Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác CẨM NANG CHO MÙA THI TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (ƠN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuu bienEmail: ng.huubien@gmail.com Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA Bài 1: Giải bất phương trình x + − x ≥ − 3x − x Hướng dẫn x ≥ 0 ≤ x ≤  −3 + 41  ⇔  −3 − 41 - Điều kiện: 1 − x ≥ −3 + 41 ⇔ ≤ x ≤ ≤x≤   8  2 − 3x − x ≥ - Bất phương trình cho tương đương với x + − x + x(1 − x ) ≥ − x − x ⇔ 3( x + x) − (1 − x) + ( x + x )(1 − x) ≥  −5 + 34 x≥  x +x x +x x +x ⇔3 +2 −1 ≥ ⇔ ≥ ⇔ x + 10 x − ≥ ⇔   1− x 1− x 1− x −5 − 34 x ≤  −5 + 34 −3 + 41 ≤x≤ - Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình 2 Bài 2: Giải bất phương trình x − + 3x − + x − 24 x + 10 x − ≥ 0, ( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ - Bất phương trình cho tương đương với x − − + x − − + x − 24 x + 10 x + ≥ ⇔ ( x − − 1) + 2( x − − 2)( x − 2)(9 x − x − 2) ≥ x−2 2(3 x − 6) + + ( x − 2) (3 x − 1) − ≥ x −1 + 3x − + [ ⇔ ]   ⇔ ( x − 2)  + + (3 x − 1) − 3 ≥ 0(1) 3x − +  x −1 +  + + (3 x − 1) − > (3.1 − 1) − = > 0, ∀x ≥ - Dễ thấy x −1 + 3x − + - Hơn (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp điều kiện thu x ≥ Bài 3: Giải bất phương trình sau: + log x + log ( x + ) > log (6 − x) Hướng dẫn: ĐK: < x < 2 ⇔ log 2 x + x > log ( − x ) ⇔ x + x > ( − x ) ⇔ x + 16 x − 36 > ( ) Vậy: x < −18 hay < x So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT < x < Bài 4: Giải bất phương trình x − 22 x + 19 x + x − − > 1, ( x ∈ R ) x3 + 2x + 2x − x ≥ Hướng dẫn: Điều kiện  x + 2x + 2x − ≠ - Nhận xét x + x + x − ≥ + + − = > 0, ∀x ≥ - Bất phương trình cho tương đương với x − 22 x + 19 x − x − − > x + x + x − ⇔ x − − + x − 24 x + 17 x − > NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA ⇔ - Rõ ràng x−2   + ( x − 2)(8 x − x + 1) > ⇔ ( x − 2)  + 2(2 x − 1) − 1 > 0(1) x −1 +  x −1 +  + 2(2 x − 1) − > 2(2 − 1) − = > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − > ⇔ x > x −1 + Bài 5: Giải bất phương trình: log ( x + 1) − log ( − x ) ≤ + log ( 3x + ) ⇔ log ( x + 1) + log ( 3x + ) ≤ + log ( − x ) Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x < ⇔ log ( x + 1)( x + ) ≤ log 5 ( − x ) ⇔ ( x + 1)( x + ) ≤ ( − x ) ⇔ 12 x + 21x − 33 ≤ ⇔− 33 ≤ x ≤1 12 4 Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ Vậy: nghiệm BPT cho − < x ≤ Bài 6: Giải bất phương trình ( x − 1) x − x + ≥ x x + + x + 2( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ∈ R Khi : ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + ) + x(2 x + − x − x + ) ≤ x(4 x + − x + x − 5) ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + ) + ≤0 x2 +1 + x − 2x + x( x + 1)(3 x − 1) ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + ) + ≤0 x2 +1 + x2 − 2x + x(3 x − 1) ⇔ ( x + 1)(2 + x − x + + )≤0 2 x +1 + x2 − 2x +  x + + x − x + + ( x + 1)( x − x + 5) + x − x +  ≤0 ⇔ ( x + 1) 2   x +1 + x − 2x +   2 - Do x − x + = ( x − 2) + x + > nên (2) ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ −1 ⇔ x ∈ (−∞;−1) Bài 7: Giải bất phương trình : ( x − 1) x + + x > x + Hướng dẫn: + x ≤ : loại x2 − x +1 1 + x > 1: x + > ⇔ x2 + > x + ⇔ x2 + − x > x −1 x −1 x −1 ⇔ > ⇔ ( x − 1) > x + + x ⇔ 4x − > x + x + + x x −1  x > ⇔ ⇔x>2 15x − 40x + 20 >  NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA ) ( Bài 8: Giải bất phương trình: x + x < + x( x + x − 4) (x∈ R) ( ) Hướng dẫn: x + x < + x( x + x − 4) (*)  −1 − ≤ x ≤ - ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ ⇔   x ≥ −1 + - (*) ⇔ x( x + x − 4) > x + x − ⇔ x( x + x − 4) > ( x + x − 4) + 3x (**) x2 + x − x2 + 2x − > +3 TH 1: x ≥ −1 + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ x x x2 + x − , t ≥ , ta có bpt: t − 4t + < ⇔ < t < Đặt t = x  x − x − < −1 + 17 + 65 x2 + x − x + + x − Hướng dẫn: BPT ⇔ x + − x + + x − − x − > ⇔ (−2 x + 4)[ 1 + ]>0 2x + + 4x + 3x − + x − ⇔ x 2x + + x + + + 3 5x + + 5x + ) ( ) ( 18x + 57x + 127 > 0, ∀x ≥ − 45 - Do (*) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ , kết hợp với điều kiện x ≥ − trình cho có nghiệm − ta suy bất phương ≤x ≤2 Bài 11: Giải bất phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 2( x + 2) + 2( x + 1) ≥ x + + 7( x ∈ R ) 2x + +1 Bất phương trình cho tương đương với ⇔ x + − + x + x + ≥ x + + ⇔ x + − x + + 2( x + x − 3) ≥ x −1   + 2( x − 1)( x + 3) ≥ ⇔ ( x − 1)  + 2( x + 3) ≥ 0(1) 2x + + x +  2x + + x +  + 2( x + 3) > 0, ∀x ≥ − nên (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Chú ý 2x + + x + Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ≥ Bài 12: Giải bất phương trình 1− + 2x − ≥ x x x  x ≥   − ≥  −2 ≤ x <  x  x < Hướng dẫn: Điều kiện bất phương trình:  ⇔ ⇔ x ≥ 2 x − ≥  x ≥   x   −2 ≤ x < - Với −2 ≤ x < ⇒ bất phương trình cho ln - Với x ≥ ⇒ bất phương trình cho ⇔ x − + 2( x − 2)( x + 2) ≥ x x ⇔ 4( x − 2) + 2( x − 4) + ( x − 2) ( x + 2) ≥ x ⇔ x − x − x + 16 − 2( x − x − x + 8) ≤ ⇔ 2( x − x − x + 8) − 2( x − x − x + 8) + 16 ≤ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( 2( x − x − x + 8) − ) ≤ ⇔ 2( x3 − x − x + 8) = x =  ⇔ x − x − x = ⇔  x = + ⇔ x = + (do x ≥ )  x = 1−  { Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm [ −2; ) ∪ + } Bài 13: Giải bất phương trình sau : log ( x − 1) ≥ log ( x − 1) Hướng dẫn: ĐK: x >1 BPT log ( x − 1) ≥ log ( x − 1) ⇔ log ( x − 1) + log ( x − 1) ≥ 2 ⇔ ( x − 1)( x − 1) ≥ ⇔ x3 − x − x + ≥ ⇔ x( x − x − 1) ≥ ⇔ x≥ 1+ (do x >1) 1 +  ; +∞    Vậy tập nghiệm BPT S=  Bài 14: Giải bất phương trình 2log ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ Hướng dẫn: ĐK: x > BPT ⇔ 2log3 ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ 32 ⇔ log3 ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ ⇔ log3 ( x − 1)(2 x − 1) ≤ ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) ≤ ⇔ x − 3x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm S = (1;2] Bài 15: Giải bất phương trình ( x − 3)( x − + x ) ≥ ( x − 1) , ( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ - Nhận xét x = khơng thỏa mãn tốn, - Bất phương trình cho tương đương với x −1 ≠ x ( x − 1) x−3≥ ⇔ x − ≥ ( x − − x ) ⇔ x − ≥ 3x − − 2 x − x ( 2x −1 + x ) ⇔ x − x ≥ x + ⇔ x − x ≥ x + x + ⇔ x − 3x − ≥ ⇔ x ≥ + 13 − 13 ,x ≤ 2 13 + Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x ≥ Bài 16: Giải bất phương trình x − (4 x − 12 x + 5) x − x ≤ 12 x − x + x ≥ x ≤ Hướng dẫn: +) Điều kiện: x − x ≥ ⇔  NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA +) Ta có bất phương trình cho tương đương với x − 12 x + x − − (4 x − 12 x + 5) x − x ≤ ⇔ (2 x − 1)(2 x − x + 2) − (2 x − 1)(2 x − 5) x − x ≤ [ ] ⇔ (2 x − 1) x − x + − (2 x − 5) x − x ≤ ⇔ (2 x − 1) f ( x) ≤ 0(1) +) Với f ( x) = x − x + − (2 x − 5) x − x Đặt t = x − x ; (t ≥ 0) ⇒ t = x − x 2 - Khi x − x + − (2 x − 5) x − x = 2( x − x) − (2 x − 5)t − x + = 2t − (2 x − 5)t − x + - Ta có ∆ = (2 x − 5) − 8(2 − x) = x − 20 x + 25 + x − 16 = x − 12 x + = (2 x − 3) t = x − Do phương trình f ( x) = ⇔  t = −  Do ta có phân tích f ( x) = x − x + − (2 x − 5) x − x = ( x − x − x + 2)(2 x − x + Khi (1) ⇔ (2 x − 1)( x − x − x + 2)(2 x − x + 1) ≤ ⇔ (2 x − 1)( x − x − x + 2) ≤ 0, (2) (Do x − x + > với x thuộc miền xác định) Ta xét số trường hợp sau: (không thỏa mãn) x ≥ ⇔ x = (thỏa mãn) +) TH2) x − x = x − ⇔  2 x − 2x = x − 4x + 2 x − > x > ⇔ ⇒ Hệ phương trình vơ nghiệm +) TH3  2  x − x < x − x − 2x < x − 4x + +) TH1: x − = ⇔ x = 2 x − < ⇔ x <  x − x > x − +) TH4  Kết hợp với đk ta x ≤ Vậy bất phương trình cho có nghiệm x=2;x ≤ Bài 17: Giải bất phương trình: log ( x + 1) − log ( − x ) ≤ + log ( 3x + ) + BPT ⇔ log ( x + 1) + log ( 3x + ) ≤ + log ( − x ) Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x < ⇔ log ( x + 1)( x + ) ≤ log 5 ( − x ) ⇔ ( x + 1)( x + ) ≤ ( − x ) ⇔ 12 x + 21x − 33 ≤ ⇔− 33 ≤ x ≤1 12 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA 4 Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ Vậy: nghiệm BPT cho − < x ≤ Bài 18: Giải bất phương trình: (4 x − x − 7) x + > 10 + x − x Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2 (4 x − x − 7) x + > 10 + x − x ⇔ (4 x − x − 7) x + + 2(4 x − x − 7) > 2[( x + 2) − 4] ⇔ (4 x − x − 7)( x + + 2) > 2( x + − 2)( x + + 2) ⇔ 4x2 − x − > x + − ⇔ 4x2 > x + + x + + ⇔ (2 x) − ( x + + 1) > ⇔ (2 x + x + + 1)(2 x − x + − 1) >  x + > x − ⇔  x + < −2 x −  x + > −2 x −   x + < x −  + 41  ; +∞    Giải hệ bất pt tập nghiệm là: T = [ −2; −1) ∪  Bài 19: Giải bất phương trình x − x ≥ (4 + x − 1)( x + 14 + x − 1) Hướng dẫn: Điều kiện : x ≥ (1) ⇔ x3 − x ≥ (4 + x − 1)( x − + x − + 16 − 1) ⇔ x3 − x ≥ (4 + x − 1)3 − (4 + x − 1) (2) - Xét hàm số f (t ) = t − t ; f '(t ) = 3t − > 0∀t ≥ ⇒ f(t) đồng biến [1;+ ∞ ) mà (2) có f (2 x) ≥ f (4 + x − 1) x, + x − ∈ [1; +∞) nên (2) ⇔ x ≥ + x − 2 x − ≥  ⇔ x − ≥ x − ⇔ (2 x − 4)2 ≥ x − x −1 ≥  x ≥ x ≥ 17 + 17  ⇔ ⇔ 17 − 17 17 + 17 ⇔ x ≥ ;x ≥  x − 17 x + 17 ≥ x ≤ 8  ( ) Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + − x + + 2x + 5x + ≥ Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1 2   2x + = a x + = a − b   Đặt  x + = b ⇒  2x + 5x + = ab   a, b ≥ 1 = a − 2b   Bất phương trình trở thành: (a − b )(a − 2b ) + ab ≥ a − 2b ⇔ (a − b )(a − 2b) + b(a + b) − (a − b ) ≥ ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ (do a + b > 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA  x ≥ −1 x ≥ −1   1  ⇔− ≤x ≤3 TH1:  2x + − x + ≤ ⇔ x ≥ −   2  2x + − x + − ≤ −1 ≤ x ≤   x ≥ −1  x ≥ −1   ⇔ x = −1 TH2:  2x + − x + ≥ ⇔ x ≤ −    2x + − x + − ≥ x ≤ −1; x ≥     Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3     Bài 21: Giải bất phương trình 10 x − 50 x − ≥ x − x + − x − 10 x − 50 x − ≥  25 + 745 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x − x + ≥ ⇔ x ≥ 10 x ≥  x − 14 x + 47 >0 - Nhận xét x − x + − x − = 2x − 5x + + x − - Bất phương trình cho tương đương với 10 x − 50 x − ≥ x − x + + x − 45 − (2 x − 1)( x − 2)( x − 5) ⇔ x − 27 x + 20 + (2 x − 1)( x − 5) x − ≥ ⇔ 2(2 x − 11x + 5) − 5( x − 2) + x − 11x + x − ≥ - Đặt x − 11x + = a; x − = b, (a > 0; b > 0) ta thu 2a − 5b + 3ab ≥ ⇔ (a − b)(2a + 5b) ≥ ⇔ a ≥ b ⇔ x − 11x + ≥ x − ⇔ x − 12 x + ≥ ⇔ x ≥  Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = 3 +  Bài 22: Giải bất phương trình + 22 − 22 ;x ≤ 2  22 ;+∞   3x − 12 x + ≤ x − + x − x 3 x − 12 x + ≥  Hướng dẫn: Điều kiện  x ≥ ⇔ x≥2  x ( x − 2) ≥  Bất phương trình cho tương đương với x − 12 x + ≤ x + x − x − + ( x − 1)( x + x + 1) x( x − 1) ⇔ x − x + 10 x − + ( x − 1)( x − ( x + x + 1) x ≥ ⇔ ( x + x + x) − 3( x − x + 2) + x − x + x + x + x ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA x − 3x + x − 3x + ⇔ − 3 +2 ≥ 0(1) x + x2 + x x + x2 + x x − 3x + = t (t ≥ 0) (1) Đặt x3 + x + x ⇔ − 3t + 2t ≥ ⇔ − ≤ t ≤ ⇒ x − x + ≤ x + x + x ⇔ x + x + ≥ 0(2) Nhận thấy (2) nghiệm với x ≥ Kết luận nghiệm S = [2;+∞ ) Bài 23: Giải bất phương trình: x + x2 + x + + ≥ 2 +3 x +1 x +1 Hướng dẫn: ĐK: x > -1 x2 + x + ≥ 3, ∀x > −1 x +1 x+3 = x +1 + - Lại có x +1 x +1 (1) - Theo câu a ta có: - Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho hai số x + 1, ta được: x +1 ≥ 2, ∀x > −1 (2) x +1 x + x2 + x + + ≥ 2 + , ∀x > −1 Từ (1) (2), cộng vế với vế ta có: x +1 x +1 x +1 + Suy giá trị x > -1 thỏa mãn bất phương trình Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm Bài 24: Giải bất phương trình sau: S = ( −1; +∞ ) + x − x + 3x + 1− x − x +1 >1 x ≥  ⇔ x≥0 Hướng dẫn: Điều kiện:  x + 3x + ≥  1 − x − x + ≠ 1  - Ta có x − x + =  x −  + ≥ > (∀x ≥ 0) ⇒ − x − x + < 2  - BPT ⇔ x + x2 − x + < x + 3x + 1 ⇔ + x + − < x + + (Vì x = khơng thỏa mãn bất phương trình) x x - Đặt x + = t ⇒ t ≥ x > x 13 - Ta có + t − < t + ⇔ t − < ⇔ t < NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA - Suy ≤ t < 13 13 ⇒2≤ x+ < x   x + x ≥ 13 − 105 13 + 105 ( x − 1) ≥ ⇔ ⇔ ⇔  + 57 2 x >   2 > − > + − − > a b x x x x x    ⇔ x > + 57 (do x ≥ 1) - TH1:  ⇔ ⇔ ⇔ 2  − 57 a > 2b x − x > x + x − 5x − > x <  2 x − x < x + x − 2x − < a < b - TH2:  ⇔ ⇔ ⇔ − < x < + ⇔ ≤ x < + (do x ≥ ) a < 2b x − x < 4x + x − 5x − <  + 57  ;+∞  ∪ 1;1 +   [ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  ) Bài 26: Giải bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) − log 2 x 2 Hướng dẫn: log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) − log 2 x 2 ⇔ log ( + ) ≥ log ( x +1 − 3) + log x x 2 ⇔ log ( + ) ≥ log ( x 2 x +1 − 3.2 x ) ⇔ x + ≤ 22 x +1 − 3.2 x ⇔ x − 3.2 x − ≥  x ≤ −1( L ) ⇔ x ⇔x≥2 ≥  Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ 2; +∞ ) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA Bài 27: Giải bất phương trình 2.14 x + 3.49 x − x ≥ x 2x 7 7 Hướng dẫn: Chia hai vế bpt cho bpt ⇔   +   − ≥ 2 2 t ≤ −1 x 7 Đặt t =   (với t > 0) BPT trở thành 3t + 2t – ≥ ⇔  1⇒t≥ t ≥ 2 3  x x   7 ⇔   ≥ ⇔ x ≥ − log KL: BPT có tập nghiệm S = − log ; + ∞  2 2   Bài 28: Giải bất phương trình x x − + 45 x − 75 x + 30 x < 4( x ∈ R ) Bất phương trình cho tương đương với x x − − x + 45 x − 75 x + 34 x − < Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ ⇔ x( x − − 1) + ( x − 1)(45 x − 30 x + 4) < ⇔ x ( x − 2) + ( x − 1) 5(3 x − 1) − < 2x −1 + [ ] 4x   ⇔ ( x − 1)  + 5(3 x − 1) − 1 < 0(1)  2x −1 +1  4x 1 + 5(3 x − 1) − > 5(3 − 1) − > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − < ⇔ x < - Nhận xét 2 2x −1 + 1  - Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =  ;1 2  Bài 29: Giải bất phương trình: log ( x − 2) + log 0,5 x < Hướng dẫn: Điều