Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác bo cu oc c om NGUYỄN ðỨC TUẤN on g TỰ ÔN LUYỆN THI kh MÔN TOÁN Hà nội, - 2005 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 1: Phương trình bất phương trình Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI • ax + b = 0, a,b ∈ IR Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x = - b a m I Cách giải 1) Phương trình bậc nhất: oc uo c co • Nếu a = 0, b ≠ phương trình vô nghiệm • Nếu a = b = phương trình nghiệm ñúng với x ∈ IR 2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, a ≠ • Nếu ∆ = b – 4ac < phương trình vô nghiệm b • Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép x1 = x = 2a −b± ∆ • Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, = 2a II ðịnh lí Viét hệ dấu nghiệm 1) ðịnh lí Viét : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ có hai nghiệm x1 , x b c S = x1 + x = P = x1.x = a a 2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ có hai nghiệm: ∆ ≥ c  Trái dấu ⇔ kh on gb  ∆ ≥  c Cùng dương ⇔  > a  b − a >  ∆ ≥  c Cùng âm ⇔  > a  b − a < III ðịnh lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ ta có ðịnh lí thuận: • Nếu ∆ = b2 – 4ac < a.f(x) > với ∀ x b • Nếu ∆ = a.f(x) > với ∀ x ≠ 2a • Nếu ∆ > ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 a.f(x) > với x [ x1 ; x ] a.f(x) < với x1 < x < x ðịnh lí ñảo: Nếu tồn số α cho a.f( α ) < tam thức có hai nghiệm phân biệt số α nằm khoảng hai nghiệm ñó: x1 < α < x Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán om IV Ứng dụng ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c không ñổi dấu với x a = b = a = b =   c ≥ c >  f(x) > với ∀ x ⇔ f(x) ≥ với ∀ x ⇔  a > a >   ∆ ≤ ∆ < ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < α < x là: a.f( α ) < ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt α nằm khoảng hai ∆ > nghiệm:  a.f (α) > oc • • c a = b = a = b =   c < c ≤  f(x) ≤ với ∀ x ⇔  f(x) < với ∀ x ⇔ a < a <   ∆ < ∆ ≤ So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α cu - Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: x1 < x < α bo  ∆ >  - Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: α < x1 < x ⇒ a.f (α ) > S b  =− >a 2a 2 ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt nghiệm nằm trong, nghiệm f( α ).f( β ) < nằm ñoạn [ α; β ] là: on g •  ∆ >  ⇒ a.f (α ) > S b  =− α : • Trường hợp 1: f(x) có nghiệm x1 < α < x ⇔ a.f( α ) < kh  ∆ ≥  • Trường hợp 2: f(x) có nghiệm α < x1 < x ⇔ a.f (α) >  S α <  f (α ) =  • Trường hợp 3: f(x) có nghiệm α = x1 < x ⇔  S α < ( Làm tương tự với trường hợp x < α xảy dấu bằng) Ngoài ta ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục Khi ñó ñiều kiện ñể phương trình f(x) = m có nghiệm minf(x) ≤ m ≤ maxf(x) Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận dấu tam thức bậc hai N ếu ∆ = a.f(x) > với ∀ x a.f(x) > với x [ x1 ; x ] a.f(x) < với x1 < x < x b 2a oc c a.f(x) > với ∀ x ≠ - Nếu ∆ > om Nếu ∆ < Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt gb a.f( α ) < α nằm khoảng hai nghiệm oc u α nằm khoảng hai nghiệm x1 < α < x ∆ >  a.f (α ) > x1 < x < α x1 < x < α  ∆ >  a.f (α ) > S b  =−  a.f (α ) > S b  =− >a 2a 2 Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 2( m + 4) x + m + = có nghiệm dương on Ví dụ Xác ñịnh a ñể biểu thức (a + 1) x − 2(a − 1) x + 3a − dương Ví dụ Tìm m ñể bất phương