Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề om Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số c §1 Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn A Phương Pháp Giải Cơ Bản oc u oc Đưa phương trình tích • Biến đổi đưa phương trình dạng f (x).g(x) = f (x) = • Áp dụng công thức f (x).g(x) = ⇔ g(x) = Đặt ẩn phụ • Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp • Đưa phương trình phương trình theo ẩn t biết cách giải (phương trình chứa x) Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) • Lập bảng xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối • Xét phương trình khoảng Lưu ý Nếu phương trình chứa dấu trị tuyệt đối |f (x)| xét hai trường hợp f (x) ≥ f (x) < gb B Bài Tập b) −4x2 + x − ≥ d) x4 + x2 + 4x − ≥ 2.2 Giải bất phương trình sau x−2 ≥ a) x − 9x + x+5 2x − c) + > 2x − x+5 x2 − 3x − ≥ 2x + x−1 1 d) < x − 5x + x − 7x + 10 2.3 Giải phương trình sau a) x3 − 5x2 + 5x − = c) x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 3 e) x2 + + (1 − 3x) = x2 − 3x + √ √ b) x3 − 3x2 + 7x − = 3 d) (x − 3) + (2x + 3) = 18x3 f) (4 + x) − (x − 1) = (1 − x) x2 − 2x + 17 2.4 Giải phương trình sau a) x2 − 4x + − x2 − 6x + c) x4 + 3x2 + = 2x e) x4 = 6x2 − 12x + b) x4 = (2x − 5) d) x4 − 4x − = f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + kh on 2.1 Giải bất phương trình sau a) x2 − 6x + > c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ = b) 2.5 Giải phương trình sau 4 a) (x + 3) + (x + 5) = 4 c) (x + 3) + (x − 1) = 82 b) (x + 1) + (x + 3) = 16 d) x4 + (x − 1) = 41 2.6 Giải phương trình sau a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2 b) x2 + (x + 3) (x + 5) + 16 = d) x2 − 2x + x2 + 3x + = 14x2 11 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Minh Hiếu 2.7 Giải phương trình sau a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + = c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + = b) 2x4 + 3x3 − 9x2 − 3x + = d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + = 2.8 Giải phương trình sau a) x2 + 5x − x2 + 5x − 24 = b) x2 + x + − 2x2 + 3x + = 2.9 Giải phương trình sau 1 a) + = 2x2 − x + 2x2 − x + 2x − x + x2 + x c) + =− x x +1 2 x = e) x2 + x+1 Giải phương trình sau |x − 1| = x2 − 3x + x2 − 5x + − x = x2 − 5x + = x2 + 6x + 4x 3x + = 4x2 − 8x + 4x2 − 10x + 2 x−1 x−3 x−3 d) + −2 = x+2 x+2 x−1 2 1 13 f) + = 2 x +x+1 x +x+2 36 b) c 2.10 a) c) e) d) (4x + 3) (x + 1) (2x + 1) = 810 om b) x2 + 4x − = x2 + √ d) x2 + 4x + = − x2 f) x2 − 5x + = −2x2 + 10x − 11 2.11 Giải phương trình sau a) x2 − x oc c) x2 − 2x − x2 + x + = 12 x+1 2x − − − = x+1 2x − d) x2 + 3x − + x2011 + 2011x − 2012 = + x2 − x − = b) 2.12 Giải bất phương trình sau a) |x − 2| < |2x + 1| c) x2 − 5x + ≤ x2 + 6x + oc u c) x2 + 3x − 10 + x2 − = gb 2.13 Giải phương trình sau a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3| c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2| √ √ e) x2 − 2x + + x2 + 4x + = 2x − ≤ x−3 d) x2 − 2x + x2 − > b) b) x2 − 5x + + x2 − 5x = d) |x − 1| − |x − 2| + |x − 3| = √ √ f) x + x − + x − x − = §2 