α gồm ký hiệu thuộc bảng chữ ∑ α= ai1 ai2 a is a it ,a is  (1  s  t) gọi xâu ký hiệu hay xâu bảng chữ ∑ 2 Tổng số vị trí tất ký hiệu xuất α gọi độ dài xâu α ký hiệu  Xâu có độ dài (tức xâu không chứa ký hiệu nào) gọi xâu rỗng hay xâu trống đồng thời ký hiệu   Xâu rỗng xâu thuộc bảng chữ Dễ dàng thấy rằng: Nếu α xâu thuộc bảng chữ ∑, xâu bảng chữ tùy ý  chứa ∑ Ví dụ: β= 101011 xâu bảng chữ nhị phân P= 0,1  = 6,  = 1223233 xâu bảng chữ S= 1, 2,3  =7 Các xâu β,  xâu bảng chữ thập phân Tập gồm tất xâu bảng chữ ∑ ký hiệu ∑*, tập gồm tất xâu khác rỗng bảng chữ ∑ ký hiệu ∑+ Dễ dàng thấy ∑+ = ∑*\  Tập xâu ký hiệu Giả sử có bảng chữ ∑ Mỗi tập A  ∑* gọi tập xâu ký hiệu bảng chữ ∑ (nếu ∑ bảng chữ số xâu ký hiệu thuộc A số, A gọi tập số ∑) Tập  gọi tập xâu trống Tập xâu trống tập xâu bảng chữ Hiển nhiên tập xâu trống khác với tập xâu gồm xâu rỗng Ví dụ: L= {  ,1,0,10,011 } tập xâu bảng chữ nhị phân P= 0,1 , L1= {a,bc,bac} tập xâu bảng chữ ∑={a,b,c} 3 Tích ghép Đây phép toán thực xâu ký hiệu Định nghĩa Tích ghép xâu không rỗng α= a1a2…am β=b1b2…bn xâu  = c1c2…cm+n, c1= a1, c2= a2 ,…, cm= am , cm+1= b1, cm+2= b2,…, cm+n= bn Ngoài ra, xâu tùy ý α tích ghép α với xâu rỗng  tích ghép  với α α Dễ dàng thấy rằng, tích ghép có tính chất kết hợp, song giao hoán xâu bảng chữ ký hiệu Ta viết αn thay cho cách viết αα…α(n lần) quy ước α1= α, α0 xâu rỗng Ví dụ 1: Cho xâu α= ab, β= cde, µ= 543,  = 21 Khi đó, α.β= αβ= abcde, β.α= βα= cdeab, α.µ= αµ= ab543, µ  = 54321 Nếu xâu µ,α,β,γ bảng chữ ∑, mà µ= αβγ xâu α*β*γ với ký hiệu * không thuộc ∑ gọi vị trí xâu β xâu µ Xâu β gọi xâu xâu µ (hay xâu µ), tồn vị trí β µ Nếu α=  , tức µ= βγ, xâu β gọi phần đầu Còn γ=  tức µ= αβ xâu β gọi phần cuối xâu µ Khi β=  , ta có µ= α  γ=  µ= µ  , nên xâu rỗng xâu con, phần đầu, phần đuôi xâu gọi xâu tầm thường Trong trường hợp độ dài xâu β= 1, tức gồm ký hiệu Chẳng hạn β= b, b thuộc ∑, *b* gọi vị trí ký hiệu b xâu µ Đôi vị trí ký hiệu gọi điểm Người ta dùng la(µ) để số vị trí ký hiệu a xâu µ 4 Nếu α= t1*at2*, β= s1*bs2* điểm xâu µ= t1at2= s1bs2 Và t1 < s1 , ta viết α< β, đồng thời nói α nằm (hoặc đặt) bên trái β, β nằm bên phải α Nếu α< β< γ, ta nói β nằm α γ Đối với hai điểm tùy ý α, β xâu µ, mà α≤ β, tập hợp điểm δ thỏa mãn bất đẳng thức α≤ δ≤ β gọi đoạn xâu µ ký hiệu [α, β], tập hợp điểm mà α< δ< β gọi khoảng xâu µ ký hiệu (α, β) Đôi cần khoảng đặc biệt (-, α) (α, -) tập hợp điểm thỏa mãn bất đẳng thức δ< α α> δ Khoảng khác với đoạn chỗ rỗng Ví dụ 2: Xâu µ= abcbcb chứa vị trí xâu bcb: a*bcb*cb abc*bcb*, vị trí ký hiệu a: *a*bcbcb, vị trí xâu rỗng : **abcbcb, a**bcbcb, ab**cbcb, abc**bcb, abcb**cb, abcbc**b, abcbcb** Nếu ký hiệu vị trí chữ xâu µ α, β, δ, α< β< δ Các đoạn [α, β] [β, δ] tương ứng với hai vị trí khác xâu bcb II Các phép toán tập xâu ký hiệu Trên tập xâu ký hiệu, phép toán lý thuyết tập hợp như: phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù Còn có phép toán đặc thù như: tích ghép, lặp Giả sử L1, L2, L3 tập xâu ký hiệu bảng chữ ∑ A Phép hợp Định nghĩa 5 Tập xâu ký hiệu {x  ∑*/ x  L1 x  L2} gọi hợp tập xâu ký hiệu L1 L2, đồng thời ký hiệu L1  L2 L1  L2 Ví dụ: Cho tập xâu ký hiệu L1= {  , a, ab, bc}, L2= {a,b,ca,ab,cb} Khi đó: L1  L2= {  , a, b, ab, bc, ca, cb} Tính chất a Giao hoán, nghĩa L1  L2= L2  L1 b Kết hợp, nghĩa (L1  L2)  L3= L1  (L2  L3) c L   =   L= L d L  ∑*= ∑* với L  ∑* B Phép giao Định nghĩa: Tập xâu ký hiệu {x  ∑*/ x  L1 x  L2} gọi giao tập xâu ký hiệu L1 L2, đồng thời ký hiệu L1∩ L2 L1  L2 Ví dụ: Với L1, L2 cho ví dụ có giao L1∩L2 = {a, ab} Tính chất: a Giao hoán, nghĩa L1∩ L2=L2∩ L1 b Kết hợp, nghĩa (L1∩ L2)∩ L3= L1∩ (L2∩ L3) c L∩ ∑*= L với L  ∑* d L∩  =  ∩ L=  Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor 73 To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Danh mục tài liệu tham khảo Đặng Huy Ruận, (2002) , Bảy phương pháp giải toán logic, nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội Đặng Huy Ruận, (2005), Phương pháp giải toán chia h t, nhà xuất khoa học kỹ thuật,Hà Nội