trình x + x − ≥ m nghiệm ñúng với x Ví dụ Tìm m ñể phương trình x + mx + 2m = có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn -1< x1 < x 2 Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 2mx + 2m − = có nghiệm thỏa mãn − ≤ x1 ≤ x ≤ kh Ví dụ Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − =0 Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 2mx + m + = có nghiệm lớn Ví dụ Tìm m ñể phương trình x − 6mx + 9m − 2m + = có nghiệm x1 ≤ x ≤ Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI om (1) I Phương trình trùng phương ax + bx + c = 0, a ≠ 2 ðặt t = x ≥ phương trình (1) trở thành: at + bt + c = (2) • PT (1) có nghiệm (2) có nghiệm không âm • PT (1) có ñúng hai nghiệm phân biệt (2) có ñúng nghiệm dương • PT (1) có ñúng nghiệm phân biệt (2) có nghiệm nghiệm dương • PT (1) có ñúng nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt |a| ≤ b b ≥ ⇔ 2 a ≤ b b <  | a | ≥ b ⇔  b ≥ a ≥ b  gb oc | a | ≥ | b | ⇔ a ≥ b2 uo c c Ví dụ Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – = a)Tìm giá trị m ñể phương trình vô nghiệm b)Tìm giá trị m ñể phương trrình có nghiệm phân biệt Ví dụ Tìm m cho ñồ thị hàm số y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + cắt trục hoành ñiểm phân biệt A, B, C, D với AB = BC = CD II Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối 1) Các dạng bản: b ≥ |a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b a = ± b Ví dụ Giải phương trình | x2 – 3x + | - 2x = Ví dụ Giải bất phương trình x2 - | 4x – | < Ví dụ Giải biện luận phương trình | 2x – m | = x Ví dụ Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = Ví dụ Giải biện luận bất phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m | kh on 2)Phương pháp ñồ thị: a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x) - Chia ñồ thị hàm số f(x) phần: phần ñồ thị nằm phía trục hoành (1) phần ñồ thị nằm phía trục hoành (2) - Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị (3) - ðồ thị hàm số y = | f(x) | ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) phần ñồ thị (3) vừa vẽ b) ðịnh lí: Số nghiệm phương trình g(x) = h(m) số giao ñiểm ñường thẳng nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x) Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng vế phương trình vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) ñường thẳng y = h(m) áp dụng ñịnh lí ñể biện luận Ví dụ Tìm m ñể phương trình | x2 – | = m4 – m2 +1 có nghiệm phân biệt Ví dụ Biện luận theo m số nghiệm phương trình | x – | + | x + | = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Các dạng Dạng 1: Dạng 2: n +1 2n f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1 ϕ( x ) ≥ f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔  2n f ( x ) = [ϕ( x )] om Dạng 3: f ( x ) ≥  , f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > f ( x ) < [ϕ( x )]2  f ( x ) ≥  f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2  f ( x ) ≥  ϕ( x ) < , f ( x ) > ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥  f ( x ) > [ϕ( x )]2 f ( x ) <  ϕ( x ) ≥ f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥  f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2 oc c Dạng 4: Ví dụ Giải phương trình x − 2x + = 2x + Ví dụ Giải bất phương trình x − x − 12 < x Ví dụ Giải bất phương trình x + 5x − > − x oc u Ví dụ Tìm m ñể phương trình có nghiệm x − m = x + mx − II Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không 1) Phương pháp lũy thừa hai vế: - ðặt ñiều kiện trước biến ñổi - Chỉ ñược bình phương hai vế phương trình ñể ñược phương trình tương ñương (hay bình phương hai vế bất phương trình giữ nguyên chiều) hai vế chúng không âm - Chú ý phép biến ñổi thức A2 = A on gb Ví dụ Giải phương trình x +1 = − x + Ví dụ Giải bất phương trình x + ≥ 2x − + − x Ví dụ Giải bất phương trình x − 5x + > Ví dụ Giải bất phương trình x + − x +1 ≤ x Ví dụ 9.Giải phương trình x + 8x + + x − = x + kh Ví dụ 10.Giải bất phương trình x − 4x + − x − 3x + ≥ x − 2)Phương pháp ñặt ẩn phụ: - Những toán có tham số ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh ẩn - Chú ý ñẳng thức (a ± b) = a ± 2ab + b , a − b = (a + b)(a − b) , … Ví dụ 11.Giải bất phương trình 5x + 10 x + ≥ − x − x Ví dụ 12.iải phương trình x + + x + + x +1− x + = Ví dụ 13.Giải phương trình x + + x − = x − 15 + x − Ví dụ 14.Giải phương trình 9x + Ví dụ 15.Giải bất phương trình 3x + x − = x2 x 5 x+ < 2x + +4 2x x Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG co m I Hệ phương trình ñối xứng loại 1)Khái niệm: Là hệ mà phương trình không ñổi ta thay x y thay y x 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) nghiệm hệ (yo, xo) nghiệm hệ 3)Cách giải: x + y = S Biến ñổi hệ phương trình dạng: Hệ ñã cho ⇔  (1) x.y = P Khi ñó x, y nghiệm phương trình: t − St + P = (2) Nếu ∆ = S – 4P > phương trình (2) có hai nghiệm t1 ≠ t2 nên hệ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (t1, t2), (t2, t1) Nếu ∆ = phương trình (2) có nghiệm kép t1 = t2 nên hệ (1) có nghiệm (t1, t2) ðiều kiện ñể hệ (1) có cặp nghiệm (x, y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ ∆ = S − P ≥  S ≥ P ≥  uo c x y + y x = 30 x − y − xy =   2 x x + y y = 35 x + y + xy =  x + + y − = m xy( x + 2)( y + 2) = 5m − Ví dụ 2.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm   2 x + y = m − 4m +  x + y + 2( x + y ) = m x + y = Ví dụ 1.Giải hệ phương trình  3 x + y = 26 kh on gb oc II Hệ phương trình ñối xứng loại 1)Khái niệm: Là hệ phương trình mà hệ phương trình ta ñổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) nghiệm hệ (yo, xo) nghiệm hệ 3)Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta ñược phương trình có dạng: (x – y).f(x,y) = ⇔ x – y = f(x,y) =  2x = y + x y − = y  x + xy = 40 y y Ví dụ 3.Giải hệ phương trình    2 xy − = x  y + x y = 40 x 2 y = x +  x 2 x + y − = m x = y − y + m Ví dụ 4.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm:    y = x − x + m 2 y + x − = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC c cu oc  x + y + xy = Ví dụ Giải hệ phương trình   x + y = x + y + xy = a Ví dụ Giải biện luận  x − y = a  x+ y + x− y =2  Ví dụ Giải hệ phương trình   y + x − y − x =  x − − y = Ví dụ Giải hệ phương trình   − x + y =  x + + y = m Ví dụ Tìm m ñể hệ có nghiệm   y + + x = II Hệ hữu tỷ 2y   x + y2 −1 + x =  Ví dụ Giải hệ phương trình  x + y + x = 22  y om I Hệ vô tỷ ng bo x − y = Ví dụ Giải hệ phương trình  xy( x − y) = 3 x + y = y + 16 x Ví dụ Giải hệ phương trình  1 + y = 5(1 + x ) x − y = a (1 + xy) Ví dụ Tìm a ñể hệ có nghiệm  xy + x + y + = kh o 2 y( x − y ) = 3x Ví dụ 10 Giải hệ phương trình  x ( x + y ) = 10 y x + y = m Ví dụ 11.Tìm m ñể hệ có hai nghiệm phân biệt:  2 x − y + 2x = 2 x − xy − y = −11 Ví dụ 12 Giải