an v n Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m o CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phạm Nguyễn Tuân1 c c o to uy en Kiến thức Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1 ) hàm số y = g(x) có đồ thị (C2 ) Khi đó, M (x, y) giao điểm (C1 ) (C2 ) tọa độ M nghiệm hệ phương trình: y = f (x) ⇔ y = g(x) u c o f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) y = g(x) (∗) nl Phương trình (∗) gọi phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) (C2 ) Và giao điểm M (C1 ) (C2 ) có mang đặc tính phương trình (∗) tồn đặc điểm tương ứng với đặc tính Từ suy ra, để giải tốn tính chất giao điểm hai đồ thị (C1 ) (C2 ), ta tiến hành theo bước sau: b g • Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) (C2 ) (tức phương trình (∗)) /o • Biến đổi phương trình dạng đơn giản (thường thì, sau biến đổi ta thu phương trình bậc hai, bậc ba phương trình trùng phương, ) n o h k • Dựa vào điều kiện giải tích tốn ban đầu, ta đưa điều kiện đại số cho phương trình vừa biến đổi :/ Các kiến thức quan trọng cần nhớ giải toán: • Về phương trình: ◦ Đối với phương trình bậc hai f (x) = ax2 + bx + c = (a = 0), ta có số lưu ý quan trọng sau: ht Định lý Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ta có    S = x1 + x = − b a c   P = x1 x2 = a Bài viết trình bày lại chương trình soạn thảo LaTeX can_hang2007 Đề nghị bạn ghi rõ nguồn http://onluyentoan.vn đăng tải trang web khác Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phạm Nguyễn Tn to an v n Phương trình có hai nghiệm trái dấu P <  ∆ >  Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt S >   P >0  ∆ >  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt S <   P >0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x0 m o ∆>0 f (x0 ) = c c o ◦ Đối phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a = 0): Nếu dự đoán phương trình có nghiệm x = x0 , ta dùng phép chia đa thức sơ đồ Horner để phân tích thành nhân tử đưa dạng bậc thấp tìm cách xử lý • Các cơng thức cần nhớ : uy en ◦ Đối với phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = (a = 0), ta quy phương trình bậc hai để giải (và biện luận) ◦ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với điểm A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) tùy ý, ta có u c o AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ◦ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M (x0 , y0 ) đến đường thẳng ∆ : Ax + By + C = tính theo cơng thức nl d(M, ∆) = b g |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B ◦ Diện tích tam giác: Trong tam giác bất kỳ, ta có /o n o h k Trong đó: 1 abc S = aha = bhb = chc = = pr 2 4R a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p = a+b+c nửa chu vi; :/ , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh a, b, c; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ◦ Phương trình đường thẳng ∆ qua A(a, b) có hệ số góc k cho trước có dạng y − b = k(x − a) Các ví dụ minh họa ht Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Tìm tọa độ giao điểm (C) với đường thẳng d : y = − 2x Phân tích Đây dạng tốn tìm giao điểm quen thuộc Đối với toán loại này, ta cần lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị giải tìm giao điểm Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d:  2 x − 3x + = − 2x ⇔ x(x − 3x + 2) = ⇔ x = (⇒ y = 2) x=0  ⇔  x = (⇒ y = 0) x2 − 3x + = x = (⇒ y = −2) Vậy (C) cắt d ba điểm A, B, C có tọa độ A(0, 2), B(1, 0) C(2, −2) m o Ví dụ Xác định tất giá trị m để đường thẳng d : y = x+m cắt đồ thị (H) : y = hai điểm phân biệt c c o x+1 x−1 uy en Phân tích Bài tốn kiểu tốn ngược với ví dụ lúc ta cần xác định giá trị m để d cắt (H) hai điểm phân biệt Vậy ta lập phương trình hồnh độ giao điểm biến đổi phương trình này, sau ta chuyển tốn từ điều kiện giải tích “có hai giao điểm” điều kiện đại số “có hai nghiệm phân biệt” Cụ thể, ta biến đổi phương trình bậc hai điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt q bản! Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (H) d: x + = (x − 1)(x + m) ⇔ x=1 x+1 =m+x⇔ x−1 f (x) = x2 − (2 − m)x − (m + 1) = x=1 u c o Để d cắt (H) hai điểm phân biệt phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt khác Điều tương thích với điều kiện: (2 − m)2 + 4(m + 1) > ⇔ − (2 − m) − (m + 1) = nl ∆>0 ⇔ f (1) = b g m2 + > −2=0 /o Hệ với giá trị thực m Do vậy, với m ∈ R điều kiện tốn ln thỏa mãn Ví dụ Tìm m để đường thẳng d : y = −x + cắt đồ thị (Cm ) : y = x3 − 3(m + 1)x2 + mx + ba điểm phân biệt n o h k :/ Phân tích u cầu tốn d cắt (Cm ) ba điểm phân biệt nên rõ ràng ta cần phải tìm điều kiện cho phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị có ba nghiệm phân biệt Ở