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn on A Phương Pháp Giải Cơ Bản Sử dụng phép biến đổi tương đương f (x) ≥ • f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) g(x) ⇔ f (x) = g(x)   f (x) ≥ g(x) > f (x) < g(x) ⇔  f (x) < g (x) f (x) = kh • • • • • f (x) = g(x) ⇔ g(x) ≥ f (x) = g (x) f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g (x)  g(x) <  f (x) ≥  f (x) > g(x) ⇔  g(x) ≥ f (x) > g (x) Đặt ẩn phụ • Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình ẩn t (phương trình chứa ẩn x) • Dạng Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình hệ theo ẩn u v Sử dụng tính đơn điệu hàm số • Dự đoán nghiệm (nếu có) • Sử dụng tính đơn điệu hàm số để phương trình có nghiệm dự đoán (hoặc PTVN) Đánh giá hai vế f (x) = A • Đánh giá f (x) ≥ A; g(x) ≤ A Khi f (x) = g(x) ⇔ g(x) = A 12 http://mathqb.eazy.vn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số B Bài Tập √ √ √ b) 2x + = − x + 3x + √ + = x + d) √ 2x + 6x √ √ 3 f) x + + x + + x + = 2.15 √ Giải bất phương trình sau a) √x2 − 4x − 12 > 2x + c) 6x − 9x2 < 3x √ b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − d) x3 + ≥ x + 2.16 Giải bất phương trình sau √ √ √ a) (CĐ-09) x + + x − ≤ 5x + √ c) 2x + 6x2 + > x + b) (A-05) d) (A-04) 2.17 Giải phương trình sau √ √ a) (D-05) x + + x + − x + = b) + x+ d) = 2.18 Giải bất phương trình sau √ a) x4 + x − ≥ − x √ 2 c) (x √ − 2) x + < √ x − √ 2 e) x − 3x + + x − 4x + ≥ x2 − 5x + √ b) (D-02) x2 − 3x 2x2 − 3x − ≥ √ ≤ x2 − 2x − d) √ (x + 2) − x√ √ f) x + x − + x2 + 2x − ≤ x2 + 4x − √ √ b) − x√2 + x x + = √3 − 2x − x2 d) + x − = 2x + x + 7 f) x2 − + x − = x x x oc u 2.19 Giải phương trình sau √ a) (D-06) 2x − + x2 − 3x + = √ √ c) 2x2 + 8x + + x2 − = 2x + √ e) x2 + 3x + = (x + 3) x2 + √ √ x − + x − − x − − x − = √ √ x+3 x+2 x−1+ x−2 x−1= c x+ √ √ 5x − − x − > 2x − (x2 − 16) √ 7−x √ + x−3> √ x−3 x−3 oc c) x + √ om 2.14 Giải phương trình sau √ a) x − x − − = √ √ √ c) 3x − − − x = 2x − √ √ √ e) 2x − + x − = 3x + 21 − 4x + x2 ≥ x+1 x2 d) √ > x − 1+ 1+x 2.21 Giải phương trình √ sau a) (x + 5) (2 − x) = x2 + 3x √ √ c) x + + − x + (x + 1) (4 − x) = b) (x + 1) (2 − x) = + 2x − 2x2 √ √ √ d) 3x − + x − = 4x − + 3x2 − 5x + on gb 2.20 Giải√các bất phương trình sau − − 4x2 a) < x 2x c) √ > 2x + 2x + − kh 2.22 Giải phương trình sau √ √ a) x + − x2 = + 3x − x2 √ 4 − x2 x x2 c) + + +√ x − x2 x − x2 b) 1− √ b) (x − 3) (x + 1) + (x − 3) x+1 x−3 = −3 √ √ √ + = d) (B-2011) + x − − x + 4 − x2 = 10 − 3x 2.23 Giải phương√trình sau a) x2 + 3x + ≥ x2 + 3x + √ c) x (x + 1) − x2 + x + + ≥ x x+1 e) −2 > x+1 x √ b) x2 + 2x2 + 4x + ≥ − 2x d) x2 − 2x + − (4 − x) (2 + x) ≤ √ √ √ f) x + + x − + x2 + x − ≤ 11 − 2x 2.24 Giải phương trình sau √ a) x2 − =√2x x2 − 2x c) (4x − 1) x3 + = 2x3 + 2x + √ b) x2 − = 2x x2 +√2x d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24 2.25 Giải phương trình sau √ √ a) − x = − √ x − c) x2 + = x3 + √ √ b) (A-09) 3x − + √ − 5x − = d) x2 − 3x + = x3 + http://mathqb.eazy.vn 13 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Minh Hiếu 