hệ phương trình  ( x − y ) xy = 180 x − y = 19( x − y) Ví dụ 13 Giải hệ phương trình  x + y = 7( x + y) ========================================================== Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ðiều kiện có nghiệm ðưa dạng sinx = m −1 ≤ m ≤ sinx = sin α cosx = m tgx = m cotgx = m −1 ≤ m ≤ m ọi m m ọi m cosx = cos α tgx = tg α cotgx = cotg α Nghiệm x = α + k 2π  x = π − α + k 2π  ± α + k2 π α + kπ α + kπ c Phương trình om I Phương trình lượng giác Khi giải phương trình lượng giác cuối dẫn ñến phép giải phương trình lượng giác Ta cần ghi nhớ bảng sau ñây: kh o ng bo cu oc Ở bảng k nhận giá trị nguyên ( k ∈ Z ) ðơn vị góc thường dùng radian ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị hàm lượng giác góc ñặc biệt ðường tròn lượng giác giúp ta nhớ cách rõ ràng Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Ví dụ Giải phương trình: ; Ví dụ Giải phương trình: π a) cos2x = cos ; a) sin3x = b) sin(2x - π ) = 1; c) sin( xπ ) = Ví dụ Giải phương trình: π π π ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ) 8π π cos ( cos x − ) = 3 cos(π sin x ) = cos(3π sin x ) Ví dụ Giải phương trình: cos x − sin ( x ) = om Ví dụ Giải phương trình: b) cos(3x - II Phương trình bậc ñối với sinx cosx: asinx + bcosx = c (1) , a + b ≠ bo cu oc c Chia hai vế phương trình (1) cho a + b , ta ñược: a b c (1) ⇔ (2) sin x + cos x = 2 2 a +b a +b a + b2 a b ðặt = sin ϕ ; = cos ϕ 2 a +b a + b2 c Khi ñó phương trình lượng giác có dạng: cos(x - ϕ ) = (3) a + b2 c Phương trình có nghiệm khi: ≤ ⇔ a +b2 ≥ c2 2 a +b c Khi ñó tồn α ∈ [0; π] cho cos α = nên ta có: a + b2 (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z on g Ví dụ Giải phương trình: 2sin4x + sinx = cosx Ví dụ Cho phương trình: sinx + mcosx = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m ñể phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: cos x + sin x cos x + sin x = Ví dụ Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ IR: cos x + sin( x + α) = sin 8x − cos x = (sin x + cos 8x )  π Ví dụ 11 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ 0;  :  2 cos2x – msin2x = 2m – Ví dụ 12 Giải phương trình: sin8x – cos6x = (sin6x + cos8x) Ví dụ 13 Giải phương trình: cos x − cos x cos x − sin x + = kh Ví dụ 10 Giải phương trình: Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx cosx 1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx cosx: 2sin3x = cosx π Ví dụ 15 Giải phương trình: sin ( x + ) = sin x Ví dụ 16 Tìm m ñể phương trình có nghiệm: msin2x + cos2x + sin2x +m = uo c Ví dụ 14 Giải phương trình: co m Khái niệm: Một phương trình sau biến ñổi cosx, sinx mà tất số hạng có tổng số mũ cosx sinx ñều số tự nhiên chẵn ñều số tự nhiên lẻ phương trình ñó ñược gọi “ ñẳng cấp” ñối với cosx sinx Gọi k số lớn tổng số mũ nói ñược gọi bậc phương trình Cách giải: - Xét trường hợp cosx = thử vào phương trình - Khi cos x ≠ chia hai vế phương trình cho coskx sau ñó ñặt ẩn phụ t = tgx Ví dụ 17: Tìm m ñể phương trình sau có ñúng hai nghiệm x nằm khoảng  π π − ; :  2 3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 2) Phương trình ñối xứng sinx cosx: on gb oc Khái niệm: Một phương trình sau biến ñổi cosx, sinx mà số hạng có chứa tổng (cosx ± sinx ) chứa tích cosx.sinx ñược gọi phương trình ñối xứng ñối với cosx sinx Ví dụ phương trình: a (cos x ± sin x ) + b cos x sin