ta có ý hệ số tự xuất hai phương trình hàm số, điều cho phép ta khử hết hệ số việc bắt nhân tử chung x = hiển nhiên Vậy lúc ta cần tìm điều kiện để có thêm hai giao điểm Để ý phương trình thu phương trình bậc ba nên sau rút nhân tử chung nên ta phương trình bậc hai tốn tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khác Một cơng việc đơn giản! ht Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm ): x3 − 3(m + 1)x2 + mx + = − x ⇔ x x2 − 3(m + 1)x + m + = ⇔ x=0 f (x) = x2 − 3(m + 1)x + m + = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phạm Nguyễn Tuân to an v n Để d cắt (Cm ) ba điểm phân biệt phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt khác Điều tương thích với điều kiện:      m < −1 m < −1  ∆ = 9(m + 1) − 4(m + 1) > (m + 1)(9m + 5) >  ⇔ ⇔ m>− ⇔  f (0) = m + = m = −1 m>−   m = −1 m o Vậy, tập hợp giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề T = (−∞, −1) ∪ − 95 , +∞ x−2 Ví dụ Cho hàm số y = x−3 có đồ thị (H) điểm A(0, m) (m tham số) Tìm m để đường thẳng d qua A có hệ số góc cắt (H) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương c c o uy en Phân tích Ở tốn có điều đáng lưu ý phương trình đường thẳng d chưa biết nên trước tiên ta cần xác định phương trình đường thẳng d Sau ta thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đưa điều kiện giải tích điều kiện đại số Cụ thể ta đưa điều kiện “có hai giao điểm phân biệt có hồnh độ dương” điều kiện “phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.” Lời giải Do d đường thẳng qua A(0, m) có hệ số góc nên d có phương trình u c o y − m = 2(x − 0) Từ đây, ta có phương trình hồnh độ giao điểm d (H) x − = (2x + m)(x − 3) ⇔ x=3 f (x) = 2x2 − (7 − m)x − (3m − 2) = x=3 nl x−2 = 2x + m ⇔ x−3 b g /o Để d cắt (H) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ dương phương trình f (x) = phải có hai nghiệm dương phân biệt khác Điều tương thích với điều kiện:    (7 − m)2 + 8(3m − 2) >    ∆ >   m + 10m + 33 >    − m       >0 S>0 7−m>0 ⇔ ⇔ P >  − 3m  − 3m >    >0         f (3) = −1=0  18 − 3(7 − m) − 3m + =  (m + 5)2 + >    ⇔ m  (2m + 1) − 16m > m =       (2m + − 4m)(2m + + 4m) > 2m − S   6m + =    f (−2) = 4m + 2(2m + 1) + 4m =  m =    1    − 0 ⇔ m2 + 8m > ⇔    m < −8     (x1 − 1)(x2 − 1) < x1 x2 − (x1 + x2 ) + <  2   − −1+1=− 0 ⇔ ⇔ m >  m < −8     m>0 ht :/ n o h k Vậy, tập hợp giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề T = (0, +∞) Ví dụ Tìm m để đường thẳng d : y = x + m + cắt đồ thị (Cm ) : y = x3 + 3x2 + mx − ba điểm phân biệt A, B, C cho BC = 4, biết xA = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n Phân tích Qua toán trên, ta biết để giải tốn ta lập phương trình hồnh độ giao điểm Nhưng lại có điểm đặc biệt từ điều kiện giả thiết cho, ta có x = nghiệm phương trình hoành độ giao điểm Vậy ta tách phương trình hồnh độ giao điểm thành (x − 1) · h(x, m) = 0, h(x, m) tam thức bậc hai Do đó, để hồn thành ý câu hỏi “cắt ba điểm phân biệt”, ta cần tìm m để phương trình h(x, m) = có hai nghiệm phân biệt khác m o Bây giờ, ta khai thác ý thứ hai tốn, độ dài BC = Ở ta sử dụng kiến thức nhắc phần Cùng với định lý Viette, kết hợp lại, ta tìm m Kiểm tra giá trị m với điều kiện thu từ ý thứ nhất, ta có kết luận cho tốn Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm ): c c o x3 + 3x2 + mx − = x + m + ⇔ x3 + 3x2 + (m − 1)x − − m = ⇔ (x − 1)(x2 + 4x + m + 3) = ⇔ x=1 f (x) = x2 + 4x + m + = uy en Để d cắt (Cm ) ba điểm phân biệt A(1, yA ), B, C phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt khác Điều tương thích với điều kiện: − (m + 3) > ⇔ 1+4+m+3=0 ∆ >0 ⇔ f (1) = m ⇔ + 2(3m − 5) − (6m + 2) = ∆>0 ⇔ f (2) = 9(m + 1)2 + 32 > −4=0 c c o uy en Vì hệ thỏa mãn với giá trị m nên d (H) cắt hai điểm phân biệt A, B Lúc này, giả sử A, B có tọa độ A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình f (x) = Đồng thời, A, B thuộc d nên y1 = 2x1 + 3m, Và thế, ta tính y2 = 2x2 + 3m u c o AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = (x2 − x1 )2 + 4(x2 − x1 )2 = 5(x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 Theo định lý Viette, ta có b g Do đó, nl   x + x = − 3m 2  x1 x2 = −(3m + 1) /o AB = 5 − 3m n o h k + 4(3m + 1) = (9m2 + 18m + 41) 5 9(m + 1)2 + 32 · 32 = 20 4 Đẳng thức xảy (m + 1)2 = 0, tức m = −1 Vậy m = −1 giá trị cần tìm :/ = Ví dụ Cho hàm số y = cắt trục hoành tại: x3 − x + m có đồ thị (Cm ) (m tham số) Tìm m để đồ thị (Cm ) (a) Ba điểm phân biệt (b) Một điểm ht Phân tích Đây dạng tốn tương giao đồ thị (Cm ) trục hoành với địi hỏi quen thuộc Nhưng khơng quen thuộc khác biệt với ví dụ dạng mà ta đề cập phương trình hồnh độ giao điểm, ta khơng dự đốn nghiệm để phân tích nhân tử làm đơn giản hóa vấn đề Vậy giải nào? Ở đây, để ý hàm số cho hàm bậc ba Vậy hiểu biết dáng điệu đồ thị hàm bậc ba liệu có giúp ích cho ta chăng? Câu trả lời có bạn ạ! Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n Chúng ta có kết thú vị sau: “Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có đồ thị (C) Giả sử hàm số đạt cực x1 đạt cực tiểu x2 Khi đó, ta có kết luận quan trọng sau (căn vào dáng điệu đồ thị): • (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt y(x1 ) · y(x2 ) < • (C) cắt trục hoành điểm y(x1 ) · y(x2 ) > 0.” m o Và thế, tốn giải hoàn toàn cách sử dụng kết Ngồi ra, giải toán theo cách khác viết lại phương trình hồnh độ giao điểm dạng f (x) = g(m) c c o Sau đó, ta tiến hành khảo sát hàm số y = f (x), lập bảng biến thiên từ suy kết luận cho tốn (cơ sở cách biện luận số nghiệm đồ thị) uy en Lời giải Ta có hai cách giải cho tốn sau: Cách Phương trình hồnh độ giao điểm (C) trục hoành: u c o x3 x3 − x + m = ⇔ − + x = m 3 (1) Xét hàm số y = f (x) = − x3 + x với x thuộc R Ta có y = − x2 nl    y = ⇔ − x2 = ⇔  b g x=1 ⇒y= x = −1 ⇒y=− /o Do đó, bảng biến thiên f (x) R có dạng sau y − d +∞ y :/ n o h k dxd −∞ −1 − 32 + +∞ − −∞ Từ đây, ta thấy: (a) (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt Điều tương thích với điều kiện đường thẳng (d) : y = m (chạy vng góc Oy) cắt đồ thị hàm số y = − x3 + x ba điểm phân biệt Từ bảng biến thiên, ta có T = − 32 , 32 tập hợp giá trị thỏa mãn yêu cầu ht (b) (C) cắt trục hoành điểm khi phương trình (1) có nghiệm Điều tương thích với điều kiện đường thẳng (d) : y = m cắt đồ thị hàm số y = − x3 + x điểm Và kết từ bảng biến thiên cho thấy T = −∞, − 32 ∪ 32 , +∞ tập hợp giá trị thỏa mãn yêu cầu Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Cách Xét hàm số y = x3 to an v n Phạm Nguyễn Tuân 10 − x + m với x thuộc R Ta có y = x2 −    y = ⇔ x2 − = ⇔  x=1 x = −1 ⇒y =m− ⇒y =m+ Rõ ràng hàm số đạt cực trị x = x = −1 Từ đây, ta thấy: (a) (C) cắt trục hoành ba điểm phân biệt y(−1)y(1) < ⇔ m− m+ 2 0⇔ u c o m Như thế, tập hợp giá trị m thỏa mãn ý T = −∞, − 32 ∪ 3 , +∞ nl x+3 Ví dụ 10 Cho hàm số y = x−1 có đồ thị (H) Gọi A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) hai điểm nằm (H) cho 2x1 − y1 − = 2x2 − y2 − = −m Tìm m để hai điểm A, B đối xứng với qua đường thẳng ∆ : x + 2y − = b g /o Phân tích Đọc đề toán ta thấy tương giao hai đồ thị khơng đề Nhưng để ý kỹ thấy có điều lạ mắt xuất đề tốn Đó là: n o h k 2x1 − y1 − = 2x2 − y2 − = −m ⇔ 2x1 − y1 − = −m ⇔ 2x2 − y2 − = −m y1 = 2x1 + m − y2 = 2x2 + m − :/ Điều chứng tỏ A, B nằm đường thẳng d : y = 2x + m − Vậy rõ ràng để tồn hai điểm A, B phải có điều kiện m để d cắt (H) hai điểm phân biệt Đến tốn tương giao rõ Tiếp theo, để A, B đối xứng qua ∆ ta cần có AB ⊥ ∆ trung điểm I AB phải thuộc ∆ Nhưng để ý chút, ta thấy d ⊥ ∆ nên cần có thêm điều kiện I ∈ ∆ toán giải Lời giải Ta có ht 2x1 − y1 − = 2x2 − y2 − = −m ⇔ 2x1 − y1 − = −m ⇔ 2x2 − y2 − = −m y1 = 2x1 + m − y2 = 2x2 + m − Suy A, B thuộc đường thẳng d : y = 2x + m − Mà theo giả thiết, A, B thuộc (H) nên để tồn A, B d (H) phải cắt hai điểm phân biệt Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phạm Nguyễn Tuân to an v n 14 • Với m > 0: Trong trường hợp √ này, hoành độ √ bốn giao điểm xếp theo thứ tự tăng dần sau − 2m + 1, −1, 1, 2m + Và điều kiện để chúng lập thành cấp số cộng   −√2m + + = · (−1) √ ⇔ 2m + = ⇔ m =  (−1) + √2m + = · m o • Với − 21 < m < 0: Trong trường hợp này, hoành độ giao điểm xếp theo √ √ thứ tự tăng dần theo hướng −1, − 2m + 1, 2m + 1, Điều kiện cần đủ để chúng lập thành cấp số cộng  √ √  − 2m + + = · 2m + √ ⇔ 2m + = ⇔ m = − √ √  (−1) + 2m + = · − 2m + uy en Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu đề m = m = c c o − 94 Chú ý Qua toán này, có số lưu ý quan trọng sau đây: • Bài tồn cịn phát biểu dạng khác là: “Tìm m để đồ thị hàm số y = f (x) chắn trục hoành ba đoạn thẳng nhau.” u c o • Điều kiện t2 = 9t1 cách quan trọng nl • Cách sử dụng để giải cho toán dạng, cách ứng dụng cho trường hợp tốn có dạng phương trình “đẹp” Ví dụ 14 Tìm m, n để đường thẳng d : y = mx + 3n − cắt đồ thị (H) hàm số y = hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O b g 3x+1 x−1 /o Phân tích Điều kiện hai giao điểm phải đối xứng qua O nên rõ ràng đường thẳng qua chúng, tức d, phải qua O Từ ta tìm n Mặt khác hai giao điểm đối xứng qua O nên tổng hoành độ hai điểm phải Với ý này, ta tìm m tốn giải n o h k :/ Lời giải Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải qua O, tức 3n − = Lúc này, ta viết phương trình đường thẳng d dạng y = mx Phương trình hồnh độ giao điểm (H) d: 3x + = mx ⇔ x−1 3x + = mx(x − 1) ⇔ x=1 f (x) = mx2 − (m + 3)x − = x=1 ht Để d cắt (H) hai điểm phân biệt A, B phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác Điều tương thích với điều kiện:    m = m =       m < −9 m > −1 ∆ > ⇔ m + 10m + > ⇔ (1)       f (1) = −4=0 m=0 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n 15 Mặt khác, A, B đối xứng qua O nên ta có m+3 = ⇔ m = −3 m x1 + x2 = ⇔ Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 15 Tìm m để đường thẳng d : y = x − m cắt đồ thị (Cm ) : y = x3 + 3x2 + mx − (m tham số) ba điểm phân biệt x1 , x2 , x3 cho biểu thức T = 2(x12 + x22 + x32 ) + 3x12 x22 x32 − đạt giá trị nhỏ m o Phân tích Bài tốn u cầu tìm giá trị nhỏ biểu thức liên quan đến hoành độ giao điểm có điều bất lợi lúc có tới ba hồnh độ mà ta chưa biết nên ta cần tìm xem tốn có cho ta hồnh độ giao điểm trước khơng? Muốn ta cần xét đến phương trình: c c o x3 + 3x2 + mx − = x − m ⇔ x3 + 3x2 + (m − 1)x + m − = uy en Nhận thấy x = −1 nghiệm phương trình nên ta tìm lối nghiệm Cịn lại hai hồnh độ, ta sử dụng thuật tốn chia đa thức Horner để tìm phương trình bậc hai nhận chúng làm nghiệm sau sử dụng định lý Viette để xử lý bước lại u c o Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm ): x3 + 3x2 + mx − = x − m ⇔ x3 + 3x2 + (m − 1)x + m − = ⇔ (x + 1)(x2 + 2x + m − 3) = ⇔ x = −1 f (x) = x2 + 2x + m − = nl Từ đây, ta thấy để d cắt (Cm ) ba điểm phân biệt phương trình f (x) = có hai nghiệm phân biệt x2 , x3 khác −1 (ở đây, ta đặt x1 = −1) Điều tương thích với điều kiện: b g 4−m>0 ⇔ m < m=4 /o ∆ >0 ⇔ f (−1) = n o h k (1) :/ Lúc này, sử dụng định lý Viette, ta có Do đó, x2 + x3 = −2 x2 x3 = m − T = 2(x12 + x22 + x32 ) + 3x12 x22 x32 − = 2(1 + x22 + x32 ) + 3x22 x32 − = + (x2 + x3 )2 − 2x2 x3 + 3x22 x32 − = + − 2(m − 3) + 3(m − 3)2 − 11 = 3m − 22m + 44 = m − 2 + ht Dễ thấy đẳng thức xảy m = giá trị cần tìm 11 11 11 (thỏa (1)) Vậy ta có T = 11 m = 11 Ví dụ 16 Cho hàm số y = x x−1 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ √ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho < AB < Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác to an v n Phạm Nguyễn Tuân 16 Phân tích Bài tốn địi hỏi khoảng cách hai giao điểm phải thỏa khoảng giá trị cho trước Vậy sau tìm điều kiện m để tồn hai giao điểm, ta dùng cơng thức tính khoảng cách hai điểm kết hợp với định lý Viette để giải tốn Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm d (C): x2 − = x(−x + m) ⇔ x=0 x2 − = −x + m ⇔ x f (x) = 2x2 − mx − = x=0 m o Để d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác Điều tương thích với điều kiện: ∆>0 ⇔ f (0) = m2 + > −1=0 c c o uy en Vì hệ ln thỏa mãn với m nên d cắt (C) hai điểm phân biệt A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) Lúc này, sử dụng định lý Viette, ta có   x1 + x2 = m  x x = −  2 u c o Và A, B ∈ d nên ta có y1 = −x1 + m, y2 = −x2 + m Từ đây, ta tính AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = 2(x2 − x1 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = nl √ Mặt khác, theo giả thiết < AB < Do vậy, ta phải có    m − 16 <  m < AB < 12 ⇔ < + < 12 ⇔ ⇔  m   >0 b g m2 + −4 m>− 25 ⇔ − < m = −4 ⇔ ⇔ (1)  f (2) = −4−m=0 m = −4 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n 17 Khi m thỏa (1), ta dễ thấy A, B có tọa độ A(x1 , x1 + 3) B(x2 , x2 + 3) Và thế, ta tính x1 + 2(x1 + 3) − |3x1 + 5| √ √ d1 = d(A, ∆) = = , 12 + 22 x2 + 2(x2 + 3) − |3x2 + 5| √ √ d2 = d(B, ∆) = = 12 + 22 Suy (3x1 + 5)(3x2 + 5) 9x1 x2 + 15(x1 + x2 ) + 25 d1 d2 = = 5 Mặt khác, theo định lý Viette c c o x1 + x2 = x1 x2 = −(6 + m) Như vậy, ta có m o uy en − 9(m + 6) + 15 · + 25 |9m + 14| = 5 Do d1 d2 = (theo giả thiết) nên từ ta  m = − 9m + 14 = 10  |9m + 14| = 10 ⇔ ⇔ 9m + 14 = −10 m=− d1 d2 = u c o nl Đối chiếu với điều kiện (1), ta có giá trị cần tìm m m = − 94 m = − 38 b g Ví dụ 18 Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị (C) hàm số y = điểm phân biệt A, B cho ∠AOB tù (O gốc tọa độ) x2 −x−2 x+2 hai /o Phân tích Bài tốn u cầu hai giao điểm gốc tọa độ O lập thành góc tù Như vậy, muốn giải toán này, trước hết ta cần nhớ lại kiến thức góc (có sử dụng giả thiết đề cho) Ta có tính chất sau ứng dụng vector tam giác: Với tam giác ABC cho trước, ta có n o h k :/ −→ −→ • Góc A nhọn (tức cos A > 0) AB · AC > −→ −→ • Góc A tù (tức cos A < 0) AB · AC < (Nguồn gốc tính chất xuất phát từ công thức quen thuộc: cos BAC = −→ −→ AB·AC ) AB·AC ht Dựa vào tính chất trên, ta tìm hướng giải cho tốn sau: Đầu tiên, ta tìm điều kiện để d (C) cắt hai điểm phân biệt (một dạng toán quen thuộc) −→ −−→ Tiếp theo, ta hoàn tất lời giải cách tìm điều kiện để tích vơ hướng OA · OB < −→ Tích vơ hướng tính dễ dàng thơng qua cơng thức: Nếu AB = (x1 , y1 ) −→ AC = (x2 , y2 ) ta có −→ −→ AB · AC = x1 x2 + y1 y2 Ở đây, việc tính tốn thuận tiện hạn chế