2.26 Giải √ phương trình sau = a) x2 + x +√ c) x3 + = 2x − √ b) x3√+ = 3 3x −√2 d) x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 2.27 Giải phương trình, bất phương trình sau √ √ a) (B-2012) x + + x2 − 4x + ≥ x √ √ c) x2 − = − x3 b) (A-2010) 2.28 Giải phương trình sau √ √ a) √ 4x − + √ 4x2 − = c) 2x − + x2 + 3√= − x e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + = √ b) x − = −x √ − 4x + 5 d) x + x − − 3x + = √ f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x + 1) 2x + = 2.29 √ Giải phương trình sau √ a) x2 − 2x + + x − = √ √ √ c) x − − + x + + x − − = √ √ b) x − + − x = x2 − 6x + 11 √ d) 5x3 + 3x2 + 3x − = 21 x2 + 3x − 21 √ x ≥ 1 − (x2 − x + 1) (1 − x2 ) = − 2x2 c om d) x + x− §3 Hệ Phương Trình Đại Số oc A Phương Pháp Giải Cơ Bản oc u Đưa hệ mẫu mực (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp) Phương pháp • Loại 1: Rút biểu thức từ phương trình vào phương trình • Loại 2: Giải cụ thể phương trình vào phương trình • Loại Thế số Đặt ẩn phụ Sử dụng tính đơn điệu hàm số • Nếu y = f (x) đồng biến nghịch biến D f (u) = f (v) ⇔ u = v • Nếu y = f (x) đồng biến D y = g(x) nghịch biến không đổi D phương trình f (x) = g(x) có nhiều nghiệm D B Bài Tập gb 2.30 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x + y + xy = x2 + y + x + y = c) (DB-05) x (x + y + 1) + y (y + 1) = b) d) x + y + xy = x3 + y + 3(x − y) − = x2 − xy + y = (x − y) x2 + xy + y = 7(x − y) on 2.31 Giải hệ phương trình sau a) x − 2y = 2x + y y − 2x2 = 2y + x kh    2x + y = x c)   2y + x = y 2.32 Giải hệ phương trình sau x2 − xy = a) 2x2 + 4xy − 2y = 14 x3 + y = c) x2 y + 2xy + y = 2.33 Giải hệ phương trình sau x + y = −1 a) x3 − 3x = y − 3y x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + c) (B-08) x2 + 2xy = 6x +  4y   x − 3y = x b) 4x   y − 3x = y  y2 +   3y = x2 d) (B-03) x +2   3x = y2 x2 − 2xy + 3y = x2 − 4xy + 5y = (x − y) x2 + y = 13 d) (DB-06) (x + y) x2 − y = 25 b) b) (DB-06) d) (D-09) 14 x2 + + y (y + x) = 4y x2 + (y + x − 2) = y x (x + y + 1) − = (x + y) − x52 + = http://mathqb.eazy.vn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 2.34 Giải hệ phương trình sau √ √ x−y = √ x−y a) (B-02) x+y = x+y+2 2xy 2 =1 x + y + x+y √ c) x + y = x2 − y x − x1 = y − y1 2y = x3 + 6x2 − 3xy + x + y = x2 + y = b) (A-03) d) x3 + 2xy + 12y = 8y + x2 = 12 5x2 y − 4xy + 3y − (x + y) = d) (A-2011) xy x2 + y + = (x + y) 2.37 Giải hệ phương trình sau xy + x + = 7y a) (B-09) x2 y + xy + = 13y 8x3 y + 27 = 18y c) 4x2 y + 6x = y b) d) 2x2 + x − y1 = y − y x − 2y = −2 x3 − y = x2 + 2y = x − 4y √ x+y− √ xy = √ x+1+ y+1=4 √ √ 2x + y + − x + y = d) (DB-05) 3x + 2y = x + y + x y + xy + xy = − f) (A-08) x4 + y + xy (1 + 2x) = − 45 b) oc u 2.38 Giải hệ phương trình sau x (3x + 2y) (x + 1) = 12 a) x2 + 2y + 4x − = √ 2x + y = − 2x − y c) (CĐ-2010) x2 − 2xy − y = 2 x √ +y =5 √ e) y − (x + y − 1) = (y − 2) x + y c b) oc 2.36 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x3 + y = x + 3y x3 − 8x = y + 2y c) (DB-06) x2 − = y + om 2.35 Giải hệ phương trình sau xy√+ x + y√= x2 − 