x + c = Cách giải: ðặt t = sinx + cosx, ta có t ≤ Khi ñó: sinx.cosx = Nếu ñặt t = sinx - cosx, ta có t ≤ Khi ñó: sinx.cosx = t −1 1− t2 kh Ví dụ 18 Cho phương trình: sinx.cosx = ( sinx + cosx + m) a) Giải hệ phương trình với m = - b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm Ví dụ 19 Giải phương trình: + sin x + cos3 x = sin x Ví dụ 20 Giải phương trình: + sin x + cos 2x = sin 4x  π 3π  Ví dụ 21 Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x∈ , : 4  3 cos x + sin x = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán c co m IV Phương trình ñưa dạng tích Các phương trình lượng giác dạng phương trình ñã trình bày mục trước, người ta thường nghĩ tới phân tích chúng thành phương trình Việc phân tích thành tích thực chất ñi tìm thừa số chung số hạng có phương trình ðể làm ñược ñiều ñó, cần phải thành thạo công thức lượng giác, ñẳng thức ñại số ñáng nhớ cần phải có kinh nghiệm nhìn nhận mối quan hệ số hạng có phương trình 1 • Thử nghiệm ñặc biệt sin x = ±1 , sin x = ± , cos x = ±1 , cos x = ± 2 2 phương trình có chứa thừa số (cosx ± sinx) Sử dụng ñẳng thức sin x + cos x = • Dùng công thức biến ñổi hạ bậc, biến ñổi tổng thành tích , biến ñổi tích thành tổng, hàm số lượng giác hai góc có liên quan ñặc biệt Chú thêm số biến ñổi sau ñây: cot gx + tgx = , cot gx − tgx = cot g x , cot gx − cot g 2x = sin x sin x • ðặt nhân tử chung (nhân tử chung suy từ nghiệm ñã thử ñược) Tham khảo thêm bảng họ biểu thức có nhân tử chung 1-sinx on gb sinx+cosx sinx-cosx oc 1-cosx 1+sinx Biểu thức chứa thừa số f(x) sin2x, tgx, tg2x, sin2x, tg2x, cotgx, x x cos , cot g , sin2x, tg2x 2 x x sin , tg , sin2x, tg2x 2 π x π x cos2x, cotg2x, cos ( − ) , sin ( + ) 4 π x π x cos2x, cotg2x, cos ( + ) , sin ( − ) 4 cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx cos2x, cotg2x, - sin2x, - tgx, - cotgx, tgx - cotgx uo f(x) sinx cosx 1+cosx Ví dụ 1.Giải phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = Ví dụ 2.Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = Ví dụ 3.Giải phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = ( cos2x + cos4x) 2sin3x + cos2x + cosx = sin4x – cos4x = + 4(sinx – cosx) + tgx Ví dụ 6.Giải phương trình: = + sin x − tgx π x Ví dụ 7.Giải phương trình sin x cos x − sin 2 x = sin  −  4 2 kh Ví dụ 4.Giải phương trình: Ví dụ 5.Giải phương trình: Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán oc c I Các kết 1) Hàm số mũ: y = ax, < a ≠ • Tập xác ñịnh: IR • Tập giá trị: IR+ (ñồ thị nằm phía trục hoành) • Khi a > hàm số ñồng biến Khi < a < hàm số nghịch biến • Dạng ñồ thị: om Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT kh on g bo cu 2) Hàm số logarit: y = logax , < a ≠ a) Các tính chất: • Tập xác ñịnh: IR* (x > ) • Tập giá trị: IR • Khi a > hàm số ñồng biến Khi < a < hàm số nghịch biến • Dạng ñồ thị: Chú ý: Trong bất phương trình mũ, logarit, số a lớn hay bé ñịnh chiều bất phương trình Vì phải ý ñến chiều bất phương trình trình biến ñổi Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán b)Các công thức ý: b > log a b có nghĩa ⇔  0 < a ≠ log c b log c a • log a b = • log a n b m = • log a b k = 2k log a | b | ( Công thức ñổi số với b > , < a ≠ , < c ≠ ) om • m log a b ( Với b > < a ≠ ) n với k ∈ Z II Các phương trình, bất phương trình có dạng c 1) Phương trình mũ: b > Dạng 1: a f ( x ) = b ⇔  f ( x ) = log