sai sót, nên phối hợp với định lý Viette giải Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác to an v n Phạm Nguyễn Tuân 18 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x2 − x − = m(x + 2) ⇔ x = −2 x2 − x − =m⇔ x+2 f (x) = x2 − (m + 1)x − 2(m + 1) = x = −2 Để d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt khác −2 Điều tương thích với điều kiện: (m + 1)2 + 8(m + 1) = (m + 1)(m + 9) > ⇔ + 2(m + 1) − 2(m + 1) = = ∆>0 ⇔ f (−2) = m o m < −9 m > −1 (1) Lúc này, giả sử A, B có tọa độ A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình f (x) = Đồng thời, A, B thuộc d nên y1 = y2 = m Từ đây, ta tính c c o uy en −→ OA = (x1 , m) −−→ OB = (x2 , m) Suy −→ −−→ OA · OB = x1 x2 + m2 Mặt khác, theo định lý Viette x1 x2 = −2(m + 1) Vậy ta có u c o nl −→ −−→ OA · OB = m2 − 2m − −→ −−→ Vì góc AOB tù (theo giả thiết) nên ta phải có OA · OB < Điều tương đương với √ √ m2 − 2m − < ⇔ − < m < + (2) √ √ Kết hợp (1) (2), ta T = − 3, + tập hợp giá trị thỏa mãn yêu cầu b g Ví dụ 19 Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị (C) hàm số y = /o điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích √ x2 −2x+2 1−x hai (đvdt) (O gốc tọa độ) Phân tích Bài tốn u cầu giao điểm với điểm có sẵn tạo thành tam giác có diện tích cho trước Vậy ta cần tìm giá trị m để tồn hai điểm A, B sau khai thác cơng thức tính diện tích Chú ý rằng, kẻ OH ⊥ AB (H ∈ AB) ta có :/ n o h k S OAB = · OH · AB OH = d(O, d) khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): x2 − 2x + =m⇔ 1−x x2 − 2x + = m(1 − x) ⇔ x=1 f (x) = x2 + (m − 2)x − (m − 2) = x=1 ht Để d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác Điều tương thích với điều kiện: ∆>0 ⇔ f (1) = (m − 2)2 + 4(m − 2) = (m − 2)(m + 2) > ⇔ + (m − 2) − (m − 2) = = m < −2 m>2 (1) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n 19 Bây giờ, giả sử A, B có tọa độ A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) A, B ∈ d nên ta có y1 = y2 = m Từ đó, ta tính (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = AB = Mặt khác, theo định lý Viette (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 x1 + x2 = −(m − 2) x1 x2 = −(m − 2) Như vậy, ta có (m − 2)2 + 4(m − 2) = AB = √ m2 − c c o Tiếp theo, kẻ OH vng góc với AB (H ∈ AB) ta có Kết hợp với trên, ta suy S Mà theo giả thiết S OAB OAB = = √ , |0 − m| √ = |m| uy en OH = d(O, d) = m o √ 1 · OH · AB = |m| m2 − 2 u c o ta có nl √ √ |m| m2 − = ⇔ m2 (m2 − 4) = 45 ⇔ m4 − 4m2 − 45 = ⇔ m2 = ⇔ m = ±3 2 Đối chiếu với điều kiện (1), ta có giá trị m cần tìm m = m = −3 b g /o 2x Ví dụ 20 Cho hàm số y = x−1 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = 21 x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm I AB: (a) Thuộc đường thẳng ∆ : 3x + 4y − = n o h k (b) Nằm đường tròn (C ) : x − 2 + y− = 85 :/ (c) Hãy tìm quỹ tích trung điểm I Phân tích Bài tốn có u cầu liên quan đến tính chất điểm thuộc đường thẳng vị trí tương đối điểm đường tròn nên tất nhiên ta cần nhớ đến kiến thức tính chất Chúng ta có điều kiện sau: Cho đường thẳng ∆ có phương trình Ax+By+C = đường trịn (C) : (x−a)2 +(y−b)2 = R2 Xét điểm M (x0 , y0 ) tùy ý mặt phẳng, ta có • M nằm ∆ Ax0 + By0 + C = ht • M nằm (C) (x0 − a)2 + (y0 − b)2 = R2 • M nằm (C) (x0 − a)2 + (y0 − b)2 < R2 • M nằm ngồi (C) (x0 − a)2 + (y0 − b)2 > R2 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phạm Nguyễn Tuân to an v n 20 Sử dụng điều kiện này, ta giải câu (a) câu (b) toán Tiếp theo, ta xét đến câu (c), câu hỏi quỹ tích Khi tìm quỹ tích điểm, ta thường chọn cách thay tham số từ phương trình hồnh độ điểm vào phương trình tung độ suy quỹ tích Chẳng hạn, tốn này, sau vài bước tính tốn, ta tìm hệ phương trình tọa độ điểm I: x = f (m) y = g(m) m o Khi đó, từ phương trình thứ nhất, ta rút m = h(x), thay kết vào phương trình thứ hai để biến đổi thành y = g h(x) c c o Một phương trình hồn tồn khơng chứa tham số (chỉ chứa hai đối số x, y mà thôi) quỹ tích cần tìm Lưu ý tham số m có điều kiện liên quan ta phải cho h(x) có điều kiện tương ứng để giới hạn lại quỹ tích (cụ thể hơn, m nằm miền h(x) phải nằm miền đó) uy en Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): 4x = (x + 2m)(x − 1) ⇔ x=1 2x = x+m⇔ x−1 f (x) = x2 + (2m − 5)x − 2m = x=1 u c o Để d cắt (C) hai điểm phân biệt phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác Điều tương thích với điều kiện: (2m − 5)2 + 8m = (2m − 3)2 + 16 > + (2m + 5) − 2m = −4 = nl ∆>0 ⇔ f (1) = b g Vì hệ ln thỏa mãn nên ta ln có d (C) cắt hai điểm phân biệt A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) Và A, B thuộc d nên ta có x1 + m, y2 = /o y1 = x2 + m n o h k :/ Từ đây, ta tìm tọa độ trung điểm I AB sau  x + x2   xI = y + y2 x1 + x2   yI = = +m