kiện: x > ⇔ log ( x − ) − log x < ⇔ log x−2 x−2 −2 Bài 30: Giải bất phương trình: x − x − > x3 − x + x − x3 − x + Hướng dẫn: Cách 1: BPT ⇔ x − x − > x ( x − ) + 1 −   ⇔ ( x − 2)+ | x − | x + > x 1 +  ( x − 2) ( x − 2) ( x + 1) + 1  ( x ≥ 0) (1) * x = : (1) ⇔ > 2 (loại) * x = : (1) ⇔ −2 > −2 (loại) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA * x > : (1) ⇔ ( x − 2) + x + > x 1 +  ( ) ( x − 2) x ( x − 2) > ta được: (1) ⇔ - Chia vế cho - Xét hàm f (t ) = t + + t , t > ⇒ f '(t ) = + + 1  1 1 + 1+ > + 1+ x x−2 x ( x − 2) t 1+ t2 > ∀t > ⇒ f (t ) đồng biến 1 ⇔ x − > x ⇔ x − x + > ⇔ x > 4; x < > x x−2 - Kết hợp x > ⇒ x > * < x < 2: (1) ⇔ ( x − 2) − x + > x 1 + ( x − ) +    1 1 - Chia vế cho x ( x − 2) < ta được: (1) ⇔ − 1+ < − 1+ x x−2 x x − ( ) ∀t > , (1) ⇔ ( ) - Xét hàm f (t ) = t − + t , t ∈ R ⇒ f '(t ) = − biến ∀t Từ (1) ⇔ t 1+ t2 = 1+ t2 − t 1+ t2 > ∀t ⇒ f (t ) đồng 1 < Trường hợp vơ nghiệm < x−2 x x−2 Đáp số: x > Cách 2: ĐK x ≥ + x = không nghiệm Xét x > : + (1) ⇔ ( x −2 )( ) x +1 > x2 − 5x + x3 − x + x + x3 − x +  x +1  x −1 ⇔ f ( x) = ( x − )  + >  x3 − x + x + x3 − 3x +   x +2 x +1 x −1 + + Xét g ( x) = x +2 x − x + x + x3 − 3x + Nếu x ≥ g ( x) > + Nếu < x < 1: x + > ⇒ x + > Ta có: x3 − 3x + = ( x + 1)( x − ) x +1 x +1 > = x +2 x +2 (1) = x − x +1 > x − = − x ⇒ x3 − x + x + x3 − 3x + > − x 1− x 1− x 1− x 1− x ⇒ < = < = x3 − x + x + x3 − 3x + − x − x + x − x x −1 (2) ⇒ >− x3 − x2 + x + x3 − 3x2 + NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 12 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA Từ (1) (2) suy g ( x) > ∀x > + f ( x) > ⇔ x − > ⇔ x > Kết hợp ĐK suy đáp số: x > Bài 31: Giải bất phương trình x − ≤ x − x − + x + 1( x ∈ R ) x3 − ≥ x ≥  Hướng dẫn: Điều kiện:  x − x − ≥ ⇔  ⇔ x≥3 ( x − 3)( x + x + 3) ≥ x + ≥  Bất phương trình cho tương đương với x − ≤ x − x − + x − + ( x − 3)( x + x + 3)( x + 1) ⇔ x − x ≤ ( x − 3)( x + 1) x + x + ⇔ x − x − − x − x − x + x + + x + x + ≤ ⇔ ( x − 2x − − x + x + 3) ≤ ⇔ x − x − = x + x + ⇔ x − x − = x + x + ⇔ x = −2 Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình cho vơ nghiệm Bài 32: Giải bất phương trình : log log (2 − x )  > ( x ∈ R) Hướng dẫn: - Điều kiện: log (2 − x ) > ⇔ − x > ⇔ −1 < x <  −1 < x < −1 < x < −1 < x < - Khi ⇔ log (2 − x ) < ⇔  ⇔ ⇔  2  x≠0 2 − x < x > Vậy tập nghiệm bpt S = (−1;0) ∪ (0;1) ( ) Bài 33: Giải bất phương trình: x + x < + x( x + x − 4) (x∈ R)  −1 − ≤ x ≤ Hướng dẫn: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ ⇔   x ≥ −1 + ⇔ x( x + x − 4) > x + 5x − ⇔ x( x + x − 4) > ( x + x − 4) + 3x (**) + TH 1: x ≥ −1 + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ x2 + x − x2 + 2x − > +3 