a b a >  f ( x ) < log a b < b (với b > 0) ⇔  0 < a <  f ( x ) > log a b Dạng 3: a f ( x ) > b Nếu b ≤ bất phương trình nghiệm ñúng với x thuộc tập xác ñịnh bo - cu Dạng 2: a f ( x ) oc Cho < a ≠ bất phương trình kh on g - a >  f ( x ) > log a b Nếu b > 0, ñó bất phương trình tương ñương với:  0 < a <  f ( x ) < log a b Dạng 4: a f ( x ) < a g ( x ) a >  f ( x ) < g ( x ) ⇔ 0 < a <  f ( x ) > g ( x ) Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 13 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 2)Phương trình logarit Dạng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b om a >  b 0 < f ( x ) < a Dạng 2: log a f ( x ) < b ⇔  < a a b c  a >  b  f ( x ) > a Dạng 3: log a f ( x ) > b ⇔  < a  0 < f ( x ) < g ( x ) Dạng 4: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔  0 < a <  0 < g ( x ) < f ( x ) a)Giải phương trình m = b)Tìm m ñể phương trình có nghiệm phân biệt log x (5x − 8x + 3) > bo Ví dụ Giải bất phương trình: Ví dụ Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: log (9 x + 9m ) = x Ví dụ Giải phương trình: kh on g log x (cos x − sin x ) + log (cos x + cos x ) = [ x ] Ví dụ Giải bất phương trình: log x log (9 x − 72) ≤ Ví dụ Giải bất phương trình: log ( − x ) < log (3 − x ) 3 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 14 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III Các phương trình, bất phương trình không • Phải ñặt ñiều kiện • Những toán có tham số, ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh ẩn • Những toán phương trình, bất phương trình mũ, logarit mà ẩn x vừa số om mũ lũy thừa, vừa hệ số, thường chuyển việc phân tích thành thừa số, nhẩm nghiệm chứng minh nghiệm ñối với phương trình; xét dấu tích ñối với bất phương trình • Khi toán phức tạp, có phần tử giống hay nhân tử giống ta ñặt ẩn phụ ñể ñưa toán trở lên ñơn giản 1 3.4 x + x + = 6.4 x +1 − x +1 Ví dụ Giải phương trình: 8.3x + 3.2 x = 24 + x Ví dụ Giải bất phương trình: log a (35 − x ) > (với < a ≠ ) log a (5 − x ) cu oc c Ví dụ Giải phương trình:  x −1 Ví dụ 10 Giải phương trình: log 27 ( x − 5x + 6) = log   + log ( x − 3)   lg(lg x ) + lg(lg x − 2) = Ví dụ 11 Giải phương trình: Ví dụ 12 Giải phương trình: bo x log 5x − x − − x log (5x − x − 3) = x + x Ví dụ 13 Giải bất phương trình: ng Ví dụ 14 Giải phương trình: Ví dụ 15 Giải phương trình: Ví dụ 16 Giải phương trình: log x − 5x + + log x − > log ( x − 1) + log ( x + 1) − log 2 log ( x + 3) (7 − x ) = lg ( x − 1) + lg ( x − 1)3 = 25 log 3x + (9 + 12 x + x ) + log x + (6 x + 23x + 21) = kh o Ví dụ 17 Tìm m ñể phương trình sau ñây có hai nghiệm trái dấu: (m + 3)16 x + (2m − 4)4 x + m + = Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 3: Khảo sát hàm số toán liên quan Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh hàm số (Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có)) co m 2) Khảo sát biến thiên hàm số a) Xét chiều biến thiên hàm số • Tính ñạo hàm • Tìm ñiểm tới hạn (ðiểm tới hạn thuộc TXð ñó f ′( x ) không xác ñịnh 0) • Xét dấu ñạo hàm khoảng xác ñịnh ñiểm tới hạn • c (Giữa hai ñiểm tới hạn kề f ′( x ) giữ nguyên dấu) Suy chiều biến thiên hàm số khoảng (ðồng biến f ′( x ) >0, nghịch biến f ′( x ) Ví dụ 11 Cho hàm số y = mx + x + m x+m Ví dụ 12 Cho hàm số y = x − 3mx + (m + 2m − 3) x + c Tìm m ñể hàm số cực trị Ví dụ 13 Cho hàm số y = x2 + x + m x +1 