Mặt khác, theo định lý Viette x1 + x2 = − 2m Như vậy, ta có  − 2m   xI = − 2m + 2m   yI = +m= 4 (1) Bây giờ, ta giải yêu cầu toán: ht (a) Ta có I ∈ ∆ 3xI + 4yI − = ⇔ − 2m +4 + 2m −5=0⇔m= 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị xI − 2 + yI − to an v n (b) Ta có I nằm (C ) 21 √ √ m2 2 2 < ⇔m + < ⇔ 2m − < ⇔ − ⇔ − < m = 2+2−1−m=0 /o ∆ >0 ⇔ f (1) = (1) :/ Bây giờ, giả sử B, C có tọa độ B(x1 , y1 ), C(x2 , y2 ) ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình f (x) = Từ đó, sử dụng định lý Viette, ta có x1 + x2 = −1 x1 x2 = −1 − m Mặt khác, M B = 2M C M nằm đoạn BC (theo giả thiết) nên −−→ −−→ M B = −2M C ⇒ xB − xM = −2(xC − xM ) ⇒ x1 + 2x2 = 3xM = ht Kết hợp (2) (3), ta hệ phương trình    x + x = −1 x = −8       x1 = −8 x1 x2 = −1 − m ⇔ x2 = ⇔ x2 =       x1 + 2x2 = (−8) · = −1 − m m = 55 Đối chiếu với điều kiện (1), ta có m = 55 giá trị cần tìm (2) (3) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phạm Nguyễn Tuân to an v n 22 2x−m Ví dụ 22 Cho hàm số y = mx+1 có đồ thị (Hm ) Tìm m = để đường thẳng d : y = 2x − 2m cắt (Hm ) hai điểm phân biệt A, B cắt trục tọa độ Ox, Oy lại hai điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác OAB ba lần diện tích tam giác OM N Phân tích Bài tốn có điểm đặc biệt đường thẳng khơng cắt đồ thị mà cắt hai trục tọa độ để tạo thành hai tam giác thỏa mãn đẳng thức điều kiện liên quan đến diện tích Như vậy, để giải tốn này, ta cần phải tìm cách tính diện tích hai tam giác tạo thành (để vào đẳng thức điều kiện mà suy giá trị m) Khi đó, ta có lưu ý sau: • Tam giác OM N vng (Chú ý giúp ta tính S OM N m o dễ dàng hơn.) • Nếu OH ⊥ AB (H ∈ d) độ dài OH khoảng cách từ O đến đường thẳng d (Từ kết hợp với số kiến thức bản, ta tính S OAB ) c c o uy en • Các cơng thức cần sử dụng giải công thức khoảng cách hai điểm công thức diện tích tam giác Ngồi ra, để việc tính toán thuận lợi, ta nên kết hợp với định lý Viette Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d với (Hm ):   2x − m = (mx + 1)(2x − 2m) 2mx2 − 2m2 x − m =   2x − m = 2x − 2m ⇔ ⇔ x = − x = − mx + m m u c o Do m = nên (1) nl   f (x) = 2x2 − 2mx − = (1) ⇔ x = − m Để d cắt (Hm ) hai điểm phân biệt A, B phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác − m1 Tuy nhiên, điều hiển nhiên tam thức bậc hai f (x) có hai hệ số a, c trái dấu, đồng thời f − m1 = m22 + > b g /o Bây giờ, gọi tọa độ hai giao điểm A, B A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình f (x) = Đồng thời, A, B thuộc d nên n o h k y2 = 2x2 − 2m :/ Từ đây, ta tính y1 = 2x1 − 2m, (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = 5(x1 − x2 )2 =   x1 + x2 = m Mà theo định lý Viette Như vậy, ta có  x1 x2 = − ht AB = AB = m2 − · − = [(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ] √ 5m2 + 10 Tới đây, kẻ OH ⊥ AB (H ∈ d) ta có OH = d(O, d) = |2 · − − 2m| 22 + (−1)2 |2m| = √ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị S OAB = to an v n Từ suy 23 √ 1 |2m| √ · OH · AB = · d(O, d) · AB = · √ · 5m2 + 10 = |m| m2 + 2 2 Tiếp theo, ta tính diện tích tam giác OM N Theo giả thiết M = d ∩ Ox, N = d ∩ Oy Từ đây, ta dễ dàng tìm tọa độ hai điểm M, N M (m, 0), N (0, 2m) Và tam giác OM N vng O nên ta có S OM N = 1 · OM · ON = · |xM | · |yN | = · |m| · |2m| = m2 2 Đến đây, sử dụng giả thiết S OAB = 3S OM N , ta thu c c o √ 1 |m| m2 + = 3m2 ⇔ m2 + = 9m2 ⇔ m2 = ⇔ m = ± 2 Vậy, có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề m = m = − 21 m o uy en Ví dụ 23 Tìm m để đường thẳng d : 2mx − 2y + m + = cắt đồ thị (H) hàm số x+1 y = 2x+1 hai điểm phân biệt A, B cho biểu thức OA2 + OB đạt giá trị nhỏ (ở O gốc tọa độ) Phân tích Bài tốn u cầu tìm điều kiện để giao điểm thỏa mãn “tổng bình phương độ dài đoạn thẳng (liên quan đến giao điểm) nhỏ nhất” Do đó, sau tìm giá trị m để tồn hai điểm A, B (sau bước này, ta có m thuộc miền ( ) đó), ta áp dụng cơng thức tính khoảng cách hai điểm để biểu diễn tổng OA2 + OB theo m, đưa toán khảo sát hàm số theo ẩn m ∈ ( ) để tìm giá trị nhỏ u c o nl Lời giải Phương trình d viết lại dạng b g y = mx + m+1 /o Từ đây, ta có phương trình hồnh độ giao điểm d (H) sau   m+1    2mx2 + 2mx + m − =   x + = (2x + 1) mx + x+1 m+1 2 = mx + ⇔ ⇔   2x + x = − x = −  2    1   1  2mx2 + 2mx + m =      2m x2 + x + = 2m x + = 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔    1 x = − x = −    x=− 2 :/ n o h k Để d cắt (H) hai điểm phân biệt A, B phương trình 2m x + 2 = ht phải có hai nghiệm phân biệt khác − 21 Điều tương thích với điều kiện:  m >  1 ⇔ m >  2m − + =  2 (1) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác to an v n Phạm Nguyễn Tuân 24 Với điều kiện này, phương trình (1) viết lại thành √  m 1 √ x= − ⇒y= + m  2m 2 1  √ x+ = ⇔ 4m m 1 √ x=− − ⇒y= − m 2m 2 Vậy ta có tọa độ điểm A, B sau √ m 1 √ A − , + m , 2m 2 √ B − Từ đây, ta tính √ m OA + OB = − + 2m 4m2 + 2m + = 2m 4m2 +2m+1 2m c c o √ m + − − 2m 2 + √ − m m o uy en Xét hàm số g(m) = √ + m 2 m 1 √ − , − m 2m 2 với m > Ta có g (m) = 4m2 −1 2m2 u c o g (m) = ⇔ 4m2 − = ⇔ m = (do m > 0) Bảng biến thiên g(m) miền (0, +∞) có dạng sau nl m − g(m) +∞ b g +∞ + +∞ /o g (m) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy OA2 + OB (tức g(m)) đạt giá trị nhỏ m = 21 Vậy m = 21 giá trị cần tìm n o h k :/ x−2 Ví dụ 24 Cho hàm số y = x+1 có đồ thị (H) Biết đường thẳng d : y = x − cắt (H) hai điểm A, B, tìm m để đường thẳng (d1 ) : y = x + 3m cắt (H) hai điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành Phân tích Bài tốn u cầu giao điểm lập thành hình bình hành.Vậy ta cần nhớ lại −→ −−→ tính chất quen thuộc sau: “Tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC.” −→ −−→ Dựa vào tính chất này, thấy ta cần tìm cách tính AB, DC tìm điều kiện −→ −−→ để AB = DC Đây công việc đơn giản, nhiên, cần lưu ý sau tìm m xong, ta phải so sánh lại với điều kiện tồn điểm C, D để loại giá trị khơng thỏa Có tốn giải trọn vẹn ht Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (H): x−2 =x−2⇔ x+1 (x − 2)x = ⇔ x = −1 x = (⇒ y = −2) x = (⇒ y = 0) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n 25 Do đó, ta có tọa độ điểm A, B A(0, −2) B(2, 0) Từ đây, ta tính −→ AB = (2, 2) Tiếp theo, ta tìm điều kiện để tồn điểm C, D tìm cách biểu diễn vector −−→ DC Ta có phương trình hồnh độ giao điểm d1 (H) sau x−2 = x + 3m ⇔ x+1 x − = (x + 1)(x + 3m) ⇔ x = −1 m o f (x) = x2 + 3mx + 3m + = x = −1 Để d1 cắt (H) hai điểm C, D phương trình f (x) = phải có hai nghiệm phân biệt khác −1 Điều tương thích với điều kiện:  √ 2−2 m < ∆>0 9m2 − 12m − > 3√  ⇔ ⇔ (1) f (−1) = − 3m + 3m + = 2+2 m> uy en c c o Khi m thỏa (1) C, D tồn tọa độ chúng có dạng C(x1 , y1 ), D(x2 , y2 ) với x1 , x2 hai nghiệm phương trình f (x) = Do C, D thuộc d1 nên ta có u c o y1 = x1 + 3m, Từ suy y2 = x2 + 3m −−→ DC = (x2 − x1 , x2 − x1 ) nl −→ −−→ Theo giả thiết, tứ giác ABCD hình bình hành nên ta có AB = DC Do đó, x2 − x1 = ⇒ (x2 − x1 )2 = ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = b g /o Mặt khác, theo định lý Viette n o h k x1 + x2 = −3m x1 x2 = 3m + :/ Thay vào đẳng thức trên, ta  m=2 (−3m) − 4(3m + 2) = ⇔ 9m − 12m − 12 = ⇔  m=− Cả hai giá trị thỏa mãn (1), nhiên, với m = − 32 ta có C, D trùng với hai điểm A, B nên giá trị khơng phù hợp u cầu tốn Vậy ta có m = giá trị cần tìm Ví dụ 25 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3(1 − m)x + 3m + có đồ thị (Cm ) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 < < x2 < x3 ht Phân tích Giống ví dụ trước, giải này, ta phân vân liệu có tìm “nghiệm đẹp” phương trình hồnh độ giao điểm khơng? Nếu mà dự đốn nghiệm ta tiến hành tách nhân tử đưa dạng đơn giản mà xử lý Lúc này, để ý đến số cho giả thiết, ta có ý nghĩ liệu có phải ta tìm hay không? Thử xem Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác to an v n Phạm Nguyễn Tuân 26 Tiếc thay, thay x = vào tham số m khử hết lại khử hết hệ số Như vậy, nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Điều có nghĩa ta khơng dự đốn nghiệm đặc biệt cho phương trình Vậy, muốn giải tốn, ta cịn cách lập phương trình dạng f (x) = f (m) m o Rồi sau chuyển tốn biện luận số giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) đường thẳng y = M Một dạng toán quen thuộc giải cách khảo sát biến thiên hàm số y = f (x) Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) trục hoành: c c o x3 − 3x2 + 3(1 − m)x + 3m + = ⇔ x3 − 3x2 + 3x + = 3m(x − 1) (1) uy en Nhận xét x = khơng nghiệm phương trình nên ta cần xét x = đủ Khi đó, phương trình (1) viết lại thành x3 − 3x2 + 3x + = 3m x−1 Xét hàm số f (x) = x3 −3x2 +3x+1 x−1 2(x − 2)(x2 − x + 1) (x − 1)2 nl f (x) = u c o với x = Ta có f (x) = ⇔ 2(x − 2)(x2 − x + 1) = ⇔ x = (⇒ y = 3) b g Do bảng biến thiên f (x) có dạng sau −∞ /o x f (x) n o h k − − +∞ f (x) +∞ +∞ + +∞ :/ −∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện toán thỏa 3m > 3, tức m > Vậy, tập hợp giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề T = (1, +∞) Bài tập đề nghị ht Trong phần hai, điểm qua 25 ví dụ minh họa với đầy đủ phân tích lời giải chi tiết Tuy số lượng nhỏ đủ minh họa phần cho dạng toán biện luận liên quan đến giao điểm hai đồ thị ví dụ điển hình cho dạng tốn Chúng tơi hy vọng với trình bày đây, bạn đọc tìm thấy chút thú vị, bổ ích Hy vọng viết giúp ích phần cho việc học tập nghiên cứu bạn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Các toán liên quan đến tương giao hai đồ thị to an v n 27 Tất nhiên, “học phải đơi