2y x4 − x3 y − x2 y = a) (DB-07) b) (D-08) x y − x − xy = −1 x 2y − y x − = 2x − 2y x3 + 2y = x2 y + 2xy xy + x − = c) (D-2012) d) 2 2x − x y + x + y − 2xy − y = x2 − 2y − + y − 14 = x − gb 2.39 Giải trình sau √ √ hệ phương √ √ x − − y = − x3 x + 10 + y − = 11 √ √ a) b) x − + y + 10 = 11 (x − 1) = y √ 4x2 + x +√(y − 3) − 2y = x3 − 3x2 − 9x + 22 = y + 3y − 9y d) (A-2010) c) (A-2012) x2 + y − x + y = 12 4x2 + y + − 4x = §4 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số on A Kiến Thức Bổ Sung Cho hàm số y = f (x) liên tục D có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ D Ta có: • m = f (x) có nghiệm D ⇔ f (x) ≤ m ≤ max f (x) x∈D x∈D • m ≤ f (x) có nghiệm D ⇔ m ≤ max f (x) x∈D • m ≥ f (x) có nghiệm D ⇔ m ≥ f (x) x∈D kh • m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ f (x) x∈D • m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x) x∈D B Phương Pháp Giải Cơ Bản Phương pháp tam thức bậc hai • Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho toán Phương pháp chiều biến thiên hàm số • Từ toán biến đổi rút m theo f (x) • Lập BBT f (x) Từ BBT kiến thức bổ sung để rút KL Phương pháp điều kiện cần đủ • Từ tính chất toán rút điều kiện cần để xảy toán • Giải điều kiện cần m, thay lại vào toán để kiểm tra http://mathqb.eazy.vn 15 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Minh Hiếu C Bài Tập 2.40 Tìm m để phương trình m − a) Có nghiệm √ x2 − 3mx + m + = b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu 2.41 Tìm m để phương trình x2 + (m + 1) x + 9m − = có hai nghiệm âm phân biệt 2.42 Tìm m để phương trình (m − 2) x2 − 2mx + m + = có hai nghiệm dương phân biệt 2.46 Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + (x − 3) x+1 x−3 c) Có bốn nghiệm phân biệt = m có nghiệm om 2.43 Tìm m để phương trình (m − 2) x4 − (m + 1) x2 + 2m − = a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt √ √ x+ y =1 √ √ 2.44 (D-04) Tìm m để hệ có nghiệm x x + y y = − 3m √ √ 2.45 Tìm m để bất phương trình 4x − + 16 − 4x ≤ m có nghiệm oc c √ √ 2.47 (DB-07) Tìm m để bất phương trình m x2 − 2x + + + x (2 − x) ≤ có nghiệm thuộc đoạn 0; + √ √ √ 2.48 (A-07) Tìm m để phương trình x − + m x + = x2 − có nghiệm thực √ 2.49 (B-06) Tìm m để phương trình x2 + mx + = 2x + có hai nghiệm thực phân biệt √ √ √ √ √ 2.50 (B-04) Tìm m để phương trình m + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 có nghiệm √ √ √ √ 2.51 (A-08) Tìm m để phương trình 2x + 2x + − x + − x = m có hai nghiệm phân biệt √ 2.52 (DB-07) Tìm m để phương trình x4 − 13x + m + x − = có nghiệm oc u 2.53 (B-07) Chứng minh với m > 0, phương trình x2 + 2x − = m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt 2.54 Chứng minh với m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx − m2 = có nghiệm 2.55 (DB-04) Tìm m để hệ x2 − 5x +√4 ≤ có nghiệm 3x2 − mx x + 16 = 2x3 − (y + 2) x2 + xy = m có nghiệm x2 + x − y = − 2m √ √ 2.57 Tìm m để hệ − x2 + − x2 = m có nghiệm x = y2 − y + m có nghiệm y = x2 − x + m kh on 2.58 Tìm m để hệ gb 2.56 (D-2011) Tìm m để hệ 16 http://mathqb.eazy.vn