x x x2 + x − , t ≥ , ta có bpt: t − 4t + < ⇔ < t < x  x − x − < −1 + 17 + 65 x2 + x − 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥  x ≥ −1 x ≥ −1   1  ⇔− ≤x ≤3 TH1:  2x + − x + ≤ ⇔ x ≥ −   2  2x + − x + − ≤ −1 ≤ x ≤   NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 18 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TỐN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x ≥ −1  x ≥ −1   ⇔ x = −1 TH2:  2x + − x + ≥ ⇔ x ≤ −    2x + − x + − ≥ x ≤ −1; x ≥     Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3     Bài 47: Giải bất phương trình x + − x ≥ − 3x − x Hướng dẫn: x ≥ 0 ≤ x ≤ −3 + 41   ⇔  −3 − 41 Điều kiện: 1 − x ≥ −3 + 41 ⇔ ≤ x ≤ ≤x≤   8  2 − 3x − x ≥ (*) Bất phương trình cho tương đương với x + − x + x(1 − x ) ≥ − x − x ⇔ 3( x + x) − (1 − x) + ( x + x )(1 − x) ≥  −5 + 34 x ≥ x +x x +x x +x ⇔3 +2 −1 ≥ ⇔ ≥ ⇔ x + 10 x − ≥ ⇔   1− x 1− x 1− x −5 − 34 x ≤  −5 + 34 −3 + 41 ≤x≤ Kết hợp điều kiện (*), ta suy nghiệm bất phương trình 2 Bài 48: Giải bất phương trình ( x − x + 10 ) x + + ( x + ) x + ≥ x + 13x − x + 32 Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình (5 x − x + 10) ( ) x + − + (2 x + 6) ⇔ (5 x − x + 10) ( ) ( ) x + − + 3(5 x − x + 10) + 2(2 x + 6) ≥ x + 13x − x + 32 x + − + (2 x + 6) ( ) x + − − x + x − x + 10 ≥  x − x + 10 ⇔ ( x − 2)  +  x+7 +3  2x + − x −  ≥ (*) x+2 +2  1 ≤ x + > + Do x ≥ −2 ⇒ x + + ≥ ⇒ x+2 +2 2x + 2x + ⇒ ≤ = x + (1) x+2+2 1 < x − x + 10 > ∀x ∈ ℝ + Do x ≥ −2 ⇒ x + + ≥ + > ⇒ x+7 +3 2 x − x + 10 x − x + 10 x − x + 10 2 ⇒ < = x −x+2⇒ − x − < − x − (2) x+7 +3 x+7 +3 x − x + 10 2x + + − x − < Do (*) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Từ (1) (2) ⇒ x+7 +3 x+2+2 Kết hợp điều kiện x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x ≤ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 19 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ƠN THI THPT QUỐC GIA x +1 x+2 Bài 49: Giải bất phương trình sau log (2 − 8) + log (24 − ) ≤ Hướng dẫn: x +1 2 − > Điều kiện:  x+2 24 − > (1) ⇔ log ( x +1 − ) ≤ log ( 24 − x + ) 2 x +1 − >  x >  x > ⇔  x +1 ⇔ x ⇔ x x+2 x  2.2 − ≤ 24 − 4.2 2 − ≤ 24 − 6.2 ≤ 32 ⇔ < 2x ≤ 16  16  ⇔ < x ≤ log    3 Bài 50: Giải bất phương trình 2( x + − − x ) + x + 3x − ≥ Hướng dẫn: Điều kiên : −3 ≤ x ≤ ⇔2 ( ) x + − + − − 2x + 2x + 3x − ≥  x + − − ( − 2x )  ⇔ 2 +  + ( x − 1)( 2x + ) ≥ x 3 2x + + + −     ⇔ ( x − 1)  + + 2x +  ≥ (*)  x + + + − 2x  Do −3 ≤ x ≤ ⇒ − 2x ≤ ⇒ ≥ 2x + ≥ −1 nên − 2x + 3  + + 2x + > 0, ∀x ∈  −3;  2 x + + + − 2x  - Từ (*) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm bất phương  3 trình T = 1;   2 NGUYỄN HỮU BIỂN - NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 20