với hành” Có nhiều thứ sống mà không tài nắm bắt đọc lý thuyết suông, chưa lần trải nghiệm qua chúng Ở vậy, khơng tự thử sức với tốn đó, bạn khơng thể thấy hết hay toán biện luận giao điểm nắm bắt hết kỹ cần có ứng phó với tốn loại Xuất phát từ nguyên nhân thế, xin phép đề nghị tập để bạn đọc thử sức rèn luyện kỹ Chúc bạn học tập làm việc thật tốt Bài tập Tìm giao điểm đồ thị hai hàm số y = f (x) y = g(x), biết: (a) f (x) = x3 − 3x2 + 3x + g(x) = x + (b) f (x) = x4 − 8x2 + g(x) = −1 (c) f (x) = x+3 x−2 g(x) = x + c c o m o uy en x+1 Bài tập Cho hàm số y = x−1 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = x − m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho: √ (a) AB = (b) AB có độ dài nhỏ u c o (c) A, B có hồnh độ âm (d) A, B thuộc hai nhánh khác (C) nl Bài tập Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường thẳng d : y =√x + cắt đồ thị hàm số ba điểm A(0, 4), B, C cho tam giác IBC có diện tích với I(1, 3) điểm cho trước b g Bài tập Cho hàm số y = x3 − (2m + 3)x2 + (2m2 − m + 9)x − 2m2 + 3m − Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ khơng nhỏ /o Bài tập Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + cắt trục hoành ba điểm phân biệt mà hoành độ chúng nhỏ n o h k :/ Bài tập Cho hàm số y = x3 − 3x + Gọi d đường thẳng qua M (3, 20) có hệ số góc m Tìm m để d cắt đồ thị hàm số cho ba điểm phân biệt Bài tập Cho hàm số y = x3 − 32 mx2 + 21 m3 Tìm m để đường thẳng d : y = x cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC Bài tập Tìm m để đường thẳng y = 5x + cắt đồ thị hàm số y = x +(m+2)x+m+1 hai x+1 điểm phân biệt A, B cho A, B đối xứng với qua đường thẳng d : x + 5y + = Bài tập Cho hàm số y = với đồ thị hàm số cho 3x+4 x−2 Tìm m để đường thẳng d : y = mx + khơng có giao điểm ht Bài tập 10 (Đề thi Đại học khối A, năm 2010) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 cho x12 + x22 + x32 < Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phạm Nguyễn Tuân to an v n 28 Bài tập 11 (Đề thi Đại học khối B, năm 2010) Tìm m để đường thẳng d : y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x+1 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích x+1 √ với O gốc tọa độ Bài tập 12 Tìm m để đường thẳng y = −x + m + cắt đồ thị hàm số y = phân biệt A, B cho góc AOB nhọn với O gốc tọa độ x+3 x−2 hai điểm Bài tập 13 Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt đồ thị hàm số y = −→ −−→ phân biệt A, B cho OA · OB = −4 với O gốc tọa độ x+3 x+2 hai điểm m o Bài tập 14 Cho hàm số y = x3 − 2(m + 2)x2 + 7(m + 1)x − 3m − 12 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 cho c c o x12 + x22 + x32 + 3x1 x2 x3 > 53 Bài tập 15 Cho hàm số y = 4x3 − 6mx2 + Tìm m để đường thẳng d : y = −x + cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A(0, 1), B, C cho B, C đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ uy en Bài tập 16 Cho hàm số y = x3 − 3x + Tìm m để đường thẳng d : y = mx + cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt cho tam giác ADB vuông D với A, B hai giao điểm có hồnh độ khác D(1, −1) điểm cho trước u c o Bài tập 17 Cho hàm số y = x3 − 3x + Gọi d đường thẳng qua A(1, 0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị hàm số cho hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác đồ thị cho AM = 2AN Bài tập 18 Tìm m để đường thẳng d : y = −3x + m cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + mx − ba điểm phân biệt A(1, yA ), B, C cho B, C nằm khác phía so với ∆ : x − y + = nl Bài tập 19 Tìm m để đường thẳng d : mx − y − m = cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A, B cho AB có độ dài nhỏ b g /o Bài tập 20 Tìm m để đường thẳng d : y = mx cắt đồ thị hàm số y = phân biệt A, B cho gốc tọa độ O trung điểm AB x2 +2x−5 x−1 2x2 −4x+10 1−x tại hai điểm Bài tập 21 Cho hàm số y = x −2x+2 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị x−1 hàm số Viết phương trình đường thẳng qua I có hệ số góc nguyên cắt đồ thị hàm số bốn điểm phân biệt bốn đỉnh hình chữ nhật n o h k :/ Bài tập 22 Với giá trị m tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = hai trục tọa độ tam giác có diện tích (đvdt)? x2 +mx+1 x−1 tạo với Bài tập 23 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m2 − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài tập 24 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (4m + 3)x2 + 4m cắt đường thẳng y = −2 bốn điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 cho x12 + x22 + x32 + x42 + x1 x2 x3 x4 = ht Bài tập 25 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 − (3m − 1)x + m + cắt đường thẳng d : y = (1 − m)x + m − ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 cho x1 < x2 < < x3