uo c Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm hai phía trục tung Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm hai phía trục tung x + (2m + 3) x + m +4m Ví dụ 14 Tìm tất giá trị tham số m ñể hàm số y = có hai x+m cực trị giá trị ñiểm cực trị tương ứng trái dấu x + (m + 1) x − m + có hai cực trị giá trị ñiểm cực trị tương x−m gb oc Ví dụ 15 Cho hàm số y = kh on ứng dấu Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 22 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 23 [...]... 5 − x ) < log 1 (3 − x ) 3 3 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 14 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán III Các phương trình, bất phương trình không cơ bản • Phải ñặt ñiều kiện • Những bài toán có tham số, ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới • Những bài toán phương trình, bất phương trình mũ, logarit mà ẩn x vừa... ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh của hàm số (Xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có)) co m 2) Khảo sát sự biến thi n hàm số a) Xét chiều biến thi n của hàm số • Tính... Trong các bất phương trình mũ, logarit, cơ số a lớn hơn hay bé hơn 1 quyết ñịnh chiều của bất phương trình Vì vậy phải chú ý ñến chiều của bất phương trình trong quá trình biến ñổi Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán b)Các công thức chú ý: b > 0 log a b có nghĩa ⇔  0 < a ≠ 1 log... Ví dụ 4.Giải phương trình: Ví dụ 5.Giải phương trình: Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán oc c I Các kết quả cơ bản 1) Hàm số mũ: y = ax, 0 < a ≠ 1 • Tập xác ñịnh: IR • Tập giá trị: IR+ (ñồ thị luôn nằm phía trên trục hoành) • Khi a > 1 hàm số ñồng biến Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch... Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x∈ , : 4 4  3 3 cos x + sin x = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán c co m IV Phương trình ñưa về dạng tích Các phương trình lượng giác không có dạng như những phương trình ñã trình bày ở các mục trước, người ta thường nghĩ tới phân tích chúng... tiếp tuyến ở một số ñiểm ñặc biệt) • Vẽ ñồ thị (ñọc lại các ví dụ mẫu SGK từ trang 80 ñến trang 97) Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 16 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I Tìm giao ñiểm của hai ñường Giả sử hàm số y = f ( x ) có ñồ thị là (C) và hàm số y = g ( x )... lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 18 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 1 3 Ví dụ 5 Cho hàm số y = − x 4 − 3x 2 + có ñồ thị là (C) 2 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại các ñiểm uốn 3 b) Tìm tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A (0; ) 2 y= co m Ví dụ 6 Cho hàm số 3x + 2 có ñồ thị là (C) x+2 Chứng minh rằng, không có tiếp... trị của ñiểm cực trị tương x−m gb oc Ví dụ 15 Cho hàm số y = kh on ứng cùng dấu nhau Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 22 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 23 ... ) < log a b Dạng 4: a f ( x ) < a g ( x ) a > 1  f ( x ) < g ( x ) ⇔ 0 < a < 1  f ( x ) > g ( x ) Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 13 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 2)Phương trình logarit Dạng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b om a > 1  b 0 < f ( x ) < a Dạng 2: log a f ( x ) < b ⇔  0